Çarpanlar ve Katlar

1. Yukarıdaki biçimde yazılan sayının 16 tane pozitif tam sayı böleni olduğuna göre a kaçtır?

2³ × 3ᵃ

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 5

Doğru cevap: B — Bölen sayısı (3 + 1) × (a + 1) = 16 olduğundan a + 1 = 4 ve a = 3 tür.

1. Bölen sayısı üsleri birer artırıp çarpmakla bulunur.
2. (3 + 1) × (a + 1) = 16
3. 4 × (a + 1) = 16 → a + 1 = 4
4. a = 3

2. Bir zanaatkâr şekildeki dikdörtgen tahtayı, hiç artık kalmayacak biçimde eş karelere ayıracaktır. Kare sayısı en az olacak şekilde kesim yapıldığında bir karenin çevresi kaç cm olur?

• A) 36
• B) 48
• C) 24
• D) 60

Doğru cevap: B — En az kare için kenar EBOB(60, 84) = 12 cm olmalıdır; çevre 4 × 12 = 48 cm dir.

1. 60 = 2² × 3 × 5, 84 = 2² × 3 × 7
2. EBOB = 2² × 3 = 12 cm
3. Kare sayısı en az olsun diye en büyük kare seçilir.
4. Çevre = 4 × 12 = 48 cm

3. Şemada A ve B sayılarının asal çarpanları gösterilmiştir. Buna göre B sayısının A sayısına oranı kaçtır?

• A) 3
• B) 5
• C) 7
• D) 21

Doğru cevap: C — A = 3 × 2² × 5 = 60, B = 2² × 5 × 3 × 7 = 420 ve 420 ÷ 60 = 7 dir.

1. A = sol bölge × ortak bölge = 3 × (2 × 2 × 5) = 60
2. B = ortak bölge × sağ bölge = (2 × 2 × 5) × 3 × 7 = 420
3. Oran = 420 ÷ 60
4. Oran 7 dir.

4. Bir öğrenci 90 ile 126 sayısı için şemadaki dört adımı yazmıştır. Buna göre hangi adımda hata yapılmıştır?

• A) 1. adım
• B) 2. adım
• C) 3. adım
• D) 4. adım

Doğru cevap: D — EKOK için 3 çarpanının en büyük üssü olan 3² alınmalıydı; doğru sonuç 630 dur.

1. İlk üç adımdaki çarpanlara ayırma ve EBOB doğrudur.
2. EKOK için her asalın en büyük üssü alınır.
3. Doğrusu: 2 × 3² × 5 × 7
4. EKOK = 630, hata 4. adımdadır.

5. Bir istasyonda A treni 20 dakikada, B treni 25 dakikada, C treni 30 dakikada bir kalkmaktadır. Üç tren saat 06.00 da birlikte kalktığına göre bunu izleyen 24 saat içinde kaç kez daha birlikte kalkarlar?

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 6

Doğru cevap: B — EKOK(20, 25, 30) = 300 dakika = 5 saattir; 24 saatte 4 kez birlikte kalkarlar.

1. 20 = 2² × 5, 25 = 5², 30 = 2 × 3 × 5
2. EKOK = 2² × 3 × 5² = 300 dakika
3. 300 dakika = 5 saat
4. 24 ÷ 5 = 4 tam sayı → 4 kez

6. Tabloda A ve B sayılarının asal çarpanlara ayrılmış biçimleri verilmiştir. Buna göre EKOK değerinin EBOB değerine bölümü kaçtır?

• A) 15
• B) 20
• C) 30
• D) 60

Doğru cevap: C — EKOK = 2² × 3² × 5² = 900, EBOB = 2 × 3 × 5 = 30 ve 900 ÷ 30 = 30 dur.

1. EKOK için büyük üsler: 2² × 3² × 5² = 900
2. EBOB için küçük üsler: 2 × 3 × 5 = 30
3. 900 ÷ 30 = 30

7. Kartlarda iki doğal sayıya ait bilgiler verilmiştir. Buna göre ikinci sayı kaçtır?

• A) 60
• B) 48
• C) 72
• D) 90

Doğru cevap: A — a × b = EBOB × EKOK bağıntısı kullanılır: 12 × 180 = 2160 ve 2160 ÷ 36 = 60.

1. İki sayının çarpımı, EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir.
2. Sağ tarafı hesaplayalım: 12 × 180 = 2160. İki sayının çarpımı bu.
3. Biri 36 olduğuna göre öteki: 2160 ÷ 36 = 60.
4. Denetleyelim: EBOB(36, 60) = 12 ✓ ve EKOK(36, 60) = 180 ✓. Kartlardaki değerlere döndük.

8. Bir manav 154 elma ile 231 armudu, her sepette eşit sayıda elma ve eşit sayıda armut olacak biçimde en fazla sayıda sepete paylaştırıyor. Buna göre bir sepetteki armut sayısı ile elma sayısının farkı kaçtır?

• A) 1
• B) 2
• C) 3
• D) 7

Doğru cevap: A — EBOB(154, 231) = 77 sepet olur; her sepette 2 elma ve 3 armut bulunur, fark 1 dir.

1. 154 = 2 × 7 × 11, 231 = 3 × 7 × 11
2. EBOB = 7 × 11 = 77 sepet
3. 154 ÷ 77 = 2 elma, 231 ÷ 77 = 3 armut
4. 3 − 2 = 1

9. Şemada 600 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. Buna göre 600 sayısının tek sayı olan pozitif bölenlerinin sayısı kaçtır?

• A) 4
• B) 8
• C) 6
• D) 12

Doğru cevap: C — 600 = 2³ × 3 × 5² olduğundan tek bölenler yalnızca 3 × 5² kısmından gelir: 2 × 3 = 6.

1. Şemadan 600 = 2³ × 3 × 5² okunur.
2. Tek bölende 2 çarpanı bulunamaz.
3. Geriye 3¹ × 5² kalır.
4. (1+1) × (2+1) = 6 tek bölen

10. n bir doğal sayı olmak üzere yukarıdaki biçimde yazılan bir sayı için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

2ⁿ × 5

• A) Sayı her zaman 10 ile tam bölünür.
• B) Sayı hiçbir zaman tek sayı olamaz.
• C) Sayının 5 ile bölümünden kalan her zaman 0 olur.
• D) Sayı her zaman bir tam karedir.

Doğru cevap: C — 5 çarpanı her durumda bulunduğu için sayı daima 5 ile tam bölünür.

1. n = 0 alınırsa sayı 5 olur; 10 ile bölünmez ve tektir.
2. Bu durum ilk iki seçeneği çürütür.
3. 5 = 5 tam kare değildir, son seçenek de yanlıştır.
4. 5 çarpanı hep var olduğundan kalan daima 0 dır.

11. Grafikte üç kutudaki bilye sayıları verilmiştir. Her kutudaki bilyeler, hiç bilye artmayacak biçimde eşit sayıda torbalara ayrılacaktır. Bir torbaya en fazla kaç bilye konulabilir?

• A) 6
• B) 4
• C) 3
• D) 2

Doğru cevap: A — "Hiç artmadan, en fazla" EBOB ister: EBOB(12, 18, 30) = 6 bilye.

1. Her kutudaki bilyeler artıksız paylaştırılacak; öyleyse torbadaki sayı ÜÇ sayının da böleni olmalı.
2. "En fazla" dendiğine göre ortak bölenlerin en büyüğünü, yani EBOB’u arıyoruz.
3. Asal çarpanlara ayıralım: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5. Ortakların en küçük üsleri: 2 × 3 = 6.
4. Denetleyelim: 12 ÷ 6 = 2, 18 ÷ 6 = 3, 30 ÷ 6 = 5 torba ✓. Hiç bilye artmıyor.

12. Şemada 360 sayısının çarpan ağacı verilmiştir. Ağacın daha fazla bölünemeyen uç sayılarının toplamı kaçtır?

• A) 15
• B) 19
• C) 21
• D) 17

Doğru cevap: D — Uçlardaki asal çarpanlar 2, 3, 2, 3, 2, 5 tir; toplamları 17 dir.

1. 360 = 36 × 10 biçiminde ayrılmış.
2. Uç sayılar: 2, 3, 2, 3, 2, 5
3. 2 + 3 + 2 + 3 = 10
4. 10 + 2 + 5 = 17

13. Bir merdivenin basamakları 1 den başlayarak numaralandırılmıştır. Ali basamakları 3 er 3 er, Beren ise 5 er 5 er çıkmaktadır. 100 basamaklı bu merdivende ikisinin de bastığı kaç basamak vardır?

• A) 5
• B) 7
• C) 8
• D) 6

Doğru cevap: D — Ortak basamaklar EKOK(3, 5) = 15 in katlarıdır: 15, 30, 45, 60, 75, 90 → 6 basamak.

1. Ali 3 ün, Beren 5 in katlarına basar.
2. Ortak basamaklar EKOK(3, 5) = 15 in katlarıdır.
3. 100 ÷ 15 = 6 tam sayı
4. 6 basamağa ikisi de basar.

14. Tabloda üç ipin uzunlukları verilmiştir. İpler hiç artık kalmayacak biçimde eşit uzunlukta en uzun parçalara ayrıldığında toplam kaç parça elde edilir?

• A) 8
• B) 10
• C) 12
• D) 15

Doğru cevap: B — EBOB(48, 72, 120) = 24 cm olur; parçalar 2 + 3 + 5 = 10 tanedir.

1. 48 = 2⁴ × 3, 72 = 2³ × 3², 120 = 2³ × 3 × 5
2. EBOB = 2³ × 3 = 24 cm
3. 48 ÷ 24 = 2, 72 ÷ 24 = 3, 120 ÷ 24 = 5
4. 2 + 3 + 5 = 10 parça

15. a ile b doğal sayılarının EBOB değeri 8 ve toplamları 56 dır. Buna göre a × b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

• A) 768
• B) 640
• C) 800
• D) 832

Doğru cevap: A — a = 8m, b = 8n yazılırsa m + n = 7 olur; m × n en çok 12 olduğundan çarpım 64 × 12 = 768 dir.

1. EBOB 8 olduğu için a = 8m, b = 8n ve m ile n aralarında asaldır.
2. 8m + 8n = 56 → m + n = 7
3. Aralarında asal seçenekler: (1, 6), (2, 5), (3, 4)
4. En büyük m × n = 12; a × b = 64 × 12 = 768