Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

1. Yukarıda bir üstel fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun 5 için aldığı değer sorulmaktadır. Buna göre f(5) kaçtır?

f(x) = 2ˣ

• A) 32
• B) 25
• C) 10
• D) 16
• E) 64

Doğru cevap: A — Fonksiyonda $x$ yerine 5 yazılır: $f(5) = 2^5 = 32$.

1. $f(x) = 2^x$ fonksiyonunda değişken üsse yazılır; $f(5) = 2^5$.
2. Kuvveti adım adım açalım: $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$.
3. $f(5) = 32$.
4. Denetleyelim: $f(4) = 16$ ve üstel fonksiyonda $x$ bir artınca değer tabanla çarpılır, $16 \times 2 = 32$ ✓.

2. Yukarıda tabanı 3 olan üstel fonksiyon verilmiştir. Fonksiyonun sıfırdaki değeri sorulmaktadır. Buna göre f(0) kaçtır?

f(x) = 3ˣ

• A) 0
• B) 1
• C) 3
• D) 9
• E) Bir üçte bir

Doğru cevap: B — Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir: $f(0) = 3^0 = 1$.

1. $x$ yerine 0 yazılır: $f(0) = 3^0$.
2. Kuralın nedeni: $3^1 = 3$ ve üs bir azaldıkça değer 3’e bölünür; $3^0 = 3 \div 3 = 1$.
3. $f(0) = 1$.
4. Denetleyelim: $3^2 \div 3^2 = 3^{2-2} = 3^0$ ve aynı sayının kendisine bölümü 1’dir ✓. Bu yüzden her üstel fonksiyonun grafiği $(0, 1)$ noktasından geçer.

3. Yukarıda tabanı bir bölü iki olan üstel fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun artanlık-azalanlık durumu sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

f(x) = (1/2)ˣ

• A) Tüm gerçek sayılarda artandır
• B) Yalnız x > 0 için azalandır
• C) Tüm gerçek sayılarda azalandır
• D) Sabit fonksiyondur
• E) Yalnız x < 0 için artandır

Doğru cevap: C — Tabanı 0 ile 1 arasında olan üstel fonksiyon bütün gerçek sayılarda azalandır; $f(x) = (1/2)^x$ her yerde azalır.

1. Üstel fonksiyonun artanlığını taban belirler: $a > 1$ ise artan, $0 < a < 1$ ise azalandır.
2. Burada $a = \dfrac{1}{2}$, yani $0 < a < 1$.
3. Değerlerle görelim: $f(-1) = 2$, $f(0) = 1$, $f(1) = \dfrac{1}{2}$, $f(2) = \dfrac{1}{4}$; $x$ büyüdükçe değer küçülüyor.
4. Denetleyelim: $x$ bir artınca değer $\dfrac{1}{2}$ ile çarpılır ve pozitif bir sayı yarıya iner; bu negatif $x$’ler için de geçerlidir ✓, azalma yalnız bir bölgeyle sınırlı değildir.

4. Yukarıda 2 tabanında bir logaritma verilmiştir. Bu logaritmanın değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

log₂ 8 = ?

• A) 2
• B) 8
• C) 4
• D) 3
• E) 16

Doğru cevap: D — $\log_2 8$, 2’nin kaçıncı kuvvetinin 8 ettiğini sorar; $2^3 = 8$ olduğundan sonuç 3’tür.

1. Tanım: $\log_2 8 = x \iff 2^x = 8$.
2. 8’i 2’nin kuvveti olarak yazalım: $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$.
3. $2^x = 2^3$ olduğundan $x = 3$.
4. Denetleyelim: $2^3 = 8$ ✓.

5. Yukarıda tabanı yazılmamış bir logaritma verilmiştir. Tabanı yazılmayan logaritmanın tabanı 10 kabul edilir. Buna göre bu logaritmanın değeri kaçtır?

log 10000 = ?

• A) 3
• B) 1000
• C) 5
• D) 10
• E) 4

Doğru cevap: E — Tabanı yazılmayan logaritmanın tabanı 10’dur; $10000 = 10^4$ olduğundan $\log 10000 = 4$.

1. $\log 10000 = \log_{10} 10000 = x \iff 10^x = 10000$.
2. 10000 sayısı 1’in yanında 4 sıfır taşır: $10000 = 10^4$.
3. $x = 4$.
4. Denetleyelim: $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$ ✓.

6. Yukarıda doğal logaritma verilmiştir. Doğal logaritmanın tabanı e sayısıdır. Buna göre bu ifadenin değeri kaçtır?

ln e⁵ = ?

• A) 1
• B) 5
• C) e
• D) e⁵
• E) 0

Doğru cevap: B — Doğal logaritmanın tabanı $e$’dir ve $\ln e^x = x$ olduğundan $\ln e^5 = 5$.

1. $\ln$, $e$ tabanında logaritmadır: $\ln e^5 = \log_e e^5$.
2. Soru, $e$’nin kaçıncı kuvvetinin $e^5$ ettiğini soruyor: $e^x = e^5$.
3. Tabanlar aynı olduğundan $x = 5$.
4. Denetleyelim: $e^5 = e^5$ ✓; logaritma ile aynı tabandaki üstel fonksiyon birbirinin tersi olduğu için üst olduğu gibi kalır.

7. Yukarıda 10 tabanında iki logaritmanın toplamı verilmiştir. Toplamın değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

log 2 + log 5 = ?

• A) 0
• B) 7
• C) 1
• D) 10
• E) 2

Doğru cevap: C — Aynı tabanda logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasıdır: $\log 2 + \log 5 = \log 10 = 1$.

1. Kural: $\log a + \log b = \log(a \cdot b)$.
2. $\log 2 + \log 5 = \log(2 \cdot 5) = \log 10$.
3. Taban 10 olduğundan $\log 10 = 1$.
4. Denetleyelim: yaklaşık değerlerle $\log 2 \approx 0{,}301$ ve $\log 5 \approx 0{,}699$; toplam $1{,}000$ ✓.

8. Yukarıda 3 tabanında iki logaritmanın farkı verilmiştir. Bu farkın değeri sorulmaktadır. Buna göre işlemin sonucu kaça eşittir?

log₃ 81 − log₃ 3 = ?

• A) 1
• B) 2
• C) 4
• D) 3
• E) 27

Doğru cevap: D — $\log_3 81 = 4$ ve $\log_3 3 = 1$ olduğundan fark $4 - 1 = 3$’tür.

1. $81 = 3^4$ olduğundan $\log_3 81 = 4$.
2. Tabanın kendisinin logaritması 1’dir: $\log_3 3 = 1$.
3. Fark: $4 - 1 = 3$.
4. Denetleyelim: fark kuralıyla $\log_3 81 - \log_3 3 = \log_3 \dfrac{81}{3} = \log_3 27 = 3$, çünkü $3^3 = 27$ ✓.

9. Yukarıda 2 tabanında 5 sayısının logaritmasının yaklaşık değeri verilmiştir. Aynı tabanda 20 sayısının logaritması sorulmaktadır. Buna göre sonuç yaklaşık kaçtır?

log₂ 5 ≈ 2,32 iken log₂ 20 = ?

• A) 3,32
• B) 2,32
• C) 4,64
• D) 5,32
• E) 4,32

Doğru cevap: E — $20 = 4 \cdot 5$ olduğundan $\log_2 20 = \log_2 4 + \log_2 5 \approx 2 + 2{,}32 = 4{,}32$.

1. 20’yi, logaritması bilinen sayıların çarpımı olarak yazalım: $20 = 4 \cdot 5$.
2. Çarpım kuralıyla $\log_2 20 = \log_2 4 + \log_2 5$.
3. $4 = 2^2$ olduğundan $\log_2 4 = 2$; toplam $2 + 2{,}32 = 4{,}32$.
4. Denetleyelim: $2^4 = 16$ ve $2^5 = 32$; 20 bu ikisinin arasında olduğundan logaritması 4 ile 5 arasında olmalı, 4,32 bu aralıkta ✓.

10. Yukarıda 4 tabanında bir logaritma verilmiştir. Bu logaritmanın değeri aranmaktadır. Buna göre bu logaritma kaça eşittir?

log₄ 64 = ?

• A) 3
• B) 2
• C) 4
• D) 6
• E) 16

Doğru cevap: A — $4^3 = 64$ olduğundan $\log_4 64 = 3$.

1. Tanım: $\log_4 64 = x \iff 4^x = 64$.
2. 4’ün kuvvetleri: $4^1 = 4$, $4^2 = 16$, $4^3 = 64$.
3. $x = 3$.
4. Denetleyelim: iki tarafı 2 tabanına çevirirsek $4^x = 2^{2x}$ ve $64 = 2^6$; $2x = 6$ ise $x = 3$ ✓.

11. Yukarıda bir üstel denklem verilmiştir. Denklemi sağlayan x değeri sorulmaktadır. Buna göre x kaçtır?

2ˣ = 32

• A) 4
• B) 6
• C) 5
• D) 16
• E) 30

Doğru cevap: C — 32 sayısı $2^5$ biçiminde yazılınca tabanlar eşitlenir ve $x = 5$ bulunur.

1. Sağ tarafı sol taraftaki tabana çevirelim: $32 = 2^5$.
2. Denklem $2^x = 2^5$ olur.
3. Taban 1’den farklı ve pozitif olduğundan üsler eşittir: $x = 5$.
4. Denetleyelim: $2^5 = 32$ ✓.

12. Yukarıda üssünde toplama bulunan bir üstel denklem verilmiştir. Denklemin çözümü sorulmaktadır. Buna göre x kaçtır?

3ˣ⁺¹ = 81

• A) 2
• B) 5
• C) 4
• D) 3
• E) 27

Doğru cevap: D — $81 = 3^4$ olduğundan $3^{x+1} = 3^4$; üsler eşitlenince $x + 1 = 4$ ve $x = 3$.

1. 81’i 3’ün kuvveti olarak yazalım: $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$.
2. Denklem $3^{x+1} = 3^4$ olur; tabanlar eşit olduğundan $x + 1 = 4$.
3. $x = 4 - 1 = 3$.
4. Denetleyelim: $x = 3$ için $3^{3+1} = 3^4 = 81$ ✓.

13. Yukarıda üssü 2x olan bir üstel denklem verilmiştir. Denklemin çözümü sorulmaktadır. Buna göre x kaçtır?

5²ˣ = 125

• A) 1
• B) 3
• C) 2
• D) 2,5
• E) 1,5

Doğru cevap: E — $125 = 5^3$ olduğundan $5^{2x} = 5^3$; $2x = 3$ ve $x = 1{,}5$.

1. 125’i 5’in kuvveti olarak yazalım: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
2. Tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir: $2x = 3$.
3. $x = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.
4. Denetleyelim: $x = 1{,}5$ için $2x = 3$ ve $5^3 = 125$ ✓.

14. Yukarıda logaritmalı bir denklem verilmiştir. Denklemi sağlayan x değeri sorulmaktadır. Buna göre x kaçtır?

log₂(x − 1) = 3

• A) 9
• B) 8
• C) 7
• D) 10
• E) 6

Doğru cevap: A — Logaritma tanımından $x - 1 = 2^3 = 8$; buradan $x = 9$.

1. Tanım: $\log_2 (x - 1) = 3 \iff x - 1 = 2^3$.
2. $2^3 = 8$ olduğundan $x - 1 = 8$.
3. $x = 8 + 1 = 9$.
4. Denetleyelim: $x = 9$ için $\log_2 (9 - 1) = \log_2 8 = 3$ ✓; logaritmanın içi $8 > 0$ olduğu için çözüm tanım kümesinde.

15. Yukarıda değeri negatif olan bir logaritmalı denklem verilmiştir. Denklemin çözümü aranmaktadır. Buna göre x hangi sayıya eşittir?

log₃ x = −2

• A) −9
• B) 1/9
• C) 9
• D) −1/9
• E) 1/3

Doğru cevap: B — Tanımdan $x = 3^{-2}$; negatif üs tersini aldırır ve $x = \dfrac{1}{9}$ olur.

1. Tanım: $\log_3 x = -2 \iff x = 3^{-2}$.
2. Negatif üs kuralı: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$; $3^{-2} = \dfrac{1}{3^2}$.
3. $x = \dfrac{1}{9}$.
4. Denetleyelim: $\log_3 \dfrac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$ ✓.

16. Yukarıda bir üstel eşitsizlik verilmiştir. Eşitsizliği sağlayan x değerleri sorulmaktadır. Buna göre çözüm kümesi hangisidir?

2ˣ > 8

• A) x < 3
• B) x < 4
• C) x > 4
• D) x > 3
• E) x > 8

Doğru cevap: D — Taban 1 sayısından büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez: x > 3.

1. Sağ taraf aynı tabana çevrilir: 8 = 2³.
2. Taban 2 > 1 olduğundan eşitsizliğin yönü korunur.
3. x > 3 bulunur.

17. Bir kapta 100 bakteri bulunmakta ve bakteri sayısı her saatte ikiye katlanmaktadır. Yukarıdaki model t saat sonraki bakteri sayısını vermektedir. Buna göre 5 saat sonra kapta kaç bakteri olur?

N(t) = 100 × 2ᵗ

• A) 1000
• B) 1600
• C) 6400
• D) 2500
• E) 3200

Doğru cevap: E — Modelde $t = 5$ yazılır: $N(5) = 100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3200$ bakteri.

1. Model $N(t) = 100 \cdot 2^t$; $t$ saat sayısıdır.
2. $2^5 = 32$ hesaplanır.
3. $N(5) = 100 \cdot 32 = 3200$.
4. Denetleyelim: saat saat katlayalım, 100 → 200 → 400 → 800 → 1600 → 3200; beş katlamada 3200 ✓.

18. Bir hesaba 1000 TL yatırılmış ve para yılda %20 bileşik faizle artmaktadır. Yukarıdaki model t yıl sonraki tutarı vermektedir. Buna göre 2 yıl sonra hesapta kaç TL bulunur?

A = 1000 × (1,2)ᵗ

• A) 1440
• B) 1400
• C) 1200
• D) 1320
• E) 1600

Doğru cevap: A — Bileşik faizde tutar her yıl 1,2 ile çarpılır: $1000 \cdot 1{,}2^2 = 1000 \cdot 1{,}44 = 1440$ TL.

1. Birinci yıl: $1000 \cdot 1{,}2 = 1200$ TL.
2. İkinci yıl faiz büyümüş tutar üzerine işler: $1200 \cdot 1{,}2 = 1440$ TL.
3. Modelle aynı sonuç: $1{,}2^2 = 1{,}44$ ve $1000 \cdot 1{,}44 = 1440$.
4. Denetleyelim: ikinci yılın faizi $1200$’ün %20’si, yani 240 TL; $1200 + 240 = 1440$ ✓.

19. Bir radyoaktif maddenin yarılanma ömrü 8 gün olup başlangıçta 80 gram madde bulunmaktadır. Yarılanma ömrü, madde miktarının yarıya inmesi için geçen süredir. Buna göre 24 gün sonra geriye kaç gram madde kalır?

Yarılanma ömrü: 8 gün

• A) 40
• B) 10
• C) 20
• D) 5
• E) 8

Doğru cevap: B — 24 gün, 8 günlük üç yarılanma süresidir: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ gram.

1. Yarılanma sayısı: $24 \div 8 = 3$.
2. Her yarılanmada miktar ikiye bölünür: 8. gün 40 g, 16. gün 20 g, 24. gün 10 g.
3. Üstel biçimde: $80 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 80 \cdot \dfrac{1}{8} = 10$ gram.
4. Denetleyelim: 10 gram üç kez ikiye katlanırsa $10 \to 20 \to 40 \to 80$ başlangıç miktarına döner ✓.

20. Tabloda 10 tabanında bazı logaritma değerleri verilmiştir. Bu değerler kullanılarak 6 sayısının logaritması sorulmaktadır. Buna göre log 6 kaçtır?

• A) 0,60
• B) 0,96
• C) 0,78
• D) 1,44
• E) 0,18

Doğru cevap: C — $6 = 2 \cdot 3$ olduğundan $\log 6 = \log 2 + \log 3 = 0{,}30 + 0{,}48 = 0{,}78$.

1. 6’yı tabloda logaritması verilen sayıların çarpımı olarak yazalım: $6 = 2 \cdot 3$.
2. Çarpım kuralı: $\log(2 \cdot 3) = \log 2 + \log 3$.
3. $0{,}30 + 0{,}48 = 0{,}78$.
4. Denetleyelim: $\log 1 = 0$ ve $\log 10 = 1$; 6 bu ikisinin arasında olduğundan logaritması 0 ile 1 arasında olmalı, 0,78 bu aralıkta ✓.