Analitik Geometri

1. Merkezi orijinde olan bir çemberin yarıçapı verilmiştir. Bu çemberin denklemi sorulmaktadır. Buna göre denklem hangisidir?

Merkez O(0, 0), r = 5

• A) x² + y² = 25
• B) x² + y² = 5
• C) x² + y² = 10
• D) (x − 5)² + y² = 25
• E) x + y = 5

Doğru cevap: A — Merkezi orijinde ve yarıçapı 5 olan çemberin denklemi $x^2 + y^2 = 25$ olur.

1. Çember, merkeze uzaklığı yarıçapa eşit olan noktaların kümesidir. Merkez orijinde olduğu için $P(x, y)$ noktasının merkeze uzaklığı $\sqrt{x^2 + y^2}$ biçiminde yazılır.
2. Bu uzaklığı yarıçapa eşitleyelim: $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$. İki yanın karesini alınca $x^2 + y^2 = 25$ çıkar.
3. Dikkat edilecek nokta şu: sağ tarafta yarıçapın kendisi değil KARESİ durur. $r = 5$ için $r^2 = 25$.
4. Denetleyelim: çember üzerinde olması gereken $(3, 4)$ noktasını koyalım → $9 + 16 = 25$ ✓ ve bu noktanın orijine uzaklığı $\sqrt{9+16} = 5$, tam yarıçap kadar.

2. Merkezi orijinde olmayan bir çemberin merkezi ve yarıçapı verilmiştir. Standart biçimdeki denklemi aranmaktadır. Buna göre denklem hangisidir?

Merkez M(2, −3), r = 4

• A) (x + 2)² + (y − 3)² = 16
• B) (x − 2)² + (y + 3)² = 16
• C) (x − 2)² + (y − 3)² = 4
• D) (x + 2)² + (y + 3)² = 4
• E) x² + y² = 16

Doğru cevap: B — Merkez (a, b) için denklem (x − a)² + (y − b)² = r² olur.

1. Standart biçim yazılır: (x − a)² + (y − b)² = r².
2. a = 2 ve b = −3 yerine konur.
3. Denklem (x − 2)² + (y + 3)² = 16 bulunur.

3. Yukarıda merkezi orijinde olan bir çemberin denklemi verilmiştir. Çemberin yarıçapı okunmak istenmektedir. Buna göre yarıçap kaç birimdir?

x² + y² = 36

• A) 3
• B) 9
• C) 6
• D) 18
• E) 36

Doğru cevap: C — Sağ taraf yarıçapın karesi olduğundan $r^2 = 36$ ve yarıçap 6 birimdir.

1. Orijin merkezli çemberin standart denklemi $x^2 + y^2 = r^2$ biçimindedir; verilen denklemi bununla karşılaştıralım.
2. Karşılaştırma sağ tarafları eşitler: $r^2 = 36$.
3. Yarıçap bir uzunluk olduğu için negatif olamaz; karekökün pozitif değerini alırız: $r = 6$ birim.
4. Denetleyelim: $r = 6$ ise $(6, 0)$ noktası çember üzerinde olmalı → $36 + 0 = 36$ ✓ denklemi sağlıyor ve orijine uzaklığı 6 birim.

4. Standart biçimde yazılmış bir çember denklemi verilmiştir. Çemberin merkezi aranmaktadır. Buna göre merkez hangi noktadır?

(x − 1)² + (y − 2)² = 9

• A) (−1, −2)
• B) (1, −2)
• C) (−1, 2)
• D) (1, 2)
• E) (3, 3)

Doğru cevap: D — Standart biçimde parantez içinde çıkarılan sayılar merkezi verir; merkez $(1, 2)$ noktasıdır.

1. Standart biçim $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ ve bu çemberin merkezi $M(a, b)$ olur. Verilen denklemde $(x - 1)^2$ yazdığına göre $a = 1$.
2. $(y - 2)^2$ ifadesinden $b = 2$ okunur. Merkez $(1, 2)$; yarıçap ise $\sqrt{9} = 3$ birimdir.
3. Merkezin denklemin sol tarafını sıfırladığına dikkat edelim: $x = 1$, $y = 2$ konunca $0 + 0 = 0$ olur — merkez, uzaklığın sıfırlandığı tek noktadır.
4. Denetleyelim: merkezden 3 birim sağdaki $(4, 2)$ noktasını koyalım → $9 + 0 = 9$ ✓ gerçekten çember üzerinde çıkıyor.

5. Genel biçimde yazılmış bir çember denklemi verilmiştir. Tam kare tamamlanarak merkez bulunacaktır. Buna göre çemberin merkezi hangi noktadır?

x² + y² − 6x + 8y = 0

• A) (6, −8)
• B) (−3, 4)
• C) (3, 4)
• D) (−3, −4)
• E) (3, −4)

Doğru cevap: E — Tam kare tamamlanınca denklem $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$ olur; merkez $(3, -4)$ noktasıdır.

1. Önce $x$ terimlerini toplayalım: $x^2 - 6x$. Tam kare için $\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9$ kullanılır ve $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ yazılır.
2. Aynı işlemi $y$ için yapalım: $y^2 + 8y$ ifadesinde $\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$ olur ve $y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16$ çıkar.
3. İkisini denkleme koyalım: $(x-3)^2 - 9 + (y+4)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$. Merkez $(3, -4)$, yarıçap 5 birim.
4. Denetleyelim: merkez $(3,-4)$ ve yarıçap 5 doğruysa $(8, -4)$ noktası çember üzerinde olmalı → $64 + 16 - 48 - 32 = 0$ ✓ asıl denklem sağlanıyor.

6. Aynı çemberin yarıçapı hesaplanmak istenmektedir. Merkezin koordinatları ve sabit terim kullanılacaktır. Buna göre yarıçap kaç birimdir?

x² + y² − 6x + 8y = 0

• A) 3
• B) 5
• C) 4
• D) 7
• E) 25

Doğru cevap: B — Tam kare tamamlanmış biçimde sağ taraf 25 çıktığından yarıçap 5 birimdir.

1. Aynı denklem bir önceki adımda $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$ biçimine gelmişti; merkezi $(3, -4)$ idi.
2. Genel biçimde sabit terim $F = 0$ olduğuna göre $r^2 = a^2 + b^2 - F = 3^2 + (-4)^2 - 0 = 9 + 16 = 25$.
3. Karekök alalım: $r = 5$ birim.
4. Denetleyelim: $F = 0$ olması çemberin orijinden geçmesi demektir. Merkez $(3,-4)$ ile orijin arası uzaklık $\sqrt{9+16} = 5$ ✓ tam yarıçap kadar, tutarlı.

7. Bir çemberin çapının uç noktaları verilmiştir. Çapın orta noktası çemberin merkezidir. Buna göre merkez hangi noktadır?

Çapın uçları: A(1, 2), B(7, 10)

• A) (8, 12)
• B) (3, 4)
• C) (4, 6)
• D) (6, 8)
• E) (2, 3)

Doğru cevap: C — Çapın orta noktası merkezdir; koordinatların ortalaması alınınca merkez $(4, 6)$ bulunur.

1. Çap merkezden geçer ve merkez çapı iki eşit yarıçapa böler. Öyleyse merkez, $A$ ile $B$ noktalarının tam ortasıdır.
2. Apsislerin ortalaması: $\frac{1 + 7}{2} = 4$.
3. Ordinatların ortalaması: $\frac{2 + 10}{2} = 6$. Merkez $M(4, 6)$ olur.
4. Denetleyelim: $|MA| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ ve $|MB| = \sqrt{(7-4)^2 + (10-6)^2} = 5$ ✓ iki uca da eşit uzaklıkta.

8. Aynı çemberde çapın uzunluğundan yarıçap bulunacaktır. İki nokta arası uzaklık formülü kullanılacaktır. Buna göre bu çemberin yarıçapı kaç birimdir?

A(1, 2), B(7, 10)

• A) 10
• B) 8
• C) 6
• D) 5
• E) 4

Doğru cevap: D — Çap 10 birim olduğundan yarıçap onun yarısı, yani 5 birimdir.

1. İki nokta arası uzaklık formülünü kuralım: $|AB| = \sqrt{(7-1)^2 + (10-2)^2}$.
2. Farkları hesaplayalım: $7 - 1 = 6$ ve $10 - 2 = 8$. Karelerinin toplamı $36 + 64 = 100$.
3. $|AB| = \sqrt{100} = 10$ birim. Bu uzunluk ÇAP olduğu için yarıçap $10 \div 2 = 5$ birimdir.
4. Denetleyelim: çapın orta noktası $(4, 6)$ idi; bu merkezle $A(1,2)$ arası $\sqrt{9 + 16} = 5$ ✓ bulduğumuz yarıçapla aynı.

9. Bir çember ve bir nokta verilmiştir. Noktanın çembere göre konumu araştırılmaktadır. Buna göre nokta nerededir?

x² + y² = 25, P(6, 0)

• A) Çember üzerindedir
• B) Merkezdedir
• C) Çemberin içindedir
• D) Belirlenemez
• E) Çemberin dışındadır

Doğru cevap: E — Noktanın merkeze uzaklığı 6 birim, yarıçap 5 birim olduğundan $P$ çemberin dışındadır.

1. Çemberin merkezi orijin, yarıçapı $\sqrt{25} = 5$ birimdir.
2. $P(6, 0)$ noktasının orijine uzaklığını bulalım: $\sqrt{6^2 + 0^2} = 6$ birim.
3. Ölçüt şudur: uzaklık yarıçaptan büyükse nokta dışarıda, küçükse içeride, eşitse çember üzerindedir. Burada $6 > 5$.
4. Denetleyelim: noktayı denklemde deneyelim → $36 + 0 = 36 > 25$ ✓ sol taraf yarıçap karesini aşıyor, yani nokta dışarıda kalıyor.

10. Merkezi orijinde olan bir çember ile düşey bir doğru verilmiştir. Doğrunun çemberle durumu incelenmektedir. Buna göre doğru ile çember nasıl bir ilişkidedir?

x² + y² = 25, d: x = 7

• A) Kesişmez
• B) Teğettir
• C) İki noktada kesişir
• D) Çemberi ikiye böler
• E) Merkezden geçer

Doğru cevap: A — Merkezin doğruya uzaklığı 7 birim, yarıçap 5 birim olduğundan doğru ile çember kesişmez.

1. Çemberin merkezi $O(0,0)$, yarıçapı 5 birimdir. $d: x = 7$ ise $y$ eksenine paralel düşey bir doğrudur.
2. Düşey bir doğruya uzaklık apsisler farkının mutlak değeridir: $|7 - 0| = 7$ birim.
3. Uzaklık ile yarıçapı karşılaştıralım: $7 > 5$. Uzaklık yarıçaptan büyükse doğru çembere hiç değmez.
4. Denetleyelim: $x = 7$ değerini denkleme koyalım → $49 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = -24$. Gerçek sayılarda çözümü yok ✓ ortak nokta bulunmuyor.

11. Merkezi orijinde olan bir çember ve üzerindeki bir nokta verilmiştir. Bu noktadaki teğetin denklemi aranmaktadır. Buna göre teğet denklemi hangisidir?

x² + y² = 25, T(3, 4)

• A) 3x − 4y = 25
• B) 4x + 3y = 25
• C) 3x + 4y = 25
• D) x + y = 7
• E) 3x + 4y = 5

Doğru cevap: C — Orijin merkezli çemberde değme noktası $T(x_0, y_0)$ için teğet $x_0x + y_0y = r^2$ olur; denklem $3x + 4y = 25$’tir.

1. Önce $T(3,4)$ gerçekten çember üzerinde mi bakalım: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ✓ üzerinde.
2. Teğet, değme noktasına giden yarıçapa diktir. $OT$ yarıçapının eğimi $\frac{4}{3}$ olduğundan teğetin eğimi bunun ters işaretli çarpmaya göre tersi, yani $-\frac{3}{4}$ olur.
3. $T(3,4)$ noktasından bu eğimle doğru yazalım: $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$. Dört ile çarpıp düzenleyince $4y - 16 = -3x + 9 \Rightarrow 3x + 4y = 25$.
4. Denetleyelim: $T(3,4)$ noktasını bulduğumuz denkleme koyalım → $9 + 16 = 25$ ✓ teğet değme noktasından geçiyor ve sağ taraf $r^2$ ile aynı.

12. Merkezi verilen bir çember y eksenine teğettir. Teğetlik durumunda merkezin eksene uzaklığı yarıçapa eşittir. Buna göre yarıçap kaç birimdir?

Merkez M(4, 1)

• A) 1
• B) 2
• C) 3
• D) 4
• E) 5

Doğru cevap: D — Merkezin $y$ eksenine uzaklığı apsisin mutlak değeri olduğundan teğet çemberin yarıçapı 4 birimdir.

1. Bir doğru çembere teğetse merkezin o doğruya uzaklığı tam olarak yarıçapa eşittir.
2. $y$ ekseni $x = 0$ doğrusudur; $M(4, 1)$ noktasının bu doğruya uzaklığı $|4 - 0| = 4$ birimdir.
3. Teğetlik koşulundan $r = 4$ birim bulunur. Ordinat olan 1 sayısı bu hesaba hiç girmez, çünkü $y$ eksenine uzaklık yalnız apsise bağlıdır.
4. Denetleyelim: merkezden sola 4 birim gidince $(0, 1)$ noktasına varırız; bu nokta hem çember üzerinde hem $y$ ekseni üzerinde ✓ tek ortak nokta, yani teğetlik sağlanıyor.

13. Merkezi verilen başka bir çember x eksenine teğettir. Bu kez ordinatın mutlak değeri kullanılacaktır. Buna göre yarıçap kaç birimdir?

Merkez M(2, −5)

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 7
• E) 5

Doğru cevap: E — $x$ eksenine teğetlikte yarıçap ordinatın mutlak değerine eşittir: $|-5| = 5$ birim.

1. Teğetlik, merkezin doğruya uzaklığının yarıçapa eşit olması demektir.
2. $x$ ekseni $y = 0$ doğrusudur. $M(2, -5)$ noktasının bu doğruya uzaklığı $|-5 - 0| = 5$ birimdir.
3. Uzaklık mutlak değerle alındığı için eksi işareti sonuca geçmez: $r = 5$ birim.
4. Denetleyelim: merkezden yukarı 5 birim çıkınca $(2, 0)$ noktasına gelinir; bu nokta $x$ ekseni üzerindedir ve çemberin tek değme noktasıdır ✓.

14. Merkezi orijinde olan bir çemberin denklemi verilmiştir. Çemberin sınırladığı dairenin alanı sorulmaktadır. Buna göre alan kaç birim karedir?

x² + y² = 16

• A) 16π
• B) 8π
• C) 4π
• D) 32π
• E) 64π

Doğru cevap: A — Yarıçap $\sqrt{16} = 4$ birim olduğundan dairenin alanı $\pi \cdot 4^2 = 16\pi$ birim karedir.

1. Denklem $x^2 + y^2 = r^2$ biçiminde olduğundan $r^2 = 16$ ve $r = 4$ birimdir.
2. Daire alanı formülü $A = \pi r^2$ yazılır.
3. $r^2$ değerini zaten denklemin sağ tarafından biliyoruz: $A = \pi \cdot 16 = 16\pi$ birim kare.
4. Denetleyelim: daire, kenarı $2r = 8$ olan kareye tam sığar; karenin alanı 64 birim kare ve $16\pi \approx 50{,}3 < 64$ ✓ sonuç makul büyüklükte.

15. Yarıçapı verilen bir çemberin çevresi hesaplanacaktır. Çevre formülünün uygulanması beklenmektedir. Buna göre çevre kaç birimdir?

r = 3

• A) 3π
• B) 6π
• C) 9π
• D) 12π
• E) 18π

Doğru cevap: B — Çevre $2\pi r$ olduğundan $r = 3$ için çevre $6\pi$ birimdir.

1. Çemberin çevresi yarıçapla doğru orantılıdır: $C = 2\pi r$.
2. $r = 3$ yerine konur: $C = 2 \cdot \pi \cdot 3 = 6\pi$ birim.
3. $\pi \approx 3{,}14$ alınırsa çevre yaklaşık $18{,}8$ birim eder.
4. Denetleyelim: çap $2r = 6$ birimdir ve çevre çapın $\pi$ katına eşittir → $6\pi$ ✓ iki ayrı yoldan aynı sonuç çıkıyor.

16. Orijin ile bir nokta arasındaki uzaklık hesaplanacaktır. İki nokta arası uzaklık formülü kullanılmaktadır. Buna göre uzaklık kaç birimdir?

O(0, 0), A(3, 4)

• A) 3
• B) 4
• C) 7
• D) 5
• E) 25

Doğru cevap: D — Orijin ile $A(3,4)$ arasındaki uzaklık $\sqrt{9+16} = 5$ birimdir.

1. İki nokta arası uzaklık, koordinat farklarının kareleri toplamının kareköküdür: $\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2}$.
2. Kareleri hesaplayalım: $3^2 = 9$ ve $4^2 = 16$; toplamları 25.
3. Karekök alınır: $\sqrt{25} = 5$ birim.
4. Denetleyelim: $O$, $A$ ve $(3, 0)$ noktaları dik kenarları 3 ile 4 olan bir dik üçgen kurar; $3-4-5$ üçgeninde hipotenüs 5 birimdir ✓ formülle aynı.

17. Dairesel bir parkın çevresine yürüyüş yolu yapılacaktır ve parkın yarıçapı yukarıda verilmiştir. Yolun uzunluğu çemberin çevresine eşittir. Buna göre yürüyüş yolu kaç metredir?

Yarıçap: 20 m

• A) 20π
• B) 30π
• C) 60π
• D) 80π
• E) 40π

Doğru cevap: E — Yürüyüş yolu çemberin çevresi kadardır: $2\pi \cdot 20 = 40\pi$ metre.

1. Yol parkın çevresini bir kez dolaşıyor; öyleyse uzunluğu çemberin çevresine eşittir.
2. Çevre formülü $C = 2\pi r$ ve verilen yarıçap $r = 20$ m.
3. $C = 2 \cdot \pi \cdot 20 = 40\pi$ metre. $\pi \approx 3{,}14$ ile yaklaşık 125,6 metre eder.
4. Denetleyelim: çap $2 \cdot 20 = 40$ m ve çevre çapın yaklaşık 3,14 katıdır → $40 \cdot 3{,}14 \approx 126$ m ✓ bulduğumuz değerle örtüşüyor.

18. Bir çemberde yarıçap ve merkezin kirişe uzaklığı verilmiştir. Kiriş uzunluğu dik üçgen yardımıyla bulunacaktır. Buna göre kiriş kaç birimdir?

r = 5, merkezin kirişe uzaklığı = 3

• A) 8
• B) 4
• C) 6
• D) 10
• E) 12

Doğru cevap: A — Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortaladığı için yarım kiriş $\sqrt{25-9} = 4$ ve kirişin tamamı 8 birimdir.

1. Merkezden kirişe bir dikme indirelim. Bu dikme kirişi iki eşit parçaya böler ve ortaya bir dik üçgen çıkar.
2. Dik üçgenin hipotenüsü yarıçap (5 birim), bir dik kenarı merkezin kirişe uzaklığı (3 birim), öteki dik kenarı ise yarım kiriştir.
3. Pisagor bağıntısı: yarım kiriş $= \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ birim. Kirişin tamamı $2 \cdot 4 = 8$ birimdir.
4. Denetleyelim: elimizdeki üçgen $3-4-5$ üçgeni ✓ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ olduğu için parçalar tutarlı.

19. Analitik düzlemde iki nokta verilmiştir. Bu noktalar arasındaki uzaklık hesaplanacaktır. Buna göre uzaklık kaç birimdir?

A(1, 1), B(4, 5)

• A) 3
• B) 5
• C) 4
• D) 7
• E) 25

Doğru cevap: B — Koordinat farkları 3 ve 4 olduğundan uzaklık $\sqrt{9 + 16} = 5$ birimdir.

1. Apsis farkını alalım: $4 - 1 = 3$.
2. Ordinat farkını alalım: $5 - 1 = 4$.
3. Uzaklık formülünü uygulayalım: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ birim.
4. Denetleyelim: noktaların sırasını değiştirip hesaplayalım → $\sqrt{(1-4)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ ✓ uzaklık yönden bağımsız, aynı çıkıyor.

20. Genel biçimde başka bir çember denklemi verilmiştir. Merkez ve yarıçapın birlikte bulunması istenmektedir. Buna göre merkez ve yarıçap hangisidir?

x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0

• A) Merkez (−2, −3), r = 2
• B) Merkez (2, 3), r = 4
• C) Merkez (2, 3), r = 2
• D) Merkez (4, 6), r = 3
• E) Merkez (−2, 3), r = 2

Doğru cevap: C — Merkez (2, 3) ve r² = 4 + 9 − 9 = 4 olduğundan r = 2 bulunur.

1. x katsayısının yarısının ters işaretlisi 2 bulunur.
2. y katsayısının yarısının ters işaretlisi 3 bulunur.
3. r² = 4 + 9 − 9 = 4 olduğundan r = 2 olur.