11. Sınıf Matematik 1. Dönem 2. Yazılı
20 soru · cevap anahtarı ve adım adım çözüm sayfanın altında
Kapsanan konular
Yukarıda bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun sıfırı sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?
- A −5
- B 4
- C 20
- D 5
- E 0
Yukarıda bir logaritmik fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun tanım kümesi sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?
- A x > 3
- B x ≥ 3
- C x < 3
- D Bütün gerçek sayılar
- E x ≠ 3
Yukarıda iki fonksiyon verilmiştir. (f ∘ g)(1) değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?
- A 8
- B 5
- C 6
- D 4
- E 9
Yukarıda 10 tabanında logaritmalarla bir toplam verilmiştir. Bu toplamın değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?
- A 100
- B 2
- C 29
- D 1
- E 3
Yukarıda bir fonksiyon ve tersinin bir değeri istenmiştir. Bu değer sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?
- A 15
- B 3
- C 21
- D 9
- E 5
Yukarıda bir logaritma verilmiştir. Bu ifadenin değeri sorulmaktadır. Buna göre elde edilen sonuç kaçtır?
- A 0
- B 1
- C 7
- D −1
- E Tanımsız
Yukarıda bir fonksiyon özelliği verilmiştir. (f ∘ f⁻¹)(x) ifadesinin değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç hangisidir?
- A x
- B 0
- C 1
- D f(x)
- E f⁻¹(x)
| Fonksiyon | Davranış |
|---|---|
| f(x) = 2ˣ | Artan |
| f(x) = (1/2)ˣ | ? |
Tabloda üstel fonksiyonların davranışı eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Taban değeri dikkate alındığında bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?
- A Artan
- B Azalan
- C Sabit
- D Periyodik
- E Tanımsız
Yukarıda bir fonksiyon ve tersinin grafikleri anılmıştır. Bu grafiklerin birbirine göre konumu sorulmaktadır. Buna göre doğru seçenek hangisidir?
- A Paraleldir
- B x eksenine göre simetriktir
- C y eksenine göre simetriktir
- D Çakışıktır
- E y = x doğrusuna göre simetriktir
Bir çıkarım üzerine
Bir öğrenci, her fonksiyonun tersinin bulunabileceğini söylemiştir.
Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A Bütün fonksiyonlar bire birdir.
- B Hiçbir fonksiyonun tersi yoktur.
- C Ters fonksiyon tanımsızdır.
- D Yalnızca bire bir ve örten fonksiyonların tersi vardır.
- E Örtenlik gerekmez.
| Fonksiyon | Ters fonksiyonu |
|---|---|
| f(x) = 2ˣ | ? |
Tabloda bir üstel fonksiyon ve tersi istenmiştir. Bu boşluğu tamamlayan ifade sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yanıt hangisidir?
- A f⁻¹(x) = x²
- B f⁻¹(x) = 2ˣ
- C f⁻¹(x) = log₂ x
- D f⁻¹(x) = x/2
- E f⁻¹(x) = √x
| Aralık | f(x) = 2x − 8 işareti |
|---|---|
| x < 4 | Negatif |
| x > 4 | ? |
Tabloda bir fonksiyonun işaret durumu verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Fonksiyonun sıfırı dikkate alındığında bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?
- A Belirsiz
- B Negatif
- C Sıfır
- D Pozitif
- E Değişken
Bir uygulama
Bir yatırım yılda %10 artan bir hesapta 3 yıl bekletilmektedir.
Yukarıdaki durumun matematiksel modeli sorulmaktadır. Buna göre doğru model hangisidir?
- A A = A₀ × 3
- B A = A₀ × 1,1³
- C A = A₀ + 0,1 × 3
- D A = A₀ × 0,9³
- E A = A₀ × 10³
Yukarıda iki fonksiyon verilmiştir. (g ∘ f)(x) fonksiyonunun kuralı sorulmaktadır. Buna göre kural hangisidir?
- A x + 1
- B x² + 1
- C x² + x
- D 2x + 1
- E (x + 1)²
| Sıra | Ödenecek tutar (100 TL için) |
|---|---|
| Önce indirim, sonra kupon | 70 TL |
| Önce kupon, sonra indirim | 72 TL |
Tabloda iki farklı işlem sırasının sonuçları verilmiştir. Bu farkın gösterdiği sorulmaktadır. Tabloya göre söylenebilecek yargı hangisidir?
- A İndirim etkisizdir.
- B İki sıra aynı sonucu verir.
- C Bileşkede işlem sırası sonucu değiştirir.
- D Kupon etkisizdir.
- E Hesap hatalıdır.
Yukarıda bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun teklik-çiftlik durumu sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?
- A Ne tek ne çifttir
- B Tek fonksiyondur
- C Çift fonksiyondur
- D Sabittir
- E Tanımsızdır
Yukarıda logaritmalarla bir fark verilmiştir. Bu farkın değeri sorulmaktadır. Buna göre istenen değer kaçtır?
- A 27
- B 4
- C 3
- D 1
- E 2
Yukarıda bire bir bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun tersi sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?
- A f⁻¹(x) = x/3 − 6
- B f⁻¹(x) = 3x + 6
- C f⁻¹(x) = (x − 6)/3
- D f⁻¹(x) = (x + 6)/3
- E f⁻¹(x) = 6 − 3x
Yukarıda üstel bir denklem verilmiştir. Bu denklemin çözümü sorulmaktadır. Buna göre x kaçtır?
- A 5
- B 6
- C 32
- D 8
- E 4
Kartlarda bu temanın üç temel düşüncesi verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?
- A Kartlar birbirinden bağımsızdır.
- B Üstel fonksiyon yavaş büyür.
- C Logaritma üssü çözmez.
- D İki fonksiyon ilişkisizdir.
- E Üstel ve logaritmik fonksiyonlar birbirinin tersi olup büyüme ve ölçekleme problemlerini birlikte çözer.
🔑 Cevap anahtarı ve çözümler — önce kendin çöz
1. sorunun çözümü
Fonksiyonun sıfırı $f(x)=0$ denkleminin köküdür: $4x-20=0$ dan $x=5$ bulunur.
- Bir fonksiyonun sıfırı, grafiğinin $x$ eksenini kestiği apsistir; bulmak için $f(x)=0$ yazılır.
- Denklemi kuralım: $4x-20=0$, yani $4x=20$.
- İki yanı $4$ e bölelim: $x=5$.
- Denetleyelim: $f(5)=4\cdot 5-20=20-20=0$ ✓ — bulunan değer fonksiyonu gerçekten sıfırlıyor.
Sık yapılan hata: "20" demek. $20$ fonksiyonun sıfırı değil, denklemde karşıya geçen sabit terimdir; $4$ e bölme adımı atlandığında elde kalan ara sonuçtur.
2. sorunun çözümü
Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x − 3 > 0 → x > 3.
- Logaritmanın içi sıfır ya da negatif olamaz.
- x − 3 > 0 eşitsizliği kurulur.
- x > 3 bulunur.
3. sorunun çözümü
Bileşkede içteki fonksiyon önce hesaplanır: $g(1)=4$, ardından $f(4)=8$ bulunur.
- Tanımı yazalım: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Yani önce $g$, sonra $f$ uygulanır.
- İçteki değeri bulalım: $g(1)=1+3=4$.
- Bu sonucu dıştaki fonksiyona verelim: $f(4)=2\cdot 4=8$.
- Denetleyelim: bileşkeyi açıkça yazalım — $(f\circ g)(x)=2(x+3)=2x+6$ ve $x=1$ için $2+6=8$ ✓.
Sık yapılan hata: "5" demek. $5$ değeri sıranın ters çevrilmiş hâli olan $(g\circ f)(1)$ e aittir; burada içteki fonksiyon $g$ olduğu için önce $3$ ekleme işlemi yapılmalıdır.
4. sorunun çözümü
$\log 4 + \log 25 = 2$’dir; logaritmalar toplanırken içerideki sayılar çarpılır.
- Kuralı yazalım: $\log a + \log b = \log(ab)$; logaritma çarpmayı toplamaya çevirir.
- Uygulayalım: $\log 4 + \log 25 = \log(4 \cdot 25) = \log 100$.
- Taban yazılmadığında 10 kabul edilir; $10^2 = 100$ olduğundan $\log 100 = 2$.
- Denetleyelim: yaklaşık değerlerle bakalım, $\log 4 \approx 0{,}602$ ve $\log 25 \approx 1{,}398$; toplamları tam olarak 2 ediyor ✓.
Sık yapılan hata: 29 cevabı, logaritmaları atıp içerideki sayıları toplamaktır: $4 + 25$. Logaritma bir sayı değil bir işlemin sonucudur ve toplama kuralı içerideki sayıları çarpar, toplamaz.
5. sorunun çözümü
3x − 6 = 9 → 3x = 15 → x = 5'tir.
- f(x) = 9 denklemi kurulur.
- 3x − 6 = 9 → 3x = 15.
- x = 5 bulunur.
6. sorunun çözümü
$\log_7 1 = 0$’dır; sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir.
- Tanıma göre $7^c = 1$ denklemini çözeceğiz.
- 7’nin kuvvetlerine bakalım: $7^1 = 7$ ve üs bir azaldıkça değer 7’ye bölünür; $7 \div 7 = 1$, yani $7^0 = 1$.
- Öyleyse $c = 0$ ve $\log_7 1 = 0$’dır; bu kural her taban için geçerlidir, logaritmanın 1’deki değeri hep sıfır çıkar.
- Denetleyelim: $7^0 = 1$ ✓; ayrıca her üstel fonksiyonun grafiği $(0, 1)$ noktasından geçtiği için ters fonksiyonu olan logaritma da $(1, 0)$ noktasından geçer.
Sık yapılan hata: 1 cevabı, logaritmanın içindeki sayıyı sonuç olarak yazmaktır; 1 verilen sayıdır, aranan ise onu üreten üstür. "Tanımsız" da yanlıştır: logaritma yalnız içerideki sayı sıfır ya da negatifken tanımsızdır, 1 gayet geçerli bir değerdir.
7. sorunun çözümü
Bir fonksiyonla tersinin bileşkesi birim fonksiyondur: $(f\circ f^{-1})(x)=x$.
- Ters fonksiyonun tanımından başlayalım: $f^{-1}$, $f$ nin yaptığı eşlemeyi geri alır; $f(a)=b$ ise $f^{-1}(b)=a$ dır.
- $(f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))$ ifadesinde önce $x$ geri götürülür, sonra aynı fonksiyonla yeniden ileri getirilir.
- İki işlem birbirini götürdüğü için başlangıçtaki değere dönülür; sonuç $x$ tir, yani birim fonksiyon $I(x)=x$ elde edilir.
- Denetleyelim: $f(x)=3x-6$ ve $f^{-1}(x)=\dfrac{x+6}{3}$ alalım — $f\left(\dfrac{x+6}{3}\right)=3\cdot\dfrac{x+6}{3}-6=x$ ✓.
Sık yapılan hata: "1" demek. $1$ sayısı ÇARPMA işleminin etkisiz elemanıdır; bileşke işleminin etkisiz elemanı ise bir sayı değil, $I(x)=x$ birim fonksiyonudur.
8. sorunun çözümü
Boşluğa "azalan" gelir; tabanı 0 ile 1 arasında olan üstel fonksiyon azalandır.
- Ölçüt tabandır: $a > 1$ ise $a^x$ artan, $0 < a < 1$ ise azalandır.
- Buradaki taban $\frac{1}{2}$’dir ve $0 < \frac{1}{2} < 1$ koşulunu sağlar.
- Değerlerle görelim: $f(0) = 1$, $f(1) = \frac{1}{2}$, $f(2) = \frac{1}{4}$; $x$ büyüdükçe değer küçülüyor, çünkü her adımda 1’den küçük bir sayıyla çarpılıyor.
- Denetleyelim: tablodaki ilk satır $2^x$ için "artan" diyor ve gerçekten $2 > 1$ ✓; $\frac{1}{2}$ ise 1’in altında kaldığı için ters yönde davranır.
Sık yapılan hata: Artan cevabı, tablodaki ilk satırın davranışını ikinci satıra da taşımaktır. İki fonksiyonun tabanları 1’in iki ayrı yanındadır; $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ olduğu için grafiği $2^x$’in aynadaki görüntüsüdür.
9. sorunun çözümü
Ters alınırken $(a,b)$ noktası $(b,a)$ ya döndüğü için fonksiyonun ve tersinin grafikleri $y=x$ doğrusuna göre simetriktir.
- Ters fonksiyonun tanımından başlayalım: $f(a)=b$ ise $f^{-1}(b)=a$ dır. Yani $f$ nin grafiğindeki her $(a,b)$ noktasına karşılık $f^{-1}$ in grafiğinde $(b,a)$ noktası bulunur.
- Koordinatların yer değiştirmesi düzlemde $y=x$ doğrusuna göre yansımadır: $(a,b)$ ile $(b,a)$ noktalarını birleştiren parçanın orta noktası $\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)$ olup bu doğru üzerindedir.
- Öyleyse iki grafik $y=x$ doğrusuna göre simetriktir.
- Denetleyelim: $f(x)=3x-6$ grafiğindeki $(4,6)$ noktasının karşılığı ters fonksiyonun grafiğinde $(6,4)$ tür ✓.
Sık yapılan hata: "$x$ eksenine göre simetriktir" demek. $x$ eksenine göre yansımada $(a,b)$ noktası $(a,-b)$ olurdu; ters fonksiyonda ise işaret değil, koordinatların SIRASI değişir.
10. sorunun çözümü
Ters fonksiyonun tanımlı olması için fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir; her fonksiyonun tersi yoktur.
- Ters fonksiyon her çıktıyı geldiği TEK girdiye geri götürmelidir. Bunun için önce her çıktının tek bir girdisi olmalı, yani fonksiyon bire bir olmalıdır.
- Bire bir olmayan bir örnek kuralım: $f(x)=x^2$ için $f(-3)=f(3)=9$ dur. $9$ dan geri dönerken $-3$ mü $3$ mü seçileceği belirsiz kalır; ters tanımlanamaz.
- İkinci koşul örtenliktir: değer kümesinde eşlenmemiş bir eleman kalırsa ters fonksiyon o elemanda tanımsız olurdu. Öyleyse yalnız bire bir ve örten fonksiyonların tersi vardır.
- Denetleyelim: $f(x)=3x-6$ hem bire bir hem örtendir ve tersi $\dfrac{x+6}{3}$ olarak yazılabiliyor ✓.
Sık yapılan hata: "Örtenlik gerekmez." demek. Örtenlik olmadan değer kümesinin bazı elemanları hiçbir girdiye karşılık gelmez ve ters fonksiyon o elemanlarda tanımsız kalır; koşul atılamaz.
11. sorunun çözümü
Ters fonksiyon $f^{-1}(x) = \log_2 x$’tir; üstel fonksiyonun tersi aynı tabanda logaritmadır.
- Ters fonksiyonu bulmak için $y = 2^x$ yazıp $x$ ile $y$’yi yer değiştirelim: $x = 2^y$.
- Şimdi $y$’yi yalnız bırakacağız; $x = 2^y$ eşitliği logaritmanın tanımı gereği $y = \log_2 x$ demektir.
- Öyleyse $f^{-1}(x) = \log_2 x$; logaritma zaten üssü geri veren işlemdir.
- Denetleyelim: $f(3) = 2^3 = 8$ ve $f^{-1}(8) = \log_2 8 = 3$ ✓; fonksiyon ile tersi birbirinin yaptığını geri alıyor.
Sık yapılan hata: $f^{-1}(x) = x^2$ cevabı, üstel fonksiyonu kuvvet fonksiyonuyla karıştırmaktır. $2^x$ ifadesinde değişken ÜSTE, $x^2$ ifadesinde ise TABANDA yer alır; $x^2$’nin tersi karekök olurdu, üstel fonksiyonunki ise logaritmadır.
12. sorunun çözümü
$f(x)=2x-8$ in sıfırı $x=4$ tür ve eğim pozitif olduğundan $x>4$ için fonksiyon pozitif değerler alır.
- Önce sıfırı bulalım: $2x-8=0$ denkleminden $x=4$ çıkar. Bir fonksiyonun işareti ancak sıfırında değişebilir.
- Eğim $2>0$ olduğundan doğru soldan sağa yükselir: sıfırın solunda negatif, sağında pozitif değerler alır. Tablodaki $x<4$ satırının "Negatif" olması bunu doğruluyor.
- Öyleyse $x>4$ satırına "Pozitif" gelir.
- Denetleyelim: $x=5$ için $f(5)=2\cdot 5-8=2>0$ ✓ ve $x=3$ için $f(3)=-2<0$ ✓.
Sık yapılan hata: "Negatif" demek. Bu, ÜST SATIRDA $x<4$ için zaten yazılmış; birinci dereceden bir fonksiyon sıfırının iki yanında aynı işareti koruyamaz, çünkü grafiği ekseni keserek geçer.
13. sorunun çözümü
Model $A = A_0 \cdot 1{,}1^3$’tür; yıllık %10 artış, her yıl 1,1 ile çarpmak demektir.
- Bir yıllık artışı yazalım: para %10 artıyorsa yeni değer, eskisinin kendisi artı onda biridir: $A_0 + 0{,}1A_0 = 1{,}1A_0$.
- İkinci yılda aynı işlem YENİ değere uygulanır: $1{,}1 \cdot (1{,}1A_0) = 1{,}1^2 A_0$.
- Üçüncü yılın sonunda çarpan üç kez uygulanmış olur: $A = A_0 \cdot 1{,}1^3$; burada $1{,}1^3 = 1{,}331$, yani para üç yılda %33,1 artar.
- Denetleyelim: $A_0 = 1000$ alalım; birinci yıl 1100, ikinci yıl 1210, üçüncü yıl 1331 çıkıyor ✓ ve $1000 \cdot 1{,}331 = 1331$.
Sık yapılan hata: $A = A_0 + 0{,}1 \cdot 3$ cevabı, bileşik artışı basit bir toplamaya indirmektir; hem artış her yıl BÜYÜYEN anapara üzerinden işler hem de o ifade parayla oranı birbirine karıştırır. Üç yıldaki artış %30 değil, %33,1’dir.
14. sorunun çözümü
Önce f uygulanır, sonucu g'ye verilir: g(x + 1) = (x + 1)².
- İçteki fonksiyon f(x) = x + 1'dir.
- Bu ifade g fonksiyonuna verilir.
- g(x + 1) = (x + 1)² olur.
15. sorunun çözümü
Aynı iki işlem sıra değişince $70$ TL yerine $72$ TL veriyor; bileşkede işlem sırası sonucu değiştirir.
- Birinci sırayı hesaplayalım: $100$ TL ye önce %20 indirim uygulanır ($80$ TL), sonra $10$ TL kupon düşülür ($70$ TL). Tablodaki değer doğrulanıyor.
- İkinci sırayı hesaplayalım: önce $10$ TL kupon düşülür ($90$ TL), sonra %20 indirim uygulanır: $90\cdot 0{,}8=72$ TL.
- Aradaki $2$ TL lik fark kuponun indirimden önce düşülmesinden geliyor; o durumda kupon da %20 oranında küçülmüş oluyor. Öyleyse bileşkede sıra sonucu değiştirir.
- Denetleyelim: $(k\circ i)(100)=70$ ama $(i\circ k)(100)=72$ ✓ — iki bileşke aynı fonksiyon değil.
Sık yapılan hata: "Hesap hatalıdır." demek. İki değerin farklı çıkması bir yanlışlık değil, bileşkenin değişme özelliği taşımamasının doğal sonucudur; yukarıdaki iki hesap da doğrudur.
16. sorunun çözümü
$f(-x)=(-x)^4+2=x^4+2=f(x)$ olduğundan fonksiyon çift fonksiyondur.
- Ölçütü yazalım: $f(-x)=f(x)$ ise fonksiyon çift, $f(-x)=-f(x)$ ise tektir.
- $x$ yerine $-x$ koyalım: $f(-x)=(-x)^4+2$. Üs çift olduğundan $(-x)^4=x^4$ tür.
- Öyleyse $f(-x)=x^4+2=f(x)$ olur; fonksiyon çifttir ve grafiği $y$ eksenine göre simetriktir.
- Denetleyelim: $f(2)=16+2=18$ ve $f(-2)=16+2=18$ ✓ — karşıt girdiler aynı değeri veriyor.
Sık yapılan hata: "Tek fonksiyondur" demek. Tek olması için $f(-x)=-x^4-2$ çıkması gerekirdi; hem çift üs hem de $+2$ sabiti bu işaret değişimini engelliyor.
17. sorunun çözümü
$\log_3 81 - \log_3 3 = 3$’tür.
- Birinci terimi bulalım: $3^4 = 81$ olduğundan $\log_3 81 = 4$.
- İkinci terimi bulalım: $3^1 = 3$ olduğundan $\log_3 3 = 1$.
- Çıkaralım: $4 - 1 = 3$.
- Denetleyelim: aynı sonucu fark kuralıyla da bulalım, $\log_3 81 - \log_3 3 = \log_3\frac{81}{3} = \log_3 27 = 3$ çünkü $3^3 = 27$ ✓.
Sık yapılan hata: 27 cevabı, logaritmaları atıp $81 \div 3$ işleminin sonucunu yazmaktır. Bölüm gerçekten 27’dir, ama sorulan 27’nin kendisi değil, 3 tabanında ona karşılık gelen üs olan 3’tür.
18. sorunun çözümü
$y=3x-6$ denkleminden $x$ çekilip değişkenler değiştirilince $f^{-1}(x)=\dfrac{x+6}{3}$ bulunur.
- $y=f(x)=3x-6$ yazalım ve $x$ i yalnız bırakmaya başlayalım: $y+6=3x$.
- İki yanı $3$ e bölelim: $x=\dfrac{y+6}{3}$.
- Ters fonksiyonda değişkenlerin adları yer değiştirir: $f^{-1}(x)=\dfrac{x+6}{3}$.
- Denetleyelim: $f(4)=3\cdot 4-6=6$ ve $f^{-1}(6)=\dfrac{6+6}{3}=4$ ✓ — ters fonksiyon işlemi gerçekten geri alıyor.
Sık yapılan hata: "$f^{-1}(x)=\dfrac{x-6}{3}$" demek. Burada $-6$ nın karşı yana geçerken işaret değiştirmesi unutulmuş; $y=3x-6$ denkleminden $3x=y+6$ çıkar, $y-6$ değil.
19. sorunun çözümü
$x = 6$’dır; iki yan aynı tabana getirilip üsler eşitlenir.
- Sağ yanı 2’nin kuvveti olarak yazalım: $2^5 = 32$ ve $32 \cdot 2 = 64$, yani $64 = 2^6$.
- Denklem $2^x = 2^6$ biçimine geldi.
- Tabanlar eşit ve 1’den farklı olduğunda üstel fonksiyon birebirdir; öyleyse üsler de eşit olmalıdır: $x = 6$.
- Denetleyelim: $2^6 = 64$ ✓, denklem sağlanıyor.
Sık yapılan hata: 32 cevabı, 64’ün yarısını alıp işlemi bitmiş saymaktır; 32 bir üs değil, $2^5$ kuvvetinin değeridir. Aranan $x$ ise 64’ü üreten üstür.
20. sorunun çözümü
Kartlar birlikte; üstel ve logaritmik fonksiyonların birbirinin tersi olduğunu ve büyüme ile ölçekleme problemlerini birlikte çözdüğünü söyler.
- Birinci kart üstel büyümeyi veriyor: $a^x$ biçimindeki fonksiyonlar her adımda sabit bir oranla çarpıldığı için çok hızlı büyür.
- İkinci kart logaritmanın işlevini ekliyor: logaritma "kaçıncı kuvvet" sorusunu yanıtlar, yani üstel denklemlerdeki bilinmeyen üssü çözer.
- Üçüncü kart ikisinin ters ilişkisini kuruyor: $\log_a(a^x) = x$ ve $a^{\log_a x} = x$; biri ötekinin yaptığını geri alır.
- Denetleyelim: bakteri sayısı $500 \cdot 2^t$ ile büyürken "kaç saatte 4000 olur" sorusu ancak logaritmayla çözülür ve $t = 3$ çıkar ✓; büyümeyi biri kurar, ölçeği öteki okur.
Sık yapılan hata: "İki fonksiyon ilişkisizdir." demek. Grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir ve biri ötekinin ters fonksiyonudur; üstel fonksiyonun tanım kümesi logaritmanın görüntü kümesidir.