11. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı
20 soru · cevap anahtarı ve adım adım çözüm sayfanın altında
Kapsanan konular
| Değişken | Eksen |
|---|---|
| Açıklayıcı (bağımsız) | Yatay eksen |
| Yanıt (bağımlı) | ? |
Tabloda serpme diyagramında eksen yerleşimi verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?
- A Düşey eksen
- B Yatay eksen
- C Her iki eksen
- D Hiçbiri
- E Eksen dışı
Yukarıda bir eğilim doğrusu verilmiştir. Sabit terimin bu bağlamdaki karşılığı sorulmaktadır. Buna göre verilecek yanıt hangisidir?
- A Saat başına artış
- B Hiç çalışmayan bir öğrenci için öngörülen puan
- C En yüksek puan
- D Öğrenci sayısı
- E Çalışma süresi
Bir bulgu
Bir araştırmada ayakkabı numarası ile okuma hızı arasında güçlü pozitif ilişki bulunmuştur.
Yukarıdaki bulgudan çıkarılabilecek en uygun yargı sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?
- A Yaş gibi üçüncü bir değişken her iki büyüklüğü birlikte etkiliyor olabilir.
- B Büyük ayak okuma hızını artırır.
- C Hızlı okumak ayağı büyütür.
- D İki değişken ilişkisizdir.
- E Veri hatalıdır.
| Gözlem | İlişkinin yönü |
|---|---|
| Bir değişken artarken öteki de artıyor | Pozitif |
| Bir değişken artarken öteki azalıyor | ? |
Tabloda ilişki yönleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?
- A Pozitif
- B Negatif
- C Yok
- D Belirsiz
- E Doğrusal olmayan
sin x = a denkleminin 0° ≤ x < 360° aralığında yalnızca bir çözümü vardır. Buna göre a için olası bütün değerler hangi seçenekte verilmiştir?
- A a = 0
- B a = 1 ya da a = −1
- C a = 1/2
- D a = 2
- E a = −1/2
tan x = −1 denklemi 0° ≤ x < 360° aralığında çözülüyor. Tanjantın negatif olduğu bölgelerdeki bu çözümler hangi açılardır?
- A 45° ve 225°
- B 135° ve 225°
- C 135° ve 315°
- D Yalnız 135°
- E 225° ve 315°
Karttaki denklem sin x ortak çarpan parantezine alınarak çözülebilir. Denklemin 0° ≤ x < 360° aralığında kaç çözümü vardır?
- A 2
- B 6
- C 4
- D 1
- E 8
cos x = −√2/2 denklemi 0° ≤ x < 360° aralığında çözülecektir. Kosinüsün negatif olduğu bölgeler düşünüldüğünde çözüm kümesi hangisidir?
- A {45°, 315°}
- B {135°, 225°}
- C {135°, 315°}
- D {45°, 225°}
- E {225°, 315°}
Şekilde birim çember ile y = 1/2 doğrusunun kesiştiği P ve Q noktaları gösterilmiştir. Bu noktalara karşılık gelen ve 0° ile 360° arasında kalan açıların toplamı kaç derecedir?
- A 180°
- B 360°
- C 60°
- D 120°
- E 240°
Kartta bir trigonometrik denklem ve çözüm aralığı verilmiştir. Denklemin bu aralıktaki çözümleri hangileridir?
- A 30° ve 150°
- B 30° ve 330°
- C 60° ve 120°
- D 150° ve 210°
- E Yalnız 30°
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının görüntü kümesi [−1, 1] aralığıdır. Buna göre aşağıdaki denklemlerden hangisinin gerçek sayılarda çözümü yoktur?
- A sin x = −1
- B cos x = 1/3
- C tan x = 5
- D cos x = 3/2
- E sin x = 0
Karttaki denklemin 0° ≤ x < 360° aralığındaki kökleri bulunacaktır. Bu köklerin toplamı kaç derecedir?
- A 120°
- B 60°
- C 300°
- D 420°
- E 360°
| x | 0° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
Tabloda sin x fonksiyonunun bazı açılardaki değerleri verilmiştir. sin x = −1 denkleminin 0° ≤ x < 360° aralığındaki tek çözümü hangisidir?
- A 270°
- B 90°
- C 180°
- D 360°
- E −90°
Bir dönme dolaptaki kabinin yerden yüksekliği, dönme açısı t olmak üzere h(t) = 20 − 15cos t metredir. Kabinin yüksekliği 20 m olduğunda 0° < t < 360° aralığında t hangi değerleri alır?
- A 0° ve 180°
- B Yalnız 180°
- C 60° ve 300°
- D 45° ve 315°
- E 90° ve 270°
Kartta çözüm aralığı radyan cinsinden verilmiştir. Denklemin bu aralıktaki çözümleri radyan olarak hangileridir?
- A π/6 ve 5π/6
- B π/3 ve 2π/3
- C π/3 ve 5π/3
- D π/6 ve 11π/6
- E 2π/3 ve 4π/3
Yukarıda korelasyon katsayısı anılmıştır. Bu katsayının alabileceği değer aralığı sorulmaktadır. Buna göre aralık hangisidir?
- A 0 ile 100 arası
- B 0 ile 1 arası
- C −1 ile 1 arası
- D −100 ile 100 arası
- E Sınırsız
Bir gözlem
Bir serpme diyagramında noktalardan biri bulutun çok uzağında yer almaktadır.
Yukarıdaki noktanın çözümlemedeki durumu sorulmaktadır. Buna göre bulunacak değer hangisidir?
- A Etkisi yoktur.
- B Uç değerdir; korelasyon katsayısını belirgin biçimde etkileyebilir.
- C Her zaman silinmelidir.
- D Ölçüm hatasıdır.
- E İlişkiyi güçlendirir.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 8 | 18 | 32 |
Tabloda iki değişkenin değerleri verilmiştir. Aralarındaki ilişkinin türü sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yargı hangisidir?
- A İlişki yoktur.
- B İlişki doğrusaldır.
- C İlişki vardır ama doğrusal değildir; artış hızlanmaktadır.
- D İlişki negatiftir.
- E Veri hatalıdır.
| Diyagram | Nokta dağılımı |
|---|---|
| I | Noktalar bir doğruya çok yakın |
| II | Noktalar geniş bir bulut oluşturuyor |
Tabloda iki serpme diyagramı betimlenmiştir. Korelasyonun gücü bakımından bir karşılaştırma istenmektedir. Tabloya göre hangi diyagramda ilişki daha güçlüdür?
- A II diyagramında ilişki daha güçlüdür.
- B I diyagramında ilişki daha güçlüdür.
- C İkisi eşittir.
- D İkisinde de ilişki yoktur.
- E Karşılaştırma yapılamaz.
| Amaç | Araç |
|---|---|
| İlişkinin yönünü görmek | Serpme diyagramı |
| İlişkiyi bir denklemle özetlemek | ? |
Tabloda amaçlar ve araçlar eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Eksik bırakılan bölüm hangi seçenektedir?
- A Daire grafiği
- B Histogram
- C Kutu grafiği
- D En küçük kareler doğrusu (eğilim çizgisi)
- E Sıklık tablosu
🔑 Cevap anahtarı ve çözümler — önce kendin çöz
1. sorunun çözümü
Yanıt değişkeni geleneksel olarak düşey eksene yerleştirilir.
- Tablonun kurgusu şu: solda değişken türü, sağda yerleştirildiği eksen.
- Dolu satır: açıklayıcı (bağımsız) değişken → yatay eksen. Bu, etkileyen ya da girdi sayılan değişkendir.
- Yanıt (bağımlı) değişken ise ona göre değişen değişkendir ve düşey eksene yerleştirilir. Böylece "x değişince y nasıl davranıyor?" sorusu okunabilir hâle gelir.
- Denetleyelim: eğilim doğrusu y = ax + b biçiminde yazılıyor ✓ — y düşey, x yatay eksende olduğu için.
Sık yapılan hata: "Yatay eksen" demek. Bu, ÜST SATIRDA açıklayıcı değişken için zaten yazılmış; iki değişken aynı eksene yerleştirilemez.
2. sorunun çözümü
Sabit terim, x = 0 için öngörülen değerdir.
- Denklem y = 8x + 38. Sabit terimin ne anlattığını bulmak için x’i sıfır yapalım.
- x = 0 yerine koyalım: y = 8 × 0 + 38 = 38.
- x çalışma süresi olduğuna göre x = 0 hiç çalışmamak demek. Öyleyse 38, hiç çalışmayan bir öğrenci için öngörülen puandır.
- Denetleyelim: bu bir öngörü ✓ — modelin verdiği tahmin, ölçülmüş bir gerçek değil.
Sık yapılan hata: "Saat başına artış" demek. Saat başına artış EĞİMDİR (8); sabit terim ise x = 0 durumundaki öngörüyü verir — ikisi denklemin ayrı parçaları.
3. sorunun çözümü
Çocuklarda yaş arttıkça hem ayak numarası hem okuma hızı artar; ilişki dolaylıdır.
- Bulguyu okuyalım: ayakkabı numarası ile okuma hızı arasında güçlü pozitif ilişki var.
- İki büyüklük arasında doğrudan bir mekanizma düşünelim — ayağın büyümesi okumayı nasıl hızlandırabilir? Böyle bir bağ kurulamıyor.
- Öyleyse ortak bir etken aramalıyız. Çocuklarda yaş arttıkça hem ayak büyür hem okuma hızı artar. İlişki doğrudan değil, yaş üzerinden dolaylıdır.
- Denetleyelim: yalnız aynı yaştaki çocuklara bakılsaydı ilişki yok olurdu ✓ — bu, üçüncü değişkenin etkisini doğrular.
Sık yapılan hata: "Büyük ayak okuma hızını artırır" demek. Bu, korelasyonu nedensellik saymaktır; iki büyüklük arasında doğrudan bir mekanizma yok, ortak etken yaştır.
4. sorunun çözümü
Ters yönde birlikte değişim negatif ilişkiyi gösterir.
- Tablonun kurgusu şu: solda gözlenen değişim biçimi, sağda ilişkinin yönü.
- Dolu satır: bir değişken artarken öteki de artıyor → pozitif. İki değişken AYNI yönde hareket ediyor.
- İkinci satırda ise biri artarken öteki azalıyor, yani ters yönde hareket var. Bu, negatif ilişkidir.
- Denetleyelim: negatif ilişki "ilişki yok" demek değil ✓ — ilişki var, yalnız yönü ters.
Sık yapılan hata: Yok demek. İlişkinin bulunmaması, bir değişken değişirken ötekinin DÜZENLİ bir davranış göstermemesi olurdu; burada ise düzenli bir ters yönlü değişim var.
5. sorunun çözümü
Yatay doğru birim çembere yalnız en üst (0, 1) ve en alt (0, −1) noktada teğettir: a = 1 (x = 90°) ya da a = −1 (x = 270°).
- Ne soruluyor: y = a doğrusunun birim çemberi tek noktada kestiği durum (ters soru).
- −1 < a < 1 için doğru çemberi iki noktada keser; iki çözüm olur.
- Yalnız a = 1 ya da a = −1 iken tek ortak nokta vardır (90° ya da 270°). |a| > 1 ise hiç çözüm yoktur.
- Denetleme: a = 0 için 0° ve 180° olmak üzere iki çözüm vardır ✓; bu yüzden 0 uygun değildir.
- Sık yapılan hata: a = 0 demek. sin x = 0 denkleminin aralıkta iki çözümü vardır (0° ve 180°).
6. sorunun çözümü
tan 45° = 1; tanjant II. ve IV. bölgede negatif: 180° − 45° = 135° ve 360° − 45° = 315°.
- Ne soruluyor: tanjantı −1 olan açılar.
- Referans açı 45° (tan 45° = 1).
- Tanjant II. ve IV. bölgede negatif: 135° ve 315°. İki kök 180° arayla tekrar eder.
- Denetleme: tan 135° = sin 135°/cos 135° = (√2/2)/(−√2/2) = −1 ✓.
- Sık yapılan hata: 45° ve 225° demek. Bu açılar tan x = 1 denkleminin çözümleridir.
7. sorunun çözümü
sin x (2sin x − 1) = 0 → sin x = 0 (0°, 180°) ya da sin x = 1/2 (30°, 150°); toplam 4 çözüm.
- Ne soruluyor: çarpanlarına ayrılan denklemin çözüm sayısı.
- sin x ortak çarpan: sin x × (2sin x − 1) = 0.
- sin x = 0 → 0° ve 180°; 2sin x − 1 = 0 → sin x = 1/2 → 30° ve 150°. Toplam 4 çözüm.
- Denetleme: x = 30° için 2 × 1/4 − 1/2 = 0 ✓; x = 180° için 0 − 0 = 0 ✓.
- Sık yapılan hata: 2 demek. İki tarafı sin x'e bölmek sin x = 0 çözümlerini kaybettirir; ortak çarpan parantezine alınmalıdır.
8. sorunun çözümü
cos 45° = √2/2; kosinüs II. ve III. bölgede negatiftir: 180° − 45° = 135° ve 180° + 45° = 225°.
- Ne soruluyor: kosinüsü −√2/2 olan açılar.
- Referans açı: cos 45° = √2/2.
- Kosinüs II. ve III. bölgede negatif: 135° ve 225°.
- Denetleme: cos 135° = −cos 45° ✓ ve cos 225° = −cos 45° ✓.
- Sık yapılan hata: {45°, 315°} demek. Bu açılarda kosinüs +√2/2'dir; işaret gözden kaçırılmıştır.
9. sorunun çözümü
y = 1/2 doğrusu sin x = 1/2 demektir; P 30°, Q 150° açısına karşılık gelir, toplam 180°.
- Ne soruluyor: birim çemberde ordinatı 1/2 olan noktaların açıları.
- Ordinat sinüstür: sin x = 1/2.
- P (I. bölge) 30°, Q (II. bölge) 180° − 30° = 150°. Toplam 30° + 150° = 180°.
- Denetleme: P ve Q y eksenine göre simetrik; simetrik açılar x ve 180° − x olduğundan toplam her zaman 180° ✓.
- Sık yapılan hata: 360° demek. x eksenine göre simetrik noktaların (x ve 360° − x) toplamı 360°'dir; burada simetri y eksenine göre.
10. sorunun çözümü
sin 30° = 1/2 ve sinüs II. bölgede de pozitiftir: 180° − 30° = 150°. Çözümler 30° ve 150°.
- Ne soruluyor: sinüsü 1/2 olan açılar (0° ile 360° arası).
- Dar açı: sin 30° = 1/2.
- Sinüs I. ve II. bölgede pozitiftir; II. bölgedeki açı 180° − 30° = 150°.
- Denetleme: sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2 ✓.
- Sık yapılan hata: 30° ve 330° demek. 330° IV. bölgededir; orada sinüs negatiftir, sin 330° = −1/2.
11. sorunun çözümü
3/2 = 1,5 > 1 olduğundan kosinüs bu değeri hiçbir açıda alamaz; cos x = 3/2 çözümsüzdür.
- Ne soruluyor: sağ tarafı görüntü kümesinin dışında kalan denklem.
- sin x ve cos x yalnız −1 ile 1 arasındaki değerleri alır.
- 3/2 = 1,5 bu aralığın dışında; cos x = 3/2 çözümsüz.
- Denetleme: tan x'in görüntü kümesi bütün gerçek sayılardır, tan x = 5 çözümlüdür ✓.
- Sık yapılan hata: tan x = 5 demek. [−1, 1] sınırı yalnız sinüs ve kosinüs içindir; tanjant her değeri alır.
12. sorunun çözümü
cos x = 1/2 → x = 60° ya da x = 300°; toplam 360°.
- Ne soruluyor: kosinüs denkleminin köklerinin toplamı.
- 2cos x = 1 → cos x = 1/2.
- cos 60° = 1/2; kosinüs IV. bölgede de pozitif: 360° − 60° = 300°. Toplam 360°.
- Denetleme: cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 1/2 ✓.
- Sık yapılan hata: 120° demek. İkinci kök 180° − 60° alınmıştır; bu kural sinüs içindir, kosinüste 360° − 60° kullanılır.
13. sorunun çözümü
Tabloda sinüsün −1 olduğu açı 270°'dir; birim çemberin en alt noktası (0, −1).
- Ne soruluyor: sinüsün en küçük değerini aldığı açı.
- Tabloda sin x = −1 yalnız x = 270° sütununda görülür.
- Birim çemberde bu nokta (0, −1)'dir; ordinat −1.
- Denetleme: −90° da sinüsü −1 yapar ama 0° ≤ x < 360° aralığında değildir; aralıktaki karşılığı −90° + 360° = 270° ✓.
- Sık yapılan hata: 90° demek. 90°'de sinüs +1 olur; işaret karıştırılmıştır.
14. sorunun çözümü
20 − 15cos t = 20 → cos t = 0 → t = 90° ya da t = 270°.
- Ne soruluyor: yüksekliği 20 m yapan dönme açıları.
- 20 − 15cos t = 20 ise −15cos t = 0, yani cos t = 0.
- 0° < t < 360° aralığında cos t = 0 → t = 90° ve t = 270°.
- Denetleme: h(90°) = 20 − 15 × 0 = 20 ✓; bu, dolabın merkez yüksekliğidir.
- Sık yapılan hata: "Yalnız 180°" demek. t = 180° için cos t = −1 ve h = 35 m olur; bu en yüksek konumdur.
15. sorunun çözümü
sin 60° = √3/2; 60° = π/3 ve II. bölgedeki açı π − π/3 = 2π/3.
- Ne soruluyor: sinüsü √3/2 olan açılar, radyan cinsinden.
- sin 60° = √3/2 ve 60° = π/3 radyan.
- Sinüs II. bölgede de pozitif: π − π/3 = 2π/3.
- Denetleme: 2π/3 = 120° ve sin 120° = sin 60° = √3/2 ✓.
- Sık yapılan hata: π/6 ve 5π/6 demek. Bu açılarda sinüs 1/2'dir; √3/2 değeri 60° açısına aittir.
16. sorunun çözümü
Korelasyon katsayısı −1 ile 1 arasında değer alır.
- Katsayının iki ayrı bilgi taşıdığını hatırlayalım: yön ve güç.
- Yönü İŞARET verir: pozitifse aynı yönde, negatifse ters yönde değişim.
- Gücü MUTLAK DEĞER verir: 1’e yaklaştıkça ilişki güçlenir, 0’a yaklaştıkça zayıflar. Bu iki bilgiyi birden taşıması için aralık −1 ile 1 arasıdır.
- Denetleyelim: r = 1 kusursuz pozitif, r = −1 kusursuz negatif, r = 0 doğrusal ilişki yok ✓.
Sık yapılan hata: "0 ile 1 arası" demek. Bu aralık yalnız GÜCÜ verirdi; yönü gösterebilmek için katsayının negatif değerler de alabilmesi gerekir.
17. sorunun çözümü
Uç değerler korelasyonu olduğundan güçlü ya da zayıf gösterebilir; önce incelenir.
- Gözlemi belirleyelim: bir nokta öteki noktaların oluşturduğu bulutun çok uzağında duruyor. Bu bir uç değerdir.
- Korelasyon katsayısı bütün noktaların konumundan hesaplanır. Uzakta duran tek bir nokta hesabı belirgin biçimde çekebilir.
- Bu nokta ilişkiyi olduğundan güçlü de gösterebilir, zayıf da. Bu yüzden önce incelenir: ölçüm hatası mı, gerçek ama sıra dışı bir gözlem mi?
- Denetleyelim: uç değer her zaman silinmez ✓ — silmeden önce nedeni araştırılır.
Sık yapılan hata: "Her zaman silinmelidir" demek. Uç değer gerçek bir gözlem de olabilir; silmeden önce nedeni İNCELENİR, doğrudan atmak veriyi çarpıtır.
18. sorunun çözümü
Ardışık farklar 6, 10 ve 14 biçiminde büyüyor; sabit artış olmadığı için ilişki doğrusal değildir.
- Tablodaki y değerlerini sırayla okuyalım: 2, 8, 18, 32.
- Ardışık farkları hesaplayalım: 8 − 2 = 6, 18 − 8 = 10, 32 − 18 = 14.
- Doğrusal bir ilişkide x eşit adımlarla artarken y de EŞİT miktarlarda artar. Burada farklar 6, 10, 14 biçiminde büyüyor; artış hızlanıyor.
- Denetleyelim: ilişki var ve düzenli ✓ — ama düzen doğrusal değil, artan bir düzen.
Sık yapılan hata: "İlişki doğrusaldır" demek. Doğrusal olsaydı ardışık farklar SABİT kalırdı; burada farklar 6, 10, 14 biçiminde büyüyor.
19. sorunun çözümü
Noktalar doğruya yaklaştıkça korelasyonun mutlak değeri büyür.
- Tablodaki iki dağılımı karşılaştıralım. I: noktalar bir doğruya çok yakın. II: noktalar geniş bir bulut oluşturuyor.
- Korelasyonun gücü, noktaların bir doğru çevresinde ne kadar DAR toplandığını ölçer.
- I diyagramında dağılım dar; ilişki güçlüdür ve r mutlak değeri 1’e yakındır. II’de dağılım geniş, ilişki zayıftır.
- Denetleyelim: doğrunun eğimi değil, noktaların doğruya YAKINLIĞI belirleyici ✓ — yatık bir doğru da güçlü ilişki gösterebilir.
Sık yapılan hata: "II diyagramında ilişki daha güçlüdür" demek. Geniş dağılım ZAYIF ilişkiyi gösterir; güç noktaların doğruya yakınlığıyla ölçülür.
20. sorunun çözümü
İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişki eğilim çizgisiyle özetlenir.
- Tablonun kurgusu şu: solda amaç, sağda o amaca uygun araç.
- Dolu satır: ilişkinin yönünü görmek → serpme diyagramı. Diyagram deseni gösterir ama bir denklem vermez.
- İlişkiyi denklemle özetlemek için noktalara en uygun doğru uydurulur. Bu doğruya eğilim çizgisi (en küçük kareler doğrusu) denir.
- Denetleyelim: denklem elde edilince tahmin de yapılabiliyor ✓ — diyagramın veremediği şey bu.
Sık yapılan hata: Histogram demek. Histogram TEK bir değişkenin dağılımını gösterir ve iki değişken arasındaki ilişkiyi denklemle özetleyemez.