11. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı
20 soru · cevap anahtarı ve adım adım çözüm sayfanın altında
Kapsanan konular
Birim çemberde şekildeki açının ucundaki noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A (1/2, √3/2)
- B (√3/2, 1/2)
- C (√2/2, √2/2)
- D (−1/2, √3/2)
- E (0, 1)
Bir merdiven duvara 10 metre uzunluğunda dayanmış ve yerle 30° lik açı yapmaktadır. Buna göre merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?
- A 5
- B 5√2
- C 5√3
- D 10
- E 20
Yukarıda bir trigonometrik fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun periyodu sorulmaktadır. Buna göre periyot değeri hangisidir?
- A 2π
- B π
- C π/2
- D 4π
- E 3π
3π/4 radyanlık açının derece cinsinden değeri kaçtır?
- A 60
- B 90
- C 120
- D 135
- E 150
Yukarıda bir yönlü açı verilmiştir. Bu açının esas ölçüsü sorulmaktadır. Buna göre esas ölçü kaç derecedir?
- A 60
- B 390
- C 30
- D 110
- E 210
Bir uygulama
Bir gelgit modeli h(t) = 2 sin(πt/6) + 5 biçiminde verilmiştir.
Yukarıdaki modelin periyodu sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaç saattir?
- A 6
- B 12
- C 24
- D 2
- E 5
Yukarıda bir trigonometrik ifade verilmiştir. Bu ifadenin sadeleşmiş biçimi sorulmaktadır. Buna göre sonuç hangisidir?
- A cos x
- B −sin x
- C sin x
- D −cos x
- E 0
| Fonksiyon | Esas periyot |
|---|---|
| sin x | 2π |
| cos x | 2π |
| tan x | ? |
Tabloda bazı trigonometrik fonksiyonların esas periyotları verilmiştir. Soru işareti yerine aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?
- A π/2
- B 2π
- C 4π
- D π
- E 3π
Bir üçgenin iki kenarı 6 br ve 10 br olup aralarındaki açı 30°’dir. Buna göre bu üçgenin alanı kaç br²’dir?
- A 15
- B 20
- C 25
- D 30
- E 60
Temel özdeşlik yukarıda verilmiştir. sin x = 3/5 ve x dar açı olduğuna göre cos x kaçtır?
- A 3/5
- B 3/4
- C 4/5
- D 5/4
- E 5/3
Birim çember üzerinde şekildeki gibi yerleştirilen açı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A Hem sinüs hem kosinüs pozitiftir.
- B Sinüs negatif, kosinüs pozitiftir.
- C Hem sinüs hem kosinüs negatiftir.
- D Sinüs pozitif, kosinüs negatiftir.
- E Sinüs ve kosinüs sıfırdır.
Yukarıda temel özdeşlik ve bir kosinüs değeri verilmiştir. Birinci bölgedeki açı için sinüs değeri sorulmaktadır. Buna göre bu değer hangisidir?
- A 5/13
- B 12/13
- C 8/13
- D 13/12
- E 1/13
Yukarıda birim çemberdeki bir noktanın koordinatları verilmiştir. Bu koordinatların sağladığı bağıntı sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?
- A x² + y² = 1
- B x + y = 1
- C x² − y² = 1
- D x × y = 1
- E x = y
Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = sin x fonksiyonunun alabileceği değerler hangi aralıktadır?
- A [0, 1]
- B (−∞, ∞)
- C [−1, 1]
- D [0, ∞)
- E [−π, π]
Güneş ışınlarının yerle 45° lik açı yaptığı bir anda bir direğin gölge boyu 12 metre ölçülmüştür. Buna göre direğin boyu kaç metredir?
- A 6
- B 8
- C 12
- D 12√2
- E 24
cos 60° değeri aşağıdakilerden hangisidir?
- A 0
- B 1
- C √3/2
- D √2/2
- E 1/2
Yukarıdaki fonksiyonun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?
- A π/2
- B π
- C 3π/2
- D 2π
- E 4π
Yukarıda radyan cinsinden bir açı verilmiştir. Bu açının derece karşılığı sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaç derecedir?
- A 120
- B 150
- C 135
- D 210
- E 30
Şekildeki dik üçgende α açısının kotanjant değeri kaçtır?
- A 5/13
- B 12/13
- C 5/12
- D 12/5
- E 13/5
Yukarıda bir trigonometrik fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun periyodu sorulmaktadır. Buna göre periyot hangisidir?
- A 2π
- B π
- C π/2
- D 4π
- E 1
🔑 Cevap anahtarı ve çözümler — önce kendin çöz
1. sorunun çözümü
Nokta (1/2, √3/2)’dir; birim çemberde açının ucundaki nokta (cos θ, sin θ) olarak yazılır.
- Birim çemberin yarıçapı 1 olduğundan açının ucundaki noktanın x koordinatı cos θ, y koordinatı sin θ’dır.
- Özel açı değerleri: $\cos 60° = \frac{1}{2}$, $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Sıraya dikkat ederek yazalım: nokta $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
- Denetleyelim: nokta çember üzerinde olmalı; $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ ✓. Ayrıca 60° 45°’den büyük olduğu için y > x olmalı, √3/2 > 1/2 ✓.
Sık yapılan hata: (√3/2, 1/2) şıkkı koordinatları yer değiştirmektir; bu nokta 30°’ye aittir. İlk koordinat kosinüstür ve 60°’de kosinüs 1/2’dir.
2. sorunun çözümü
Yükseklik 5 m’dir; merdiven hipotenüs, yükseklik 30°’nin karşısındaki kenar olduğundan h = 10 · sin 30° = 5.
- Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur: merdiven (10 m) hipotenüs, h ise yerle yapılan 30° açının karşısındaki dik kenardır.
- Karşı ve hipotenüs arasındaki oran sinüstür: $\sin 30° = \frac{h}{10}$.
- $\sin 30° = \frac{1}{2}$ yazalım: $\frac{1}{2} = \frac{h}{10}$, buradan $h = 5$ m.
- Denetleyelim: 30°-60°-90° üçgeninde 30°’nin karşısı hipotenüsün yarısıdır; 10’un yarısı 5 ✓.
Sık yapılan hata: 5√3 şıkkı, sinüs yerine kosinüs kullanmaktan doğar: 10 · cos 30° = 5√3, merdivenin dibinin duvara olan yatay uzaklığıdır. Yükseklik ise açının karşısındaki kenardır, sinüsle bulunur.
3. sorunun çözümü
$\tan x$ fonksiyonunun periyodu $\pi$’dir.
- Tanjant, sinüsün kosinüse oranıdır: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
- Yarım tur ilerleyelim: $\sin(x+\pi) = -\sin x$ ve $\cos(x+\pi) = -\cos x$; iki değer de işaret değiştirir.
- Oranda iki eksi birbirini götürür: $\tan(x+\pi) = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$, öyleyse periyot $\pi$’dir.
- Denetleyelim: $\tan 45° = 1$ ve $\tan 225° = 1$ ✓; iki açı arasındaki fark tam olarak 180°, yani $\pi$ radyandır.
Sık yapılan hata: $2\pi$ cevabı, sinüs ile kosinüsün periyodunu tanjanta da vermektir. Tanjantta pay ve paydadaki işaretler sadeleştiği için tekrar yarı yarıya erken, $\pi$’de başlar.
4. sorunun çözümü
3π/4 radyan 135°’dir; π radyan 180°’ye eşit olduğundan π yerine 180° yazılır.
- Dayanak: π radyan = 180°. Radyandan dereceye geçerken π yerine 180° konur.
- $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180°}{4}$.
- Önce bölelim: 180 ÷ 4 = 45; sonra çarpalım: 3 · 45 = 135°.
- Denetleyelim: $135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ ✓.
Sık yapılan hata: 120 şıkkı 2π/3’ün derece karşılığıdır; payda 3 ile 4 karıştırılmıştır. 3π/4, π’nin dörtte üçüdür ve 180°’nin dörtte üçü 135°’dir.
5. sorunun çözümü
750° açısının esas ölçüsü 30°’dir.
- Esas ölçü, açının $[0°, 360°)$ aralığındaki karşılığıdır ve tam turlar atılarak bulunur.
- 750’yi 360’a bölelim: $750 = 2 \cdot 360 + 30$, yani bölüm 2 ve kalan 30.
- İki tam tur açının bitiş ışınını değiştirmez; geriye kalan 30° esas ölçüdür.
- Denetleyelim: $2 \cdot 360 + 30 = 720 + 30 = 750$ ✓ ve 30° sayısı $[0°, 360°)$ aralığındadır.
Sık yapılan hata: 390 cevabı, yalnız bir tam tur çıkarıp durmaktan gelir: $750 - 360 = 390$. Ama 390° hâlâ 360°’den büyüktür; esas ölçü bulunana dek turlar atılmaya devam edilir.
6. sorunun çözümü
Modelin periyodu 12 saattir.
- Modelde sinüsün içindeki $t$ katsayısını bulalım: $h(t) = 2\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 5$ ifadesinde katsayı $\frac{\pi}{6}$’dır.
- Periyot formülünü yazalım: $T = \frac{2\pi}{|k|}$, yani $T = \frac{2\pi}{\pi/6}$.
- Kesirle bölmek tersiyle çarpmaktır: $2\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 12$; $\pi$’ler sadeleşir ve periyot 12 saat çıkar.
- Denetleyelim: $t = 0$ için $\sin 0 = 0$ ve $t = 12$ için $\sin 2\pi = 0$ ✓; su seviyesi 12 saatte bir aynı duruma dönüyor.
Sık yapılan hata: 6 cevabı, paydadaki 6 sayısını doğrudan periyot sanmaktır; o yalnızca $t$ katsayısının paydasıdır. Periyot için $2\pi$’yi katsayıya bölmek gerekir ve sonuç iki katına, 12’ye çıkar.
7. sorunun çözümü
$\sin(180° - x) = \sin x$’tir.
- $x$ dar açı iken $180° - x$ açısı II. bölgededir ve birim çemberde $x$ açısının dikey eksene göre yansımasıdır.
- Bu yansımada $y$ koordinatı korunur, $x$ koordinatı işaret değiştirir.
- Sinüs $y$ koordinatı olduğu için değişmez: $\sin(180° - x) = \sin x$; kosinüs ise $x$ koordinatı olduğundan $\cos(180° - x) = -\cos x$ olur.
- Denetleyelim: $x = 30°$ alalım, $\sin 150° = \frac{1}{2}$ ve $\sin 30° = \frac{1}{2}$ ✓, ikisi eşit.
Sık yapılan hata: $-\sin x$ cevabı, II. bölgede sinüsü negatif sanmaktan gelir; oysa II. bölgede $y$ koordinatı pozitiftir ve negatif olan kosinüstür. Sinüs ancak III. ve IV. bölgelerde negatif değer alır.
8. sorunun çözümü
Tanjantın esas periyodu π’dir; x yerine x + π yazılınca sinüs ve kosinüs birlikte işaret değiştirir, oranları aynı kalır.
- tan x = sin x / cos x olarak tanımlıdır.
- Birim çemberde x + π, çemberin tam karşı noktasıdır: $\sin(x+\pi) = -\sin x$ ve $\cos(x+\pi) = -\cos x$.
- Oran: $\tan(x+\pi) = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$. Değerler her π’de tekrar eder; π’den küçük pozitif bir aralıkta tekrar olmaz (tan, 0 ile π/2 arasında sürekli artar).
- Denetleyelim: $\tan 45° = 1$ ve $\tan 225° = \tan(45° + 180°) = 1$ ✓.
Sık yapılan hata: 2π şıkkı, sinüs ve kosinüsün periyodunu tanjanta aynen taşımaktır. 2π’de de tekrar olur ama esas periyot en küçük pozitif periyottur; tanjant daha kısa aralıkta, π’de, tekrar eder.
9. sorunun çözümü
Alan 15 br²’dir; iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa Alan = ½ · a · b · sin C.
- Formül: aradaki açıyı kullanan alan $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$. Burada kenar 6 ve 10 br, aradaki açı 30°’dir.
- Değerleri yazalım: $A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30°$.
- Önce $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30$, sonra $30 \cdot \frac{1}{2} = 15$ br².
- Denetleyelim: 10 br’lik kenarı taban alırsak yükseklik $6 \cdot \sin 30° = 3$ br olur; taban × yükseklik / 2 = 10 · 3 / 2 = 15 ✓.
Sık yapılan hata: 30 şıkkı, formüldeki ½ çarpanını unutmaktır: 6 · 10 · sin 30° = 30. Bu, iki kenarın oluşturduğu paralelkenarın alanıdır; üçgen onun yarısıdır.
10. sorunun çözümü
cos x = 4/5’tir; sin²x + cos²x = 1 özdeşliğinde sin x = 3/5 yazılır ve dar açıda kosinüs pozitif alınır.
- sin x değerini özdeşliğe koyalım: $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1$, yani $\frac{9}{25} + \cos^2 x = 1$.
- cos²x’i yalnız bırakalım: $\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
- Karekök alınca $\cos x = \pm\frac{4}{5}$ çıkar; x dar açı (I. bölge) olduğundan kosinüs pozitiftir: $\cos x = \frac{4}{5}$.
- Denetleyelim: $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$ ✓.
Sık yapılan hata: 3/5 şıkkı sinüsün aynısını kosinüse yazmaktır; bu yalnız 45°’de olurdu ve orada değer √2/2’dir. 5/4 ise 1’den büyüktür; kosinüs hiçbir açıda 1’i aşamaz.
11. sorunun çözümü
Sinüs pozitif, kosinüs negatiftir; 150° II. bölgededir ve orada noktanın y’si pozitif, x’i negatiftir.
- Bölgeyi belirleyelim: 90° < 150° < 180° olduğundan açının ucu II. bölgededir (sol üst).
- Birim çemberde açının ucundaki nokta (cos θ, sin θ) koordinatlarına sahiptir: kosinüs x, sinüs y koordinatıdır.
- II. bölgede x < 0, y > 0 olduğundan cos 150° < 0 ve sin 150° > 0.
- Denetleyelim: $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2} > 0$, $\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ ✓.
Sık yapılan hata: “Hem sinüs hem kosinüs pozitiftir.” seçeneği yalnız I. bölge (0°-90°) için doğrudur. 150° dar açı değildir; çemberin sol yarısına geçtiği için x koordinatı, yani kosinüs negatif olur.
12. sorunun çözümü
$\sin x = \frac{12}{13}$’tür; temel özdeşlikte $\cos x = \frac{5}{13}$ yerine konur.
- Özdeşliği yazalım: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ve verilen değer $\cos x = \frac{5}{13}$.
- Kosinüsün karesini alalım: $\left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}$.
- Sinüsün karesini yalnız bırakalım: $\sin^2 x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$; karekök alınca $\pm\frac{12}{13}$ çıkar ve açı birinci bölgede olduğu için pozitifi alınır.
- Denetleyelim: $\frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1$ ✓; 5, 12 ve 13 sayıları bir Pisagor üçlüsüdür.
Sık yapılan hata: $\frac{5}{13}$ cevabı, kosinüsün değerini olduğu gibi sinüse yazmaktır; bu ancak 45°’de olurdu ve orada değer $\frac{\sqrt{2}}{2}$’dir. $\frac{13}{12}$ ise 1’den büyüktür, oysa sinüs hiçbir açıda 1’i aşamaz.
13. sorunun çözümü
Birim çemberin yarıçapı 1'dir; her nokta x² + y² = 1 bağıntısını sağlar.
- Birim çemberin yarıçapı 1'dir.
- Çember denklemi x² + y² = r²'dir.
- r = 1 için x² + y² = 1 olur.
14. sorunun çözümü
sin x’in değer kümesi [−1, 1]’dir; sinüs birim çemberdeki noktanın y koordinatıdır ve çemberin yarıçapı 1’dir.
- Birim çemberde x açısının ucundaki noktanın y koordinatı sin x’tir.
- Yarıçap 1 olduğundan nokta en yukarıda (0, 1), en aşağıda (0, −1) olur; y bu iki değer arasında kalır.
- En büyük değer 1’dir (x = 90°), en küçük değer −1’dir (x = 270°); ikisi de alınır, bu yüzden aralık kapalıdır: [−1, 1].
- Denetleyelim: $\sin 90° = 1$, $\sin 270° = -1$, $\sin 0° = 0$ ✓; hepsi aralıkta, 1’i aşan bir değer ise çemberin dışına çıkmak olurdu.
Sık yapılan hata: [0, 1] şıkkı yalnız 0°-180° arasındaki açılara bakmaktır. III. ve IV. bölgelerde nokta x ekseninin altına iner ve sinüs negatif olur; örneğin sin 270° = −1.
15. sorunun çözümü
Direğin boyu 12 m’dir; 45°’lik açıda tan 45° = 1 olduğundan karşı ve komşu dik kenarlar eşittir.
- Direk (h) ile gölgesi (12 m) dik kenarlardır; güneş ışını hipotenüstür ve yerle 45° yapar.
- Direk açının karşısında, gölge komşusundadır: $\tan 45° = \frac{h}{12}$.
- $\tan 45° = 1$ olduğundan $\frac{h}{12} = 1$, yani $h = 12$ m.
- Denetleyelim: 45°-45°-90° üçgeni ikizkenardır; iki dik kenar eşit olmalı, 12 = 12 ✓.
Sık yapılan hata: 12√2 şıkkı, direği hipotenüs saymaktır; 12√2 güneş ışınının direğin tepesinden gölgenin ucuna olan uzunluğudur. Direk dik kenarlardan biridir ve gölgeye eşittir.
16. sorunun çözümü
cos 60° = 1/2’dir; eşkenar üçgenin yüksekliği onu 30°-60°-90° üçgenlerine böler ve 60°’nin komşu kenarı hipotenüsün yarısıdır.
- Kenarı 2 br olan bir eşkenar üçgende bir yükseklik çizelim: üçgen, hipotenüsü 2, kısa kenarı 1, uzun kenarı √3 olan iki dik üçgene ayrılır.
- 60° açısına komşu dik kenar, tabanın yarısı olan 1 br’dir; hipotenüs 2 br’dir.
- Tanım: cos 60° = komşu / hipotenüs, yani $\cos 60° = \frac{1}{2}$.
- Denetleyelim: $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ile $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ ✓.
Sık yapılan hata: √3/2 şıkkı en sık karışan değerdir: √3/2, cos 30° ya da sin 60°’tır. Açı büyüdükçe kosinüs küçülür; 60°’nin kosinüsü 30°’ninkinden küçük olmalıdır, yani 1/2.
17. sorunun çözümü
Esas periyot π’dir; sin(kx) fonksiyonunun periyodu 2π/|k|, burada k = 2.
- sin x fonksiyonu her 2π’de bir kendini tekrar eder.
- sin 2x’te iç ifade x’ten iki kat hızlı büyür; 2x’in 2π kadar artması için x’in yalnız π artması yeter.
- Formülle: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
- Denetleyelim: $f(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x = f(x)$ ✓; π’den küçük pozitif bir sayı bu eşitliği her x için sağlamaz.
Sık yapılan hata: 4π şıkkını seçen, 2π’yi k ile bölmek yerine çarpmıştır. Katsayı büyüdükçe grafik sıkışır ve periyot kısalır; bu yüzden 2 ile çarpmak değil, 2’ye bölmek gerekir.
18. sorunun çözümü
$\frac{5\pi}{6}$ radyan 150° eder.
- Radyanı dereceye çevirmek için $\pi$ yerine 180° yazmak yeter.
- Yerine koyalım: $\frac{5 \cdot 180°}{6}$.
- Hesaplayalım: $5 \cdot 180 = 900$ ve $900 \div 6 = 150$; açı 150°’dir.
- Denetleyelim: 150°’yi geri çevirelim, $150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ ✓.
Sık yapılan hata: 120 cevabı, $\frac{5\pi}{6}$ ile $\frac{2\pi}{3}$ açılarını karıştırmaktan gelir; $\frac{2\pi}{3}$ radyan 120° eder. Paydası 6 olan kesirde bir birim 30°’dir, beş birim 150° yapar.
19. sorunun çözümü
cot α = 12/5’tir; kotanjant, açıya komşu dik kenarın karşı dik kenara oranıdır.
- 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² olduğundan 13 br hipotenüstür; 5 ve 12 dik kenarlardır.
- Şekilde α’nın karşısındaki dik kenar 5 br, α’ya komşu dik kenar 12 br’dir.
- Tanım: cot α = komşu / karşı, yani $\cot\alpha = \frac{12}{5}$.
- Denetleyelim: $\tan\alpha = \frac{5}{12}$ ve $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = \frac{5}{12} \cdot \frac{12}{5} = 1$ ✓.
Sık yapılan hata: 5/12 şıkkı tanjanttır (karşı/komşu); kotanjant bunun tersidir. 12/13 ise komşu/hipotenüs, yani kosinüstür; kotanjantta hipotenüs hiç kullanılmaz.
20. sorunun çözümü
$\sin x$ fonksiyonunun periyodu $2\pi$’dir.
- Periyot, fonksiyonun kendini tekrar etmeye başladığı en küçük pozitif sayıdır: $\sin(x+T) = \sin x$ eşitliğini sağlayan en küçük $T$.
- Sinüs, birim çember üzerindeki noktanın $y$ koordinatıdır; nokta çember üzerinde bir tam tur attığında aynı yere döner ve koordinatları yinelenir.
- Bir tam tur $2\pi$ radyan olduğuna göre $T = 2\pi$’dir.
- Denetleyelim: $\sin 0 = 0$ ile $\sin 2\pi = 0$ ve $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ ile $\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\right) = 1$ ✓.
Sık yapılan hata: $\pi$ cevabı, tanjantın periyodunu sinüse yakıştırmaktır. $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ iken $\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right) = -1$ çıkar; değerler yarım turda tekrarlanmıyor.