Geometrik Şekiller

1. Yukarıda bir dik üçgenin kenarları verilmiştir. Söz konusu dar açının sinüs değeri sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

Dik üçgende karşı dik kenar = 3, hipotenüs = 5

• A) 3/5
• B) 4/5
• C) 3/4
• D) 5/3
• E) 4/3

Doğru cevap: A — Sinüs, dar açının karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranıdır: $\dfrac{3}{5}$.

1. Tanımı yazalım: $\sin \alpha = \dfrac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}}$.
2. Soruda karşı dik kenar 3, hipotenüs 5 olarak verilmiş.
3. Yerine koyalım: $\sin \alpha = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.
4. Denetleyelim: hipotenüs dik üçgenin en uzun kenarıdır, bu yüzden sinüs oranı her zaman 1’den küçük olmalı ve $0{,}6 < 1$ ✓. Ayrıca üçüncü kenar $\sqrt{25 - 9} = 4$ çıkar, yani üçgen 3-4-5 üçgenidir.

2. Yukarıda bir dik üçgenin kenarları verilmiştir. Söz konusu dar açının kosinüs değeri sorulmaktadır. Buna göre bu oran hangisidir?

Dik üçgende komşu dik kenar = 4, hipotenüs = 5

• A) 3/5
• B) 4/5
• C) 4/3
• D) 5/4
• E) 3/4

Doğru cevap: B — Kosinüs, dar açıya komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır: $\dfrac{4}{5}$.

1. Tanımı yazalım: $\cos \alpha = \dfrac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}}$.
2. Soruda komşu dik kenar 4, hipotenüs 5 olarak verilmiş.
3. Yerine koyalım: $\cos \alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$.
4. Denetleyelim: üçüncü kenar $\sqrt{25 - 16} = 3$ olduğuna göre $\sin \alpha = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$. Temel özdeşliği sınayalım: $0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$ ✓.

3. Tabloda trigonometrik oranlar tanımlanmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) Hipotenüs / karşı
• B) Komşu / hipotenüs
• C) Karşı / komşu
• D) Komşu / karşı
• E) Hipotenüs / komşu

Doğru cevap: C — Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır: karşı / komşu.

1. Tablonun kurgusu şu: solda trigonometrik oran, sağda tanımı.
2. Dolu satır: $\sin = $ karşı / hipotenüs. Sinüs, açının karşısındaki kenarı en uzun kenara oranlıyor.
3. Tanjantı ayıran özellik hipotenüs içermemesidir; yalnızca iki dik kenarı birbirine oranlar. Paya karşı kenar, paydaya komşu kenar gelir.
4. Öyleyse boşluğa "karşı / komşu" yazılmalıdır.
5. Denetleyelim: $\dfrac{\sin}{\cos} = \dfrac{\text{karşı} / \text{hipotenüs}}{\text{komşu} / \text{hipotenüs}} = \dfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}}$ ✓ — hipotenüsler sadeleşerek tanjantı veriyor.

4. Yukarıda bir trigonometrik değer istenmiştir. Özel açıların değerleri dikkate alındığında bu değer sorulmaktadır. Buna göre sonuç hangisidir?

sin 30°

• A) 1
• B) √3/2
• C) √2/2
• D) 1/2
• E) √3

Doğru cevap: D — $30°$-$60°$-$90°$ üçgeninde $30°$’nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır: $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$.

1. Özel üçgeni kuralım. Kenarları $1$, $\sqrt{3}$ ve $2$ olan dik üçgende en küçük kenar en küçük açının, yani $30°$’nin karşısındadır; en uzun kenar 2 ise hipotenüstür.
2. Sinüs tanımını uygulayalım: $\sin 30° = \dfrac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \dfrac{1}{2}$.
3. Sonuç $0{,}5$’tir.
4. Denetleyelim: $\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ olduğuna göre özdeşliği sınayalım — $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$ ✓.

5. Yukarıda bir trigonometrik değer istenmiştir. İkizkenar dik üçgen dikkate alındığında bu değer sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

tan 45°

• A) √3
• B) 0
• C) √2
• D) 1/2
• E) 1

Doğru cevap: E — İkizkenar dik üçgende dik kenarlar eşit olduğundan $\tan 45° = 1$’dir.

1. İkizkenar dik üçgeni kuralım: dik açının yanındaki iki kenar eşittir ve kalan iki açı $45°$’şer olur.
2. $45°$’lik bir açı için karşı kenar ile komşu kenar bu iki eşit dik kenardır.
3. Tanjantı yazalım: $\tan 45° = \dfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}} = \dfrac{a}{a} = 1$.
4. Denetleyelim: kenarları $1$, $1$ ve $\sqrt{2}$ alırsak $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ olur ve $\dfrac{\sin 45°}{\cos 45°} = 1$ ✓ — iki yol aynı sonucu veriyor.

6. Yukarıda temel özdeşlik ve bir sinüs değeri verilmiştir. Dar açı için kosinüs değeri sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

sin²x + cos²x = 1, sin x = 0,6

• A) 0,8
• B) 0,6
• C) 0,4
• D) 1
• E) 0,36

Doğru cevap: A — Temel özdeşlikten $\cos^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$ ve dar açı için $\cos x = 0{,}8$ bulunur.

1. Özdeşliği yazalım: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
2. Verilen değerin karesini alalım: $\sin^2 x = 0{,}6^2 = 0{,}36$.
3. Yalnız bırakalım: $\cos^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$.
4. Karekök alalım: $\cos x = \pm 0{,}8$. Açı dar olduğu için kosinüs pozitiftir; $\cos x = 0{,}8$.
5. Denetleyelim: $0{,}36 + 0{,}64 = 1$ ✓. Ayrıca bu, kenarları 3-4-5 olan üçgenin oranlarıdır ($0{,}6 = \dfrac{3}{5}$, $0{,}8 = \dfrac{4}{5}$).

7. Tabloda birim çemberde işaret durumu verilmiş, biri boş bırakılmıştır. İkinci bölgedeki koordinatlar dikkate alındığında bu boşluğa gelmesi gereken işaret hangisidir?

• A) +
• B) −
• C) 0
• D) Belirsiz
• E) Değişken

Doğru cevap: B — Birim çemberde kosinüs $x$ koordinatına karşılık gelir; ikinci bölgede $x$ negatif olduğu için işaret eksidir.

1. Tablonun kurgusu şu: solda birim çemberdeki bölge, sağda o bölgede sinüs ile kosinüsün işaretleri.
2. Dolu satır: birinci bölgede ikisi de artı. Bu bölgede hem $x$ hem $y$ koordinatı pozitiftir.
3. Birim çemberde bir açının kosinüsü noktanın $x$ koordinatı, sinüsü ise $y$ koordinatıdır.
4. İkinci bölgede noktalar $y$ ekseninin solunda, $x$ ekseninin üstünde durur: $x < 0$, $y > 0$. Öyleyse sinüs artı, kosinüs eksidir.
5. Denetleyelim: tabloda sinüs için zaten artı yazılmış ve bu $y > 0$ ile uyuşuyor ✓ — boşluğa gelmesi gereken işaret eksi.

8. Yukarıda derece ile radyan arasındaki bağıntı verilmiştir. 60° açının radyan cinsinden değeri sorulmaktadır. Buna göre bu değer hangisidir?

180° = π radyan

• A) π/2
• B) π/6
• C) π/3
• D) 2π/3
• E) π/4

Doğru cevap: C — $180° = \pi$ radyan olduğuna göre $60°$, bu açının üçte biridir: $\dfrac{\pi}{3}$.

1. Verilen bağıntı: $180° = \pi$ radyan.
2. $60°$’nin $180°$’ye oranını bulalım: $\dfrac{60}{180} = \dfrac{1}{3}$.
3. Aynı oran radyan tarafında da geçerlidir: $\dfrac{1}{3} \times \pi = \dfrac{\pi}{3}$.
4. Denetleyelim: üç tane $60°$ birleşince $180°$ eder; radyan tarafında da $3 \times \dfrac{\pi}{3} = \pi$ ✓ — iki ölçü birbiriyle tutarlı.

9. Tabloda bir üçgenin bazı ölçüleri verilmiştir. Sinüs teoremine göre b kenarının uzunluğu sorulmaktadır. Tabloya göre bu uzunluk kaç birimdir?

• A) 5
• B) 10
• C) 15
• D) 20
• E) 30

Doğru cevap: D — Sinüs teoremiyle $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ kurulur: $\dfrac{10}{0{,}5} = \dfrac{b}{1}$ ve $b = 20$ br.

1. Tablodan verileri alalım: $a = 10$ br, $A = 30°$, $B = 90°$.
2. Özel açı değerlerini yazalım: $\sin 30° = 0{,}5$ ve $\sin 90° = 1$.
3. Sinüs teoremini kuralım: $\dfrac{10}{0{,}5} = \dfrac{b}{1}$. Sol taraf $10 \div 0{,}5 = 20$ eder.
4. Öyleyse $b = 20 \times 1 = 20$ br.
5. Denetleyelim: $B = 90°$ olduğuna göre $b$ hipotenüstür ve dik üçgende $30°$’nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır. $10$’un iki katı $20$ ✓ — iki yol aynı sonucu veriyor.

10. Yukarıda bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiştir. Kosinüs teoremine göre a kenarının uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre bu uzunluk kaç birimdir?

b = 3, c = 4, A açısı = 90°

• A) 1
• B) 7
• C) 12
• D) 25
• E) 5

Doğru cevap: E — a² = 9 + 16 − 2 × 3 × 4 × cos 90°; cos 90° = 0 olduğundan a² = 25 → a = 5.

1. a² = b² + c² − 2bc × cos A yazılır.
2. cos 90° = 0 olduğu için son terim düşer.
3. a² = 9 + 16 = 25 → a = 5 br.

11. Yukarıda bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiştir. Bu üçgenin alanı sorulmaktadır. Buna göre alan kaç br²'dir?

İki kenar 6 br ve 8 br, aralarındaki açı 30°

• A) 12
• B) 24
• C) 48
• D) 6
• E) 20

Doğru cevap: A — İki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde alan $\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$ ile bulunur: $\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = 12$ br².

1. Formülü yazalım: $A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$. Burada $C$, $a$ ile $b$ kenarlarının ARASINDAKİ açıdır ve soruda tam olarak bu veriliyor.
2. Kenarların çarpımının yarısını alalım: $\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.
3. $\sin 30° = 0{,}5$ ile çarpalım: $24 \times 0{,}5 = 12$ br².
4. Denetleyelim: 6 birimlik kenarı taban sayalım. $30°$’lik açıdan inen yükseklik $8 \times \sin 30° = 4$ br olur ve alan $\dfrac{6 \times 4}{2} = 12$ br² ✓ — klasik taban-yükseklik yolu da aynı sonucu veriyor.

12. Tabloda üçgenin yardımcı elemanları ve kesişim noktaları eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) Ağırlık merkezi
• B) Çevrel çemberin merkezi
• C) İç teğet çemberin merkezi
• D) Diklik merkezi
• E) Tepe noktası

Doğru cevap: B — Kenar orta dikmeler, üçgenin çevrel çemberinin merkezinde kesişir.

1. Tablonun kurgusu şu: solda üçgenin yardımcı elemanı, sağda o elemanların kesiştiği nokta.
2. Dolu satır: kenarortaylar → ağırlık merkezi. Kenarortay bir köşeyi karşı kenarın ORTA NOKTASINA bağlar.
3. Kenar orta dikme ise farklı bir doğrudur: bir kenarın orta noktasından o kenara DİK olarak çıkılır. Bir kenarın orta dikmesi üzerindeki her nokta, o kenarın iki ucuna eşit uzaklıktadır.
4. Üç orta dikmenin kesiştiği noktada bu eşitlik üç kenar için birden sağlanır; yani nokta üç köşeye de eşit uzaklıktadır. Bu ortak uzaklık yarıçap olur ve o noktadan geçirilen çember üç köşeyi de üzerinde taşır: çevrel çember.
5. Denetleyelim: köşelere eşit uzaklıkta bir nokta ancak çevrel çemberin merkezi olabilir ✓ — tanım gereği.

13. Tabloda üçgenin elemanları ve kesişim noktaları eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tablodaki boşluk nasıl doldurulmalıdır?

• A) Çevrel çemberin merkezi
• B) Ağırlık merkezi
• C) Diklik merkezi
• D) İç teğet çemberin merkezi
• E) Kenar orta noktası

Doğru cevap: C — Üçgenin yükseklikleri diklik merkezinde kesişir.

1. Tablonun kurgusu şu: solda üçgenin elemanı, sağda kesişim noktası.
2. Dolu satır: iç açıortaylar → iç teğet çemberin merkezi. Açıortay üzerindeki noktalar açının iki kenarına eşit uzaklıkta olduğu için kesişim noktası üç kenara da eşit uzaklıktadır ve iç teğet çemberin merkezi olur.
3. Yükseklik ise bir köşeden karşı kenara (ya da uzantısına) indirilen dikmedir. Açılarla değil, diklikle tanımlanır.
4. Üç yüksekliğin ortak noktası vardır ve bu noktaya diklik merkezi denir.
5. Denetleyelim: dik üçgende iki yükseklik dik kenarların kendisidir ve bunlar dik köşede kesişir ✓ — diklik merkezi o üçgende dik köşeye düşer, tanımla uyumlu.

14. Yukarıda ağırlık merkezinin bir özelliği anılmıştır. Kenarortayın köşeden itibaren hangi oranda bölündüğü sorulmaktadır. Buna göre bu oran hangisidir?

Ağırlık merkezi kenarortayı böler

• A) 3/1
• B) 1/2
• C) 1/1
• D) 2/1
• E) 1/3

Doğru cevap: D — Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden başlayarak $2$’ye $1$ oranında böler.

1. Ağırlık merkezi, üç kenarortayın kesiştiği noktadır ve her kenarortayı aynı oranda böler.
2. Kenarortayı üç eşit parçaya ayıralım. Ağırlık merkezi, köşeden sayınca ikinci parçanın sonundadır.
3. Böylece köşe tarafında 2 birim, karşı kenarın orta noktası tarafında 1 birim kalır. İstenen oran $\dfrac{2}{1}$’dir.
4. Denetleyelim: kenarortay uzunluğu 9 br olsun; köşeden itibaren 6 br, kenardan itibaren 3 br olur ve $6 + 3 = 9$ ✓ ile oran $6 : 3 = 2 : 1$ tutuyor.

15. Yukarıda bir dik üçgenin ölçüleri verilmiştir. Öteki dik kenarın uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre bu uzunluk kaç birimdir?

Bir dik üçgende hipotenüs 13 br, bir dik kenar 5 br

• A) 11
• B) 8
• C) 18
• D) 9
• E) 12

Doğru cevap: E — Pisagor bağıntısıyla öteki dik kenar $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ br bulunur.

1. Bağıntıyı yazalım: dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir, $a^2 + b^2 = c^2$.
2. Hipotenüs 13, bilinen dik kenar 5 olduğuna göre bilinmeyeni yalnız bırakalım: $b^2 = 13^2 - 5^2$.
3. Kareleri hesaplayalım: $169 - 25 = 144$.
4. Karekök alalım: $b = \sqrt{144} = 12$ br.
5. Denetleyelim: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ✓. Ayrıca 12, hipotenüs olan 13’ten küçük çıktı; dik kenar hipotenüsü aşamayacağı için sonuç geometrik olarak da uygun.

16. Tabloda bir rampanın ölçüleri verilmiştir. Rampanın yatayla yaptığı açı sorulmaktadır. Tabloya göre bu açı kaç derecedir?

• A) 45
• B) 30
• C) 60
• D) 90
• E) 15

Doğru cevap: A — tan α = 10 ÷ 10 = 1 olduğundan α = 45°'dir.

1. tan α = düşey ÷ yatay biçimindedir.
2. 10 ÷ 10 = 1 bulunur.
3. tan 45° = 1 olduğundan açı 45°'dir.

17. Yukarıda bir çemberin yarıçapı verilmiştir. Bu çemberin çevresi sorulmaktadır. Buna göre çevre kaç birimdir?

Yarıçap 7 br, π ≈ 22/7

• A) 22
• B) 44
• C) 154
• D) 14
• E) 49

Doğru cevap: B — Çemberin çevresi $2\pi r$’dir: $2 \times \dfrac{22}{7} \times 7 = 44$ br.

1. Formülü yazalım: $Ç = 2\pi r$.
2. Değerleri yerine koyalım: $2 \times \dfrac{22}{7} \times 7$.
3. Paydadaki 7 ile yarıçaptaki 7 sadeleşir; geriye $2 \times 22 = 44$ br kalır.
4. Denetleyelim: çapı kullanarak da hesaplayalım — $d = 2r = 14$ ve $\pi d = \dfrac{22}{7} \times 14 = 44$ ✓ — iki yol aynı sonucu veriyor.

18. Yukarıda bir dairenin yarıçapı verilmiştir. Bu dairenin alanı π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre alan hangisidir?

Yarıçap 5 br

• A) 5π br²
• B) 10π br²
• C) 25π br²
• D) 50π br²
• E) 20π br²

Doğru cevap: C — Dairenin alanı $\pi r^2$’dir: $r = 5$ için alan $25\pi$ br².

1. Formülü yazalım: $A = \pi r^2$.
2. Yarıçapın karesini alalım: $5^2 = 25$.
3. Alan: $A = 25\pi$ br².
4. Denetleyelim: $\pi \approx 3$ alırsak alan yaklaşık 75 br² olur. Daire, kenarı $2r = 10$ br olan karenin içine sığar ve o karenin alanı 100 br²; $75 < 100$ ✓ — sonuç makul.

19. Yukarıdaki sonucun neden hatalı olduğu sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Sinüs hesaplanamaz.
• B) Sinüs yalnızca tam sayı olur.
• C) Sinüs her zaman pozitiftir.
• D) Sinüs değeri −1 ile 1 arasında olmak zorundadır.
• E) Sinüs açıya bağlı değildir.

Doğru cevap: D — Sinüs karşı kenarın hipotenüse oranı olduğundan değeri $-1$ ile $1$ arasında kalmak zorundadır; $1{,}4$ olamaz.

1. Tanıma dönelim: dar açı için $\sin \alpha = \dfrac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}}$.
2. Dik üçgende hipotenüs en uzun kenardır; hiçbir dik kenar ondan uzun olamaz. Öyleyse pay her zaman paydadan küçük ya da ona eşittir ve oran 1’i aşamaz.
3. Birim çemberde de aynı sonuç çıkar: sinüs, çember üzerindeki noktanın $y$ koordinatıdır ve yarıçap 1 olduğu için bu koordinat $-1$ ile $1$ arasında kalır.
4. Denetleyelim: $1{,}4 > 1$ olduğuna göre değer aralığın dışında ✓ — öğrencinin sonucu hangi açı için olursa olsun hatalıdır.

20. Kartlarda bu temanın üç temel düşüncesi verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Oranlar kenarlarla ilgisizdir.
• C) Teoremler açıyı hesaba katmaz.
• D) Yardımcı elemanlar merkez vermez.
• E) Üçgen; trigonometrik oranlar, teoremler ve yardımcı elemanlarla ölçülebilir bir bütündür.

Doğru cevap: E — Kartlar birlikte şunu gösterir: üçgen; trigonometrik oranlar, teoremler ve yardımcı elemanlarla ölçülebilen bir bütündür.

1. Soru "en kapsayıcı" sonucu istiyor; öyleyse üç kartı birden karşılayan seçeneği aramalıyız.
2. Birinci kart oranları veriyor: sin, cos ve tan bir açıyı kenarların oranına çevirir. Böylece açı bilgisi uzunluk hesabına dönüşür.
3. İkinci kart teoremleri ekliyor: sinüs teoremi ve iki kenar-bir açı alan bağıntısı gibi bağıntılar açıyı doğrudan hesaba katar; dik olmayan üçgenlerde de ölçüm yapılabilmesini sağlar.
4. Üçüncü kart yardımcı elemanları getiriyor: kenarortay, açıortay, yükseklik ve orta dikmeler üçgene ağırlık merkezi, iç teğet çember merkezi, diklik merkezi ve çevrel çember merkezi gibi karakteristik noktalar kazandırır.
5. Denetleyelim: alan bağıntısı $\dfrac{1}{2}ab\sin C$ hem oranı hem teoremi birlikte kullanıyor ✓ — üç düşünce ayrı başlıklar değil, aynı ölçme işinin parçaları.