Fonksiyonlar

1. Şemada A kümesinden B kümesine bir eşleme verilmiştir. Bu eşleme için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Fonksiyondur; A’nın her elemanı B’de bir tek elemanla eşleşmiştir.
• B) Fonksiyon değildir; B’de eşleşmeyen eleman vardır.
• C) Fonksiyon değildir; iki eleman aynı görüntüye sahiptir.
• D) Fonksiyondur ve birebirdir.
• E) Fonksiyondur ve örtendir.

Doğru cevap: A — Fonksiyon olmak için tanım kümesindeki her elemanın bir ve yalnız bir görüntüsü olmalıdır.

1. 1 → a, 2 → b, 3 → b eşlemeleri var.
2. A’nın her elemanının tam olarak bir görüntüsü var → fonksiyondur.
3. 2 ve 3 aynı görüntüye sahip olduğu için birebir DEĞİLDİR.
4. c elemanı hiçbir şeyin görüntüsü olmadığı için örten DEĞİLDİR.

2. Yukarıda tanımlanan fonksiyon için f(4) değeri kaçtır?

f(x) = 3x − 5

• A) 7
• B) 9
• C) 12
• D) 15
• E) 17

Doğru cevap: A — Fonksiyonda x yerine 4 yazılır: $f(4) = 3 \cdot 4 - 5 = 7$.

1. Fonksiyon kuralı $f(x) = 3x - 5$; buradaki $x$, kurala verilen girdidir.
2. $f(4)$ istendiğine göre kuraldaki her $x$ yerine 4 yazarız: $f(4) = 3 \cdot 4 - 5$.
3. İşlem sırasına göre önce çarpma yapılır: $3 \cdot 4 = 12$; sonra çıkarma: $12 - 5 = 7$.
4. Denetleyelim: bulunan 7 değerini kurala geri koyalım — girdi 4 iken çarpım 12, sabit terim çıkınca gerçekten 7 kalıyor ✓.

3. Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 2x + 1 fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Birebirdir ama örten değildir.
• B) Örtendir ama birebir değildir.
• C) Ne birebir ne örtendir.
• D) Hem birebir hem örtendir.
• E) Sabit fonksiyondur.

Doğru cevap: D — Doğrusal ve eğimi sıfırdan farklı fonksiyonlar R’den R’ye birebir ve örtendir.

1. f(a) = f(b) alalım: 2a + 1 = 2b + 1 → a = b, yani birebir.
2. Her y için x = (y − 1)/2 bir gerçek sayıdır.
3. Dolayısıyla her y değeri bir görüntüdür → örten.
4. Sonuç: hem birebir hem örten

4. Yukarıdaki fonksiyonun ters fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

f(x) = 2x − 6

• A) f⁻¹(x) = 2x + 6
• B) f⁻¹(x) = (x − 6)/2
• C) f⁻¹(x) = 6 − 2x
• D) f⁻¹(x) = 1/(2x − 6)
• E) f⁻¹(x) = (x + 6)/2

Doğru cevap: E — y = 2x − 6 eşitliğinden x çekilir; ters fonksiyon $f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{2}$’dir.

1. Ters fonksiyon girdiyle çıktının rollerini değiştirir. Önce $y = 2x - 6$ yazalım.
2. $x$’i yalnız bırakalım: iki tarafa 6 ekleyince $y + 6 = 2x$, sonra 2’ye bölünce $x = \frac{y + 6}{2}$.
3. Değişkeni yeniden $x$ adlandırarak yazarız: $f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{2}$.
4. Denetleyelim: $f(5) = 2 \cdot 5 - 6 = 4$ ve $f^{-1}(4) = \frac{4 + 6}{2} = 5$ ✓ — ters fonksiyon eşlemeyi gerçekten geri döndürüyor.

5. Yukarıda verilen fonksiyonlar için (f ∘ g)(4) değeri kaçtır?

f(x) = x + 3, g(x) = 2x

• A) 8
• B) 10
• C) 11
• D) 14
• E) 20

Doğru cevap: C — Bileşkede önce içteki g uygulanır: $g(4) = 8$ ve $f(8) = 11$.

1. Tanım gereği $(f \circ g)(x) = f(g(x))$; girdi önce $g$’ye verilir, çıkan sonuç sonra $f$’ye girdi olur.
2. İçteki fonksiyonu çalıştıralım: $g(4) = 2 \cdot 4 = 8$.
3. Bu sonucu $f$’ye girdi yapalım: $f(8) = 8 + 3 = 11$.
4. Denetleyelim: bileşkenin kuralını doğrudan kuralım — $(f \circ g)(x) = 2x + 3$ ve $x = 4$ için $2 \cdot 4 + 3 = 11$ ✓.

6. Grafikte bir karesel fonksiyonun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyonun kuralı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• A) f(x) = (x + 1)(x + 5)
• B) f(x) = (x − 1)(x + 5)
• C) f(x) = −(x − 1)(x − 5)
• D) f(x) = (x − 1)(x − 5)
• E) f(x) = x² + 6x + 5

Doğru cevap: D — Grafik x eksenini 1 ve 5’te kestiği ve kolları yukarı baktığı için kural $f(x) = (x - 1)(x - 5)$’tir.

1. Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği apsisler onun kökleridir; grafikte işaretli noktalar $x = 1$ ve $x = 5$’tir.
2. Kökü $x = a$ olan bir fonksiyonun çarpanlarından biri $(x - a)$ olur. Öyleyse çarpanlar $(x - 1)$ ve $(x - 5)$’tir.
3. Parabolün kolları yukarı baktığına göre baş katsayı pozitiftir; çarpanların önüne eksi işareti gelmez. Kural $f(x) = (x - 1)(x - 5)$’tir.
4. Denetleyelim: $f(1) = 0 \cdot (-4) = 0$ ve $f(5) = 4 \cdot 0 = 0$ ✓; ayrıca $f(3) = 2 \cdot (-2) = -4 < 0$, yani kökler arasında grafik eksenin altında kalıyor — şekille uyuşuyor.

7. Yukarıdaki rasyonel fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

f(x) = 1 / (x − 3)

• A) R
• B) R − {0}
• C) R − {−3}
• D) [3, ∞)
• E) R − {3}

Doğru cevap: E — Payda sıfır olamayacağı için tanım kümesi $\mathbb{R} - \{3\}$’tür.

1. Rasyonel bir ifade ancak paydası sıfırdan farklıyken tanımlıdır; sıfıra bölme tanımsızdır.
2. Paydayı sıfır yapan değeri bulalım: $x - 3 = 0$, buradan $x = 3$.
3. Bu tek değer dışında her gerçek sayı kullanılabilir; en geniş tanım kümesi $\mathbb{R} - \{3\}$’tür.
4. Denetleyelim: $x = 4$ için $f(4) = \frac{1}{1} = 1$ tanımlı ✓, $x = 3$ için payda 0 olur ve fonksiyonun değeri yoktur ✓.

8. Gerçek sayılarda tanımlı olması için yukarıdaki fonksiyonda x hangi aralıkta olmalıdır?

f(x) = √(x − 2)

• A) x > 2
• B) x ≥ 2
• C) x ≤ 2
• D) x ≠ 2
• E) Her gerçek sayı

Doğru cevap: B — Karekökün içi negatif olamayacağından $x - 2 \geq 0$, yani $x \geq 2$ olmalıdır.

1. Gerçek sayılarda karekök yalnız negatif olmayan sayılar için tanımlıdır; kök içi sıfır ya da pozitif olmalıdır.
2. Koşulu yazalım: $x - 2 \geq 0$.
3. Eşitsizliği çözelim: iki tarafa 2 eklenince $x \geq 2$.
4. Denetleyelim: $x = 2$ için $f(2) = \sqrt{0} = 0$ tanımlıdır ✓; $x = 1$ için kök içi $-1$ olur ve gerçek sayılarda karşılığı yoktur ✓.

9. Bir şehirde sabah saat 06.00’dan itibaren geçen t saat sonraki sıcaklık S(t) = 12 + 2t bağıntısıyla veriliyor. Buna göre saat 11.00’de sıcaklık kaç °C’tur?

• A) 18
• B) 20
• C) 22
• D) 24
• E) 26

Doğru cevap: C — Saat 11.00 başlangıçtan 5 saat sonrasıdır: $S(5) = 12 + 2 \cdot 5 = 22$ °C.

1. Bağıntıdaki $t$, saat 06.00’dan sonra GEÇEN süredir; önce bu süreyi bulmalıyız.
2. 06.00’dan 11.00’e kadar geçen süre $11 - 6 = 5$ saattir, yani $t = 5$.
3. Bağıntıda yerine koyalım: $S(5) = 12 + 2 \cdot 5 = 12 + 10 = 22$ °C.
4. Denetleyelim: sıcaklık saatte 2 °C artıyor; 06.00’da 12 °C iken 5 saatte $5 \cdot 2 = 10$ °C artar ve 22 °C olur ✓.

10. Bir taksi, binişte 30 TL sabit ücret almakta ve her kilometre için 12 TL eklemektedir. Bir yolculuğun toplam ücreti 150 TL olduğuna göre kaç kilometre yol alınmıştır?

• A) 8
• B) 10
• C) 12
• D) 14
• E) 15

Doğru cevap: B — Ücret 30 + 12x kuralıyla verildiğinden 150 = 30 + 12x denklemi x = 10 km verir.

1. Alınan yolu $x$ km diyelim. Toplam ücret, sabit biniş parası ile kilometre ücretinin toplamıdır: $U(x) = 30 + 12x$.
2. Toplam ücret 150 TL verildiğine göre denklem $30 + 12x = 150$ olur.
3. Sabit terimi karşıya atalım: $12x = 120$; her iki tarafı 12’ye bölelim: $x = 10$. Yolculuk 10 km’dir.
4. Denetleyelim: $30 + 12 \cdot 10 = 30 + 120 = 150$ TL ✓ — soruda verilen tutarla birebir aynı.

11. A = {−2, −1, 0, 1} kümesinden gerçek sayılara tanımlı f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {0, 1, 4}
• B) {−4, −1, 0, 1}
• C) {0, 1, 2, 4}
• D) {1, 4}
• E) {−2, −1, 0, 1}

Doğru cevap: A — Her elemanın karesi alınır ve tekrar eden değer bir kez yazılır: görüntü kümesi $\{0, 1, 4\}$’tür.

1. Görüntü kümesi, tanım kümesindeki elemanların fonksiyonla eşlendiği değerlerden oluşur; A’nın dört elemanını tek tek kuralda yerine koyalım.
2. $f(-2) = (-2)^2 = 4$ ve $f(-1) = (-1)^2 = 1$. Negatif bir sayının karesi pozitiftir.
3. $f(0) = 0$ ve $f(1) = 1$. Elde edilen değerler 4, 1, 0 ve 1’dir.
4. Denetleyelim: bir küme aynı elemanı iki kez içermez, bu yüzden 1 yalnız bir kez yazılır ✓ — görüntü kümesi $\{0, 1, 4\}$ olur.

12. Tanım kümesindeki bütün elemanları aynı değere eşleyen fonksiyona ne ad verilir?

• A) Birim fonksiyon
• B) Ters fonksiyon
• C) Bileşke fonksiyon
• D) İçine fonksiyon
• E) Sabit fonksiyon

Doğru cevap: E — Bütün girdileri tek bir değere eşleyen $f(x) = c$ biçimindeki fonksiyona sabit fonksiyon denir.

1. Soru, çıktısı girdiden bağımsız olan fonksiyonun adını istiyor; böyle bir kural $f(x) = c$ biçimindedir ve $c$ değişmeyen bir sayıdır.
2. Bu fonksiyonda görüntü kümesi tek elemanlıdır: hangi girdi verilirse verilsin aynı değer döner.
3. Bu özelliği taşıyan fonksiyona sabit fonksiyon denir; adı zaten değerinin sabit kalmasından gelir.
4. Denetleyelim: $f(x) = 7$ örneğinde $f(1) = 7$ ve $f(100) = 7$ ✓ — bütün elemanlar aynı değere gidiyor.

13. Grafikte bir f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre f(3) − f(1) farkı kaçtır?

• A) 0
• B) 1
• C) 2
• D) 3
• E) 4

Doğru cevap: C — Grafikten $f(3) = 5$ ve $f(1) = 3$ okunur; fark $5 - 3 = 2$’dir.

1. İki değeri ayrı ayrı okuyacağız. Önce $x = 3$ apsisinden yukarı çıkıp grafiğe değdiğimiz noktanın ordinatına bakalım.
2. $x = 3$ noktasında grafik 5 çizgisindedir, yani $f(3) = 5$.
3. Aynı yolla $x = 1$ için grafik 3 çizgisindedir, yani $f(1) = 3$. Fark: $5 - 3 = 2$.
4. Denetleyelim: $x = 1$ ile $x = 3$ arasında grafik 3’ten 5’e çıkmış, yani 2 birim yükselmiş ✓ — aranan fark tam olarak bu yükselme kadar.

14. Yukarıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(x − 1)(x − 5) < 0

• A) x < 1 veya x > 5
• B) x ≤ 1 veya x ≥ 5
• C) 1 ≤ x ≤ 5
• D) 1 < x < 5
• E) Çözüm yoktur.

Doğru cevap: D — Kolları yukarı bakan parabol kökleri arasında negatif değer aldığı için çözüm kümesi $1 < x < 5$’tir.

1. Çarpımın işaretine bakacağız. Önce ifadeyi sıfır yapan değerleri bulalım: $x = 1$ ve $x = 5$.
2. Bu iki kök sayı doğrusunu üç aralığa böler. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler dışında pozitif, kökler arasında negatiftir.
3. İfadenin negatif olması isteniyor; öyleyse çözüm köklerin arasıdır: $1 < x < 5$. Kökler ifadeyi sıfır yaptığı için kendileri çözüme dâhil değildir.
4. Denetleyelim: $x = 3$ için $(3-1)(3-5) = 2 \cdot (-2) = -4 < 0$ ✓; $x = 6$ için $5 \cdot 1 = 5 > 0$ olur ve eşitsizlik sağlanmaz ✓.

15. f(x) = x + 2 ve g(x) = 3x olmak üzere bir öğrenci (f ∘ g)(1) değerini “önce f uygulanır” diyerek 9 bulmuştur. Bu çözümdeki hata aşağıdakilerden hangisidir?

• A) Bileşke işlemi tanımsızdır.
• B) Fonksiyonların yerleri değiştirilemez, sonuç yine 9’dur.
• C) (f ∘ g)(x) ifadesinde önce g uygulanmalıdır.
• D) Bileşke için fonksiyonların birebir olması gerekir.
• E) İşlemde hata yoktur.

Doğru cevap: C — $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ olduğundan içteki g önce uygulanmalıdır; öğrencinin hatası sırayı ters çevirmesidir.

1. Bileşke yazımını okuyalım: $(f \circ g)(x)$ ifadesi tanım gereği $f(g(x))$ demektir, yani parantezin içinde kalan fonksiyon önce çalışır.
2. Doğru hesap şudur: $g(1) = 3 \cdot 1 = 3$, ardından $f(3) = 3 + 2 = 5$.
3. Öğrenci ise önce $f$’yi uygulamış: $f(1) = 3$, sonra $g(3) = 9$. Bulduğu şey $g(f(1))$, yani $(g \circ f)(1)$’dir — istenen bileşke değil.
4. Denetleyelim: iki sonuç farklı çıkıyor, 5 ile 9 ✓ — bileşke işleminin değişme özelliği yoktur, sıra değişince sonuç da değişir.

16. Bir atölyede x adet ürünün maliyeti M(x) = 40x + 600 TL’dir. Atölye bir günde 25 ürün ürettiğine göre o günün toplam maliyeti kaç TL’dir?

• A) 1000
• B) 1200
• C) 1400
• D) 1500
• E) 1600

Doğru cevap: E — $M(x) = 40x + 600$ kuralında x = 25 yazılır: $40 \cdot 25 + 600 = 1600$ TL.

1. Maliyet fonksiyonundaki $x$ üretilen ürün sayısıdır; günlük üretim 25 olduğuna göre $x = 25$ alırız.
2. Yerine koyalım: $M(25) = 40 \cdot 25 + 600$.
3. Önce çarpalım: $40 \cdot 25 = 1000$; sonra toplayalım: $1000 + 600 = 1600$ TL.
4. Denetleyelim: 600 TL üretimden bağımsız sabit gider, 1000 TL ise 25 ürünün ürün başına 40 TL’lik değişken gideridir ✓ — ikisinin toplamı 1600 TL.

17. Şemadaki fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

• A) Birebir ve örtendir.
• B) Birebirdir, örten değildir.
• C) Örtendir, birebir değildir.
• D) Ne birebir ne örtendir.
• E) Fonksiyon değildir.

Doğru cevap: D — Aynı görüntüye giden iki eleman var ve görüntü kümesinde boşta eleman kalmış.

1. 1 → a ve 2 → a: iki farklı eleman aynı görüntüye gidiyor → birebir değil
2. b elemanı hiçbir şeyin görüntüsü değil → örten değil
3. Ama A’nın her elemanının tek görüntüsü var → fonksiyondur
4. Sonuç: ne birebir ne örten

18. Birebir ve örten bir f fonksiyonu için f(3) = 7 olduğu biliniyor. Buna göre f⁻¹(7) değeri kaçtır?

• A) 1/7
• B) 3
• C) 7
• D) 10
• E) 21

Doğru cevap: B — Ters fonksiyon eşlemeyi geri çevirdiği için $f(3) = 7$ iken $f^{-1}(7) = 3$’tür.

1. $f(3) = 7$ eşitliği, $f$ fonksiyonunun 3 elemanını 7’ye gönderdiğini söylüyor.
2. Ters fonksiyon aynı eşlemeyi ters yönde okur: $f$ hangi girdiyi 7’ye gönderiyorsa $f^{-1}$ 7’yi ona geri gönderir.
3. $f$ birebir ve örten olduğu için 7’ye giden girdi tektir ve o da 3’tür. Öyleyse $f^{-1}(7) = 3$.
4. Denetleyelim: $f^{-1}(f(3)) = 3$ ✓ — bir fonksiyonla tersinin art arda uygulanması girdiyi değiştirmez.

19. Grafikte bir depodaki su hacminin zamana göre değişimi verilmiştir. Deponun boşalma hızı sabit olduğuna göre depo kaçıncı saatte tamamen boşalır?

• A) 6
• B) 7
• C) 8
• D) 9
• E) 10

Doğru cevap: A — Grafikte hacim saatte 1 m³ azalıyor ve başlangıçta 6 m³ olduğundan depo 6. saatte boşalır.

1. Grafikten başlangıç değerini okuyalım: $t = 0$ anında $V = 6$ m³.
2. Azalma hızını bulalım: $t = 1$’de 5 m³, $t = 2$’de 4 m³, $t = 3$’te 3 m³. Her saat 1 m³ eksiliyor, yani azalma sabit.
3. Kuralı yazalım: $V(t) = 6 - t$. Deponun boşalması $V = 0$ demektir: $6 - t = 0$, buradan $t = 6$.
4. Denetleyelim: grafikte $t = 4$ için $V = 2$ ✓ ve kural da $6 - 4 = 2$ veriyor; kalan 2 m³ da 2 saatte biter, toplam 6 saat eder.

20. Bir f: A → B fonksiyonunda B kümesine ne ad verilir?

• A) Tanım kümesi
• B) Görüntü kümesi
• C) Boş küme
• D) Değer kümesi
• E) Evrensel küme

Doğru cevap: D — $f: A \to B$ gösteriminde A tanım kümesi, B ise değer kümesidir.

1. Gösterimi okuyalım: ok, eşlemenin hangi kümeden hangi kümeye yapıldığını söyler. Okun çıktığı A, girdilerin bulunduğu kümedir ve tanım kümesi adını alır.
2. Okun vardığı B ise çıktıların içinden seçildiği kümedir; buna değer kümesi denir.
3. B’nin gerçekten eşleşen elemanları ayrı bir ad taşır: görüntü kümesi. Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir.
4. Denetleyelim: örten olmayan bir fonksiyonda B’nin bazı elemanları boşta kalır ✓ — bu, değer kümesi ile görüntü kümesinin neden ayrı adlandırıldığını gösteriyor.

21. Fonksiyonun Değeri Bulma

• A) 5
• B) 11
• C) 7
• D) 9

Doğru cevap: B — Özet cevap: Fonksiyonun x = 2 değerine göre f(2) = 3*2 + 5 = 11 olduğunu hesaplayarak, doğru cevap B şıkkıdır.

1. Verilen fonksiyonu tanımla: f(x) = 3x + 5.
2. x değerini 2 olarak belirt: f(2) = 3(2) + 5.
3. Çarpma işlemini yap: 3*2 = 6, sonra 5 ekle: 6 + 5 = 11.
4. Sonuç olan 11 ile şıkları karşılaştır: B şıkkı doğru.