Basit Harmonik Hareket

1. Basit harmonik hareketi tanımlayan kuvvet bağıntısı yukarıdadır. Bağıntıdaki eksi işaretinin anlamı sorulmaktadır. Buna göre bu işaret neyi gösterir?

F = −k × x

• A) Kuvvetin uzanıma ters yönde olduğunu
• B) Kuvvetin sıfır olduğunu
• C) Hareketin yavaşladığını
• D) Kütlenin negatif olduğunu
• E) Yay sabitinin negatif olduğunu

Doğru cevap: A — Eksi işareti, geri çağırıcı kuvvetin uzanımla ters yönde olduğunu gösterir.

1. Bağıntıdaki büyüklükleri adlandıralım: x uzanım, yani cismin denge konumundan yer değiştirmesi; k yay sabiti; F ise cisme etkiyen geri çağırıcı kuvvet.
2. Kuvvetin işini düşünelim: cismi her zaman denge konumuna geri çeker. Cisim sağa gitmişse kuvvet sola, sola gitmişse kuvvet sağa yöneliktir.
3. Yani F ile x her zaman zıt yönlüdür. Bir bağıntıda iki vektörün zıt yönlü olduğu eksi işaretiyle yazılır; buradaki eksi de bunu anlatır.
4. Denetleyelim: k ve x sıfırdan büyükken F negatif çıkıyor ✓ — kuvvet ters yöne bakıyor, işaret tutarlı.

2. Yay sarkacının periyot bağıntısı yukarıda verilmiştir. Asılan kütle artırıldığında periyodun ne olacağı incelenmektedir. Buna göre periyot nasıl değişir?

T = 2π × karekök(m / k)

• A) Azalır
• B) Artar
• C) Değişmez
• D) Sıfırlanır
• E) Önce artar sonra azalır

Doğru cevap: B — Kütle karekökün payında olduğu için kütle arttığında yay sarkacının periyodu da artar.

1. Bağıntıyı yazalım: T = 2π · √(m / k). Değişen büyüklük kütle, yay sabiti sabit kalıyor.
2. Kütlenin bağıntıdaki yerine bakalım: karekökün içindeki kesrin PAYINDA. Payı büyütmek kesri büyütür.
3. Kesir büyüyünce karekökü de büyür, karekök büyüyünce T büyür. Öyleyse ağır cisim daha yavaş salınır; periyot artar.
4. Denetleyelim: ağır bir cismi hareket ettirmek daha zor ✓ — eylemsizliği büyük olduğu için bir turu daha uzun sürüyor.

3. Bir basit sarkacın ipinin boyu dört katına çıkarılmaktadır. Sarkacın periyodunun nasıl değişeceği aranmaktadır. Buna göre periyot kaç katına çıkar?

Boy 4 katına çıkarılıyor

• A) 1
• B) 4
• C) 2
• D) 16
• E) 8

Doğru cevap: C — Periyot boyun kareköküyle orantılıdır; √4 = 2 olduğu için periyot iki katına çıkar.

1. Verilenleri yazalım: ip boyu l yerine 4l alınıyor, istenen periyodun kaç katına çıktığı. Bağıntı T = 2π · √(l / g).
2. Yeni boyu yerleştirelim: T′ = 2π · √(4l / g). Kareköke giren çarpan dışarı √4 olarak çıkar.
3. İşlemi yapalım: T′ = 2 · 2π · √(l / g) = 2T. Periyot iki katına çıkar; sarkaç iki kat yavaş salınır.
4. Denetleyelim: boy 9 katına çıksaydı periyot 3 katına çıkardı ✓ — karekök hep çarpanın kökünü veriyor.

4. Basit sarkacın periyot bağıntısı yukarıdadır. Sarkaca asılan kütlenin periyoda etkisi araştırılmaktadır. Buna göre kütle iki katına çıkarılırsa periyot ne olur?

T = 2π × karekök(l / g)

• A) İki katına çıkar
• B) Yarıya iner
• C) Dört katına çıkar
• D) Değişmez
• E) Karekök iki katına çıkar

Doğru cevap: D — Basit sarkacın periyot bağıntısında kütle geçmez; periyot kütleden bağımsızdır.

1. Bağıntıya bakalım: T = 2π · √(l / g). İçinde iki büyüklük var — ip boyu ve yer çekimi ivmesi.
2. Kütlenin bu bağıntıda hiç bulunmadığını görüyoruz. Nedeni serbest düşmedekiyle aynıdır: kütle hem geri çağırıcı kuvveti hem eylemsizliği aynı oranda büyütür, ikisi sadeleşir.
3. Öyleyse kütle iki katına çıkarılsa da bağıntıdaki hiçbir büyüklük değişmez; periyot aynı kalır.
4. Denetleyelim: aynı boyda iki farklı ağırlık aynı ritimde salınır ✓ — bağıntıdan çıkan sonucun gözlemdeki karşılığı.

5. Basit harmonik hareket yapan bir cismin hareketi tanımlanmaktadır. Genlik kavramının karşılığı sorulmaktadır. Buna göre genlik nedir?

Genlik = ?

• A) Bir tam salınım süresi
• B) Saniyedeki salınım sayısı
• C) İki uç nokta arasındaki toplam yol
• D) Cismin kütlesi
• E) Denge konumundan en büyük uzaklık

Doğru cevap: E — Genlik, cismin denge konumundan uzaklaşabildiği en büyük mesafedir.

1. Önce uzanımı tanımlayalım: cismin o andaki konumunun denge konumundan uzaklığı. Salınım boyunca sürekli değişir.
2. Cisim denge konumundan uzaklaşırken uzanım büyür, uç noktada en büyük değerine ulaşır, sonra geri döner.
3. Uzanımın alabildiği bu en büyük değere genlik denir. Yani genlik, denge konumundan uç noktaya olan uzaklıktır.
4. Denetleyelim: iki uç arasındaki toplam mesafe seçeneği ✓ — o mesafe genliğin İKİ KATIDIR, çünkü denge konumu tam ortadadır.

6. Basit harmonik hareket yapan cismin hızı konuma göre değişmektedir. Hızın en büyük olduğu konum aranmaktadır. Buna göre bu konum neresidir?

Hız en büyük nerede?

• A) Uç noktalarda
• B) Denge konumunda
• C) Genliğin yarısında
• D) Her yerde aynıdır
• E) Hız hiç değişmez

Doğru cevap: B — Denge konumunda geri çağırıcı kuvvet sıfırlanır ve hız en büyük değerine ulaşır.

1. Hareketi baştan izleyelim: cisim uç noktada anlık olarak durur, sonra geri çağırıcı kuvvet onu dengeye doğru hızlandırmaya başlar.
2. Denge konumuna yaklaştıkça uzanım küçülür, F = −k · x gereği kuvvet de küçülür — ama yön aynı kaldığı için cisim hızlanmayı sürdürür.
3. Denge konumuna varıldığında uzanım sıfırdır, kuvvet sıfırlanır ve hızlanma biter. Bu ana kadar biriken hız en büyük değerindedir; cisim buradan sonra yavaşlamaya başlar.
4. Denetleyelim: enerji korunumu ✓ — potansiyel enerjinin sıfırlandığı yerde kinetik enerji, dolayısıyla hız en büyük olmalı.

7. Aynı hareketin ivmesi de konuma bağlıdır. İvmenin en büyük olduğu konum istenmektedir. Buna göre ivme nerede en büyüktür?

İvme en büyük nerede?

• A) Denge konumunda
• B) Genliğin yarısında
• C) Uç noktalarda
• D) Her yerde sıfırdır
• E) Her yerde aynıdır

Doğru cevap: C — İvme uzanımla doğru orantılıdır; uzanım en büyükken, yani uç noktalarda ivme de en büyüktür.

1. İki bağıntıyı birleştirelim: F = −k · x ve F = m · a. Buradan a = −(k / m) · x çıkar.
2. Bu ifadede k ve m sabittir. Öyleyse ivmenin büyüklüğünü belirleyen tek değişken uzanımdır.
3. Uzanım en büyük değerini uç noktalarda alır; orası genliğin bulunduğu yerdir. Öyleyse ivme de uç noktalarda en büyüktür.
4. Denetleyelim: denge konumunda x = 0 ✓ — orada ivme sıfır çıkıyor, yani iki konum birbirinin tersi.

8. Yay sabiti ve uzanım değeri verilen bir yay sarkacı bulunmaktadır. Cisme etki eden geri çağırıcı kuvvetin büyüklüğü hesaplanacaktır. Buna göre kuvvet kaç newtondur?

k = 200 N/m, x = 0,1 m

• A) 2
• B) 10
• C) 200
• D) 20
• E) 2000

Doğru cevap: D — Geri çağırıcı kuvvetin büyüklüğü F = k · x’tir; 200 × 0,1 = 20 N.

1. Verilenleri yazalım: k = 200 N/m, x = 0,1 m, istenen kuvvetin büyüklüğü F. Bağıntı F = k · x; işaret yönü verdiği için büyüklük hesabında kullanılmıyor.
2. Değerleri yerleştirelim: F = 200 × 0,1.
3. İşlemi yapalım: F = 20. Birim (N/m) × m = N; sonuç 20 newton. Yay bu uzanımda cismi 20 N’luk kuvvetle dengeye çekiyor.
4. Denetleyelim: uzanım 1 metre olsaydı kuvvet 200 N olurdu ✓ — 0,1 metrede onda biri, yani 20 N; mertebe tutarlı.

9. Salınım yapan bir cismin periyodu yukarıdaki gibidir. Cismin saniyedeki salınım sayısı sorulmaktadır. Buna göre frekans kaç hertzdir?

T = 0,2 s

• A) 0,2
• B) 2
• C) 10
• D) 20
• E) 5

Doğru cevap: E — Frekans periyodun tersidir; f = 1 / 0,2 = 5 Hz.

1. Verilenleri yazalım: T = 0,2 s, istenen saniyedeki salınım sayısı, yani frekans. Bağıntı f = 1 / T.
2. Değeri yerleştirelim: f = 1 / 0,2.
3. İşlemi yapalım: f = 5. Birim 1/s, yani hertz. Cisim saniyede 5 tam salınım yapıyor.
4. Denetleyelim: 5 salınımın her biri 0,2 saniye ✓ — 5 × 0,2 = 1 saniye, tanımla uyumlu.

10. Yay sarkacı en uç noktaya ulaştığı anda incelenmektedir. Bu andaki enerji dağılımı sorulmaktadır. Buna göre enerji hangi biçimdedir?

Uç noktadaki enerji

• A) Tamamen potansiyel enerjidir
• B) Tamamen kinetik enerjidir
• C) Yarı yarıya bölünmüştür
• D) Sıfırdır
• E) Tamamen ısı enerjisidir

Doğru cevap: A — Uç noktada hız sıfır olduğu için enerjinin tamamı yayda potansiyel olarak depolanır.

1. Uç noktada cismin durumunu belirleyelim: yön değiştirmek üzeredir, bu yüzden hızı anlık olarak sıfırdır.
2. Kinetik enerji hızın karesiyle orantılıdır; hız sıfırsa kinetik enerji de sıfırdır.
3. Sürtünme yoksa toplam enerji korunur. Kinetik pay sıfır olduğuna göre enerjinin tamamı öteki biçimde, yani yayın esneklik potansiyel enerjisi olarak durmaktadır.
4. Denetleyelim: uç nokta uzanımın en büyük olduğu yer ✓ — potansiyel enerji uzanımla arttığı için orada en büyük olması gerekiyor.

11. Aynı sarkaç denge konumundan geçtiği anda ele alınmaktadır. Bu andaki enerji biçimi aranmaktadır. Buna göre enerji nasıldır?

Denge konumundaki enerji

• A) Tamamen potansiyel enerjidir
• B) Sıfırdır
• C) Tamamen kinetik enerjidir
• D) Yalnız ısı enerjisidir
• E) Yarısı ışık enerjisidir

Doğru cevap: C — Denge konumunda uzanım sıfır olduğu için yayda enerji depolanmaz; enerjinin tamamı kinetiktir.

1. Denge konumunun tanımını kullanalım: yayın ne gerildiği ne sıkıştığı, uzanımın sıfır olduğu konum.
2. Esneklik potansiyel enerjisi uzanıma bağlıdır; uzanım sıfırken yayda depolanan enerji de sıfırdır.
3. Toplam enerji korunduğuna göre, potansiyel pay sıfırlandığında bu enerjinin tamamı öteki biçime, yani kinetik enerjiye dönüşmüş olmalıdır. Cismin hızının burada en büyük olmasının nedeni de budur.
4. Denetleyelim: uç noktada durum tam tersiydi ✓ — orada hız sıfır, enerji tümüyle potansiyeldi.

12. Bir yay sarkacının kütlesi ve yay sabiti yukarıda verilmiştir. Sarkacın periyodu hesaplanacaktır. Buna göre periyot yaklaşık kaç saniyedir?

m = 0,5 kg, k = 50 N/m

• A) 0,10
• B) 0,31
• C) 1,26
• D) 0,63
• E) 2,00

Doğru cevap: D — T = 2π · √(m / k) bağıntısında √(0,5 / 50) = 0,1 olduğu için T ≈ 0,63 s.

1. Verilenleri yazalım: m = 0,5 kg, k = 50 N/m, istenen periyot T. Bağıntı T = 2π · √(m / k).
2. Önce karekökün içindeki oranı bulalım: 0,5 / 50 = 0,01. Kareköke girecek sayı bu.
3. Karekökü alalım: √0,01 = 0,1. Sonra 2π ile çarpalım: T ≈ 6,28 × 0,1 ≈ 0,63 saniye. Yay sarkacı bir salınımı 0,63 saniyede tamamlıyor.
4. Denetleyelim: kütle küçük, yay sert ✓ — böyle bir sistemin hızlı salınması, yani periyodun bir saniyenin altında çıkması bekleniyordu.

13. Bir basit sarkaç Dünya'dan Ay'a götürülmektedir. Ay'da yer çekimi ivmesi daha küçüktür. Buna göre sarkacın periyodu nasıl değişir?

Ay'da g daha küçüktür

• A) Azalır
• B) Değişmez
• C) Sıfırlanır
• D) Yarıya iner
• E) Artar

Doğru cevap: E — Yer çekimi ivmesi karekökün paydasında olduğu için Ay’da küçülmesi periyodu artırır.

1. Bağıntıyı yazalım: T = 2π · √(l / g). Ay’a giderken ip boyu değişmiyor, değişen tek büyüklük g.
2. g’nin bağıntıdaki yerine bakalım: karekökün içindeki kesrin PAYDASINDA. Paydayı küçültmek kesri büyütür.
3. Kesir büyüyünce karekökü, dolayısıyla T de büyür. Ay’da yer çekimi zayıf olduğu için sarkacı dengeye çeken kuvvet küçülür ve salınım yavaşlar; periyot artar.
4. Denetleyelim: Ay’da g yaklaşık altıda bir ✓ — periyot yaklaşık √6 ≈ 2,4 katına çıkıyor, mertebe makul.

14. Bu kez bir yay sarkacı Ay'a götürülmektedir. Yay sarkacının periyot bağıntısı incelenmektedir. Buna göre periyot nasıl değişir?

Yay sarkacı Ay'a götürülüyor

• A) Değişmez
• B) Artar
• C) Azalır
• D) Sıfırlanır
• E) İki katına çıkar

Doğru cevap: A — Yay sarkacının periyot bağıntısında yer çekimi ivmesi geçmez; Ay’da periyot değişmez.

1. Bağıntıya bakalım: T = 2π · √(m / k). İçinde iki büyüklük var — kütle ve yay sabiti.
2. Yer çekimi ivmesinin bu bağıntıda hiç bulunmadığını görüyoruz. Salınımı sürdüren kuvvet yayın kendi geri çağırıcı kuvvetidir; yer çekimi yalnız denge konumunun yerini kaydırır, salınımın ritmini değil.
3. Ay’a götürüldüğünde ne kütle ne yay sabiti değişir. Öyleyse periyot da değişmez.
4. Denetleyelim: basit sarkaçta durum tam tersiydi ✓ — orada bağıntıda g vardı ve Ay’da periyot artıyordu.

15. Basit harmonik harekette uzanımın zamana bağlı ifadesi yukarıdadır. İfadedeki A harfinin karşılığı sorulmaktadır. Buna göre A neyi gösterir?

x = A × sin(ωt)

• A) Periyodu
• B) Genliği
• C) Frekansı
• D) Kütleyi
• E) Yay sabitini

Doğru cevap: B — Sinüsün en büyük değeri 1 olduğu için A, uzanımın alabileceği en büyük değeri, yani genliği gösterir.

1. İfadeyi parçalayalım: x = A · sin(ωt). Zamanla değişen tek şey sinüsün içindeki açı, dolayısıyla sinüsün kendisi.
2. Sinüs fonksiyonu −1 ile +1 arasında değer alır. Öyleyse x, en çok A · 1 = A kadar olabilir.
3. Uzanımın alabileceği en büyük değere genlik dendiğine göre A genliktir. Sinüs değeri salınım boyunca değişirken A sabit kalır.
4. Denetleyelim: A bir uzunluk, ω ise bir açısal hız ✓ — birimleri de bu ayrımı doğruluyor.

16. Bir yay sarkacının genliği iki katına çıkarılmakta, yay ve kütle değiştirilmemektedir. En büyük hızın nasıl değişeceği sorulmaktadır. Buna göre maksimum hız ne olur?

Genlik iki katına çıkarılıyor

• A) Değişmez
• B) Yarıya iner
• C) Dört katına çıkar
• D) İki katına çıkar
• E) Sıfırlanır

Doğru cevap: D — Maksimum hız v = ω · A bağıntısıyla verilir; ω değişmediği için genlik iki katına çıkınca hız da iki katına çıkar.

1. Bağıntıyı yazalım: v(maks) = ω · A. Değişen büyüklük genlik, öteki çarpan açısal frekans.
2. Açısal frekansın neye bağlı olduğuna bakalım: ω = √(k / m). İçinde yalnız yay sabiti ve kütle var, genlik yok. Soruda ikisi de değiştirilmediğine göre ω sabittir.
3. Sabit bir çarpanla çarpılan büyüklük iki katına çıkarsa çarpım da iki katına çıkar. Öyleyse maksimum hız iki katına çıkar.
4. Denetleyelim: cisim aynı sürede iki kat uzun yol alıyor ✓ — periyot değişmediği için hızın iki katına çıkması gerekiyordu.

17. Bir parkta salıncağın zincirleri uzatılmaktadır. Salıncak basit sarkaç gibi davranmaktadır. Buna göre salınım süresi nasıl etkilenir?

Salıncağın ipi uzatılıyor

• A) Kısalır
• B) Değişmez
• C) Sıfırlanır
• D) Yarıya iner
• E) Uzar

Doğru cevap: E — Salıncak basit sarkaç gibi davranır; zincir uzayınca periyot da uzar.

1. Durumu bir modele bağlayalım: zincire asılı salınan salıncak, basit sarkacın günlük hayattaki karşılığıdır. Zincirin boyu ip boyudur.
2. Bağıntıyı yazalım: T = 2π · √(l / g). Uzatılan büyüklük l, yer çekimi ivmesi ise aynı kalıyor.
3. l karekökün payında olduğu için büyümesi T’yi büyütür. Öyleyse salıncak daha yavaş gidip gelir; bir salınımın süresi uzar.
4. Denetleyelim: uzun zincirli salıncaklar ağır ağır sallanır ✓ — bağıntıdan çıkan sonuç gözlemle uyuşuyor.

18. Deprem mühendisliğinde binanın doğal salınım periyodu ile zeminin titreşim periyodu karşılaştırılır. İki periyot birbirine yaklaştığında ne olacağı sorulmaktadır. Buna göre yapıda hangi durum ortaya çıkar?

Binanın kendi periyodu

• A) Salınım genliği büyür, rezonans oluşur
• B) Salınım tamamen durur
• C) Bina kütlesi azalır
• D) Zemin sertleşir
• E) Periyot sıfırlanır

Doğru cevap: A — Zeminin titreşim periyodu binanın doğal periyoduna yaklaşınca rezonans oluşur ve genlik büyür.

1. İki periyodu ayıralım: binanın doğal periyodu yapının kendi özelliğidir; zeminin titreşim periyodu ise dışarıdan gelen zorlamanın periyodudur.
2. İki periyot birbirinden uzakken zorlama bazen binayı iterken bazen frenler; aktarılan enerji birikmez.
3. Periyotlar birbirine yaklaştığında her itiş salınımın uygun anına denk gelir ve enerji salınımda birikir. Genlik hızla büyür; bu duruma rezonans denir. Deprem mühendisliğinde kaçınılmaya çalışılan durum budur.
4. Denetleyelim: aynı depremde farklı yükseklikteki binaların farklı zarar görmesi ✓ — doğal periyot yüksekliğe bağlı olduğu için.

19. Tabloda aynı sarkacın farklı ip boyları için ölçülen periyotları verilmiştir. Tablodaki soru işaretinin yerine gelecek değer aranmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

• A) 4,5
• B) 6,0
• C) 8,0
• D) 9,0
• E) 3,0

Doğru cevap: B — Periyot boyun kareköküyle orantılıdır; √9 = 3 ve 2,0 × 3 = 6,0 s.

1. Tablodan bağıntıyı çıkaralım: 1 m’de periyot 2,0 s, 4 m’de 4,0 s. Boy 4 katına çıkarken periyot 2 katına çıkmış — yani periyot boyun kareköküyle orantılı.
2. Bağıntıyı kuralım: T = 2,0 · √l. Buradaki 2,0, boyun 1 m olduğu satırdan gelen sabit.
3. Aranan değer için l = 9 m yerleştirelim: T = 2,0 · √9 = 2,0 × 3 = 6,0 saniye.
4. Denetleyelim: 9 m, 4 m’den büyük ✓ — periyodun 4,0 s’den büyük çıkması gerekiyordu, 6,0 s bu koşulu sağlıyor.

20. Bir yay belirli bir kuvvetle çekilerek uzatılmaktadır. Yayın yay sabiti hesaplanacaktır. Buna göre yay sabiti kaç newton bölü metredir?

F = 40 N, x = 0,2 m

• A) 8
• B) 20
• C) 200
• D) 400
• E) 80

Doğru cevap: C — Yay sabiti kuvvetin uzanıma oranıdır; k = 40 / 0,2 = 200 N/m.

1. Verilenleri yazalım: F = 40 N, x = 0,2 m, istenen yay sabiti k. Bağıntı F = k · x, buradan k = F / x.
2. Değerleri yerleştirelim: k = 40 / 0,2.
3. İşlemi yapalım: k = 200. Birim N / m; sonuç 200 N/m. Bu yayı 1 metre uzatmak için 200 N’luk kuvvet gerekir.
4. Denetleyelim: 0,2 metre için 40 N ✓ — 200 × 0,2 = 40, bulunan sabit veriyi doğruluyor.