Çembersel Hareket

1. Çembersel hareket yapan bir cismin periyodu yukarıda verilmiştir. Bu cismin frekansı sorulmaktadır. Buna göre frekans kaç hertzdir?

T = 0,5 s

• A) 2
• B) 0,5
• C) 4
• D) 1
• E) 5

Doğru cevap: A — Frekans periyodun tersidir: $f = 1/T = 1/0{,}5 = 2$ Hz.

1. Periyot bir tur için geçen süredir; frekans ise bir saniyedeki tur sayısıdır. İkisi birbirinin tersidir: $f = 1/T$.
2. Değeri koyalım: $f = 1 \div 0{,}5$.
3. $1 \div 0{,}5 = 2$; cisim saniyede 2 tur atar, frekansı 2 Hz’dir.
4. Denetleyelim: 2 tur × 0,5 s = 1 s ✓ — iki turun süresi tam bir saniye ediyor.

2. Bir cisim yarıçapı ve periyodu verilen bir çember üzerinde düzgün hareket etmektedir. Cismin çizgisel hızı aranmaktadır. Buna göre çizgisel hız kaç metre bölü saniyedir?

r = 2 m, T = 4 s

• A) 2π
• B) π
• C) 4π
• D) 8π
• E) π/2

Doğru cevap: B — Çizgisel hız, bir turdaki yolun periyoda bölümüdür: $v = 2\pi r / T = 4\pi / 4 = \pi$ m/s.

1. Bir turda alınan yol çemberin çevresidir: $2\pi r$.
2. Çevre: $2 \times \pi \times 2 = 4\pi$ m.
3. Bu yol bir periyotta alındığından $v = 4\pi\ \text{m} \div 4\ \text{s} = \pi$ m/s.
4. Denetleyelim: $\pi$ m/s ile 4 s gidilen yol $4\pi$ m, yani tam bir çevre ✓.

3. Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin periyodu yukarıdaki gibidir. Cismin açısal hızı istenmektedir. Buna göre açısal hız kaç radyan bölü saniyedir?

T = 2 s

• A) 2π
• B) π/2
• C) π
• D) 4π
• E) 1

Doğru cevap: C — Açısal hız, bir turda taranan açının periyoda bölümüdür: $\omega = 2\pi / T = 2\pi / 2 = \pi$ rad/s.

1. Bir tam turda taranan açı $2\pi$ radyandır (360°).
2. Açısal hız birim zamanda taranan açıdır: $\omega = 2\pi / T$.
3. Değeri koyalım: $\omega = 2\pi \div 2 = \pi$ rad/s.
4. Denetleyelim: $\pi$ rad/s ile 2 saniyede $2\pi$ radyan, yani tam bir tur taranır ✓.

4. Çember üzerinde hareket eden bir cismin hızı ve yarıçapı verilmiştir. Cismin merkezcil ivmesi hesaplanacaktır. Buna göre ivme kaç metre bölü saniye karedir?

v = 6 m/s, r = 3 m

• A) 2
• B) 6
• C) 18
• D) 12
• E) 36

Doğru cevap: D — Merkezcil ivme $a = v^2 / r$ ile bulunur: $6^2 / 3 = 36 / 3 = 12$ m/s².

1. Düzgün çembersel harekette hızın yönü sürekli değişir; bu değişimi merkeze yönelik ivme sağlar: $a = v^2 / r$.
2. Hızın karesi: $6^2 = 36$ m²/s².
3. Yarıçapa bölelim: $36 \div 3 = 12$ m/s².
4. Denetleyelim: $12 \times 3 = 36 = 6^2$ ✓ — ivme ile yarıçapın çarpımı hızın karesini veriyor.

5. Kütlesi, hızı ve yörünge yarıçapı verilen bir cisim çembersel hareket yapmaktadır. Cisme etki eden merkezcil kuvvet aranmaktadır. Buna göre kuvvet kaç newtondur?

m = 2 kg, v = 4 m/s, r = 8 m

• A) 1
• B) 2
• C) 8
• D) 16
• E) 4

Doğru cevap: E — F = m × v² ÷ r = 2 × 16 ÷ 8 = 4 N bulunur.

1. Formül F = m × v² ÷ r yazılır.
2. 4² = 16 ve 2 × 16 = 32 hesaplanır.
3. 32 ÷ 8 = 4 N bulunur.

6. Yapan bir cisme net kuvvet etki etmektedir. Bu kuvvetin yönü sorulmaktadır. Buna göre kuvvet hangi yöndedir?

Düzgün çembersel hareket

• A) Hareket yönünde
• B) Çemberin merkezine doğru
• C) Merkezden dışarı doğru
• D) Hareketin tersine
• E) Düşey yukarı

Doğru cevap: B — Düzgün çembersel hareket yapan cisme etki eden net kuvvet her an çemberin merkezine doğrudur.

1. Düzgün çembersel harekette sürat sabittir; hızın büyüklüğü değişmez, yalnız yönü sürekli değişir.
2. Hızın yalnız yönünü değiştiren kuvvet, hıza her an dik olmalıdır; hız yönünde bir bileşeni olsaydı sürati de değiştirirdi.
3. Hız çembere teğet olduğuna göre ona dik doğrultu yarıçap doğrultusudur; kuvvet cismi çemberin içine doğru çektiği için yönü merkeze doğrudur. Buna merkezcil kuvvet denir: $F = m v^2 / r$.
4. Denetleyelim: ipe bağlı taşı döndüren elin ipi merkeze doğru çektiği hissedilir; ip koparsa taş teğet doğrultuda uçar ✓.

7. Bir cisim çember üzerinde sabit süratle dönmektedir. Cismin hız vektörü incelenmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Sabit süratle dönen cisim

• A) Hem büyüklüğü hem yönü sabittir
• B) Büyüklüğü değişir, yönü sabittir
• C) Büyüklüğü sabittir, yönü sürekli değişir
• D) İvme sıfırdır
• E) Net kuvvet sıfırdır

Doğru cevap: C — Sabit süratle dönen cismin hız vektörünün büyüklüğü sabittir, yönü ise sürekli değişir.

1. Sürat hız vektörünün büyüklüğüdür ve sabit verilmiştir; hızın büyüklüğü değişmez.
2. Hız vektörü her noktada çembere teğettir; cisim ilerledikçe teğetin yönü döner.
3. Yönü değişen bir vektör değişiyor demektir; hız değiştiği için cismin merkeze yönelik bir ivmesi ve ona etki eden bir net kuvvet vardır.
4. Denetleyelim: çemberin tepesinde sağa, dibinde sola doğru olan iki hız aynı uzunlukta ama zıt yönlüdür ✓.

8. Bir cismin açısal hızı ve yörünge yarıçapı yukarıda verilmiştir. Çizgisel hız ile açısal hız arasındaki bağıntı kullanılacaktır. Buna göre çizgisel hız kaç metre bölü saniyedir?

ω = 5 rad/s, r = 2 m

• A) 2,5
• B) 5
• C) 7
• D) 10
• E) 20

Doğru cevap: D — Çizgisel hız açısal hız ile yarıçapın çarpımıdır: $v = \omega r = 5 \times 2 = 10$ m/s.

1. Bağıntı: $v = \omega \times r$. Açısal hız saniyede taranan açıyı, yarıçap o açının çemberde karşılık geldiği yayı ölçekler.
2. Değerleri koyalım: $v = 5\ \text{rad/s} \times 2\ \text{m}$.
3. $5 \times 2 = 10$; çizgisel hız 10 m/s.
4. Denetleyelim: $10 \div 2 = 5$ rad/s ✓ — çizgisel hız yarıçapa bölününce açısal hız geri geliyor.

9. Dönen bir çarkın bir turu için geçen süre yukarıdadır. Çarkın saniyedeki tur sayısı istenmektedir. Buna göre frekans kaç hertzdir?

T = 0,25 s

• A) 0,25
• B) 1
• C) 2
• D) 8
• E) 4

Doğru cevap: E — Frekans periyodun tersidir: $f = 1 / 0{,}25 = 4$ Hz; çark saniyede 4 tur atar.

1. Frekans saniyedeki tur sayısıdır ve periyodun tersidir: $f = 1/T$.
2. Bir tur 0,25 s sürüyorsa bir saniyeye kaç tur sığdığını bulalım: $1 \div 0{,}25$.
3. $1 \div 0{,}25 = 4$; frekans 4 Hz.
4. Denetleyelim: 4 tur × 0,25 s = 1 s ✓.

10. Şekilde bir çubuğun merkez etrafında döndüğü, K ve L noktalarının merkeze farklı uzaklıkta olduğu belirtilmiştir. İki noktanın hareketi karşılaştırılmaktadır. Buna göre K ve L için hangi büyüklük eşittir?

• A) Açısal hız
• B) Çizgisel hız
• C) Merkezcil ivme
• D) Yörünge yarıçapı
• E) Alınan yol

Doğru cevap: A — Aynı dönen çubuk üzerindeki K ve L noktalarının açısal hızları eşittir; çizgisel hızları ise yarıçapla orantılı olduğundan farklıdır.

1. K ve L aynı katı çubuk üzerinde olduğu için çubukla birlikte döner; çubuk bir tur attığında ikisi de bir tur atar.
2. Eşit sürede eşit açı taradıklarından açısal hızları eşittir: $\omega_K = \omega_L$.
3. Çizgisel hız $v = \omega r$ olduğundan merkeze uzak nokta daha hızlıdır; merkezcil ivme $a = \omega^2 r$ de uzak noktada büyüktür.
4. Denetleyelim: dönme dolabın dış kabinleri iç kabinlerle aynı sürede tur atar ama daha uzun yol alır ✓ — açısal hız eşit, çizgisel hız farklı.

11. Bir cisme dönme ekseninden belirli uzaklıkta dik bir kuvvet uygulanmaktadır. Kuvvetin oluşturduğu tork hesaplanacaktır. Buna göre tork kaç newton metredir?

F = 20 N, d = 0,5 m

• A) 5
• B) 20
• C) 10
• D) 40
• E) 2

Doğru cevap: C — Tork kuvvet ile dik uzaklığın çarpımıdır: $\tau = 20 \times 0{,}5 = 10$ N·m.

1. Bağıntı: $\tau = F \times d$; kuvvet eksene dik uzaklıkta ve doğrultuya dik uygulanmış.
2. Değerleri koyalım: $\tau = 20\ \text{N} \times 0{,}5\ \text{m}$.
3. $20 \times 0{,}5 = 10$; tork 10 N·m.
4. Denetleyelim: $10 \div 0{,}5 = 20$ N ✓ — tork uzaklığa bölününce kuvvet geri geliyor.

12. Bir kaldıraç dengede olup destek noktasının iki yanındaki torklar eşittir. Sağ koldaki kuvvetin büyüklüğü sorulmaktadır. Buna göre bu kuvvet kaç newtondur?

30 N × 2 m = F × 3 m

• A) 10
• B) 15
• C) 30
• D) 20
• E) 45

Doğru cevap: D — Dengede torklar eşittir: $30 \times 2 = F \times 3$ → $F = 60 / 3 = 20$ N.

1. Kaldıraç dengede olduğundan destek noktasına göre iki yandaki torklar eşittir.
2. Sol koldaki tork: $30\ \text{N} \times 2\ \text{m} = 60$ N·m.
3. Sağ kolda da 60 N·m olmalı: $F \times 3 = 60$ → $F = 60 \div 3 = 20$ N.
4. Denetleyelim: $20 \times 3 = 60 = 30 \times 2$ ✓ — iki tork eşit, kaldıraç dengede.

13. Dönen bir sistemde kütleler dönme ekseninden uzaklaştırılmaktadır. Sistemin eylemsizlik momentinin nasıl değiştiği araştırılmaktadır. Buna göre eylemsizlik momenti nasıl değişir?

Kütleler eksenden uzaklaştırılıyor

• A) Azalır
• B) Değişmez
• C) Sıfır olur
• D) Önce artar sonra azalır
• E) Artar

Doğru cevap: E — Kütleler dönme ekseninden uzaklaştırılırsa eylemsizlik momenti artar; çünkü $I = \sum m r^2$ uzaklığın karesiyle büyür.

1. Eylemsizlik momenti, dönmeye karşı direnç ölçüsüdür; noktasal kütleler için $I = \sum m r^2$.
2. Kütleler değişmiyor, yalnız eksene uzaklıkları (r) artıyor.
3. r büyüdükçe $r^2$ daha hızlı büyür: uzaklık iki katına çıkarsa o kütlenin katkısı dört katına çıkar. Toplam I artar.
4. Denetleyelim: dönen bir sandalyede kolları açınca dönüşün yavaşlaması, açılan kolların I’yı büyüttüğünü gösterir ✓.

14. Buz patencisi dönerken kollarını gövdesine çekmektedir. Dış tork bulunmadığı için açısal momentum korunmaktadır. Buna göre patencinin açısal hızı nasıl değişir?

L = I × ω (korunuyor)

• A) Artar
• B) Azalır
• C) Değişmez
• D) Sıfırlanır
• E) Önce azalır sonra artar

Doğru cevap: A — Kollar çekilince eylemsizlik momenti azalır; $L = I\omega$ korunduğu için patencinin açısal hızı artar.

1. Dış tork yok; açısal momentum korunur: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
2. Kollar gövdeye çekilince kolların kütlesi eksene yaklaşır; $I = \sum m r^2$ olduğundan I azalır.
3. Çarpımın sabit kalması için ω artmalıdır: I üçte birine inerse ω üç katına çıkar.
4. Denetleyelim: patenci kollarını yeniden açınca yavaşlar ✓ — I artınca ω azalıyor, çarpım sabit.

15. İki cisim arasındaki uzaklık iki katına çıkarılmaktadır. Aralarındaki kütle çekim kuvvetinin nasıl değiştiği sorulmaktadır. Buna göre kuvvet ne olur?

Uzaklık iki katına çıkarılıyor

• A) İki katına çıkar
• B) Dörtte birine iner
• C) Yarıya iner
• D) Değişmez
• E) Dört katına çıkar

Doğru cevap: B — Kütle çekim kuvveti uzaklığın karesiyle ters orantılıdır; uzaklık iki katına çıkınca kuvvet dörtte birine iner.

1. Newton’un kütle çekim yasası: $F = G \dfrac{m_1 m_2}{d^2}$.
2. Kütleler aynı, uzaklık $d \to 2d$ oluyor; payda $d^2 \to (2d)^2 = 4d^2$ olur.
3. Payda 4 katına çıkınca kuvvet 4’e bölünür: $F_2 = F_1 / 4$.
4. Denetleyelim: uzaklık üç katına çıksaydı kuvvet dokuzda birine inerdi ✓ — ters kare yasası tutarlı.

16. Gezegenlerin Güneş çevresindeki yörüngeleri incelenmektedir. Kepler bu yörüngelerin biçimini tanımlamıştır. Buna göre yörüngeler nasıldır?

Kepler I. Kanunu

• A) Tam çemberdir, Güneş merkezdedir
• B) Elipstir, Güneş odaklardan birindedir
• C) Elipstir, Güneş elipsin merkezindedir
• D) Paraboldür
• E) Doğrusaldır

Doğru cevap: B — Kepler’in I. yasasına göre gezegenlerin yörüngeleri elipstir ve Güneş elipsin odaklarından birinde bulunur.

1. Kepler, Tycho Brahe’nin Mars gözlemlerini dairesel yörüngeyle uyduramadı; aradaki küçük ama kalıcı sapma yeni bir biçim gerektiriyordu.
2. Gözlemlere uyan biçim elipstir: iki odağı olan, basık bir kapalı eğri.
3. Güneş elipsin merkezinde değil, odaklarından birindedir; bu yüzden gezegenin Güneş’e uzaklığı yörünge boyunca değişir (en yakın nokta günberi, en uzak nokta günöte).
4. Denetleyelim: Dünya’nın Güneş’e uzaklığı yıl içinde yaklaşık 147 ile 152 milyon km arasında değişir ✓ — Güneş merkezde olsaydı uzaklık hep aynı kalırdı.

17. Bir gezegen yörüngesinde Güneş'e yaklaştıkça hareketi incelenmektedir. Kepler eşit sürelerde eşit alanların tarandığını göstermiştir. Buna göre gezegenin sürati nasıl değişir?

Kepler II. Kanunu — eşit sürede eşit alan

• A) Azalır
• B) Değişmez
• C) Sıfırlanır
• D) Önce artar sonra sıfırlanır
• E) Artar

Doğru cevap: E — Kepler’in II. yasasına göre gezegen Güneş’e yaklaştıkça sürati artar; eşit sürede eşit alan taranması bunu gerektirir.

1. Güneş ile gezegeni birleştiren doğru, eşit sürelerde eşit alanlar tarar.
2. Gezegen Güneş’e yakınken bu doğru kısadır; kısa kenarlı bir bölge aynı alanı kaplamak için daha uzun bir yay boyunca uzanmalıdır.
3. Aynı sürede daha uzun yay almak, daha büyük sürat demektir; gezegen günberide en hızlı, günötede en yavaştır.
4. Denetleyelim: yasa açısal momentumun korunumuyla aynıdır: $m v r$ sabitken r küçülünce v büyür ✓.

18. Kepler III. Kanunu gezegenin dolanma süresi ile yörünge yarıçapını ilişkilendirir. İki büyüklük arasındaki bağıntı sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

T² ile r³ orantılıdır

• A) Periyodun karesi yarıçapın küpüyle orantılıdır
• B) Periyot yarıçapla ters orantılıdır
• C) Periyodun küpü yarıçapın karesiyle orantılıdır
• D) Periyot yarıçaptan bağımsızdır
• E) Periyot yarıçapla doğru orantılıdır

Doğru cevap: A — Kepler’in III. yasası: gezegenin dolanma süresinin karesi, yörünge yarıçapının (büyük yarı ekseninin) küpüyle orantılıdır: $T^2 \propto r^3$.

1. Yasanın matematiksel biçimi: $T^2 / r^3 = k$; k aynı merkezî cismin (Güneş) çevresindeki bütün gezegenler için aynı sabittir.
2. Kuvvet derecesine dikkat: periyot KARE, yarıçap KÜP olarak yer alır.
3. Buna göre yarıçapı 4 katı olan bir gezegenin periyodu: $T^2 \propto 4^3 = 64$ → $T \propto 8$, yani 8 katıdır.
4. Denetleyelim: Dünya için $r = 1$ AB, $T = 1$ yıl; Mars için $r \approx 1{,}52$ AB → $T \approx \sqrt{1{,}52^3} \approx 1{,}88$ yıl ✓ — gerçek değerle uyuşuyor.

19. Bir otomobil yatay bir virajı sabit süratle dönmektedir. Otomobili viraj boyunca çember üzerinde tutan kuvvet aranmaktadır. Buna göre bu kuvveti hangisi sağlar?

Yatay virajda emniyetli dönüş

• A) Motorun itme kuvveti
• B) Lastiklerle yol arasındaki sürtünme kuvveti
• C) Ağırlık kuvveti
• D) Hava direnci
• E) Normal kuvvet

Doğru cevap: B — Yatay virajda otomobili çembersel yolda tutan merkezcil kuvveti lastiklerle yol arasındaki sürtünme kuvveti sağlar.

1. Otomobilin viraj boyunca çember üzerinde kalması için merkeze yönelik, yatay bir kuvvet gerekir: $F = m v^2 / r$.
2. Etki eden kuvvetleri ayıralım: ağırlık aşağı, normal kuvvet yukarı yöndedir; ikisi de düşeydir ve birbirini dengeler, yatay bileşenleri yoktur.
3. Lastiklerle yol arasındaki sürtünme ise yataydır ve lastikler viraja döndürüldüğünde merkeze doğru yönelir; merkezcil kuvveti sağlayan odur.
4. Denetleyelim: buzlu yolda sürtünme azalınca araç virajı dönemeyip teğet doğrultuda savrulur ✓ — merkezcil kuvvetin kaynağı sürtünme.

20. Çamaşır makinesi sıkma devrinde tamburu hızla döndürmektedir. Su damlacıklarının delikten dışarı çıkması incelenmektedir. Buna göre damlacıklar neden dışarı atılır?

Sıkma devrinde tambur hızlanıyor

• A) Merkezden dışarı iten bir kuvvet oluştuğu için
• B) Suyun kütlesi arttığı için
• C) Tambur damlacığa yetecek merkezcil kuvveti sağlayamadığı için
• D) Sıcaklık arttığı için
• E) Hava basıncı azaldığı için

Doğru cevap: C — Damlacıklar dışarı atılır, çünkü tambur delik hizasında damlacığa çembersel yolda kalmasına yetecek merkezcil kuvveti sağlayamaz.

1. Tamburla birlikte dönen bir damlacığın çember üzerinde kalması için merkeze yönelik bir kuvvet gerekir: $F = m v^2 / r$; hızlı sıkma devrinde bu kuvvet büyüktür.
2. Çamaşırlar bu kuvveti tambur duvarından alır; duvar onları içeri doğru iter. Deliğin hizasındaki su damlacığını ise iten bir duvar yoktur.
3. Merkezcil kuvvetten yoksun kalan damlacık, eylemsizliği gereği o anki hız doğrultusunda, yani çembere teğet olarak düz ilerler ve delikten dışarı çıkar.
4. Denetleyelim: tambur ne kadar hızlı dönerse gereken kuvvet ($v^2$ ile) o kadar büyür ve su o kadar iyi ayrılır ✓.