12. Sınıf Matematik 1. Dönem 2. Yazılı
20 soru · cevap anahtarı ve adım adım çözüm sayfanın altında
Kapsanan konular
| Durum | Sonuç |
|---|---|
| Merkezden kirişe inilen dikme | Kirişi ortalar |
| Eşit uzunluktaki kirişler | ? |
Tabloda kiriş özellikleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?
- A Çapa eşittir
- B Merkezden farklı uzaklıktadır
- C Merkeze eşit uzaklıktadır
- D Teğettir
- E Kesişmez
| Aralık | f'(x) işareti |
|---|---|
| x < 2 | Pozitif |
| x > 2 | Negatif |
Tabloda bir fonksiyonun türev işaretleri verilmiştir. x = 2 noktasındaki durum sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yanıt hangisidir?
- A Süreksizlik noktasıdır.
- B Yerel minimum noktasıdır.
- C Büküm noktasıdır.
- D Yerel maksimum noktasıdır.
- E Hiçbir özelliği yoktur.
Yukarıda 15 derecenin kosinüsü fark biçiminde yazılmıştır. Bu değerin kök cinsinden karşılığı sorulmaktadır. Buna göre cos 15° kaçtır?
- A (Kök 6 − Kök 2) bölü 4
- B Bir bölü iki
- C Kök 3 bölü 2
- D (Kök 6 + Kök 2) bölü 4
- E Kök 2 bölü 2
Yukarıda bir aritmetik dizinin ilk terimi ve ortak farkı verilmiştir. Dizinin genel terimi sorulmaktadır. Buna göre aₙ ifadesi hangisidir?
- A 4n + 1
- B 3n − 4
- C n + 4
- D 4n − 1
- E 4n − 3
Yukarıda trigonometrinin temel özdeşliği verilmiştir. Bu ifadenin değeri aranmaktadır. Buna göre toplam kaça eşittir?
- A 0
- B x
- C 2
- D 1
- E sin 2x
Yukarıda bir dizinin genel terimi verilmiştir. Bu dizinin altıncı terimi sorulmaktadır. Buna göre a₆ kaçtır?
- A 11
- B 10
- C 9
- D 12
- E 13
Yukarıda bir daire diliminin ölçüleri verilmiştir. Bu dilimin alanı π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre alan hangisidir?
- A 36π br²
- B 6π br²
- C 12π br²
- D 3π br²
- E 18π br²
Kartlarda türevin oluşum düşüncesi üç adımda verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?
- A Kartlar birbirinden bağımsızdır.
- B Türev ortalama değişimdir.
- C Kesen ile teğet aynıdır.
- D Limit gereksizdir.
- E Türev; kesen eğiminin limiti olarak tanımlanan anlık değişim oranıdır.
Yukarıda bir geometrik dizinin ilk terimi ve ortak oranı verilmiştir. Dizinin dördüncü terimi sorulmaktadır. Buna göre a₄ kaçtır?
- A 45
- B 75
- C 105
- D 405
- E 135
Yukarıda bir teğetin değme noktası ve eğimi verilmiştir. Teğet doğrusunun denklemi sorulmaktadır. Buna göre denklem hangisidir?
- A y = 2x − 2
- B y = 2x + 2
- C y = 2x
- D y = x + 1
- E y = 2x + 1
| İkinci türev | Eğrilik |
|---|---|
| f''(x) > 0 | Yukarı doğru içbükey |
| f''(x) < 0 | ? |
Tabloda ikinci türev ile eğrilik eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Eksik bırakılan bölüm hangi seçenektedir?
- A Doğrusal
- B Yukarı doğru içbükey
- C Aşağı doğru içbükey
- D Süreksiz
- E Tanımsız
Yukarıda terimleri bir bölü n olan bir dizi verilmiştir. Dizinin en büyük terimi sorulmaktadır. Buna göre en büyük terim kaçtır?
- A 1
- B Bir bölü iki
- C 0
- D 2
- E En büyük terim yoktur
| Açı türü | Ölçüsü |
|---|---|
| İç açı (kirişlerin kesişimi) | Gördüğü iki yayın toplamının yarısı |
| Dış açı (kesenlerin kesişimi) | ? |
Tabloda çemberde açı ölçüleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tablodaki boşluk nasıl doldurulmalıdır?
- A Yayların toplamı
- B Yayların toplamının yarısı
- C Gördüğü iki yayın farkının yarısı
- D Yayların farkı
- E Her zaman 90°
Bir uygulama
Bir üretim maliyetinin türevi hesaplanmış ve belirli bir üretim miktarında sıfır çıkmıştır.
Yukarıdaki bulgunun anlamı sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?
- A Maliyet hesaplanamaz.
- B Maliyet sıfırdır.
- C Üretim durmuştur.
- D O üretim miktarı maliyet için kritik noktadır; en küçük ya da en büyük olabilir.
- E Türev yanlıştır.
Yukarıda bir çemberin merkezi ve yarıçapı verilmiştir. Bu çemberin analitik denklemi sorulmaktadır. Buna göre denklem hangisidir?
- A x² + y² = 5
- B x² + y² = 25
- C x + y = 5
- D x² − y² = 25
- E (x − 5)² + y² = 0
| Fonksiyon | Türevi |
|---|---|
| Konum x(t) | Hız v(t) |
| Hız v(t) | ? |
Tabloda türev ilişkileri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?
- A Kütle
- B Konum x(t)
- C Yol
- D Zaman
- E İvme a(t)
Bir fidanlıkta 400 fidan bulunmakta ve fidan sayısı her yıl bir önceki yılın 1,5 katına çıkmaktadır. Fidan sayıları geometrik bir dizi oluşturur. Buna göre 3 yıl sonra fidanlıkta kaç fidan olur?
- A 1350
- B 1200
- C 900
- D 1800
- E 600
Bir uygulama
Bir su deposunun hacmi zamana bağlı olarak değişmektedir ve türev hesaplanmıştır.
Yukarıdaki durumda türevin birimi sorulmaktadır. Buna göre hangi seçenek doğrudur?
- A Yalnızca dakika
- B Yalnızca litre
- C Litre / dakika gibi bir değişim hızı birimi
- D Metre
- E Birimsizdir
| Fonksiyon | Türevinin anlamı |
|---|---|
| Konum | Hız |
| Hız | ? |
Tabloda fonksiyonlar ve türevlerinin anlamları eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Eksik bırakılan bölüm hangi seçenektedir?
- A Zaman
- B Konum
- C Yol
- D İvme
- E Kütle
Yukarıda bir fonksiyon ve bir nokta verilmiştir. Bu noktadaki türevin varlığı sorulmaktadır. Buna göre doğru yargı hangisidir?
- A Türev sonsuzdur.
- B Türev 0'dır.
- C Türev 1'dir.
- D Türev −1'dir.
- E Soldan ve sağdan türevler farklı olduğu için türev yoktur.
🔑 Cevap anahtarı ve çözümler — önce kendin çöz
1. sorunun çözümü
Bir çemberde eşit uzunluktaki kirişler merkeze eşit uzaklıktadır.
- Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar; kirişin yarısı, dikme ve yarıçap bir dik üçgen oluşturur.
- Pisagor bağıntısıyla: (merkeze uzaklık)$^2$ + (kirişin yarısı)$^2$ = $r^2$.
- İki kiriş eşitse yarıları da eşittir; $r$ aynı olduğundan merkeze uzaklıkları da eşit çıkar.
- Denetleyelim: $r = 5$ ve kiriş 8 ise yarısı 4, uzaklık $\sqrt{25 - 16} = 3$; aynı uzunluktaki her kiriş için sonuç yine 3 çıkar ✓.
Sık yapılan hata: "Çapa eşittir" cevabı yanlıştır: kirişlerin birbirine eşit olması onların en uzun kiriş olan çapa eşit olduğunu göstermez. "Merkezden farklı uzaklıktadır" ise bağıntının tersidir; farklı uzaklık farklı uzunluk verir.
2. sorunun çözümü
Türev $x=2$ nin solunda pozitif, sağında negatif olduğundan fonksiyon orada tepe yapar: $x=2$ yerel maksimum noktasıdır.
- Tablonun sol satırını okuyalım: $x<2$ için $f'(x)>0$. Türevin pozitif olması fonksiyonun o aralıkta arttığını söyler.
- Sağ satır: $x>2$ için $f'(x)<0$. Fonksiyon $x=2$ den sonra azalmaya başlıyor.
- Artıştan azalışa geçilen yer bir tepedir; birinci türev testine göre türev artıdan eksiye dönüyorsa o nokta yerel maksimumdur.
- Denetleyelim: $x=2$ nin hem solundaki hem sağındaki değerler $f(2)$ den küçük kalır ✓ — tepe noktası ölçütü sağlanıyor.
Sık yapılan hata: "Yerel minimum noktasıdır." demek. Yerel minimumda türev eksiden artıya geçer; tabloda sıra bunun tersidir, önce pozitif sonra negatiftir.
3. sorunun çözümü
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b açılımı (Kök 6 + Kök 2) bölü 4 verir.
- Fark formülü yazılır: cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30.
- Bilinen değerler yerine konur.
- Sadeleştirilince (Kök 6 + Kök 2) bölü 4 bulunur.
4. sorunun çözümü
aₙ = a₁ + (n − 1)d bağıntısı açılıp sadeleştirilir: 1 + 4(n − 1) = 4n − 3.
- Genel terimi bulmak için bağıntıya değerleri yerleştirelim: aₙ = 1 + (n − 1) × 4.
- Parantezi dağıtalım: 1 + 4n − 4.
- Sabitleri toplayalım: 1 − 4 = −3, yani aₙ = 4n − 3.
- Denetleyelim: n = 1 için 4 − 3 = 1 ✓ — ilk terim doğru; n = 2 için 5, fark yine 4.
Sık yapılan hata: 4n + 1 demek. Bu ifade n = 1 için 5 verir; oysa dizinin ilk terimi 1’dir. Parantez dağıtılırken 1 − 4 = −3 olması gerekiyor.
5. sorunun çözümü
Birim çemberde Pisagor bağıntısından her $x$ için $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ olur.
- Birim çemberi düşünelim: merkezi başlangıç noktası, yarıçapı $1$ birim. $x$ açısının çember üzerindeki bitim noktasının koordinatları $(\cos x,\ \sin x)$ tir.
- Bu noktadan $x$ eksenine dikme inelim: dik kenarları $|\cos x|$ ile $|\sin x|$, hipotenüsü ise yarıçap yani $1$ olan bir dik üçgen çıkar.
- Pisagor bağıntısını yazalım: $\cos^2 x+\sin^2 x=1^2=1$. Bağıntı açının büyüklüğünden bağımsızdır, her $x$ için geçerlidir.
- Denetleyelim: $x=30°$ için $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$ ✓.
Sık yapılan hata: "$\sin 2x$" demek. $\sin 2x=2\sin x\cos x$ ifadesi karelerin toplamıyla değil çarpımla kurulur ve $x$ e göre değişir; temel özdeşliğin sonucu ise sabit $1$ dir.
6. sorunun çözümü
Genel terimde n yerine 6 yazılır: 2 × 6 − 1 = 11.
- Genel terim, dizinin herhangi bir terimini sıra numarasından üreten kuraldır. Altıncı terim isteniyorsa n yerine 6 yazılır.
- Yerine koyalım: a₆ = 2 × 6 − 1.
- İşlem sırasına dikkat edelim; önce çarpma yapılır: 2 × 6 = 12, sonra 12 − 1 = 11.
- Denetleyelim: dizinin ilk terimleri 1, 3, 5, 7, 9, 11 ✓ — altıncısı gerçekten 11.
Sık yapılan hata: 12 demek. 12, yalnız 2 × 6 çarpımıdır; genel terimde bu sonuçtan 1 çıkarılması gerekir.
7. sorunun çözümü
Daire dilimi alanı $\dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$’dir: $\dfrac{60}{360} \cdot 36\pi = 6\pi$ br².
- Tam dairenin alanı: $\pi \cdot 6^2 = 36\pi$.
- Dilim, tam dairenin $\dfrac{60°}{360°} = \dfrac{1}{6}$’sıdır.
- Dilim alanı: $36\pi \div 6 = 6\pi$ br².
- Denetleyelim: 60°’lik 6 dilim tam daireyi oluşturur, $6 \times 6\pi = 36\pi$ ✓.
Sık yapılan hata: 36π cevabı tam dairenin alanıdır; merkez açının dilimi daraltan oranı ($1/6$) uygulanmamıştır. 12π ise çevreyi hesaplayıp oranı hiç kullanmamaktan gelir.
8. sorunun çözümü
Kartlar keseni, limiti ve anlık değişimi birlikte gösterir.
- Birinci kart ortalama oranı veriyor.
- İkinci kart limiti ekliyor.
- Üçüncü kart anlık değişimi getiriyor.
9. sorunun çözümü
Geometrik dizide aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ bağıntısı kullanılır: 5 × 3³ = 135.
- Dördüncü terime giderken ortak oranla kaç kez çarpılır? Dört değil, ÜÇ kez — çünkü ilk terim başlangıç noktasıdır.
- Bağıntıyı yazalım: a₄ = a₁ · r³ = 5 × 3³.
- Üssü hesaplayalım: 3³ = 27. Sonra çarpalım: 5 × 27 = 135.
- Denetleyelim: terimleri tek tek üretelim ✓ — 5, 15, 45, 135.
Sık yapılan hata: 405 demek. 405, üs 3 yerine 4 ALINIRSA çıkar (5 × 3⁴); ilk terimden dördüncüye üç çarpma ile gidilir.
10. sorunun çözümü
Nokta-eğim bağıntısı $y-2=2(x-1)$ düzenlenince teğetin denklemi $y=2x$ olur.
- Teğet bir doğrudur; değme noktası $(1,2)$ ve eğimi $2$ bilindiğine göre nokta-eğim biçimini yazalım: $y-y_0=m(x-x_0)$.
- Değerleri yerleştirip sağ tarafı dağıtalım: $y-2=2(x-1)$, yani $y-2=2x-2$.
- İki yana $2$ ekleyelim: $y=2x-2+2=2x$.
- Denetleyelim: $x=1$ için $y=2\cdot 1=2$ ✓ — doğru gerçekten $(1,2)$ noktasından geçiyor ve eğimi $2$.
Sık yapılan hata: "$y=2x-2$" demek. Bu, dağıtımdan sonra soldaki $-2$ nin karşıya geçirilmesi unutulduğunda kalan ifadedir; $x=1$ konulduğunda $y=0$ verir, oysa değme noktası $(1,2)$ dir.
11. sorunun çözümü
İkinci türev negatifken eğri aşağı doğru içbükeydir; tablodaki boşluk bu ifadeyle dolar.
- Tablonun kurgusu şu: solda ikinci türevin işareti, sağda eğrinin büküm yönü.
- Dolu satır: $f''(x)>0$ → yukarı doğru içbükey. İkinci türev pozitifken $f'$ artar, yani teğetin eğimi soldan sağa büyür ve eğri yukarı doğru kıvrılır.
- İkinci satırda işaret tersine dönüyor: $f''(x)<0$ ise $f'$ azalır, teğetin eğimi küçülür ve eğri aşağı doğru kıvrılır. Karşılığı aşağı doğru içbükeyliktir.
- Denetleyelim: $f(x)=-x^2$ için $f''(x)=-2<0$ ve parabol gerçekten aşağı doğru bükülüyor ✓.
Sık yapılan hata: "Yukarı doğru içbükey" demek. Bu, ÜST SATIRDA $f''(x)>0$ için zaten yazılmış; ikinci türevin işareti değişince büküm yönünün de değişmesi gerekir.
12. sorunun çözümü
n büyüdükçe 1/n küçüldüğü için en büyük terim ilk terimdir: a₁ = 1.
- İlk terimleri yazalım: 1, 1/2, 1/3, 1/4…
- Paydanın büyümesi kesri küçültür. Öyleyse n arttıkça terimler sürekli azalıyor; dizi azalan.
- Azalan bir dizide en büyük terim ilk terimdir: a₁ = 1/1 = 1.
- Denetleyelim: terimler sıfıra yaklaşıyor ama sıfır olmuyor ✓ — en küçük terim yok, ama en büyük var.
Sık yapılan hata: "En büyük terim yoktur" demek. Terimler küçüldüğü için EN KÜÇÜK terim yoktur; en büyük terim ise ilk terimdir ve 1’dir.
13. sorunun çözümü
Çember dışında kesişen iki kesenin oluşturduğu açı, gördüğü iki yayın farkının yarısıdır.
- İç açıda (kirişler çemberin içinde kesişir) açı, gördüğü iki yayın toplamının yarısıdır.
- Dış açıda tepe çemberin dışındadır; açının kolları büyük yayı görür ama küçük yay onu "geri çeker". Bu yüzden yaylar çıkarılır: $\alpha = \dfrac{\text{büyük yay} - \text{küçük yay}}{2}$.
- Tabloya gelmesi gereken ifade: gördüğü iki yayın farkının yarısı.
- Denetleyelim: yaylar 100° ve 40° ise dış açı $(100 - 40) \div 2 = 30°$; tepe noktası çembere yaklaştıkça küçük yay sıfıra iner ve açı çevre açıya ($100 \div 2$) dönüşür ✓.
Sık yapılan hata: "Yayların toplamının yarısı" cevabı iç açının kuralıdır; tablonun üst satırını dış açıya taşımaktan gelir. Tepe çemberin dışına çıktığında toplam değil fark alınır.
14. sorunun çözümü
Maliyet türevinin sıfırlanması o üretim miktarının kritik nokta olduğunu gösterir; en küçük mü en büyük mü olduğu ayrıca incelenir.
- Türevin sıfır olması ne demektir? O noktada maliyet eğrisinin teğeti yataydır; üretim çok az değiştiğinde maliyet birinci mertebeden değişmez.
- Yatay teğet tek başına türü söylemez: nokta yerel minimum da olabilir, yerel maksimum da, yalnızca bir dönüm noktası da.
- Türü belirlemek için türevin o noktanın iki yanındaki işaretine ya da ikinci türevin işaretine bakmak gerekir. Bu yüzden bulgunun anlamı şu kadardır: burası bir kritik noktadır.
- Denetleyelim: maliyet problemlerinde aranan genelde en küçük maliyettir ✓ — ama bunu doğrulayan şey türevin sıfır olması değil, işaretin eksiden artıya dönmesidir.
Sık yapılan hata: "Maliyet sıfırdır." demek. Sıfırlanan şey maliyetin KENDİSİ değil türevidir; türevin sıfır olması maliyetin o noktada değişmediğini gösterir, ortadan kalktığını değil.
15. sorunun çözümü
Merkezi orijin olan çemberin denklemi $x^2 + y^2 = r^2$’dir; $r = 5$ için $x^2 + y^2 = 25$.
- Çember, merkeze uzaklığı $r$ olan noktaların kümesidir. $(x, y)$ noktasının orijine uzaklığı $\sqrt{x^2 + y^2}$’dir.
- Koşul: $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$; iki tarafın karesini alırsak $x^2 + y^2 = 25$.
- Denklem $x^2 + y^2 = 25$ olur.
- Denetleyelim: $(3, 4)$ noktası için $9 + 16 = 25$ ✓; bu noktanın orijine uzaklığı gerçekten 5’tir.
Sık yapılan hata: $x^2 + y^2 = 5$ cevabı en sık yapılan hatadır: denklemin sağ tarafı yarıçap değil yarıçapın karesidir. Bu denklem yarıçapı $\sqrt{5}$ olan çemberi anlatır.
16. sorunun çözümü
Hızın zamana göre türevi ivmedir; tablodaki boşluk $a(t)$ ile tamamlanır.
- Tablonun kurgusu şu: solda bir büyüklük, sağda onun zamana göre türevi.
- Dolu satır: konum $x(t)$ → hız $v(t)$. Demek ki türev, bir büyüklüğün zamanla ne kadar hızlı değiştiğini veriyor.
- İkinci satırda soldaki büyüklük hızdır. Hızın zamanla değişim hızına ivme denir: $a(t)=v'(t)=x''(t)$.
- Denetleyelim: ivme konumun ikinci türevidir ✓ — zincir tutarlı işliyor, konum → hız → ivme.
Sık yapılan hata: "Konum $x(t)$" demek. Konum bu zincirin BAŞINDA durur, hızın türevi değildir; tersine, hızın kendisi zaten konumun türevidir.
17. sorunun çözümü
Her yıl 1,5 ile çarpıldığı için üç yıl sonra 400 × 1,5³ = 1350 fidan olur.
- Artışın türünü belirleyelim: sayı her yıl sabit bir miktar değil, bir önceki yılın 1,5 KATI oluyor. Öyleyse geometrik bir dizi.
- Yıl yıl ilerleyelim: birinci yıl 400 × 1,5 = 600, ikinci yıl 600 × 1,5 = 900.
- Üçüncü yıl: 900 × 1,5 = 1350 fidan. Toplu olarak 400 × 1,5³ = 400 × 3,375 = 1350.
- Denetleyelim: üç yıl için üç çarpma yapıldı ✓ — başlangıç değeri sayıma girmiyor.
Sık yapılan hata: 1200 demek. 1200, her yıl sabit 400 EKLENİRSE çıkar (400 + 3 × 400 gibi); oysa artış eklemeli değil çarpımlı, yani geometrik.
18. sorunun çözümü
Türev, bağımlı değişkenin biriminin bağımsız değişken birimine oranıdır.
- Hacim litreyle ölçülüyor.
- Zaman dakikayla ölçülüyor.
- Türevin birimi litre/dakika olur.
19. sorunun çözümü
Hızın zamana göre türevi ivmedir.
- Konumun türevi hızı veriyor.
- Hızın değişim hızı aranıyor.
- Bu büyüklük ivmedir.
20. sorunun çözümü
Soldan türev −1, sağdan türev 1'dir; eşit olmadıkları için türev yoktur.
- x < 0 için eğim −1'dir.
- x > 0 için eğim 1'dir.
- Eşit olmadıkları için türev tanımsızdır.