s

12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı

20 soru · cevap anahtarı ve adım adım çözüm sayfanın altında

Yazdır / PDF kaydet Word indir

Kapsanan konular

Analitik Geometri Limit ve Süreklilik Belirli İntegral ve Alan Hesabı Üstel ve Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler
1
A(1, 1), B(4, 5)

Analitik düzlemde iki nokta verilmiştir. Bu noktalar arasındaki uzaklık hesaplanacaktır. Buna göre uzaklık kaç birimdir?

  1. A 3
  2. B 5
  3. C 4
  4. D 7
  5. E 25
2
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}

Yukarıda verilen limit kaça eşittir?

  1. A 6
  2. B 3
  3. C 0
  4. D $\frac{1}{2}$
  5. E Tanımsız
3

Doğal logaritmanın tabanı olan $e$ sayısının matematikte öne çıkmasının nedeni sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

  1. A Tam sayı olması
  2. B Nedenin bulunmaması
  3. C En küçük taban olması
  4. D Rasyonel olması
  5. E Sürekli büyüme ve azalma süreçlerinin doğal olarak bu tabanla modellenmesi
4
r = 3

Yarıçapı verilen bir çemberin çevresi hesaplanacaktır. Çevre formülünün uygulanması beklenmektedir. Buna göre çevre kaç birimdir?

  1. A 3π
  2. B 6π
  3. C 9π
  4. D 12π
  5. E 18π
5
x² + y² = 25, T(3, 4)

Merkezi orijinde olan bir çember ve üzerindeki bir nokta verilmiştir. Bu noktadaki teğetin denklemi aranmaktadır. Buna göre teğet denklemi hangisidir?

  1. A 3x − 4y = 25
  2. B 4x + 3y = 25
  3. C 3x + 4y = 25
  4. D x + y = 7
  5. E 3x + 4y = 5
6

$\log_2 8 + \log_2 4$ işleminin sonucu kaçtır?

  1. A 3
  2. B 5
  3. C 4
  4. D 6
  5. E 32
7
\int_1^3 (2x + 1)\,dx

Yukarıdaki belirli integralin değeri kaçtır?

  1. A 6
  2. B 8
  3. C 12
  4. D 10
  5. E 14
8
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Yukarıdaki bağıntının sağladığı yarar sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

  1. A Yararının bulunmaması
  2. B Herhangi bir tabandaki logaritmanın, hesap makinesinde bulunan 10 ya da $e$ tabanına çevrilebilmesi
  3. C Sonucun değişmesi
  4. D Tabanın yok olması
  5. E İşlemin zorlaşması
9
123424680xf(x)

Grafikte bir doğrusal fonksiyonun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyonun $x = 2$ noktasındaki limiti kaçtır?

  1. A 5
  2. B 3
  3. C 1
  4. D 7
  5. E Yoktur
10
\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 - x}

Yukarıdaki ifadenin limit değeri nedir?

  1. A 0
  2. B $\frac{3}{2}$
  3. C $\frac{2}{3}$
  4. D 1
  5. E Sonsuz
11
x² + y² − 6x + 8y = 0

Genel biçimde yazılmış bir çember denklemi verilmiştir. Tam kare tamamlanarak merkez bulunacaktır. Buna göre çemberin merkezi hangi noktadır?

  1. A (6, −8)
  2. B (−3, 4)
  3. C (3, 4)
  4. D (−3, −4)
  5. E (3, −4)
12
2^{x+1} = 32

Yukarıdaki denklemin çözümü kaçtır?

  1. A 4
  2. B 3
  3. C 5
  4. D 6
  5. E 16
13

Belirli integral hesabında ters türevdeki $+C$ sabitinin yazılmamasının nedeni sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

  1. A Sabitin sıfır olması
  2. B Çıkarma işleminde $C$ sabitlerinin birbirini götürmesi
  3. C Sabitin tanımsız olması
  4. D Ters türevin bulunmaması
  5. E Nedenin bulunmaması
14
Merkez O(0, 0), r = 5

Merkezi orijinde olan bir çemberin yarıçapı verilmiştir. Bu çemberin denklemi sorulmaktadır. Buna göre denklem hangisidir?

  1. A x² + y² = 25
  2. B x² + y² = 5
  3. C x² + y² = 10
  4. D (x − 5)² + y² = 25
  5. E x + y = 5
15
x² + y² = 25, P(6, 0)

Bir çember ve bir nokta verilmiştir. Noktanın çembere göre konumu araştırılmaktadır. Buna göre nokta nerededir?

  1. A Çember üzerindedir
  2. B Merkezdedir
  3. C Çemberin içindedir
  4. D Belirlenemez
  5. E Çemberin dışındadır
16

$\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1)$ limitinin değeri kaçtır?

  1. A 9
  2. B 11
  3. C 13
  4. D 15
  5. E 7
17

Riemann toplamının belirli integralle ilişkisi sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

  1. A İlişkinin bulunmaması
  2. B İkisinin aynı olması
  3. C Riemann toplamının türev vermesi
  4. D Toplamın sıfır olması
  5. E Bölge dikdörtgenlere ayrılarak yaklaşık alan bulunması; dikdörtgen sayısı sonsuza giderken toplamın belirli integrale yaklaşması
18
A = \int_a^b f(x)\,dx, \quad f(x) \geq 0

Belirli integralin alan hesabında kullanılabilmesi için gereken koşul sorulmaktadır. Doğru koşul hangisidir?

  1. A Fonksiyonun artan olması
  2. B Fonksiyonun aralıkta negatif olmaması; negatif olduğu bölgelerde integralin işaretli değer vermesi
  3. C Fonksiyonun polinom olması
  4. D Sınırların pozitif olması
  5. E Koşul bulunmaması
19

Bir fonksiyonun $x = a$ noktasında tanımlı olmamasına karşın bu noktada limitinin bulunabilmesinin nedeni sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

  1. A Limitin yanlış hesaplanması
  2. B Limitin daima sıfır olması
  3. C Fonksiyonun sürekli olması
  4. D Tanım kümesinin genişlemesi
  5. E Limitin $a$ noktasındaki değerle değil, $a$’ya yaklaşırken izlenen davranışla ilgili olması
20

$f(x) = x$ doğrusu ile $x$ ekseni arasında kalan ve $x=0$ ile $x=4$ doğruları arasındaki bölgenin alanı kaç birim karedir?

  1. A 4
  2. B 6
  3. C 8
  4. D 12
  5. E 16
🔑 Cevap anahtarı ve çözümler — önce kendin çöz
1. B 2. A 3. E 4. B 5. C 6. B 7. D 8. B 9. A 10. B 11. E 12. A 13. B 14. A 15. E 16. B 17. E 18. B 19. E 20. C
1. sorunun çözümü

Koordinat farkları 3 ve 4 olduğundan uzaklık $\sqrt{9 + 16} = 5$ birimdir.

  1. Apsis farkını alalım: $4 - 1 = 3$.
  2. Ordinat farkını alalım: $5 - 1 = 4$.
  3. Uzaklık formülünü uygulayalım: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ birim.
  4. Denetleyelim: noktaların sırasını değiştirip hesaplayalım → $\sqrt{(1-4)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ ✓ uzaklık yönden bağımsız, aynı çıkıyor.

Sık yapılan hata: 7 yanıtı. Bu, farkların doğrudan toplanmasından ($3 + 4$) gelir. Uzaklık farkların toplamı değil, kareleri toplamının kareköküdür.

2. sorunun çözümü

Pay ile paydanın ortak çarpanı $x-3$ sadeleştirilince limit $\frac{6}{1} = 6$ bulunur.

  1. $x = 3$ koyalım: pay $9 - 9 = 0$, payda $9 - 15 + 6 = 0$. Ortaya $\frac{0}{0}$ belirsizliği çıktı.
  2. Payı çarpanlara ayıralım: iki kare farkından $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
  3. Paydayı çarpanlara ayıralım: kökleri 2 ile 3 olduğundan $x^2 - 5x + 6 = (x-3)(x-2)$.
  4. Ortak çarpan $x - 3$ sadeleşir ($x \neq 3$ olduğu için geçerli): ifade $\frac{x+3}{x-2}$ olur.
  5. Denetleyelim: $x \to 3$ için $\frac{3+3}{3-2} = \frac{6}{1} = 6$; sayısal denetim $x = 3{,}01$ → $\frac{6{,}01}{1{,}01} \approx 5{,}95$ ✓ 6’ya yaklaşıyor.

Sık yapılan hata: “Tanımsız” seçeneği. İfade $x = 3$ noktasında gerçekten tanımsızdır, ama limit o noktanın değerini değil çevresindeki davranışı sorar; ortak çarpan sadeleşince limit vardır ve 6’dır.

3. sorunun çözümü

Sürekli büyüme ve azalma süreçleri doğal olarak $e$ tabanıyla modellenir.

  1. Sorunun ne sorduğuna dikkat edelim: $e$ sayısının matematikte neden ayrı bir yer tuttuğu.
  2. Seçeneklerdeki sayısal özellikleri eleyelim: $e$ tam sayı değildir, rasyonel de değildir; yaklaşık 2,718 olan irrasyonel bir sayıdır. En küçük taban da değildir.
  3. Öne çıkmasının nedeni yapısal: sürekli bileşik faiz, nüfus artışı ve radyoaktif bozunma gibi sürekli değişen süreçler doğal olarak bu tabanla ifade edilir. Doğal logaritma da bu tabana dayanır.
  4. Denetleyelim: seçim keyfî değil ✓ — türev alındığında kendini koruyan tek üstel taban $e$’dir.

Sık yapılan hata: "Rasyonel olması" demek. $e$ sayısı rasyonel DEĞİL, irrasyoneldir; öne çıkmasının nedeni sayısal bir özellik değil, sürekli değişim süreçlerini modellemesidir.

4. sorunun çözümü

Çevre $2\pi r$ olduğundan $r = 3$ için çevre $6\pi$ birimdir.

  1. Çemberin çevresi yarıçapla doğru orantılıdır: $C = 2\pi r$.
  2. $r = 3$ yerine konur: $C = 2 \cdot \pi \cdot 3 = 6\pi$ birim.
  3. $\pi \approx 3{,}14$ alınırsa çevre yaklaşık $18{,}8$ birim eder.
  4. Denetleyelim: çap $2r = 6$ birimdir ve çevre çapın $\pi$ katına eşittir → $6\pi$ ✓ iki ayrı yoldan aynı sonuç çıkıyor.

Sık yapılan hata: $9\pi$ seçeneği. Bu, çevre ile alan formüllerinin karışmasından doğar: $9\pi$ sayısı $\pi r^2$ ile bulunan ALANDIR, çevre değil.

5. sorunun çözümü

Orijin merkezli çemberde değme noktası $T(x_0, y_0)$ için teğet $x_0x + y_0y = r^2$ olur; denklem $3x + 4y = 25$’tir.

  1. Önce $T(3,4)$ gerçekten çember üzerinde mi bakalım: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ✓ üzerinde.
  2. Teğet, değme noktasına giden yarıçapa diktir. $OT$ yarıçapının eğimi $\frac{4}{3}$ olduğundan teğetin eğimi bunun ters işaretli çarpmaya göre tersi, yani $-\frac{3}{4}$ olur.
  3. $T(3,4)$ noktasından bu eğimle doğru yazalım: $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$. Dört ile çarpıp düzenleyince $4y - 16 = -3x + 9 \Rightarrow 3x + 4y = 25$.
  4. Denetleyelim: $T(3,4)$ noktasını bulduğumuz denkleme koyalım → $9 + 16 = 25$ ✓ teğet değme noktasından geçiyor ve sağ taraf $r^2$ ile aynı.

Sık yapılan hata: $3x + 4y = 5$ seçeneği. Sağ tarafa yarıçapın karesi yerine kendisi yazılmış; bu doğru $T(3,4)$ noktasından geçmez, çünkü $9 + 16 = 25 \neq 5$.

6. sorunun çözümü

İki logaritma ayrı ayrı hesaplanır ya da çarpım kuralıyla birleştirilir: 3 + 2 = 5.

  1. İki yol da işler; ikisini de görelim.
  2. Birinci yol — ayrı ayrı: $\log_2 8 = 3$ çünkü 2³ = 8; $\log_2 4 = 2$ çünkü 2² = 4. Toplam 3 + 2 = 5.
  3. İkinci yol — birleştirerek: çarpım kuralıyla $\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32$ ve 2⁵ = 32 olduğundan sonuç yine 5.
  4. Denetleyelim: iki yol aynı sonucu veriyor ✓ — çarpım kuralı tutarlı.

Sık yapılan hata: 32 demek. 32, logaritmanın İÇİNDEKİ çarpımdır ($8 \cdot 4$); sorulan ise bu sayının 2 tabanındaki logaritması, yani 5.

7. sorunun çözümü

$2x+1$ ifadesinin ters türevi $x^2 + x$ olduğundan integral $12 - 2 = 10$ çıkar.

  1. Terim terim ters türev alalım: $2x$ için $x^2$, $1$ için $x$. Toplam ters türev $F(x) = x^2 + x$.
  2. Denetleme amacıyla türevini alalım: $2x + 1$ ✓ aranan fonksiyon.
  3. Uçları yerine koyalım: $F(3) = 9 + 3 = 12$ ve $F(1) = 1 + 1 = 2$. Fark $12 - 2 = 10$.
  4. Denetleyelim: bölge, genişliği $3-1 = 2$ ve paralel kenarları $f(1) = 3$ ile $f(3) = 7$ olan bir yamuktur; alanı $\frac{3+7}{2} \cdot 2 = 10$ ✓ integral sonucuyla aynı.

Sık yapılan hata: 14 yanıtı. Uç değerler çıkarılacakken toplanmış ($12 + 2$); oysa belirli integral $F(b) - F(a)$ farkına eşittir.

8. sorunun çözümü

Taban değiştirme formülü, her tabandaki logaritmayı 10 ya da $e$ tabanına çevirir.

  1. Pratik sorunu belirleyelim: hesap araçlarında genellikle yalnız $\log$ (10 tabanı) ve $\ln$ ($e$ tabanı) tuşları bulunur.
  2. Oysa problemlerde 2, 3, 5 gibi tabanlar da çıkar. Bu logaritmaları doğrudan hesaplamak mümkün değildir.
  3. Formül tam bunu çözer: istenen logaritma, elde bulunan bir tabandaki iki logaritmanın oranı olarak yazılır. Böylece her taban hesaplanabilir hâle gelir.
  4. Denetleyelim: sonuç değişmiyor ✓ — yalnız hesaplama yolu değişiyor.

Sık yapılan hata: "Sonucun değişmesi" demek. Formül logaritmanın DEĞERİNİ değiştirmez; yalnızca onu hesaplanabilir bir tabana çevirir.

9. sorunun çözümü

Grafikteki doğru $f(x) = 2x + 1$ olduğundan $x = 2$ noktasındaki limit 5’tir.

  1. Grafikten okunan noktalar şunlar: $x = 0$ iken 1, $x = 1$ iken 3, $x = 2$ iken 5, $x = 3$ iken 7. Her birim artışta değer 2 artıyor.
  2. Öyleyse doğrunun eğimi 2, $y$ eksenini kestiği değer 1: $f(x) = 2x + 1$.
  3. Doğrusal fonksiyonlar her noktada süreklidir ve süreklilikte limit fonksiyon değerine eşittir: $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$.
  4. Denetleyelim: grafikte $x = 2$ hizasından yukarı çıkınca doğru, 4 ile 6 çizgilerinin tam ortasından geçiyor ✓ okunan değer 5, hesapla aynı.

Sık yapılan hata: “Yoktur” seçeneği. Limitin yokluğu ancak grafikte bir sıçrama ya da kopukluk bulunsaydı söz konusu olurdu; burada kesintisiz tek bir doğru var, dolayısıyla limit vardır.

10. sorunun çözümü

Pay ile payda aynı dereceden olduğu için sonsuzdaki limit baş katsayıların oranıdır: $\frac{3}{2}$.

  1. Dereceleri karşılaştıralım: pay $3x^2 + 5$ ikinci dereceden, payda $2x^2 - x$ da ikinci derecedendir.
  2. Pay ve paydayı $x^2$ ile bölelim: ifade $\frac{3 + \frac{5}{x^2}}{2 - \frac{1}{x}}$ olur.
  3. $x \to \infty$ iken $\frac{5}{x^2} \to 0$ ve $\frac{1}{x} \to 0$ olduğundan geriye $\frac{3}{2}$ kalır.
  4. Denetleyelim: $x = 1000$ için $\frac{3\,000\,005}{1\,999\,000} \approx 1{,}5008$ ✓ $\frac{3}{2} = 1{,}5$ değerine yaklaşıyor.

Sık yapılan hata: $\frac{2}{3}$ seçeneği. Oran ters kurulmuş. Dereceler eşitken limit, PAYIN baş katsayısının paydanınkine bölümüdür; tersi değil.

11. sorunun çözümü

Tam kare tamamlanınca denklem $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$ olur; merkez $(3, -4)$ noktasıdır.

  1. Önce $x$ terimlerini toplayalım: $x^2 - 6x$. Tam kare için $\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9$ kullanılır ve $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ yazılır.
  2. Aynı işlemi $y$ için yapalım: $y^2 + 8y$ ifadesinde $\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$ olur ve $y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16$ çıkar.
  3. İkisini denkleme koyalım: $(x-3)^2 - 9 + (y+4)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$. Merkez $(3, -4)$, yarıçap 5 birim.
  4. Denetleyelim: merkez $(3,-4)$ ve yarıçap 5 doğruysa $(8, -4)$ noktası çember üzerinde olmalı → $64 + 16 - 48 - 32 = 0$ ✓ asıl denklem sağlanıyor.

Sık yapılan hata: $(-3, 4)$ seçeneği. Katsayıların yarısı alınırken işaret çevirmek unutulunca buraya varılır; genel biçimde merkez $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ olduğu için $-6$ ve $+8$ katsayıları $3$ ve $-4$ verir.

12. sorunun çözümü

İki taraf aynı tabana getirilip üsler eşitlenir: x + 1 = 5, yani x = 4.

  1. Üstel denklemin çözüm yöntemi şu: iki tarafı aynı tabanda yazıp üsleri eşitlemek.
  2. Sol taraf zaten 2 tabanında. Sağ tarafı da 2’nin kuvveti olarak yazalım: 32 = 2⁵.
  3. Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşittir: x + 1 = 5 ve buradan x = 4.
  4. Denetleyelim: yerine koyalım ✓ — 2⁴⁺¹ = 2⁵ = 32, denklem sağlanıyor.

Sık yapılan hata: 5 demek. 5, ÜSSÜN kendisidir (x + 1 = 5); aranan x ise bundan 1 eksiktir, yani 4.

13. sorunun çözümü

Belirli integralde $+C$ yazılmaz, çünkü çıkarma işleminde iki $C$ birbirini götürür.

  1. Bir fonksiyonun sonsuz çok ters türevi vardır ve hepsi birbirinden yalnız bir sabitle ayrılır: $F(x) + C$.
  2. Herhangi birini seçip temel teoremi uygulayalım: $[F(b) + C] - [F(a) + C]$.
  3. Parantezler açılınca $F(b) - F(a) + C - C = F(b) - F(a)$ kalır; $C$ sonucu hiç etkilemez.
  4. Denetleyelim: $\int_0^2 3x^2\,dx$ için ters türev olarak $x^3$ seçersek $8 - 0 = 8$; $x^3 + 7$ seçersek $15 - 7 = 8$ ✓ hangi ters türev seçilirse seçilsin sonuç aynı.

Sık yapılan hata: “Sabitin sıfır olması” seçeneği. $C$ sıfır olmak zorunda değildir, herhangi bir sayı olabilir. Sonucu etkilememesinin nedeni sıfır olması değil, çıkarmada sadeleşmesidir.

14. sorunun çözümü

Merkezi orijinde ve yarıçapı 5 olan çemberin denklemi $x^2 + y^2 = 25$ olur.

  1. Çember, merkeze uzaklığı yarıçapa eşit olan noktaların kümesidir. Merkez orijinde olduğu için $P(x, y)$ noktasının merkeze uzaklığı $\sqrt{x^2 + y^2}$ biçiminde yazılır.
  2. Bu uzaklığı yarıçapa eşitleyelim: $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$. İki yanın karesini alınca $x^2 + y^2 = 25$ çıkar.
  3. Dikkat edilecek nokta şu: sağ tarafta yarıçapın kendisi değil KARESİ durur. $r = 5$ için $r^2 = 25$.
  4. Denetleyelim: çember üzerinde olması gereken $(3, 4)$ noktasını koyalım → $9 + 16 = 25$ ✓ ve bu noktanın orijine uzaklığı $\sqrt{9+16} = 5$, tam yarıçap kadar.

Sık yapılan hata: $x^2 + y^2 = 5$ seçeneği. Bu denklem sağ tarafa yarıçapın karesini değil kendisini yazar; yarıçapı $\sqrt{5}$ olan bambaşka bir çemberi anlatır.

15. sorunun çözümü

Noktanın merkeze uzaklığı 6 birim, yarıçap 5 birim olduğundan $P$ çemberin dışındadır.

  1. Çemberin merkezi orijin, yarıçapı $\sqrt{25} = 5$ birimdir.
  2. $P(6, 0)$ noktasının orijine uzaklığını bulalım: $\sqrt{6^2 + 0^2} = 6$ birim.
  3. Ölçüt şudur: uzaklık yarıçaptan büyükse nokta dışarıda, küçükse içeride, eşitse çember üzerindedir. Burada $6 > 5$.
  4. Denetleyelim: noktayı denklemde deneyelim → $36 + 0 = 36 > 25$ ✓ sol taraf yarıçap karesini aşıyor, yani nokta dışarıda kalıyor.

Sık yapılan hata: “Çemberin içindedir” seçeneği. Bu, $6 < 5$ demek olurdu. Karşılaştırma ters kurulunca seçilir; uzaklık yarıçaptan BÜYÜK olduğunda nokta dışarıdadır.

16. sorunun çözümü

Polinomlar her noktada sürekli olduğundan limit doğrudan yerine koyarak bulunur: 11.

  1. $3x^2 - x + 1$ bir polinomdur ve polinom fonksiyonlar bütün gerçek sayılarda süreklidir.
  2. Süreklilik, limitin fonksiyon değerine eşit olması demektir. Öyleyse $x = 2$ doğrudan yerine konabilir.
  3. Hesaplayalım: $3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$, ardından $12 - 2 + 1 = 11$.
  4. Denetleyelim: $x = 1{,}99$ için $3 \cdot 3{,}9601 - 1{,}99 + 1 = 10{,}8903$; $x = 2{,}01$ için $3 \cdot 4{,}0401 - 2{,}01 + 1 = 11{,}1103$ ✓ iki yandan da 11’e yaklaşıyor.

Sık yapılan hata: 9 yanıtı. Sabit terimin işareti yanlış alınıp $12 - 2 - 1$ hesaplanınca bu sayı çıkar; ifadede 1 toplanır, çıkarılmaz.

17. sorunun çözümü

Riemann toplamı bölgeyi dikdörtgenlere ayırarak yaklaşık alan verir; dikdörtgen sayısı sonsuza giderken bu toplam belirli integrale yaklaşır.

  1. $[a, b]$ aralığını $n$ eşit parçaya bölelim; her parçanın genişliği $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ olur.
  2. Her parçada fonksiyonun bir değeri yükseklik seçilip dikdörtgen kurulur ve alanları toplanır: $\sum f(x_i)\,\Delta x$.
  3. Bu toplam, eğrinin altındaki bölgenin yaklaşık alanıdır; dikdörtgen sayısı arttıkça basamaklı sınır eğriye daha çok benzer, hata küçülür.
  4. Denetleyelim: $n \to \infty$ iken $\Delta x \to 0$ olur ve toplamın limiti $\int_a^b f(x)\,dx$ olarak tanımlanır ✓ belirli integralin tanımı zaten bu limittir.

Sık yapılan hata: “İkisinin aynı olması” seçeneği. Sonlu sayıda dikdörtgenle kurulan toplam yalnız yaklaşık bir değerdir; integrale eşitlik ancak dikdörtgen sayısı sonsuza giderken kurulan limitte doğar.

18. sorunun çözümü

İntegralin doğrudan alan vermesi için fonksiyonun aralıkta negatif olmaması gerekir; negatif olduğu bölgelerde integral işaretli değer üretir.

  1. Riemann toplamında her dikdörtgenin katkısı $f(x) \cdot \Delta x$ ile hesaplanır. $\Delta x$ pozitiftir, işareti belirleyen $f(x)$’tir.
  2. $f(x) \geq 0$ olan bölgede terimler pozitiftir ve toplam gerçek alanı verir.
  3. $f(x) < 0$ olan bölgede ise terimler negatif çıkar; integral oradaki alanı eksi işaretiyle sayar.
  4. Denetleyelim: gerçek alan isteniyorsa eksenin altında kalan parçalar ayrılıp mutlak değerleri alınmalı. Örneğin $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$ çıkıyor ✓ oysa grafiğin altındaki gerçek alan $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ birim karedir.

Sık yapılan hata: “Koşul bulunmaması” seçeneği. Koşul vardır ve önemlidir; işaret gözetilmezse eksenin altındaki bölgeler alanı azaltır, hatta bütünüyle sıfırlayabilir.

19. sorunun çözümü

Limit, $a$ noktasının kendi değerine değil, $a$’ya yaklaşırken izlenen davranışa baktığı için tanımsız noktada da bulunabilir.

  1. Limitin tanımında $x$ değeri $a$’ya yaklaşır ama $a$’ya EŞİT OLMAZ. Yani $x = a$ noktasının kendisi hesabın dışında bırakılır.
  2. Örnek alalım: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Payda $x = 1$ için sıfır olduğundan fonksiyon o noktada tanımsızdır.
  3. Ama $x \neq 1$ iken $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ sadeleşmesi geçerlidir; $x$ 1’e yaklaşırken değerler 2’ye yaklaşır, yani limit 2’dir.
  4. Denetleyelim: $x = 0{,}999$ için ifade $1{,}999$, $x = 1{,}001$ için $2{,}001$ değerini alıyor ✓ iki yönden de 2’ye yaklaşıyor, üstelik $f(1)$ hiç var olmadan.

Sık yapılan hata: “Fonksiyonun sürekli olması” seçeneği. Süreklilik tam tersine noktada tanımlı olmayı şart koşar; tanımsız bir noktada süreklilikten söz edilemez, limitten edilebilir.

20. sorunun çözümü

$\int_0^4 x\,dx = \frac{16}{2} - 0 = 8$ olduğundan bölgenin alanı 8 birim karedir.

  1. $f(x) = x$ fonksiyonu $[0, 4]$ aralığında negatif değer almıyor; bu yüzden integral doğrudan alanı verir.
  2. Ters türevi bulalım: $\int x\,dx = \frac{x^2}{2}$.
  3. Uçları koyalım: $\frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{16}{2} - 0 = 8$ birim kare.
  4. Denetleyelim: bölge, dik kenarları 4 ve $f(4) = 4$ olan bir dik üçgendir; alanı $\frac{4 \cdot 4}{2} = 8$ ✓ integralle aynı.

Sık yapılan hata: 16 yanıtı. Bu, $x^2$ ifadesinin ikiye bölünmemesinden gelir; $x$ fonksiyonunun ters türevi $x^2$ değil $\frac{x^2}{2}$’dir.

12. Sınıf Matematik diğer yazılılar

1. Dönem 1. Yazılı 1. Dönem 2. Yazılı 2. Dönem 1. Yazılı
Bu kâğıt gerçek bir okul sınavının kopyası değil; kendi soru havuzumuzdan, müfredat sırasına göre derlenmiş bir alıştırma yazılısıdır. Öğretmensen sınıfına özel kâğıt üretebilirsin — öğretmen kaydı.