Eylemsizlik Momenti

1. Dönme hareketinde eylemsizlik momentinin oynadığı rol sorulmaktadır. Bu büyüklük neyin karşılığıdır?

I = \sum m r^2

• A) Öteleme hareketindeki kütlenin; dönme hâlindeki değişime karşı direnci ölçer
• B) Öteleme hareketindeki hızın
• C) Öteleme hareketindeki kuvvetin
• D) Öteleme hareketindeki ivmenin
• E) Öteleme hareketindeki yolun

Doğru cevap: A — Eylemsizlik momenti, öteleme hareketindeki kütlenin dönmedeki karşılığıdır: cismin dönme hâlindeki değişime karşı direncini ölçer.

1. Soru, dönme hareketinde "değişime direnci" hangi büyüklüğün ölçtüğünü ve bunun ötelemedeki eşini istiyor.
2. Ötelemede bir cismin hızını değiştirmenin zorluğunu kütle belirler: aynı kuvvet büyük kütleye küçük ivme kazandırır ($F = ma$).
3. Dönmede aynı rolü $I = \sum m r^2$ üstlenir: aynı tork, büyük $I$ değerli cisme küçük açısal ivme kazandırır ($\tau = I\alpha$).
4. Denetleyelim: iki bağıntıda $m$ ile $I$ aynı yerde duruyor; ikisi de "hareket durumunu değiştirmeye direnç" anlamına geliyor ✓.

2. Kütleleri eşit iki cisimden birinin eylemsizlik momenti diğerinden büyüktür. Bu farkın nedeni nedir?

• A) Renklerinin farklı olması
• B) Sıcaklıklarının farklı olması
• C) Kütlenin dönme eksenine göre daha uzağa dağılmış olması
• D) Ağırlıklarının farklı olması
• E) Hızlarının farklı olması

Doğru cevap: C — Kütleleri eşit iki cisimden birinin eylemsizlik momenti büyükse, onun kütlesi dönme eksenine göre daha uzağa dağılmıştır.

1. Soru, kütle aynıyken $I$ farkını yaratan etkeni soruyor; bağıntıdaki diğer değişkene bakmamız gerekiyor.
2. $I = \sum m r^2$ bağıntısında iki etken var: kütle parçaları ($m$) ve bunların eksene uzaklığı ($r$).
3. Toplam kütle eşit olduğuna göre fark $r$’den gelir; uzaklık karesiyle girdiği için kütlesi uzakta toplanan cismin $I$ değeri daha büyüktür.
4. Denetleyelim: 1 kg’ı eksenden 1 m’ye koyarsak $I = 1$, 2 m’ye koyarsak $I = 4$ kg·m² olur — aynı kütle, dört kat eylemsizlik ✓.

3. Tabloda öteleme ve dönme hareketinin karşılıklı büyüklükleri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan büyüklük hangisidir?

• A) İş
• B) Güç
• C) Enerji
• D) Tork
• E) Momentum

Doğru cevap: D — Tabloda kuvvetin karşılığı boştur; dönme hareketinde kuvvetin yerini tork alır.

1. Tablo ötelemedeki her büyüklüğü dönmedeki eşiyle eşleştiriyor: kütle ↔ eylemsizlik momenti, hız ↔ açısal hız.
2. Kuvvet, ötelemede ivmenin nedenidir: $F = ma$.
3. Dönmede açısal ivmenin nedeni torktur ve bağıntı aynı biçimi korur: $\tau = I\alpha$. Tork, kuvvetin döndürme etkisidir ($\tau = F \cdot d$).
4. Denetleyelim: $F = ma$ içinde $m \to I$, $a \to \alpha$ yazınca kalan $F$’nin yerine $\tau$ gelir; tablo satırı "Kuvvet $F$ – Tork $\tau$" olarak tamamlanır ✓.

4. Newton’ın ikinci yasasının dönme hareketi için yazılan biçimi sorulmaktadır. Bu bağıntı hangisidir?

\tau = I \cdot \alpha

• A) Tork, eylemsizlik momenti ile açısal hızın çarpımıdır
• B) Tork, eylemsizlik momenti ile açısal ivmenin çarpımıdır
• C) Tork, kütle ile ivmenin çarpımıdır
• D) Tork, kuvvet ile hızın çarpımıdır
• E) Tork, açısal hız ile yarıçapın çarpımıdır

Doğru cevap: B — Newton’ın ikinci yasası dönme için $\tau = I\alpha$ biçimini alır: tork, eylemsizlik momenti ile açısal ivmenin çarpımıdır.

1. Soru, $F = ma$ bağıntısının dönmedeki karşılığını istiyor; her büyüklüğü eşiyle değiştireceğiz.
2. Karşılıklar: kuvvet → tork ($F \to \tau$), kütle → eylemsizlik momenti ($m \to I$), ivme → açısal ivme ($a \to \alpha$).
3. Yerine koyunca $\tau = I \cdot \alpha$ elde edilir.
4. Denetleyelim: birimler N·m = kg·m² · rad/s² tutuyor, çünkü kg·m²/s² = N·m ✓.

5. Kütleleri ve yarıçapları eşit bir halka ile bir dolu diskin eylemsizlik momentleri karşılaştırılmaktadır. Doğru karşılaştırma hangisidir?

• A) Diskinki büyüktür
• B) İkisi eşittir
• C) Halkanınki büyüktür; kütlesinin tamamı eksenden en uzak noktada toplanmıştır
• D) Belirlenemez
• E) İkisi de sıfırdır

Doğru cevap: C — Kütleleri ve yarıçapları eşitse halkanın eylemsizlik momenti büyüktür; halkanın bütün kütlesi eksenden en uzak noktada toplanmıştır.

1. Kütle ve yarıçap eşit tutulduğuna göre karşılaştırmayı yalnız kütle dağılımı belirler.
2. Halkada kütlenin tamamı $R$ uzaklığındadır: $I_{halka} = MR^2$.
3. Dolu diskte kütle merkezden kenara kadar yayılır, eksene yakın parçaların $r^2$ katkısı küçüktür: $I_{disk} = \frac{1}{2}MR^2$.
4. Denetleyelim: $MR^2 > \frac{1}{2}MR^2$, halkanınki diskinkinin iki katı ✓.

6. Kütleleri ve yarıçapları eşit bir halka ile bir dolu disk aynı eğik düzlemden aynı anda serbest bırakılmaktadır. Hangisi aşağıya önce ulaşır?

• A) Disk; eylemsizlik momenti küçük olduğu için enerjinin daha büyük bölümü öteleme hareketine gider
• B) İkisi aynı anda
• C) Halka
• D) Belirlenemez
• E) Hiçbiri yuvarlanmaz

Doğru cevap: A — İkisi de aynı potansiyel enerjiyle başlar. Bu enerji öteleme ve dönme kinetik enerjisi arasında paylaşılır; büyük $I$ dönmeye daha çok pay ayırır ve ilerleme hızı düşer.

1. Aynı yükseklik → aynı başlangıç enerjisi.
2. Enerji öteleme ve dönme arasında paylaşılır.
3. Halkada $I$ büyük, dönmeye çok pay gider; disk daha hızlı ilerler.

7. Dönen bir cismin kinetik enerjisinin bağlı olduğu değişkenler sorulmaktadır. Bu enerji hangi büyüklüklerle belirlenir?

E_{k,d\ddot{o}nme} = \tfrac{1}{2} I \omega^2

• A) Yalnız kütle ve hız
• B) Yalnız yarıçap
• C) Eylemsizlik momenti ve açısal hız
• D) Yalnız tork
• E) Yalnız çevre uzunluğu

Doğru cevap: C — Dönme kinetik enerjisi $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$ ile hesaplanır; yani eylemsizlik momenti ve açısal hız ile belirlenir.

1. Soru, öteleme kinetik enerjisinin dönmedeki karşılığını ve bağlı olduğu değişkenleri istiyor.
2. Ötelemede $E_k = \frac{1}{2}mv^2$; karşılıkları yazalım: $m \to I$, $v \to \omega$.
3. Dönmede $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$ olur; bağıntıda yalnız $I$ ve $\omega$ vardır.
4. Denetleyelim: $I = 2$ kg·m², $\omega = 3$ rad/s için $E_k = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9$ J; birim kg·m²/s² = J ✓.

8. Eylemsizlik momenti 4 kg × m² olan bir cisim 3 rad/s açısal hızla dönmektedir. Dönme kinetik enerjisi kaç J’dür?

E_k = \tfrac{1}{2} I \omega^2

• A) 6
• B) 12
• C) 24
• D) 18
• E) 36

Doğru cevap: D — $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3^2 = 18$ J bulunur.

1. Verilenler: $I = 4$ kg·m², $\omega = 3$ rad/s; istenen dönme kinetik enerjisi.
2. Önce açısal hızın karesi: $\omega^2 = 3^2 = 9$.
3. Sonra çarpım: $E_k = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 2 \cdot 9 = 18$ J.
4. Denetleyelim: $18 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \omega^2$ ise $\omega^2 = 9$, $\omega = 3$ rad/s — verilenle aynı ✓.

9. Yuvarlanarak ilerleyen bir cismin toplam kinetik enerjisi hesaplanmaktadır. Bu hesapta hangi enerjiler toplanır?

• A) Yalnız öteleme kinetik enerjisi
• B) Yalnız dönme kinetik enerjisi
• C) Potansiyel ve kinetik enerji
• D) Isı ve kinetik enerji
• E) Öteleme ve dönme kinetik enerjileri

Doğru cevap: E — Yuvarlanan cismin toplam kinetik enerjisi öteleme ve dönme kinetik enerjilerinin toplamıdır: $E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.

1. Yuvarlanmayı iki harekete ayıralım: kütle merkezi $v$ hızıyla ilerler, cisim aynı anda kendi ekseni çevresinde $\omega$ ile döner.
2. İlerleme öteleme kinetik enerjisi taşır: $\frac{1}{2}mv^2$.
3. Dönme ayrıca dönme kinetik enerjisi taşır: $\frac{1}{2}I\omega^2$. Toplam ikisinin toplamıdır.
4. Denetleyelim: kaymadan yuvarlanan dolu diskte ($I = \frac{1}{2}mR^2$, $\omega = v/R$) dönme enerjisi $\frac{1}{4}mv^2$ çıkar; toplamın üçte birini oluşturur, ihmal edilemez ✓.

10. Türdeş bir çubuk önce ortasından, sonra ucundan geçen eksen etrafında döndürülmektedir. İki durumdaki eylemsizlik momentleri karşılaştırıldığında ne söylenir?

• A) Ucundan döndürüldüğünde büyüktür; kütlenin ortalama uzaklığı artmıştır
• B) Ortasından döndürüldüğünde büyüktür
• C) İkisi eşittir
• D) Belirlenemez
• E) İkisi de sıfırdır

Doğru cevap: A — Çubuk ucundan döndürüldüğünde eylemsizlik momenti büyüktür; kütlenin eksene ortalama uzaklığı artmıştır.

1. Çubuk ve kütlesi aynı; değişen yalnız dönme ekseninin yeri.
2. Ortadan geçen eksende kütle iki yana eşit bölünür, en uzak parça $L/2$ uzaklıktadır: $I = \frac{1}{12}ML^2$.
3. Uçtan geçen eksende kütlenin tamamı bir yana düşer ve en uzak parça $L$ uzaklığındadır: $I = \frac{1}{3}ML^2$.
4. Denetleyelim: $\frac{1}{3} \div \frac{1}{12} = 4$; ucundan döndürülen çubuğun eylemsizlik momenti dört kat büyük ✓.

11. Dönen bir buz patencisi kollarını gövdesine çektiğinde dönme hızının arttığı gözlenmektedir. Bu artışın nedeni nedir?

• A) Kütlesinin azalması
• B) Sürtünmenin azalması
• C) Buzun erimesi
• D) Kütlesini eksene yaklaştırarak eylemsizlik momentini küçültmesi ve açısal momentumun korunması
• E) Kollarının uzaması

Doğru cevap: D — Patenci kollarını çekince kütlesini eksene yaklaştırıp eylemsizlik momentini küçültür; açısal momentum korunduğu için açısal hızı artar.

1. Soru, dışarıdan itilmeyen patencinin neden hızlandığını soruyor; korunan büyüklüğü bulmalıyız.
2. Buz sürtünmesi çok küçüktür, patenciye dönme ekseni çevresinde dış tork uygulanmaz; bu yüzden $L = I\omega$ sabit kalır.
3. Kollar içeri çekilince kol kütlelerinin $r$ değeri küçülür, $I = \sum mr^2$ azalır. $I\omega$ sabit kalacaksa $\omega$ büyümek zorundadır.
4. Denetleyelim: $I$ yarıya inerse $\omega$ iki katına çıkar ve $I\omega$ çarpımı değişmez ✓.

12. Motorlarda kullanılan volan çarklarının ağır ve dış kenarları kalın yapıldığı görülmektedir. Bu tasarımın işlevi nedir?

• A) Motoru hafifletmek
• B) Eylemsizlik momentini büyütüp dönme hızındaki dalgalanmaları azaltmak
• C) Yakıt tüketimini artırmak
• D) Motoru soğutmak
• E) Sesi artırmak

Doğru cevap: B — Volanın kütlesi dış kenarda toplanarak eylemsizlik momenti büyütülür; böylece dönme hızındaki dalgalanmalar azalır.

1. Soru, kütlenin neden dış kenara yığıldığını soruyor; $I = \sum mr^2$ bağıntısında $r$ büyük olunca $I$ büyür.
2. Motor pistonları çarka kesintili, vuruş vuruş tork uygular.
3. $\alpha = \tau / I$ olduğundan aynı tork dalgalanması büyük $I$ değerli çarkta küçük açısal ivme yaratır; hız neredeyse sabit kalır, çark vuruşlar arasındaki boşluğu depoladığı dönme enerjisiyle doldurur.
4. Denetleyelim: $I$ iki katına çıkarsa aynı vuruş $\alpha$’yı yarıya indirir, hız dalgalanması küçülür ✓.

13. Grafikte sabit eylemsizlik momentli bir cismin dönme kinetik enerjisinin açısal hıza göre değişimi verilmiştir. Grafiğin doğrusal olmamasının nedeni nedir?

• A) Ölçüm hatası
• B) Eylemsizlik momentinin değişmesi
• C) Sürtünmenin artması
• D) Cismin ısınması
• E) Kinetik enerjinin açısal hızın karesiyle değişmesi

Doğru cevap: E — Grafik doğrusal değildir, çünkü $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$ bağıntısında kinetik enerji açısal hızın karesiyle değişir.

1. Grafikten değerleri okuyalım: $\omega = 1$ rad/s’de 2 J, $\omega = 2$’de 8 J, $\omega = 3$’te 18 J.
2. Açısal hız 1’den 2’ye çıkınca enerji 4 katına, 3’e çıkınca 9 katına çıkıyor; artış sabit değil, giderek büyüyor.
3. $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$ bağıntısında $I$ sabitken $E_k \propto \omega^2$ olur; bu bir parabol verir, doğru değil.
4. Denetleyelim: $2 = \frac{1}{2} \cdot I \cdot 1^2$ ise $I = 4$ kg·m²; $\omega = 3$ için $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 18$ J, grafikteki değerle aynı ✓.

14. Eylemsizlik momenti 5 kg × m² olan bir cisme 20 N × m’lik net tork uygulanmaktadır. Cismin kazandığı açısal ivme kaç rad/s²’dir?

\alpha = \tau / I

• A) 100
• B) 25
• C) 4
• D) 2
• E) 0,25

Doğru cevap: C — Dönme için Newton yasasından $\alpha = \tau / I = 20 / 5 = 4$ rad/s² bulunur.

1. Verilenler: net tork $\tau = 20$ N·m, eylemsizlik momenti $I = 5$ kg·m²; istenen açısal ivme.
2. Dönme hareketinde Newton’ın ikinci yasası: $\tau = I\alpha$, buradan $\alpha = \tau / I$.
3. Yerine koyalım: $\alpha = 20 / 5 = 4$ rad/s².
4. Denetleyelim: $I\alpha = 5 \cdot 4 = 20$ N·m, verilen torkla aynı ✓.

15. Aynı kütleye sahip iki kapıdan biri geniş, biri dardır. Menteşesi etrafında döndürülmesi daha zor olan kapı hangisidir?

• A) Geniş olan; kütlesi menteşeden daha uzağa dağıldığı için eylemsizlik momenti büyüktür
• B) İkisi de aynıdır
• C) Dar olan
• D) Belirlenemez
• E) Hiçbiri döndürülemez

Doğru cevap: A — Geniş kapıyı döndürmek daha zordur; kütlesi menteşeden daha uzağa dağıldığı için eylemsizlik momenti büyüktür.

1. Kapılar menteşe ekseni çevresinde döner; kütleleri eşit olduğuna göre farkı kütle dağılımı belirler.
2. Geniş kapıda malzemenin önemli bir bölümü menteşeden uzaktadır; $I = \sum mr^2$ içinde bu parçaların $r^2$ katkısı büyüktür.
3. Büyük $I$, aynı torkla daha küçük açısal ivme demektir ($\alpha = \tau/I$); kapıyı harekete geçirmek ve durdurmak zorlaşır.
4. Denetleyelim: tek parça levha kapı için $I = \frac{1}{3}Mb^2$ ($b$ kapı genişliği); genişlik iki katına çıkarsa $I$ dört katına çıkar ✓.

16. Öteleme ve dönme hareketleri karşılaştırılırken kütlenin karşılığının eylemsizlik momenti olduğu söylenmektedir. Bu iki büyüklük arasındaki temel fark nedir?

• A) Eylemsizlik momentinin birimi olmaması
• B) Eylemsizlik momentinin, kütlenin yanı sıra dönme ekseninin yerine de bağlı olması
• C) Kütlenin cismin biçimine bağlı olması
• D) Kütlenin vektörel olması
• E) Eylemsizlik momentinin sabit olmaması

Doğru cevap: B — Kütle cisme özgü tek bir değerdir; eylemsizlik momenti ise kütlenin yanı sıra dönme ekseninin yerine de bağlıdır.

1. Soru, iki "eylemsizlik" ölçüsünü birbirinden ayıran temel özelliği istiyor.
2. Bir cismin kütlesi, onu nereden ve nasıl iterseniz itin aynıdır.
3. $I = \sum mr^2$ ise her kütle parçasının seçilen eksene uzaklığını içerir; eksen değişince $r$ değerleri, dolayısıyla $I$ değişir.
4. Denetleyelim: aynı türdeş çubuk için ortadan geçen eksende $I = \frac{1}{12}ML^2$, uçtan geçen eksende $\frac{1}{3}ML^2$ — tek kütle, iki farklı $I$ ✓.

17. Bir cimnastikçinin havada takla atarken vücudunu topladığı, inişe geçerken açtığı gözlenmektedir. Bu hareketlerin amacı nedir?

• A) Ağırlığını değiştirmek
• B) Havada daha uzun kalmak
• C) Kütlesini azaltmak
• D) Toplanınca eylemsizlik momentini küçültüp hızlı dönmek, açılınca büyütüp dönüşü yavaşlatarak kontrollü inmek
• E) Rüzgârdan yararlanmak

Doğru cevap: D — Cimnastikçi toplanarak eylemsizlik momentini küçültüp hızlı döner, açılarak büyütüp dönüşünü yavaşlatır ve kontrollü iner.

1. Havada cimnastikçiye ağırlığı etki eder ama ağırlık kütle merkezinden geçtiği için o merkez çevresinde tork üretmez; açısal momentum korunur.
2. Vücut toplanınca kütle eksene yaklaşır, $I$ küçülür; $L = I\omega$ sabit kaldığından $\omega$ büyür ve takla hızlanır.
3. İnişe doğru açılınca $I$ büyür, $\omega$ küçülür; dönüş yavaşladığı için ayaklar yere doğru anda basar.
4. Denetleyelim: toplanmada $I$ üçte birine inerse $\omega$ üç katına çıkar, açılınca eski değerine döner; $I\omega$ hep aynı ✓.

18. Kütlesi önemsiz bir çubuğun ucuna bağlı 2 kg’lık nokta cisim, eksenden 3 m uzaklıkta dönmektedir. Sistemin eylemsizlik momenti kaç kg × m²’dir?

I = m r^2

• A) 6
• B) 9
• C) 12
• D) 36
• E) 18

Doğru cevap: E — Nokta cisim için $I = mr^2 = 2 \cdot 3^2 = 18$ kg·m² bulunur.

1. Çubuğun kütlesi önemsiz olduğundan eylemsizlik momentine yalnız uçtaki 2 kg’lık nokta cisim katkı verir.
2. Nokta cisim için $I = mr^2$; önce uzaklığın karesi: $3^2 = 9$.
3. Çarpalım: $I = 2 \cdot 9 = 18$ kg·m².
4. Denetleyelim: $18 / 2 = 9 = r^2$, $r = 3$ m — verilen uzaklıkla aynı ✓.

19. Bir öğrenci eylemsizlik momentinin kütle dağılımına bağlı olduğunu göstermek istemektedir. En uygun düzenek hangisidir?

• A) Farklı kütleli iki cismi tartmak
• B) Kütleleri ve yarıçapları eşit bir halka ile dolu diski aynı eğik düzlemden bırakıp varış sürelerini ölçmek
• C) Aynı cismi farklı renklere boyamak
• D) Cisimleri ısıtmak
• E) Cisimleri suya atmak

Doğru cevap: B — Kütleleri ve yarıçapları eşit bir halka ile dolu diski aynı eğik düzlemden bırakıp varış sürelerini ölçmek, kütle dağılımının etkisini tek başına gösterir.

1. Sınanan değişken kütle dağılımıdır; deneyde bunun dışındaki her şey sabit tutulmalıdır.
2. Halka ile diskin kütlesi ve yarıçapı eşit, eğik düzlem ve bırakılış yüksekliği aynı olunca geriye tek fark kalır: kütlenin eksene göre dağılımı.
3. Yuvarlanan cismin ivmesi $a = \frac{g \sin\theta}{1 + I/(mR^2)}$ olur; disk için bu $\frac{2}{3}g\sin\theta$, halka için $\frac{1}{2}g\sin\theta$ çıkar, disk önce varır.
4. Denetleyelim: varış süresindeki fark yalnız $I$ farkından doğabilir, çünkü diğer bütün koşullar eşit ✓.

20. Eylemsizlik momenti kütlelerin eksene uzaklıklarının karesiyle belirlenir; dönmede kütlenin yerini eylemsizlik momenti, kuvvetin yerini tork alır. Bu bilgiye dayanarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez?

• A) Aynı kütle uzağa dağılırsa eylemsizlik momenti artar.
• B) Halkanın eylemsizlik momenti eşit kütleli diskten büyüktür.
• C) Dönmede Newton yasası tork ile açısal ivme arasında kurulur.
• D) Eksenin yeri değişince eylemsizlik momenti de değişir.
• E) Kütlesi eşit olan iki cismin eylemsizlik momentleri de eşittir.

Doğru cevap: E — Söylenemeyen yargı "Kütlesi eşit olan iki cismin eylemsizlik momentleri de eşittir." ifadesidir; $I$ kütlenin eksene göre dağılımına da bağlıdır.

1. Soru bilgiyle çelişen yargıyı istiyor; her seçeneği $I = \sum mr^2$ bağıntısına göre tartalım.
2. Uzağa dağılan kütlenin $I$’yı artırması, halkanın diskten büyük olması ve eksen kayınca $I$’nın değişmesi bağıntıdaki $r^2$’nin doğrudan sonuçlarıdır; $\tau = I\alpha$ da verilen bilgide açıkça yer alıyor.
3. Eşit kütleli iki cisim kütlelerini eksenden farklı uzaklıklara dağıtabilir; $r$ değerleri farklı olunca $I$ değerleri de farklı olur. Bu yargı bilgiyle çelişir.
4. Denetleyelim: eşit kütleli, eşit yarıçaplı halka ile disk için $MR^2 \neq \frac{1}{2}MR^2$; karşı örnek yargıyı çürütüyor ✓.