Yay Sarkacı ve Basit Sarkaç

1. Yay sarkacının periyodunun bağlı olduğu değişkenler sorulmaktadır. Bu periyot neyle belirlenir?

T = 2\pi \sqrt{m/k}

• A) Asılan kütle ve yay sabiti
• B) Genlik ve kütle
• C) Yalnız genlik
• D) Yer çekimi ivmesi ve kütle
• E) Yayın boyu

Doğru cevap: A — Yay sarkacının periyodu $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ bağıntısıyla yalnız asılan kütle ve yay sabitiyle belirlenir.

1. Soru, yay sarkacının periyodunu hangi büyüklüklerin değiştirdiğini soruyor; cevabı bağıntının içindeki harfler verir.
2. Bağıntıda $2\pi$ sabittir; değişken olarak yalnız $m$ (asılan kütle) ve $k$ (yay sabiti) vardır.
3. Genlik, yer çekimi ivmesi ya da yayın boyu bağıntıda yer almaz; bunlar değişse de periyot aynı kalır.
4. Denetleyelim: $m$ artarsa eylemsizlik büyür, periyot uzar; $k$ artarsa yay daha sert çeker, periyot kısalır — ikisi de periyodu etkiliyor ✓.

2. Basit sarkacın periyodunun bağlı olduğu değişkenler sorulmaktadır. Bu periyot neyle belirlenir?

T = 2\pi \sqrt{L/g}

• A) Asılan kütle ve ip boyu
• B) İp boyu ve yer çekimi ivmesi
• C) Yalnız kütle
• D) Genlik ve kütle
• E) Yalnız genlik

Doğru cevap: B — Basit sarkacın periyodu $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ bağıntısıyla ip boyu ve yer çekimi ivmesiyle belirlenir.

1. Bağıntıda sabit $2\pi$ dışında yalnız $L$ (ip boyu) ve $g$ (yer çekimi ivmesi) bulunur.
2. Asılan kütle bağıntıda yoktur: ağır cisme etki eden geri çağırıcı kuvvet büyüktür ama hızlandırılması gereken kütlesi de o oranda büyüktür.
3. Genlik de, küçük açılarda kalındığı sürece, periyodu değiştirmez.
4. Denetleyelim: ip uzarsa periyot uzar, $g$ büyürse periyot kısalır; kütle değişince bağıntıda değişen bir şey yok ✓.

3. Bir sarkacın salınım genliği (küçük açılarda kalmak koşuluyla) artırılmaktadır. Periyot için ne söylenir?

• A) Artar
• B) Azalır
• C) Değişmez; her iki sarkaç türünde de periyot genlikten bağımsızdır
• D) İki katına çıkar
• E) Sıfırlanır

Doğru cevap: C — Küçük açılarda genlik artsa da periyot değişmez; iki sarkaç türünde de periyot genlikten bağımsızdır.

1. İki bağıntıya bakalım: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ve $T = 2\pi\sqrt{m/k}$. Hiçbirinde genlik yok.
2. Genlik büyüyünce cismin bir salınımda aldığı yol uzar; ama geri çağırıcı kuvvet sapmayla orantılı olduğundan cisim aynı oranda hızlanır.
3. Uzayan yol ile artan hız birbirini dengeler, bir tam salınımın süresi aynı kalır.
4. Denetleyelim: sarkaçlı saatlerin, salınım zamanla küçülse de doğru çalışması bu bağımsızlığa dayanır ✓.

4. Aynı boydaki iplere asılan farklı kütledeki iki cismin aynı periyotla salındığı gözlenmektedir. Bu sonucun açıklaması nedir?

• A) Kütlelerin eşit olması
• B) İplerin farklı olması
• C) Ölçüm hatası
• D) Geri çağırıcı kuvvetin de eylemsizliğin de kütleyle orantılı olması ve kütlenin sadeleşmesi
• E) Genliklerin farklı olması

Doğru cevap: D — Geri çağırıcı kuvvet de eylemsizlik de kütleyle orantılı olduğundan kütle sadeleşir ve periyot aynı çıkar.

1. Sarkacı dengeye çeken kuvvet ağırlığın ip doğrultusuna dik bileşenidir: $F = mg\sin\theta$.
2. Bu kuvvetin verdiği ivme $a = F/m = g\sin\theta$ olur; $m$ pay ve paydada bulunduğu için sadeleşir.
3. İvme kütleden bağımsız çıkınca aynı boydaki iki sarkaç aynı hareketi, dolayısıyla aynı periyodu yapar.
4. Denetleyelim: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ bağıntısında $m$ yok; iplerin boyu eşit olduğu için periyotlar eşit ✓.

5. Basit bir sarkacın ip boyu dört katına çıkarılmaktadır. Periyot nasıl değişir?

T \propto \sqrt{L}

• A) Dört katına çıkar
• B) İki katına çıkar
• C) Yarıya iner
• D) On altı katına çıkar
• E) Değişmez

Doğru cevap: B — Periyot ip boyunun kareköküyle orantılıdır; boy 4 katına çıkınca periyot $\sqrt{4} = 2$ katına çıkar.

1. Bağıntı: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, yani $T \propto \sqrt{L}$.
2. Yeni boy $4L$: $T’ = 2\pi\sqrt{4L/g} = 2 \cdot 2\pi\sqrt{L/g}$.
3. Böylece $T’ = 2T$; periyot iki katına çıkar.
4. Denetleyelim: $T’/T = \sqrt{4L/L} = \sqrt{4} = 2$ ✓.

6. Bir yay sarkacına asılan kütle dokuz katına çıkarılmaktadır. Periyot nasıl değişir?

T \propto \sqrt{m}

• A) Dokuz katına çıkar
• B) Üç katına çıkar
• C) Değişmez
• D) Yarıya iner
• E) Seksen bir katına çıkar

Doğru cevap: B — Yay sarkacında $T \propto \sqrt{m}$ olduğundan kütle 9 katına çıkınca periyot $\sqrt{9} = 3$ katına çıkar.

1. Bağıntı: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$; $k$ değişmiyor, yani $T \propto \sqrt{m}$.
2. Yeni kütle $9m$: $T’ = 2\pi\sqrt{9m/k} = 3 \cdot 2\pi\sqrt{m/k}$.
3. Böylece $T’ = 3T$; periyot üç katına çıkar.
4. Denetleyelim: $T’/T = \sqrt{9m/m} = 3$ ✓.

7. Tabloda iki sarkacın Ay’daki davranışı karşılaştırılmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan değerlendirme hangisidir?

• A) Uzar
• B) Kısalır
• C) Değişmez; bağıntısında $g$ bulunmaz
• D) Sıfırlanır
• E) Belirlenemez

Doğru cevap: C — Yay sarkacının periyodu Ay’da değişmez; $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ bağıntısında $g$ bulunmaz.

1. Tablodaki dolu satır basit sarkaç içindir: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$; Ay’da $g$ küçük olduğu için periyot uzar.
2. Yay sarkacının bağıntısı $T = 2\pi\sqrt{m/k}$; içinde yalnız kütle ve yay sabiti var.
3. Ay’a götürülünce kütle ve yay sabiti değişmez; $g$ bağıntıda olmadığı için periyot da değişmez. Yalnız yayın denge konumundaki uzaması azalır.
4. Denetleyelim: $m$ ve $k$ aynı kaldığına göre $\sqrt{m/k}$ aynıdır, periyot da aynıdır ✓.

8. Periyodu 0,5 s olan bir sarkacın frekansı kaç Hz’dir?

f = 1/T

• A) 0,5
• B) 1
• C) 4
• D) 2
• E) 5

Doğru cevap: D — Frekans periyodun tersidir: $f = 1/T = 1/0{,}5 = 2$ Hz.

1. Periyot bir tam salınımın süresi, frekans ise bir saniyedeki tam salınım sayısıdır; biri öbürünün tersidir.
2. Bağıntı: $f = 1/T$, burada $T = 0{,}5$ s.
3. Yerine koyalım: $f = 1/0{,}5 = 2$ Hz.
4. Denetleyelim: saniyede 2 salınım yapan sarkacın her salınımı $1/2 = 0{,}5$ s sürer, verilen periyotla aynı ✓.

9. Sarkaçlı bir duvar saatinin yazın geri kaldığı gözlenmektedir. Bu gecikmenin nedeni nedir?

• A) Isınan çubuğun genleşip uzaması ve periyodun büyümesi
• B) Yer çekiminin azalması
• C) Sarkacın ağırlaşması
• D) Genliğin artması
• E) Havanın direnci

Doğru cevap: A — Yazın ısınan metal çubuk genleşip uzar; $T \propto \sqrt{L}$ olduğu için periyot büyür ve saat geri kalır.

1. Duvar saatinin sarkacı bir metal çubuktur; metaller ısınınca genleşir.
2. Yazın çubuk uzar, yani sarkaç boyu $L$ artar.
3. $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ olduğundan periyot büyür; her salınım biraz uzun sürer, saat bir günde daha az salınım sayar ve geri kalır.
4. Denetleyelim: kışın çubuk kısalır, periyot küçülür ve saat ileri gider — gözlem mevsime göre tersine döner, açıklama tutarlı ✓.

10. Bir yay sarkacında kütle dört katına çıkarılırken periyodun değişmemesi istenmektedir. Yay sabitine ne yapılmalıdır?

• A) Yarıya indirilmeli
• B) İki katına çıkarılmalı
• C) Değiştirilmemeli
• D) On altı katına çıkarılmalı
• E) Dört katına çıkarılmalı

Doğru cevap: E — Periyot $\sqrt{m/k}$ ile belirlenir; kütle 4 katına çıkarken periyodun aynı kalması için yay sabiti de 4 katına çıkarılmalıdır.

1. Bağıntı: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$. Periyot sabit kalacaksa $m/k$ oranı sabit kalmalıdır.
2. Kütle $4m$ oluyor; oranın değişmemesi için payda da aynı oranda büyümeli: $k’ = 4k$.
3. Yeni periyot: $T’ = 2\pi\sqrt{4m/(4k)} = 2\pi\sqrt{m/k} = T$.
4. Denetleyelim: $4m/4k = m/k$, oran ve periyot değişmedi ✓.

11. Grafikte basit sarkacın periyodunun ip boyuna göre değişimi verilmiştir. Grafiğin doğrusal olmamasının nedeni nedir?

• A) Ölçüm hatası
• B) Kütlenin değişmesi
• C) Periyodun ip boyunun kareköküyle orantılı olması
• D) Genliğin değişmesi
• E) Yer çekiminin değişmesi

Doğru cevap: C — Grafik doğrusal değildir çünkü periyot ip boyuyla değil, ip boyunun kareköküyle orantılıdır: $T \propto \sqrt{L}$.

1. Grafikten değerleri okuyalım: ip boyu 1 m iken periyot 2, 4 m iken 4, 9 m iken 6 birim.
2. Boy 1’den 4’e (4 kat) çıkınca periyot 2’den 4’e (2 kat), boy 9 kat olunca periyot 3 kat oluyor; artış giderek yavaşlıyor.
3. Bu, $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ bağıntısındaki karekökün sonucudur: $\sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}$ sırasıyla 1, 2, 3.
4. Denetleyelim: $T/\sqrt{L}$ oranı $2/1 = 4/2 = 6/3 = 2$, üç noktada da sabit ✓ — ilişki kareköklüdür, doğru orantı değildir.

12. Bir basit sarkaç, yer çekimi ivmesi dörtte bir olan bir gök cismine götürülmektedir. Periyot nasıl değişir?

• A) Dörtte bire iner
• B) Yarıya iner
• C) Değişmez
• D) İki katına çıkar
• E) Dört katına çıkar

Doğru cevap: D — Periyot $\sqrt{g}$ ile ters orantılıdır; $g$ dörtte bire inince periyot $\sqrt{4} = 2$ katına çıkar.

1. Bağıntı: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$; ip boyu değişmiyor, yani $T \propto 1/\sqrt{g}$.
2. Yeni çekim ivmesi $g/4$: $T’ = 2\pi\sqrt{L/(g/4)} = 2\pi\sqrt{4L/g}$.
3. $\sqrt{4} = 2$ dışarı çıkar: $T’ = 2T$.
4. Denetleyelim: çekim zayıflayınca geri çağırıcı kuvvet azalır, sarkaç yavaşlar, periyot uzar; hesap da uzama gösteriyor ✓.

13. Serbest düşen bir asansörün içindeki basit sarkacın salınımının durduğu gözlenmektedir. Bu durumun açıklaması nedir?

• A) Sarkacın ağırlaşması
• B) İpin kopması
• C) Havanın yok olması
• D) Genliğin artması
• E) Etkin yer çekimi ivmesinin sıfırlanması ve geri çağırıcı kuvvetin kalmaması

Doğru cevap: E — Serbest düşmede etkin yer çekimi ivmesi sıfırlanır; geri çağırıcı kuvvet kalmadığı için sarkaç salınmaz.

1. Sarkacı denge konumuna geri çeken kuvvet, ağırlığın ipe dik bileşenidir.
2. Serbest düşen asansörde sarkaç ve asma noktası aynı ivmeyle düşer; asansöre göre cisim ağırlıksızmış gibi davranır, etkin $g$ sıfır olur.
3. Geri çağırıcı kuvvet sıfırlanınca cismi dengeye döndüren bir etki kalmaz; salınım durur.
4. Denetleyelim: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ bağıntısında $g \to 0$ için periyot sonsuza gider, yani salınım hiç tamamlanmaz ✓.

14. Bir yay sarkacının yatay düzlemde ve düşey olarak asılı hâlde aynı periyotla salındığı ölçülmüştür. Bu sonucun açıklaması nedir?

• A) Yer çekiminin yalnız denge konumunu kaydırması, salınımı belirleyen geri çağırıcı kuvvetin ise yine yay kuvveti olması
• B) Yer çekiminin etkisiz olması
• C) Yayın değişmesi
• D) Kütlenin değişmesi
• E) Ölçüm hatası

Doğru cevap: A — Düşey yay sarkacında ağırlık yayı bir miktar uzatır ve yeni bir denge konumu oluşur. Bu konum çevresindeki salınımı belirleyen kuvvet yine yay kuvvetidir; periyot değişmez.

1. Ağırlık denge konumunu aşağı kaydırır.
2. Salınım yeni denge konumu çevresinde olur.
3. Geri çağırıcı kuvvet yay kuvvetidir; periyot aynıdır.

15. Basit sarkaç bağıntısının yalnız küçük açılar için geçerli olduğu belirtilmektedir. Bu sınırın nedeni nedir?

• A) İpin kopması
• B) Sürtünmenin artması
• C) Kütlenin değişmesi
• D) Havanın direnci
• E) Geri çağırıcı kuvvetin sapmayla doğru orantılı sayılabilmesinin yalnız küçük açılarda geçerli olması

Doğru cevap: E — Basit sarkaç bağıntısı, geri çağırıcı kuvvetin sapmayla doğru orantılı sayılabildiği küçük açılarda geçerlidir.

1. Basit harmonik hareketin koşulu, geri çağırıcı kuvvetin denge konumundan uzaklıkla doğru orantılı olmasıdır.
2. Sarkaçta geri çağırıcı kuvvet $mg\sin\theta$’dır; küçük açılarda $\sin\theta \approx \theta$ alınabilir ve kuvvet sapmayla orantılı olur.
3. Büyük açılarda bu yaklaşım bozulur; kuvvet sapmayla orantılı artmaz ve periyot genliğe bağlı hâle gelir.
4. Denetleyelim: 5° için $\sin\theta$ ile $\theta$ neredeyse eşittir, 60° için belirgin farklıdır; bağıntı ancak küçük açıda tutar ✓.

16. Tabloda iki basit sarkaç karşılaştırılmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan değer hangisidir?

• A) $2T$
• B) $16T$
• C) $8T$
• D) $4T$
• E) $T$

Doğru cevap: D — Periyot $\sqrt{L}$ ile orantılıdır; ip boyu 16 katına çıkınca periyot $\sqrt{16} = 4$ katına çıkar ve $4T$ olur.

1. K sarkacı: boy $L$, periyot $T$. L sarkacı: boy $16L$.
2. Oran kuralım: $T_L/T_K = \sqrt{16L/L} = \sqrt{16}$.
3. $\sqrt{16} = 4$, yani $T_L = 4T$.
4. Denetleyelim: $2\pi\sqrt{16L/g} = 4 \cdot 2\pi\sqrt{L/g} = 4T$ ✓.

17. Salıncaktaki bir çocuğun ayakta durduğunda oturduğu duruma göre daha hızlı salındığı gözlenmektedir. Bu farkın nedeni nedir?

• A) Çocuğun hafiflemesi
• B) Ayakta dururken kütle merkezinin yukarı çıkması ve etkin sarkaç boyunun kısalması
• C) Genliğin değişmesi
• D) Sürtünmenin azalması
• E) Yer çekiminin artması

Doğru cevap: B — Ayakta durunca kütle merkezi yükselir, etkin sarkaç boyu kısalır; $T \propto \sqrt{L}$ olduğundan salınım hızlanır.

1. Salıncak bir basit sarkaç gibi davranır; sarkaç boyu, asma noktasından salınan cismin kütle merkezine olan uzaklıktır.
2. Çocuk oturduğunda kütle merkezi oturağa yakın, ayağa kalktığında ise daha yukarıdadır; asma noktasına yaklaşır.
3. Etkin boy $L$ kısalınca $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ küçülür; salıncak daha kısa sürede gidip gelir, yani daha hızlı salınır.
4. Denetleyelim: çocuğun kütlesi değişmedi, $g$ değişmedi; değişen tek büyüklük $L$ ve o azaldığı için periyot azaldı ✓.

18. Gerçek bir sarkacın genliğinin zamanla azaldığı, buna karşın periyodunun neredeyse hiç değişmediği ölçülmektedir. Bu gözlemin açıklaması nedir?

• A) Hava direnci enerjiyi azaltıp genliği düşürür; periyot ise genlikten bağımsız olduğu için değişmez
• B) Kütlenin azalması
• C) İpin uzaması
• D) Yer çekiminin değişmesi
• E) Ölçüm hatası

Doğru cevap: A — Hava direnci mekanik enerjiyi azaltıp genliği düşürür; periyot genlikten bağımsız olduğu için değişmez.

1. Gözlemi iki parçaya ayıralım: genlik azalıyor, periyot sabit kalıyor.
2. Genliğin azalması: hava direnci ve asma noktasındaki sürtünme her salınımda mekanik enerjinin bir kısmını ısıya çevirir; enerji azalınca sarkaç daha az yükselir.
3. Periyodun sabitliği: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ bağıntısında genlik yok; $L$ ve $g$ değişmediği için periyot değişmez.
4. Denetleyelim: iki gözlem de aynı anda açıklandı ve birbirleriyle çelişmiyor ✓.

19. Bir öğrenci basit sarkaç yardımıyla bulunduğu yerin çekim ivmesini belirlemek istemektedir. İzlemesi gereken yol hangisidir?

• A) Sarkacı tartmak
• B) Genliği ölçmek
• C) Farklı ip boylarında periyotları ölçüp $T^2$–$L$ grafiğinin eğiminden $g$ değerini hesaplamak
• D) Sarkacı ısıtmak
• E) İpin rengini değiştirmek

Doğru cevap: C — Farklı ip boylarında periyotlar ölçülüp $T^2$–$L$ grafiği çizilir; eğim $4\pi^2/g$ olduğundan $g$ hesaplanır.

1. Bağıntının karesini alalım: $T^2 = (4\pi^2/g) \cdot L$.
2. Bu, $T^2$ ile $L$ arasında başlangıçtan geçen bir doğru denklemidir; eğimi $4\pi^2/g$’dir.
3. Öğrenci birkaç farklı ip boyu için periyodu ölçer (örneğin 10 salınımın süresini 10’a bölerek), $T^2$–$L$ grafiğini çizer ve eğimden $g = 4\pi^2/\text{eğim}$ bulur.
4. Denetleyelim: $g \approx 9{,}8$ m/s² için eğim $4\pi^2/9{,}8 \approx 4$ s²/m çıkar; 1 m’lik ip için $T^2 \approx 4$, $T \approx 2$ s — bilinen değerle uyumlu ✓.

20. Basit sarkacın periyodu ip boyuna ve çekim ivmesine, yay sarkacının periyodu kütleye ve yay sabitine bağlıdır; ikisinde de periyot genlikten bağımsızdır. Bu bilgiye dayanarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez?

• A) Basit sarkacın periyodu asılan kütleden bağımsızdır.
• B) Yay sarkacının periyodu Ay’da değişmez.
• C) İp boyu dört katına çıkarsa periyot iki katına çıkar.
• D) Genliği artırmak periyodu değiştirmez.
• E) Yay sarkacına ağır bir cisim asmak periyodu değiştirmez.

Doğru cevap: E — Söylenemez: "Yay sarkacına ağır bir cisim asmak periyodu değiştirmez." Yay sarkacında $T \propto \sqrt{m}$’dir.

1. İki sarkaçta kütlenin rolünü ayıralım: basit sarkaçta periyot kütleden bağımsızdır, yay sarkacında ise $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ bağıntısında kütle vardır.
2. Basit sarkacın kütleden bağımsızlığı, yay sarkacının Ay’da değişmemesi, boy 4 katına çıkınca periyodun 2 katına çıkması ve genliğin periyodu değiştirmemesi bilgiyle uyumludur.
3. Yay sarkacına ağır cisim asılırsa $m$ büyür, $\sqrt{m/k}$ büyür ve periyot uzar; "değiştirmez" yargısı yanlıştır.
4. Denetleyelim: kütle 4 katına çıkarsa periyot $\sqrt{4} = 2$ katına çıkar; değişim var, o yargı söylenemez ✓.