Dönüşüm

1. Koordinat düzleminde A(2, 3) noktası 4 birim sağa ötelenmiştir. Ötelenen noktanın koordinatları hangi seçenekte doğru verilmiştir?

• A) (2, 7)
• B) (6, 7)
• C) (6, 3)
• D) (−2, 3)

Doğru cevap: C — Sağa öteleme yalnız yatay konumu değiştirir; $A(2,\ 3)$ noktasının görüntüsü $(6,\ 3)$ olur.

1. Ötelemede şeklin yönü ve büyüklüğü korunur, yalnızca yeri değişir. Buradaki hareket 4 birim sağa, yani tümüyle yatay.
2. Yatay hareket $x$ koordinatını etkiler: $x = 2 + 4 = 6$.
3. Düşey bir hareket olmadığı için $y$ koordinatı olduğu gibi kalır: $y = 3$. Görüntü $(6,\ 3)$ noktasıdır.
4. Denetleyelim: $6 - 2 = 4$ birim sağa gidilmiş ve iki nokta da $y = 3$ yatay doğrusu üzerinde duruyor ✓ — istenen öteleme tam olarak bu.

2. B(−3, 2) noktasının y eksenine göre yansıması alınmıştır. Oluşan görüntünün koordinatları nelerdir?

• A) (3, 2)
• B) (−3, −2)
• C) (3, −2)
• D) (2, −3)

Doğru cevap: A — $y$ eksenine göre yansımada $x$ koordinatının işareti değişir, $y$ aynı kalır: görüntü $(3,\ 2)$.

1. $y$ ekseni düşey duran bir ayna gibi düşünülür. Nokta bu aynanın öbür yanına, eksene AYNI uzaklıkta geçer.
2. $B(-3,\ 2)$ noktası $y$ ekseninin 3 birim solundadır; görüntüsü 3 birim sağında olmalıdır: $x = 3$.
3. Hareket tümüyle yatay olduğu için yükseklik değişmez: $y = 2$. Görüntü $(3,\ 2)$ noktasıdır.
4. Denetleyelim: $B(-3,\ 2)$ ile $(3,\ 2)$ noktalarının $y$ eksenine uzaklıkları 3 ve 3 ✓ — eşit uzaklık koşulu sağlanıyor.

3. C(4, −1) noktası x eksenine göre yansıtıldığında elde edilen noktanın koordinatları nedir?

• A) (−4, −1)
• B) (4, 1)
• C) (−4, 1)
• D) (1, 4)

Doğru cevap: B — $x$ eksenine göre yansımada $y$ koordinatının işareti değişir, $x$ aynı kalır: görüntü $(4,\ 1)$.

1. $x$ ekseni yatay duran bir ayna gibidir. Nokta bu aynanın öbür yanına, eksene aynı uzaklıkta geçer.
2. $C(4,\ -1)$ noktası $x$ ekseninin 1 birim altındadır; görüntüsü 1 birim üstünde olmalıdır: $y = 1$.
3. Hareket tümüyle düşey olduğu için soldan sağa konum değişmez: $x = 4$. Görüntü $(4,\ 1)$ noktasıdır.
4. Denetleyelim: iki nokta da $x = 4$ düşey doğrusu üzerinde ve $x$ eksenine uzaklıkları 1 ile 1 ✓ — yansımanın iki koşulu da sağlanıyor.

4. Bir şekil önce 3 birim sola, ardından 2 birim yukarı ötelenmiştir. Bu iki hareket sonunda D(5, 1) noktası hangi noktaya taşınır?

• A) (8, 3)
• B) (2, −1)
• C) (8, −1)
• D) (2, 3)

Doğru cevap: D — Sola öteleme x'i azaltır, yukarı öteleme y'yi artırır: (5 − 3, 1 + 2) = (2, 3).

1. 3 birim sola öteleme x koordinatından 3 çıkarır: 5 − 3 = 2.
2. Bu adımda y değişmez, nokta (2, 1) olur.
3. 2 birim yukarı öteleme y koordinatına 2 ekler: 1 + 2 = 3.
4. Son görüntü (2, 3) noktasıdır.

5. Şekilde bir dikdörtgen ve üzerinde kesikli çizgiler gösterilmiştir. Bir dikdörtgenin kaç tane simetri ekseni vardır?

• A) 1
• B) 4
• C) 2
• D) 0

Doğru cevap: C — Dikdörtgenin, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren 2 simetri ekseni vardır.

1. Simetri ekseni, şekil o doğru boyunca katlandığında iki parçanın tam olarak çakıştığı doğrudur.
2. Uzun kenarların orta noktalarını birleştiren doğruyu deneyelim: katlandığında üst yarı alt yarıyla çakışır. Bu bir eksendir.
3. Kısa kenarların orta noktalarını birleştiren doğru da aynı biçimde çalışır. İkinci eksen budur.
4. Şimdi köşegeni deneyelim: dikdörtgen köşegeni boyunca katlanınca uzun kenar kısa kenarın üzerine düşer ve uzunlukları farklı olduğu için çakışma olmaz. Köşegenler eksen değildir.
5. Denetleyelim: kenarlar eşitlenip şekil kareye dönüşseydi köşegenler de eksen olur ve sayı 4’e çıkardı ✓ — dikdörtgende ise eksen sayısı 2’dir.

6. Bir şekle öteleme, yansıma veya dönme uygulandığında şeklin hangi özelliği korunur?

• A) Şeklin biçimi ve büyüklüğü değişmez.
• B) Şeklin alanı her zaman yarıya iner.
• C) Şeklin kenar sayısı bir artar.
• D) Şeklin açı ölçüleri iki katına çıkar.

Doğru cevap: A — Öteleme, yansıma ve dönme birer eşlik dönüşümüdür: şeklin biçimi ve büyüklüğü değişmez.

1. Üç dönüşümü tek tek geçelim. Öteleme şekli belirli bir yönde kaydırır; bütün noktalar aynı miktarda hareket ettiği için aralarındaki uzaklıklar aynı kalır.
2. Yansımada her nokta eksene aynı uzaklıkta karşıya geçer. Şeklin yönü ters çevrilir ama kenar uzunlukları ve açı ölçüleri korunur.
3. Dönmede şekil bir nokta çevresinde çevrilir; merkeze uzaklıklar sabit kaldığı için ölçüler yine değişmez.
4. Denetleyelim: üçünde de kenar uzunlukları ve açılar korunuyorsa çevre ve alan da korunur ✓ — değişen tek şey şeklin yeri ya da duruşudur.

7. Köşeleri A(1, 1), B(4, 1) ve C(1, 3) olan üçgen 2 birim aşağı ötelenmiştir. Bu ötelemede A köşesinin görüntüsü hangi noktadır?

• A) (1, 3)
• B) (1, −1)
• C) (−1, 1)
• D) (3, 1)

Doğru cevap: B — Aşağı öteleme yalnız $y$ koordinatını azaltır; $A(1,\ 1)$ noktasının görüntüsü $(1,\ -1)$ olur.

1. Üçgenin bütün köşeleri aynı miktarda kayar, bu yüzden yalnızca A köşesini izlemek yeterlidir.
2. Hareket 2 birim aşağı, yani tümüyle düşeydir. Düşey hareket $y$ koordinatını etkiler: $y = 1 - 2 = -1$.
3. Yatay bir hareket olmadığı için $x$ koordinatı değişmez: $x = 1$. A köşesinin görüntüsü $(1,\ -1)$ noktasıdır.
4. Denetleyelim: $1 - (-1) = 2$ birim aşağı inilmiş ve iki nokta da $x = 1$ düşey doğrusu üzerinde ✓ — öteleme istendiği gibi.

8. Orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürme yapılmaktadır. Bu dönmede P(3, 0) noktası hangi noktaya taşınır?

• A) (3, 0)
• B) (−3, 0)
• C) (0, −3)
• D) (0, 3)

Doğru cevap: D — x ekseni üzerindeki nokta 90° saat yönünün tersine dönünce y ekseninin pozitif tarafına gelir: (0, 3).

1. P noktası orijinden 3 birim uzaktadır ve x ekseni üzerindedir.
2. Dönmede noktanın merkeze uzaklığı değişmez.
3. Saat yönünün tersine 90° dönüş, pozitif x ekseninden pozitif y eksenine geçmektir.
4. Görüntü (0, 3) noktasıdır.

9. Bir satranç oyuncusu taşını tahtada 3 kare sağa ve 2 kare yukarı taşımıştır. Taşın yönü ve büyüklüğü değişmediğine göre bu hareket hangi dönüşümdür?

• A) Öteleme
• B) Yansıma
• C) Dönme
• D) Büyütme

Doğru cevap: A — Şekli yönünü değiştirmeden belirli bir yönde kaydıran dönüşüm ötelemedir.

1. Soruda verilen iki bilgiyi ayıralım: taş yer değiştirmiş, ama yönü ve büyüklüğü aynı kalmış.
2. Yansımada şeklin duruşu ters çevrilir, yani ayna görüntüsü oluşur. Burada böyle bir tersine çevrilme anlatılmıyor.
3. Dönmede şekil bir nokta çevresinde çevrildiği için baktığı yön değişir. Oysa taşın yönünün aynı kaldığı söyleniyor.
4. Geriye öteleme kalır: 3 kare sağa ve 2 kare yukarı hareket, taşı yönünü hiç değiştirmeden yeni bir konuma taşır.
5. Denetleyelim: büyüklüğün de korunduğu söyleniyor ✓ — bu, dönüşümün büyütme ya da küçültme olmadığını kesinleştiriyor.

10. Bir çocuk aynanın karşısında sağ elini kaldırdığında aynadaki görüntüsü sol elini kaldırıyormuş gibi görünmektedir. Bu durum hangi dönüşümle açıklanır?

• A) Öteleme
• B) Yansıma
• C) Dönme
• D) Küçültme

Doğru cevap: B — Ayna görüntüsü, ayna düzlemine göre bir yansımadır; bu yüzden sağ ile sol yer değiştirir.

1. Aynadaki görüntünün iki özelliğini saptayalım: çocukla aynı büyüklükte ve aynaya aynı uzaklıkta duruyor, ama sağ-sol ters görünüyor.
2. Aynı uzaklık koşulu yansımanın tanımıdır: her nokta eksenin öbür yanına eşit uzaklıkta geçer. Ayna burada bir simetri ekseni gibi davranır.
3. Sağ-sol tersliği de buradan doğar. Öteleme yapılsaydı çocuk yalnızca yana kaymış görünürdü, eller yer değiştirmezdi.
4. Denetleyelim: görüntü büyümüyor ya da küçülmüyor ✓ — yani dönüşüm büyütme değil, uzunlukları koruyan bir yansıma.

11. Bir noktanın x eksenine göre yansıması K'(−2, 5) olarak bulunmuştur. Yansıması alınan bu nokta hangisidir?

• A) (2, 5)
• B) (2, −5)
• C) (−2, −5)
• D) (5, −2)

Doğru cevap: C — Yansımanın yansıması başlangıç noktasını verir: (−2, 5) noktasının x eksenine göre yansıması (−2, −5)'tir.

1. x eksenine göre yansımada y koordinatının işareti değişir.
2. İşlem geri alınırsa yine y'nin işareti değiştirilir.
3. 5 sayısının işareti değiştirilir: −5.
4. Aranan nokta (−2, −5)'tir.

12. Bir çarkın tam bir turu 360°'dir. Çark bir tam turun dörtte biri kadar döndürüldüğünde kaç derecelik bir dönme yapmış olur?

• A) 30
• B) 45
• C) 60
• D) 90

Doğru cevap: D — Tam tur $360°$ olduğundan dörtte biri $360 \div 4 = 90°$’dir.

1. Bir tam tur, çarkın başladığı yere dönene kadar yaptığı dönmedir ve ölçüsü $360°$’dir.
2. İstenen, bu turun dörtte biri kadar dönme.
3. İşlemi yapalım: $360 \div 4 = 90$. Çark $90°$ dönmüş olur.
4. Denetleyelim: dört tane $90°$’lik dönme $4 \times 90 = 360°$ eder ✓ — dördü birleşince tam tur tamamlanıyor.

13. Şekilde bir üçgen y eksenine göre yansıtılmıştır. Bu yansımada köşelerin koordinatları nasıl değişmiştir?

• A) x koordinatlarının işareti değişir, y koordinatları aynı kalır.
• B) y koordinatlarının işareti değişir, x koordinatları aynı kalır.
• C) Hem x hem y koordinatlarının işareti değişir.
• D) Koordinatların hiçbiri değişmez.

Doğru cevap: A — $y$ eksenine göre yansımada köşelerin $x$ koordinatlarının işareti değişir, $y$ koordinatları aynı kalır.

1. $y$ ekseni düşey bir aynadır. Üçgenin her köşesi bu aynanın öbür yanına, eksene aynı uzaklıkta geçer.
2. Eksene uzaklık $x$ koordinatının büyüklüğüyle ölçülür. Karşıya geçen bir nokta aynı uzaklıkta ama ters yönde durur; bu yüzden $x$’in işareti değişir.
3. Hareketin tamamı yatay olduğu için köşelerin yüksekliği değişmez, yani $y$ koordinatları korunur.
4. Denetleyelim: örnek bir köşe olarak $(2,\ 5)$ alalım; görüntüsü $(-2,\ 5)$ olur ve iki noktanın da eksene uzaklığı 2 ✓ — kural tutuyor.

14. Şekildeki kare, merkezi etrafında 180° döndürülmüştür. Bu döndürme sonucunda ortaya çıkan durum nedir?

• A) Karenin kenar uzunlukları iki katına çıkar.
• B) Kare kendisiyle tam olarak çakışır.
• C) Kare bir dikdörtgene dönüşür.
• D) Karenin alanı yarıya iner.

Doğru cevap: B — Kare merkezi çevresinde $180°$ döndürüldüğünde kendisiyle tam olarak çakışır.

1. Dönmede şeklin biçimi ve büyüklüğü korunur; değişen tek şey duruşudur. Öyleyse kenar uzunlukları ya da alanla ilgili seçenekler baştan elenir.
2. Karenin dört kenarı ve dört açısı eşittir, merkezi de köşelere eşit uzaklıktadır. Bu yüzden kare, merkezi çevresinde belirli açılarda kendisiyle üst üste gelir.
3. En küçük çakışma açısı $360 \div 4 = 90°$’dir. $180°$ bunun iki katı olduğu için çakışma yine gerçekleşir: karşılıklı köşeler yer değiştirir, şeklin kapladığı alan aynı kalır.
4. Denetleyelim: $90°$, $180°$ ve $270°$ dönmelerinin üçünde de kare kendisiyle çakışır ✓ — $180°$ bunlardan biri.

15. Bir duvar deseni, bir şeklin sürekli 3 birim sağa ötelenmesiyle oluşturulmuştur. İlk şeklin bir köşesi (−4, 2) noktasında olduğuna göre dördüncü şekilde aynı köşe nerededir?

• A) (−1, 2)
• B) (2, 2)
• C) (5, 2)
• D) (8, 2)

Doğru cevap: C — Her adımda 3 birim sağa ötelendiği için dördüncü şekilde köşe $-4 + 3 \times 3 = 5$ konumundadır: $(5,\ 2)$.

1. Önce kaç öteleme yapıldığını sayalım. Birinci şekilden dördüncüye geçmek için 1→2, 2→3 ve 3→4 olmak üzere 3 öteleme gerekir, 4 değil.
2. Her öteleme $x$ koordinatını 3 artırır. Toplam artış: $3 \times 3 = 9$.
3. Başlangıç $x = -4$ olduğuna göre: $-4 + 9 = 5$.
4. Öteleme yatay olduğu için $y$ koordinatı 2 olarak kalır. Aranan köşe $(5,\ 2)$ noktasındadır.
5. Denetleyelim: köşeleri sırayla yazalım — $-4,\ -1,\ 2,\ 5$ ✓ — dördüncü değer gerçekten 5.