Geometrik Şekiller

1. Şekilde bir üçgenin iki iç açısı verilmiş, üçüncüsü sorulmuştur. Üçgenin iç açıları toplamı dikkate alındığında bu açı kaç derecedir?

• A) 60
• B) 50
• C) 70
• D) 80
• E) 120

Doğru cevap: A — Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan üçüncü açı 180 − (50 + 70) = 60°’dir.

1. Bir üçgenin üç iç açısının ölçüleri toplamı her zaman 180°’dir; çözümün dayandığı tek kural bu.
2. Bilinen iki açıyı toplayalım: $50 + 70 = 120$°.
3. Kalanı bulalım: $180 - 120 = 60$. Aranan açı 60°’dir.
4. Denetleyelim: $50 + 70 + 60 = 180$ ✓ — üç açının toplamı kuralı sağlıyor.

2. Yukarıda bir üçgenin dış açısı verilmiştir. Bu dış açıya komşu olan iç açının ölçüsü sorulmaktadır. Buna göre iç açı kaç derecedir?

Bir dış açı = 130°, komşu iç açı = ?

• A) 130
• B) 50
• C) 60
• D) 40
• E) 90

Doğru cevap: B — Dış açı ile ona komşu iç açı bütünler olduğundan iç açı 180 − 130 = 50°’dir.

1. Bir üçgenin dış açısı, kenarın uzatılmasıyla oluşur; dış açı ile ona komşu iç açı aynı doğru üzerinde yan yana durur.
2. Aynı doğru üzerindeki bu iki açı doğrusal çift oluşturur ve ölçüleri toplamı 180°’dir: iç açı $= 180 - 130$.
3. İşlemi yapalım: $180 - 130 = 50$. Komşu iç açı 50°’dir.
4. Denetleyelim: $130 + 50 = 180$ ✓ — iki açı birlikte düz bir doğruyu tamamlıyor.

3. Tabloda üçgenin açı toplamları verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Her köşede bir dış açı alındığı düşünüldüğünde bu boşluğa gelmesi gereken değer hangisidir?

• A) 270°
• B) 180°
• C) 360°
• D) 540°
• E) 90°

Doğru cevap: C — Her köşede iç ve dış açı toplamı 180°'dir; 3 × 180 − 180 = 360°.

1. Her köşede iç + dış = 180°'dir.
2. Üç köşe için toplam 540°'dir.
3. İç açılar 180° çıkarılınca 360° kalır.

4. Şekilde bir üçgenin üç iç açısı verilmiştir. Bu üçgende en uzun kenarın hangi köşenin karşısında olduğu sorulmaktadır. Şekle göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Bütün kenarlar eşittir
• B) A köşesinin karşısındaki BC kenarı
• C) B köşesinin karşısındaki AC kenarı
• D) C köşesinin karşısındaki AB kenarı
• E) Belirlenemez

Doğru cevap: D — En büyük açı 80° ile C köşesindedir; en uzun kenar bu açının karşısındaki AB kenarıdır.

1. Kullanacağımız kural şu: bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar, küçük açının karşısındaki kenardan uzundur.
2. Şekildeki açıları büyüklüğe göre sıralayalım: A köşesinde 40°, B köşesinde 60°, C köşesinde 80°. En büyüğü C’deki 80°’dir.
3. C köşesinin karşısındaki kenar, C’ye komşu olmayan kenardır; o da AB’dir. Öyleyse en uzun kenar AB’dir.
4. Denetleyelim: en küçük açı A’daki 40°, karşısındaki BC de en kısa kenar olmalı ✓ — açı sıralaması ile kenar sıralaması aynı yönde ilerliyor.

5. Yukarıda bir üçgenin iki kenarı ve üçüncü kenarı x olarak verilmiştir. Üçgen eşitsizliğine göre x değerinin alabileceği aralık sorulmaktadır. Buna göre doğru aralık hangisidir?

Kenarlar: 5 br, 9 br ve x br

• A) 9 < x < 14
• B) 5 < x < 9
• C) 0 < x < 14
• D) 4 < x < 9
• E) 4 < x < 14

Doğru cevap: E — Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar, öteki ikisinin farkı ile toplamı arasındadır: $4 < x < 14$.

1. Üçgen eşitsizliği iki kenarın toplamının üçüncü kenardan büyük olmasını ister; bu üç koşul birlikte bir aralık verir.
2. Üst sınır: $x < 5 + 9 = 14$. Aksi hâlde 5 ve 9 birimlik kenarlar uçlarda birleşemezdi.
3. Alt sınır: $x > 9 - 5 = 4$. Aksi hâlde $x + 5 \leq 9$ olurdu ve üçgen yine kapanmazdı. Öyleyse aralık $4 < x < 14$’tür.
4. Denetleyelim: $x = 10$ için $5 + 9 > 10$, $5 + 10 > 9$ ve $9 + 10 > 5$ ✓; $x = 4$ için ise $4 + 5 = 9$ çıkar, üç nokta aynı doğru üzerine düşer ve üçgen oluşmaz ✓.

6. Şekilde iki kenarı eşit olan bir üçgen ve tepe açısı verilmiştir. Taban açılarının ölçüsü sorulmaktadır. Şekle göre her bir taban açısı kaç derecedir?

• A) 70
• B) 40
• C) 60
• D) 80
• E) 50

Doğru cevap: A — İkizkenar üçgende taban açıları eşittir: $(180 - 40) \div 2 = 70$°.

1. İki kenarı 8’er birim olan bu üçgen ikizkenardır; ikizkenar üçgende eş kenarların karşısındaki taban açıları birbirine eşittir.
2. İç açılar toplamı 180° olduğundan taban açılarının toplamı $180 - 40 = 140$°’dir.
3. Bu 140° iki eşit açıya paylaştırılır: $140 \div 2 = 70$. Her bir taban açısı 70°’dir.
4. Denetleyelim: $40 + 70 + 70 = 180$ ✓ — üç açının toplamı kuralı sağlanıyor.

7. Yukarıda üç kenarı da eşit olan bir üçgen tanımlanmıştır. Bu üçgenin iç açılarının ölçüsü sorulmaktadır. Buna göre her bir iç açı kaç derecedir?

Üç kenarı da eşit üçgen

• A) 45
• B) 60
• C) 90
• D) 30
• E) 120

Doğru cevap: B — Eşkenar üçgende üç açı da eşit olduğundan her biri $180 \div 3 = 60$°’dir.

1. Kenarlar eşitse karşılarındaki açılar da eşittir; üç kenarı eşit olan üçgende üç açı birden birbirine eşit olur.
2. İç açılar toplamı 180°’dir ve bu toplam üç eşit paya bölünür.
3. $180 \div 3 = 60$. Eşkenar üçgenin her iç açısı 60°’dir.
4. Denetleyelim: $60 + 60 + 60 = 180$ ✓ — ayrıca 60° bir dar açıdır, yani eşkenar üçgen her zaman dar açılıdır.

8. Tabloda bir dik üçgenin açıları verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Dik üçgende dar açıların toplamı dikkate alındığında bu boşluğa gelmesi gereken değer hangisidir?

• A) 65°
• B) 45°
• C) 55°
• D) 35°
• E) 90°

Doğru cevap: C — Dik üçgende iki dar açının toplamı 90° olduğundan boş bırakılan açı 90 − 35 = 55°’dir.

1. Tabloda A açısı 90°, yani üçgen dik üçgendir. İç açılar toplamı 180° olduğuna göre kalan iki açının toplamı $180 - 90 = 90$°’dir.
2. B açısı 35° verilmiş; C açısı için $35 + C = 90$ yazabiliriz.
3. Buradan $C = 90 - 35 = 55$°. Boşluğa 55° gelmelidir.
4. Denetleyelim: $90 + 35 + 55 = 180$ ✓ — üç açının toplamı doğru ve iki dar açı birbirinin tümleyeni.

9. Yukarıda bir üçgenin A açısı ve bu açının iç açıortayı verilmiştir. Açıortayın oluşturduğu açıların ölçüsü sorulmaktadır. Buna göre her bir açı kaç derecedir?

A açısı = 76°, iç açıortay çizildi

• A) 52
• B) 76
• C) 19
• D) 38
• E) 42

Doğru cevap: D — İç açıortay açıyı iki eş parçaya böldüğü için her parça $76 \div 2 = 38$°’dir.

1. Açıortay, bir açıyı ölçüleri eşit iki açıya ayıran ışındır; tanımın kendisi eşitliği veriyor.
2. A açısı 76° olduğuna göre iki parçanın toplamı 76°’dir ve parçalar birbirine eşittir.
3. $76 \div 2 = 38$. Her bir parça 38°’dir.
4. Denetleyelim: $38 + 38 = 76$ ✓ — iki parça birleşince baştaki açıyı tam olarak veriyor.

10. Şekilde bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir. Bu üçgenin çevresi sorulmaktadır. Şekle göre çevre kaç birimdir?

• A) 24
• B) 21
• C) 23
• D) 20
• E) 22

Doğru cevap: E — Çevre kenar uzunluklarının toplamıdır: $7 + 9 + 6 = 22$ br.

1. Bir çokgenin çevresi kenar uzunluklarının toplamıdır; üçgende üç kenarı toplamak yeterlidir.
2. Kenarlar 7 br, 9 br ve 6 br olarak verilmiş. Önce ikisini toplayalım: $7 + 9 = 16$.
3. Üçüncüyü ekleyelim: $16 + 6 = 22$. Çevre 22 br’dir.
4. Denetleyelim: $7 + 9 > 6$, $7 + 6 > 9$ ve $9 + 6 > 7$ ✓ — verilen uzunluklar gerçekten bir üçgen oluşturuyor, yani hesaplanan çevre anlamlı.

11. Tabloda bir üçgenin komşu olmayan iki iç açısı verilmiş, dış açı boş bırakılmıştır. Dış açı özelliği uygulandığında bu bölüme yazılacak ölçü kaç derecedir?

• A) 110°
• B) 70°
• C) 100°
• D) 120°
• E) 90°

Doğru cevap: A — Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: $45 + 65 = 110$°.

1. Üçgende dış açı özelliğini yazalım: bir dış açının ölçüsü, ona komşu OLMAYAN iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
2. Tabloda komşu olmayan iç açılar 45° ve 65° verilmiş; bunları toplayalım: $45 + 65 = 110$°.
3. Öyleyse boş bırakılan dış açı 110°’dir.
4. Denetleyelim: dış açıya komşu iç açı $180 - 110 = 70$° olur ve $45 + 65 + 70 = 180$ ✓ — üçgenin iç açılar toplamı doğru çıkıyor.

12. Şekilde bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir. Bu üçgende en büyük açının hangi kenarın karşısında olduğu sorulmaktadır. Şekle göre doğru yanıt hangisidir?

• A) 6 br olan AB kenarının karşısındaki açı
• B) 10 br olan BC kenarının karşısındaki açı
• C) 8 br olan AC kenarının karşısındaki açı
• D) Bütün açılar eşittir
• E) Belirlenemez

Doğru cevap: B — En büyük açı en uzun kenarın karşısındadır; en uzun kenar 10 br olan BC olduğu için aranan açı onun karşısındaki açıdır.

1. Kenar-açı ilişkisi şudur: bir üçgende uzun kenarın karşısındaki açı, kısa kenarın karşısındaki açıdan büyüktür.
2. Kenarları sıralayalım: AB 6 br, AC 8 br, BC 10 br. En uzunu 10 br olan BC kenarıdır.
3. Öyleyse en büyük açı BC kenarının karşısında, yani A köşesinde bulunur.
4. Denetleyelim: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ ✓ — üçgen dik üçgen çıkıyor ve 90°’lik açı gerçekten 10 br’lik kenarın karşısında.

13. Yukarıda bir üçgenin alanı ve tabanı verilmiştir. Bu tabana ait yüksekliğin uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre yükseklik kaç birimdir?

Alan = 24 br², taban = 8 br, yükseklik = ?

• A) 12
• B) 3
• C) 6
• D) 4
• E) 8

Doğru cevap: C — Alan = (taban × yükseklik) ÷ 2 → 24 = (8 × h) ÷ 2 → h = 6.

1. Alan formülü yazılır: A = (a × h) ÷ 2.
2. 24 = (8 × h) ÷ 2 → 48 = 8h.
3. h = 6 br bulunur.

14. Tabloda kenar üçlüleri değerlendirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Üçgen eşitsizliği uygulandığında bu boşluğa gelmesi gereken yanıt hangisidir?

• A) Hayır, çünkü 7 tektir.
• B) Evet, çünkü sayılar farklıdır.
• C) Evet, çünkü hepsi pozitiftir.
• D) Hayır, çünkü 2 + 3 < 7'dir.
• E) Belirlenemez

Doğru cevap: D — İki kenarın toplamı üçüncüden büyük olmalıdır; 2 + 3 = 5 < 7 olduğu için üçgen oluşmaz.

1. En kısa iki kenar toplanır: 2 + 3 = 5.
2. Bu toplam en uzun kenarla karşılaştırılır.
3. 5 < 7 olduğu için üçgen oluşmaz.

15. Yukarıda bir üçgenin iç açıları x cinsinden verilmiştir. En büyük açının ölçüsü sorulmaktadır. Buna göre bu açı kaç derecedir?

Açılar: 2x, 3x ve 4x

• A) 100
• B) 60
• C) 40
• D) 90
• E) 80

Doğru cevap: E — $2x + 3x + 4x = 180$ denkleminden x = 20 bulunur; en büyük açı $4x = 80$°’dir.

1. İç açılar toplamı 180° olduğundan denklemi kuralım: $2x + 3x + 4x = 180$.
2. Benzer terimleri toplayalım: $9x = 180$, buradan $x = 20$.
3. En büyük açı en büyük katsayılı terimdir: $4x = 4 \cdot 20 = 80$°.
4. Denetleyelim: açılar 40°, 60° ve 80° olur; $40 + 60 + 80 = 180$ ✓ — toplam doğru ve en büyüğü gerçekten 80°.

16. Kartlarda üçgen türleri verilmiştir. Üç kenarı da farklı uzunlukta olan üçgen sorulmaktadır. Kartlara göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Çeşitkenar
• B) Eşkenar
• C) İkizkenar
• D) Hepsi
• E) Hiçbiri

Doğru cevap: A — Üç kenarı da farklı uzunlukta olan üçgene çeşitkenar üçgen denir.

1. Üçgenler kenar uzunluklarına göre üçe ayrılır; kartlardaki üç adı bu ölçütle karşılaştıracağız.
2. Eşkenar üçgende üç kenar da birbirine eşittir; ikizkenar üçgende yalnız iki kenar eşittir.
3. Üç kenarın da farklı olduğu durum için geriye çeşitkenar adı kalır; “çeşit” sözcüğü zaten kenarların birbirinden farklı olmasını anlatıyor.
4. Denetleyelim: 6, 8 ve 10 birimlik bir üçgen düşünelim — hiçbir kenarı ötekine eşit değil ve gerçekten çeşitkenar ✓.

17. Tabloda tabanları eşit iki üçgenin ölçüleri verilmiştir. Bu üçgenlerin alanlarının oranı sorulmaktadır. Tabloya göre I. üçgenin alanının II. üçgenin alanına oranı kaçtır?

• A) 2
• B) 1/2
• C) 1/4
• D) 4
• E) 1

Doğru cevap: B — Tabanlar eşit olduğundan alanların oranı yüksekliklerin oranına iner: $4 \div 8 = \frac{1}{2}$.

1. Üçgende alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. İki üçgenin alanını ayrı ayrı yazalım.
2. I. üçgen: $(6 \cdot 4) \div 2 = 12$ br². II. üçgen: $(6 \cdot 8) \div 2 = 24$ br².
3. Oranı kuralım: $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$. Tabanlar eşit olduğu için oran zaten yüksekliklerin oranına, $\frac{4}{8}$’e sadeleşiyor.
4. Denetleyelim: II. üçgenin yüksekliği I’inkinin iki katı ✓ — taban aynı kalınca alan da iki katına çıkar, bu yüzden aranan oran 1/2.

18. Yukarıda bir dik üçgenin dik kenarları verilmiştir. Bu üçgenin alanı sorulmaktadır. Buna göre alan kaç br²'dir?

Dik kenarlar: 6 br ve 8 br

• A) 14
• B) 48
• C) 24
• D) 28
• E) 12

Doğru cevap: C — Dik üçgende dik kenarlar birbirine yükseklik olur: alan $(6 \cdot 8) \div 2 = 24$ br²’dir.

1. Dik üçgende dik kenarlardan biri taban seçilirse öteki tam olarak ona ait yükseklik olur; ayrıca bir yükseklik çizmeye gerek kalmaz.
2. Alan bağıntısında yerine koyalım: $(6 \cdot 8) \div 2$.
3. Önce çarpalım: $6 \cdot 8 = 48$; sonra ikiye bölelim: $48 \div 2 = 24$. Alan 24 br²’dir.
4. Denetleyelim: bu üçgen, kenarları 6 ve 8 birim olan bir dikdörtgenin tam yarısıdır; dikdörtgenin alanı 48 br² ve yarısı gerçekten 24 br² ✓.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata hangisidir?

• A) Üçgeni tanımamak
• B) Kenarları ölçmemek
• C) Açıyı çizmemek
• D) Açının, aralarındaki kenarlarla değil karşısındaki kenarla ilişkili olduğunu göz ardı etmek
• E) Toplamı hesaplamamak

Doğru cevap: D — Bir açının büyüklüğü kollarıyla değil karşısındaki kenarın uzunluğuyla ilişkilidir; öğrenci bu ilişkiyi ters kurmuştur.

1. Öğrencinin kullandığı kuralı adlandıralım: “iki kenar uzunsa aralarındaki açı da büyüktür” demiş, yani açıyı KOLLARIYLA ilişkilendirmiş.
2. Oysa geçerli kural açıyı karşı kenara bağlar: büyük açının karşısındaki kenar uzun, küçük açının karşısındaki kenar kısadır.
3. Bir karşı örnek çıkarımı çürütür: kenarları 9, 9 ve 2 birim olan ikizkenar üçgende iki uzun kenar arasındaki açı çok dardır, çünkü karşısındaki kenar yalnızca 2 birimdir.
4. Denetleyelim: aynı üçgende 2 birimlik kısa kenarın karşısındaki açı gerçekten en küçüktür ✓ — ilişki karşı kenar üzerinden kuruluyor.

20. Kartlarda bu temada işlenen üç temel kural verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Açı toplamı değişkendir.
• C) Açı ile kenar ilişkisizdir.
• D) Kenarlar serbestçe seçilir.
• E) Üçgen; açı toplamı sabit, açı-kenar ilişkisi düzenli ve kenarları bir eşitsizlikle sınırlı bir şekildir.

Doğru cevap: E — Üç kart birlikte üçgeni tanımlar: açı toplamı sabit, açı-kenar ilişkisi düzenli ve kenarlar bir eşitsizlikle sınırlıdır.

1. Soru en KAPSAYICI sonucu istiyor; öyleyse üç kartı birbirine bağlayan, hepsini birden içeren cümleyi arayacağız.
2. Birinci kart ölçüyü sabitliyor: hangi üçgen olursa olsun iç açıların toplamı 180°’dir.
3. İkinci kart açı ile kenar arasında düzenli bir sıralama kuruyor; üçüncü kart ise kenarların keyfî seçilemeyeceğini, üçgen eşitsizliğine uymak zorunda olduğunu söylüyor. Üçü birleşince hem açıları hem kenarları kurallı bir şekil ortaya çıkıyor.
4. Denetleyelim: kartlardan biri çıkarılsa tanım eksik kalırdı ✓ — örneğin eşitsizlik olmasa 1, 2 ve 10 birimlik bir “üçgen” kurulabilirdi.