Mutlak Değer Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri

1. Kartta bir mutlak değer fonksiyonu verilmiştir. Bu fonksiyonun grafiğinin tepe noktası hangisidir?

f(x) = |x − 3| + 2

• A) (−3, 2)
• B) (2, 3)
• C) (3, 2)
• D) (3, −2)
• E) (−3, −2)

Doğru cevap: C — f(x) = |x − r| + k biçiminde tepe noktası (r, k)'dir; burada (3, 2).

1. Ne soruluyor: grafiğin kırıldığı nokta (tepe noktası).
2. Mutlak değerin içi sıfır olduğunda kırılma olur: x − 3 = 0, x = 3.
3. Bu noktada değer f(3) = |0| + 2 = 2. Tepe noktası (3, 2).
4. Denetleme: f(2) = 3 ve f(4) = 3; tepe noktasının iki yanında değerler eşit ve 2'den büyük ✓.
5. Sık yapılan hata: (−3, 2) demek. |x − 3| ifadesindeki eksi işareti tepe noktasını sağa, x = 3'e taşır.

2. f(x) = |2x − 5| fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlıdır. Bu fonksiyon için f(1) değeri kaçtır?

• A) 3
• B) −3
• C) 7
• D) −7
• E) 1

Doğru cevap: A — f(1) = |2 × 1 − 5| = |−3| = 3.

1. Ne soruluyor: fonksiyonda x yerine 1 yazıldığında çıkan değer.
2. İçerideki işlem: 2 × 1 − 5 = −3.
3. Mutlak değer uzaklıktır, negatif olamaz: |−3| = 3.
4. Denetleme: −3 sayısının 0'a uzaklığı 3 birimdir ✓.
5. Sık yapılan hata: −3 demek. Mutlak değer işaretini atıp içerideki sonucu yazmak; mutlak değerin sonucu hiçbir zaman negatif değildir.

3. Grafikte bir mutlak değer fonksiyonunun 0 ≤ x ≤ 5 aralığındaki bölümü gösterilmiştir. Bu grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine aittir?

• A) y = |x + 2| + 1
• B) y = |x − 1| + 2
• C) y = |x − 2| − 1
• D) y = −|x − 2| + 1
• E) y = |x − 2| + 1

Doğru cevap: E — Tepe noktası (2, 1), kollar yukarı ve eğimler ±1 olduğundan y = |x − 2| + 1.

1. Ne soruluyor: grafikten fonksiyonun kuralını bulmak.
2. Grafik en düşük değerini x = 2'de alıyor ve bu değer 1: tepe noktası (2, 1).
3. Kollar yukarı doğru; x = 0'da y = 3 olduğundan eğim 1: y = |x − 2| + 1.
4. Denetleme: x = 5 için |5 − 2| + 1 = 4; grafikteki son nokta (5, 4) ✓.
5. Sık yapılan hata: y = |x − 2| − 1 demek. Bu fonksiyonun tepe noktası (2, −1) olur; grafikte tepe x ekseninin üstündedir.

4. f(x) = |x + 4| − 6 fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlıdır. Bu fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) [6, ∞)
• B) [−6, ∞)
• C) (−∞, −6]
• D) [−4, ∞)
• E) ℝ

Doğru cevap: B — |x + 4| ≥ 0 olduğundan |x + 4| − 6 ≥ −6; görüntü kümesi [−6, ∞).

1. Ne soruluyor: fonksiyonun alabileceği bütün değerler.
2. Mutlak değer en az 0 olur: |x + 4| ≥ 0; eşitlik x = −4'te sağlanır.
3. Her iki taraftan 6 çıkarılır: f(x) ≥ −6. Üst sınır yoktur: [−6, ∞).
4. Denetleme: f(−4) = −6 ve x büyüdükçe f(x) sınırsız artar ✓.
5. Sık yapılan hata: [−4, ∞) demek. −4 tepe noktasının APSİSİ, yani tanım kümesindeki yeridir; görüntü kümesi ordinata bakar.

5. Karttaki fonksiyonun grafiğinde kollar aşağı doğrudur. Bu fonksiyonun alabileceği en büyük değer kaçtır?

f(x) = −|x − 1| + 5

• A) 1
• B) −5
• C) 6
• D) 5
• E) En büyük değeri yoktur

Doğru cevap: D — −|x − 1| ≤ 0 olduğundan f(x) ≤ 5; en büyük değer x = 1'de 5'tir.

1. Ne soruluyor: kolları aşağı olan grafiğin tepe noktasının ordinatı.
2. |x − 1| ≥ 0 ise −|x − 1| ≤ 0 olur.
3. Her iki tarafa 5 eklenir: f(x) ≤ 5; eşitlik x = 1'de. En büyük değer 5.
4. Denetleme: f(1) = 5, f(0) = 4, f(3) = 3; hiçbiri 5'i geçmiyor ✓.
5. Sık yapılan hata: "En büyük değeri yoktur" demek. Bu, kolları yukarı olan fonksiyonlar için doğrudur; önündeki eksi kolları aşağı çevirir.

6. Karttaki fonksiyonun grafiği dikey bir doğruya göre simetriktir. Bu simetri ekseninin denklemi hangisidir?

g(x) = |3x − 12|

• A) x = −4
• B) x = 4
• C) x = 12
• D) x = 3
• E) x = −12

Doğru cevap: B — Simetri ekseni tepe noktasından geçer: 3x − 12 = 0, x = 4.

1. Ne soruluyor: grafiğin simetri ekseni.
2. Mutlak değerli fonksiyonun grafiği tepe noktasından geçen dikey doğruya göre simetriktir.
3. Tepe noktası içerinin sıfır olduğu yerdedir: 3x − 12 = 0, x = 4.
4. Denetleme: g(3) = |−3| = 3 ve g(5) = |3| = 3; x = 4'ün iki yanında eşit uzaklıktaki değerler eşit ✓.
5. Sık yapılan hata: x = 12 demek. Sabit terimi doğrudan almak; önce x'in katsayısı olan 3'e bölmek gerekir.

7. h(x) = |x + 1| − 3 fonksiyonunun grafiği V biçimindedir. Bu fonksiyon hangi aralıkta azalandır?

• A) (−1, ∞)
• B) (−∞, −3)
• C) (−3, ∞)
• D) (−∞, −1)
• E) Hiçbir aralıkta azalan değildir

Doğru cevap: D — Tepe noktası x = −1'dedir; kollar yukarı olduğundan fonksiyon (−∞, −1) aralığında azalandır.

1. Ne soruluyor: x büyürken fonksiyon değerinin küçüldüğü aralık.
2. Tepe noktası: x + 1 = 0, x = −1; değer h(−1) = −3.
3. Kollar yukarı olduğundan tepe noktasının solunda grafik iner, sağında çıkar: azalan aralık (−∞, −1).
4. Denetleme: h(−4) = 0, h(−2) = −2; x arttı, değer azaldı ✓.
5. Sık yapılan hata: (−∞, −3) demek. −3 tepe noktasının ordinatıdır; artma-azalma aralığı x eksenindeki konuma göre yazılır.

8. f(x) = |x − 1| − 3 fonksiyonunun grafiği x eksenini iki noktada kesmektedir. Bu noktaların apsisleri hangileridir?

• A) −2 ve 4
• B) −4 ve 2
• C) 1 ve 3
• D) Yalnız 4
• E) −3 ve 3

Doğru cevap: A — f(x) = 0 için |x − 1| = 3; x − 1 = 3 ya da x − 1 = −3, yani x = 4 ya da x = −2.

1. Ne soruluyor: grafiğin x eksenini kestiği noktalar, yani f(x) = 0.
2. |x − 1| − 3 = 0 ise |x − 1| = 3.
3. İki durum: x − 1 = 3 → x = 4; x − 1 = −3 → x = −2.
4. Denetleme: f(4) = |3| − 3 = 0 ve f(−2) = |−3| − 3 = 0 ✓.
5. Sık yapılan hata: "Yalnız 4" demek. Mutlak değerli denklemde içerinin −3 olma durumu da çözüm verir.

9. Kartta y = |x| grafiğine uygulanan ötelemeler verilmiştir. Öteleme sonunda elde edilen grafiğin denklemi hangisidir?

y = |x| → 3 birim sağa, 2 birim aşağı

• A) y = |x + 3| − 2
• B) y = |x − 2| − 3
• C) y = |x − 3| − 2
• D) y = |x − 3| + 2
• E) y = |x + 3| + 2

Doğru cevap: C — Sağa 3 birim öteleme x yerine x − 3, aşağı 2 birim öteleme sonuçtan 2 çıkarma demektir: y = |x − 3| − 2.

1. Ne soruluyor: yatay ve dikey ötelemenin denkleme etkisi.
2. Sağa 3 birim: tepe noktası (0, 0)'dan (3, 0)'a gider; x yerine x − 3 yazılır.
3. Aşağı 2 birim: tepe noktası (3, −2) olur; sonuca −2 eklenir. Denklem y = |x − 3| − 2.
4. Denetleme: tepe noktası (3, −2); y(3) = |0| − 2 = −2 ✓.
5. Sık yapılan hata: y = |x + 3| − 2 demek. Sağa ötelemede içeriye "+" değil "−" yazılır; x + 3 grafiği sola kaydırır.

10. Düz bir yolun 6. kilometresinde bir benzin istasyonu vardır. Yolun x. kilometresindeki bir aracın istasyona uzaklığı d(x) = |x − 6| km'dir. Araç 2. kilometreden 10. kilometreye giderken istasyona olan en küçük uzaklığı ve bu anki konumu hangisidir?

• A) 4 km, x = 2
• B) 2 km, x = 4
• C) 4 km, x = 10
• D) 6 km, x = 0
• E) 0 km, x = 6

Doğru cevap: E — d(x) = |x − 6| en küçük değerini x = 6'da alır ve bu değer 0'dır; 6, [2, 10] aralığındadır.

1. Ne soruluyor: [2, 10] aralığında d(x)'in en küçük değeri ve yeri.
2. Mutlak değer en küçük 0 olur; bu da x − 6 = 0, yani x = 6'da gerçekleşir.
3. 6 sayısı 2 ile 10 arasında olduğundan araç bu noktadan geçer: en küçük uzaklık 0 km, konum x = 6.
4. Denetleme: d(2) = 4, d(6) = 0, d(10) = 4; en küçüğü 0 ✓.
5. Sık yapılan hata: 4 km demek. Yalnız aralığın uçlarına bakmak; tepe noktası aralığın içindeyse en küçük değer oradadır.

11. Tabloda f(x) = |x − 2| − 1 fonksiyonunun bazı değerleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Boş bırakılan değer hangisidir?

• A) 1
• B) 3
• C) −1
• D) 0
• E) 2

Doğru cevap: A — f(4) = |4 − 2| − 1 = 2 − 1 = 1; simetri de aynı sonucu verir: f(4) = f(0) = 1.

1. Ne soruluyor: x = 4 için fonksiyon değeri.
2. Doğrudan hesap: |4 − 2| = 2 ve 2 − 1 = 1.
3. Simetriyle kontrol: tepe x = 2'de; 0 ve 4, 2'ye eşit uzaklıkta olduğundan f(4) = f(0) = 1.
4. Denetleme: tablo 1, 0, −1, 0, 1 biçiminde tepe etrafında simetrik ✓.
5. Sık yapılan hata: 3 demek. Mutlak değer sonucuna 1 eklemek; kuralda 1 çıkarılıyor.

12. f(x) = |x − 5| fonksiyonu parçalı biçimde yazılmak isteniyor. x < 5 olan değerler için fonksiyonun kuralı hangisidir?

• A) x − 5
• B) x + 5
• C) −x − 5
• D) 5x
• E) 5 − x

Doğru cevap: E — x < 5 iken x − 5 negatiftir; mutlak değer işareti değiştirir: |x − 5| = −(x − 5) = 5 − x.

1. Ne soruluyor: mutlak değer içi negatif olduğunda fonksiyonun kuralı.
2. x < 5 ise x − 5 < 0.
3. Negatif sayının mutlak değeri, o sayının ters işaretlisidir: −(x − 5) = 5 − x.
4. Denetleme: x = 2 için |2 − 5| = 3 ve 5 − 2 = 3 ✓.
5. Sık yapılan hata: x − 5 demek. Bu kural x ≥ 5 için geçerlidir; x = 2 koyunca −3 verir, oysa mutlak değer negatif olamaz.

13. Karttaki denklemi sağlayan x değerleri bulunuyor. Bu değerlerin toplamı kaçtır?

|2x + 1| = 7

• A) 7
• B) −4
• C) −1
• D) 3
• E) 1

Doğru cevap: C — 2x + 1 = 7 → x = 3; 2x + 1 = −7 → x = −4. Toplam 3 + (−4) = −1.

1. Ne soruluyor: iki çözümün toplamı.
2. Birinci durum: 2x + 1 = 7, 2x = 6, x = 3.
3. İkinci durum: 2x + 1 = −7, 2x = −8, x = −4. Toplam −1.
4. Denetleme: |2 × 3 + 1| = 7 ve |2 × (−4) + 1| = |−7| = 7 ✓.
5. Sık yapılan hata: 3 demek. Yalnız pozitif durumu çözüp ikinci kökü unutmak; soru iki değerin toplamını istiyor.

14. Bir su deposundaki su seviyesi x metre olmak üzere sensör, |x − 3| ≤ 2 koşulu sağlandığında "normal" uyarısı vermektedir. Seviye yalnız tam sayı metre değerleri alırsa kaç farklı seviyede "normal" uyarısı görülür?

• A) 2
• B) 4
• C) 6
• D) 5
• E) 3

Doğru cevap: D — |x − 3| ≤ 2 ise −2 ≤ x − 3 ≤ 2, yani 1 ≤ x ≤ 5; tam sayılar 1, 2, 3, 4, 5 → 5 seviye.

1. Ne soruluyor: mutlak değerli eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı.
2. |x − 3| ≤ 2 eşitsizliği, x'in 3'e uzaklığının en çok 2 olması demektir: −2 ≤ x − 3 ≤ 2.
3. Her tarafa 3 eklenir: 1 ≤ x ≤ 5. Tam sayılar 1, 2, 3, 4, 5; toplam 5.
4. Denetleme: x = 1 ve x = 5 sınırda sağlıyor (|−2| = 2, |2| = 2); x = 6 sağlamıyor ✓.
5. Sık yapılan hata: 3 demek. Uç değerleri (1 ve 5) dışarıda bırakmak; eşitsizlik "≤" olduğu için uçlar da dahildir.

15. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerinden yalnız birinin kolları aşağı doğrudur. Kolları aşağı doğru olan grafik hangi fonksiyona aittir?

• A) f(x) = |x| + 4
• B) f(x) = −|x + 1| + 3
• C) f(x) = |x − 4|
• D) f(x) = 2|x| − 1
• E) f(x) = |x + 2| − 5

Doğru cevap: B — Mutlak değerin önündeki katsayı negatifse grafik x eksenine göre yansır, kollar aşağı döner: f(x) = −|x + 1| + 3.

1. Ne soruluyor: grafiği ters V biçiminde olan fonksiyon.
2. y = a|x − r| + k biçiminde a > 0 ise kollar yukarı, a < 0 ise aşağıdır.
3. Seçeneklerde yalnız −|x + 1| + 3 ifadesinde a = −1 < 0; kolları aşağıdır.
4. Denetleme: f(−1) = 3 en büyük değer, f(1) = 1 ve f(−3) = 1 daha küçük ✓.
5. Sık yapılan hata: |x + 2| − 5 demek. Sondaki −5 grafiği aşağı öteler ama kolların yönünü değiştirmez.

16. Tabloda y = |x| ve y = 3|x| fonksiyonlarının bazı değerleri verilmiştir. Bu iki fonksiyonun grafikleriyle ilgili hangisi doğrudur?

• A) İkinci grafik 3 birim yukarı ötelenmiştir.
• B) İkinci grafiğin tepe noktası (3, 0) noktasıdır.
• C) İkinci grafik x eksenine göre yansımıştır.
• D) İki grafik hiçbir noktada kesişmez.
• E) İki grafiğin tepe noktası aynıdır; ikinci grafiğin kolları daha diktir.

Doğru cevap: E — İki fonksiyon da x = 0'da 0 değerini alır; 3 katsayısı kolların eğimini 1'den 3'e çıkarır, grafik dikleşir.

1. Ne soruluyor: a katsayısının grafiğe etkisi.
2. Tablodan: iki fonksiyon da x = 0'da 0; tepe noktası ikisinde de (0, 0).
3. x bir birim artınca |x| 1, 3|x| ise 3 artıyor; eğim 3 kat büyük, kollar daha dik.
4. Denetleme: (0, 0) iki grafikte de ortak nokta; "hiç kesişmez" yanlıştır ✓.
5. Sık yapılan hata: "3 birim yukarı ötelenmiştir" demek. Yukarı öteleme |x| + 3 olurdu ve x = 0'da 3 verirdi; tabloda 0 veriyor.

17. Kolları yukarı doğru ve kollarının eğimleri 1 ile −1 olan bir mutlak değer fonksiyonunun tepe noktası (−2, 4)'tür. Bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

• A) f(x) = |x − 2| + 4
• B) f(x) = |x + 4| − 2
• C) f(x) = |x + 2| + 4
• D) f(x) = −|x + 2| + 4
• E) f(x) = |x − 4| + 2

Doğru cevap: C — Tepe noktası (r, k) = (−2, 4) ve a = 1 için f(x) = |x − (−2)| + 4 = |x + 2| + 4.

1. Ne soruluyor: tepe noktasından fonksiyonun kuralını yazmak (ters soru).
2. Genel biçim f(x) = a|x − r| + k; kollar yukarı ve eğim ±1 olduğundan a = 1.
3. r = −2 ve k = 4 yerine yazılır: f(x) = |x + 2| + 4.
4. Denetleme: f(−2) = 0 + 4 = 4 ✓; f(0) = 6 > 4, kollar yukarı ✓.
5. Sık yapılan hata: |x − 2| + 4 demek. Tepe apsisi −2 iken içeriye x − (−2) = x + 2 yazılır.

18. Karttaki fonksiyonun grafiği y eksenini bir noktada keser. Bu kesişim noktasının koordinatları nedir?

f(x) = |x − 4| − 1

• A) (0, −1)
• B) (0, 3)
• C) (0, 5)
• D) (3, 0)
• E) (0, 4)

Doğru cevap: B — y ekseni üzerinde x = 0'dır: f(0) = |−4| − 1 = 3; nokta (0, 3).

1. Ne soruluyor: grafiğin y eksenini kestiği nokta.
2. y ekseni üzerindeki her noktada x = 0'dır.
3. f(0) = |0 − 4| − 1 = 4 − 1 = 3. Nokta (0, 3).
4. Denetleme: tepe noktası (4, −1); x = 0, tepeden 4 birim solda, değer −1 + 4 = 3 ✓.
5. Sık yapılan hata: (3, 0) yazmak. Bulunan değer ordinattır; y eksenindeki noktada apsis 0 olur.

19. Tabloda bir öğrencinin mutlak değerli bir denklemi çözerken yazdığı adımlar verilmiştir. Bu çözümle ilgili hangi değerlendirme doğrudur?

• A) Mutlak değer negatif bir sayıya eşit olamayacağı için denklemin çözümü yoktur.
• B) Çözüm kümesi {−1, 5} olup öğrenci doğru çözmüştür.
• C) Yalnız x = 5 çözümdür.
• D) Yalnız x = −1 çözümdür.
• E) Çözüm kümesi {1, 5} olmalıdır.

Doğru cevap: A — Mutlak değer bir uzaklıktır ve hiçbir zaman negatif olamaz; |x − 2| = −3 denkleminin çözüm kümesi boştur.

1. Ne soruluyor: çözümün geçerli olup olmadığı.
2. Her x için |x − 2| ≥ 0'dır; sağ taraf ise −3.
3. Negatif olmayan bir değer −3'e eşit olamaz; çözüm kümesi ∅.
4. Denetleme: öğrencinin bulduğu x = −1 için |−3| = 3 ≠ −3, x = 5 için |3| = 3 ≠ −3 ✓.
5. Sık yapılan hata: öğrencinin iki durum ayrımını ezberle uygulamak. Bu ayrım yalnız sağ taraf sıfır ya da pozitifken geçerlidir.

20. Bir odanın hedef sıcaklığı 22 °C'dir. Ölçülen sıcaklık t °C iken sapma s(t) = |t − 22| ile hesaplanmaktadır. Sapmanın 3 °C olduğu sıcaklıkların toplamı kaçtır?

• A) 22
• B) 25
• C) 3
• D) 44
• E) 47

Doğru cevap: D — |t − 22| = 3 → t = 25 ya da t = 19; toplam 25 + 19 = 44.

1. Ne soruluyor: sapmanın 3 olduğu iki sıcaklığın toplamı.
2. t − 22 = 3 → t = 25; t − 22 = −3 → t = 19.
3. Toplam: 25 + 19 = 44.
4. Denetleme: iki değer 22'ye eşit uzaklıkta olduğundan toplamları 2 × 22 = 44 olmalı ✓.
5. Sık yapılan hata: 25 demek. Yalnız sıcaklığın arttığı durumu düşünmek; 3 derece düşük olan 19 °C de aynı sapmayı verir.