Eşlik ve Benzerlik

1. Tabloda kavramlar tanımlanmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) Açılar eşit, kenarlar orantılıdır
• B) Açılar ve kenarlar eşittir
• C) Yalnızca kenarlar eşittir
• D) Hiçbir koşul aranmaz
• E) Alanlar eşittir

Doğru cevap: A — Benzerlikte karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılıdır.

1. Tablonun kurgusu şu: solda kavram, sağda koşulu.
2. Dolu satır: eşlik → karşılıklı açılar VE kenarlar eşittir. Yani eş şekiller hem biçim hem boy olarak aynıdır.
3. Benzerlikte biçim aynı kalır ama boy değişebilir. Öyleyse açılar yine eşit olmalı, kenarlar ise eşit değil ORANTILI olmalıdır.
4. Denetleyelim: oran 1 olursa benzerlik eşliğe dönüşür ✓ — eşlik, benzerliğin özel bir hâli.

2. Yukarıda benzer iki üçgenin benzerlik oranı ve küçük üçgenin bir kenarı verilmiştir. Büyük üçgende bu kenara karşılık gelen uzunluk sorulmaktadır. Buna göre bu uzunluk kaç birimdir?

Benzerlik oranı = 3/5, küçük kenar = 12 br

• A) 15
• B) 20
• C) 18
• D) 24
• E) 36

Doğru cevap: B — Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar benzerlik oranıyla orantılıdır.

1. Verilenleri yazalım: benzerlik oranı 3/5 ve küçük üçgenin kenarı 12 br.
2. Oranı kuralım. Küçük kenar / büyük kenar = 3/5 olduğuna göre 12 / x = 3 / 5.
3. İçler dışlar çarpımı: 3x = 12 · 5 = 60, buradan x = 20 br.
4. Denetleyelim: 12 / 20 = 3/5 ✓ — bulunan kenar verilen oranı sağlıyor.

3. Tabloda benzer iki üçgenin kenar oranı verilmiş, alan oranı boş bırakılmıştır. Benzerlik kuralına göre bu boşluğa gelmesi gereken değer hangisidir?

• A) 8/27
• B) 2/3
• C) 4/9
• D) 3/2
• E) 6/9

Doğru cevap: C — Alan iki boyutlu olduğu için alan oranı, benzerlik oranının karesidir.

1. Tablonun kurgusu şu: solda ölçüt, sağda benzer üçgenlerdeki oranı. Kenar oranı 2/3 verilmiş.
2. Alan bir uzunluk değil; taban ile yüksekliğin çarpımından gelir, yani İKİ uzunluk çarpılır.
3. İki kenar da 2/3 oranında değiştiğine göre alan oranı bu oranın karesi olur: (2/3)² = 4/9.
4. Denetleyelim: 6 ve 9 kenarlı benzer üçgenler düşünelim; kenar oranı 2/3, alanları da 4/9 oranında ✓.

4. Yukarıda bir dik üçgenin dik kenarları verilmiştir. Hipotenüsün uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre hipotenüs kaç birimdir?

Dik kenarlar: 9 br ve 12 br, hipotenüs = ?

• A) 18
• B) 21
• C) 13
• D) 15
• E) 20

Doğru cevap: D — Pisagor bağıntısına göre dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

1. Verilenleri belirleyelim: dik kenarlar 9 br ve 12 br, aranan ise hipotenüs.
2. Bağıntıyı kuralım: 9² + 12² = h². Kareleri hesaplayalım: 81 + 144 = 225.
3. Öyleyse h² = 225 ve h = √225 = 15 br.
4. Denetleyelim: 9-12-15 üçlüsü 3-4-5 üçgeninin 3 katı ✓ — bilinen bir Pisagor üçlüsü çıkıyor.

5. Tabloda kenar üçlüleri değerlendirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Pisagor bağıntısı sınandığında bu boşluğa gelmesi gereken yanıt hangisidir?

• A) Belirlenemez
• B) Hayır, çünkü sayılar büyüktür.
• C) Hayır, çünkü hepsi tektir.
• D) Evet, çünkü sayılar ardışıktır.
• E) Evet, çünkü 5² + 12² = 13²'tür.

Doğru cevap: E — Bir üçlünün dik üçgen olması için kısa kenarların kareleri toplamı en uzun kenarın karesine eşit olmalıdır.

1. Tablonun kurgusu şu: solda kenar üçlüsü, sağda dik üçgen olup olmadığı. Dolu satır 3-4-5 üçlüsünü "evet" diye işaretlemiş.
2. Aynı sınamayı 5-12-13 için yapalım. Kısa kenarların kareleri: 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
3. En uzun kenarın karesi: 13² = 169. İki değer eşit olduğu için üçlü dik üçgen oluşturur.
4. Denetleyelim: 3-4-5’te de 9 + 16 = 25 ✓ — aynı ölçüt iki satırda da aynı biçimde işliyor.

6. Yukarıda paralel doğruların kestiği doğrular üzerinde oluşan orantı verilmiştir. Bilinmeyen uzunluk sorulmaktadır. Buna göre x kaçtır?

Paralel doğrular arasında: 4/6 = x/9

• A) 6
• B) 4
• C) 9
• D) 12
• E) 8

Doğru cevap: A — Paralel doğruların kestiği doğrular üzerinde karşılıklı parçalar orantılıdır.

1. Verilen orantıyı yazalım: 4 / 6 = x / 9.
2. İçler dışlar çarpımı yapalım: 4 · 9 = 6 · x, yani 36 = 6x.
3. Her iki yanı 6’ya bölelim: x = 6.
4. Denetleyelim: 4/6 = 2/3 ve 6/9 = 2/3 ✓ — iki oran birbirine eşit, orantı sağlanıyor.

7. Yukarıda bir dik üçgende hipotenüsün yüksekliğe göre bölündüğü parçalar verilmiştir. Öklid bağıntısına göre yüksekliğin uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre yükseklik kaç birimdir?

Hipotenüse ait yükseklik ayakları: 4 br ve 9 br

• A) 13
• B) 6
• C) 36
• D) 5
• E) 12

Doğru cevap: B — Öklid bağıntısına göre hipotenüse ait yüksekliğin karesi, ayırdığı iki parçanın çarpımına eşittir.

1. Şekli tanıyalım: dik üçgende hipotenüse dik bir yükseklik inmiş ve hipotenüsü 4 br ile 9 br’lik iki parçaya bölmüş.
2. Bu durumda yükseklik bağıntısı geçerlidir: h² = p · q, yani yüksekliğin karesi iki parçanın çarpımına eşittir.
3. Değerleri yerine koyalım: h² = 4 · 9 = 36, buradan h = 6 br.
4. Denetleyelim: hipotenüs 4 + 9 = 13 br, dik kenarlar √(4·13) ve √(9·13) ✓ — üçgen tutarlı çıkıyor.

8. Kartlarda benzerlik koşulları verilmiştir. İki üçgenin ikişer açısının eşit olması durumunda kullanılacak koşul sorulmaktadır. Kartlara göre doğru yanıt hangisidir?

• A) K.A.K.
• B) K.K.K.
• C) A.A.
• D) Hiçbiri
• E) Üçü birden gerekir

Doğru cevap: C — İki açının eşitliği üçüncü açıyı da belirlediği için A.A. benzerlik koşulu yeterlidir.

1. Verileni belirleyelim: iki üçgenin İKİŞER açısı eşit.
2. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir. İki açı eşitse üçüncü açı da zorunlu olarak eşit olur.
3. Üç açısı eşit olan üçgenler benzerdir. Bu koşula A.A. (açı-açı) denir; üçüncü açıyı ayrıca yazmaya gerek yoktur.
4. Denetleyelim: benzerlik için kenar eşitliği aranmıyor ✓ — açılar aynıysa kenarlar zaten orantılı çıkar.

9. Tabloda aynı anda ölçülen boy ve gölge uzunlukları verilmiştir. Benzerlikten yararlanılarak ağacın boyu sorulmaktadır. Tabloya göre bu değer kaç metredir?

• A) 10
• B) 6
• C) 8
• D) 7,5
• E) 5

Doğru cevap: D — Aynı anda ölçülen boy ve gölge uzunlukları benzer üçgenler oluşturduğu için orantılıdır.

1. Kurulumun neden orantı verdiğini görelim: aynı anda güneş ışınları aynı açıyla geliyor, bu yüzden çubuk-gölge ve ağaç-gölge üçgenleri benzer.
2. Orantıyı kuralım: çubuğun boyu / çubuğun gölgesi = ağacın boyu / ağacın gölgesi, yani 1,5 / 2 = x / 10.
3. İçler dışlar çarpımı: 2x = 1,5 · 10 = 15, buradan x = 7,5 m.
4. Denetleyelim: çubukta boy gölgenin 0,75 katı; ağaçta 7,5 / 10 = 0,75 ✓ — aynı oran korunuyor.

10. Tabloda eşlik koşulları eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) Koşul yoktur
• B) K.K.K.
• C) A.A.A.
• D) A.K.A.
• E) K.A.K.

Doğru cevap: E — İki kenar ve aralarındaki açının eşitliği K.A.K. eşlik koşuludur.

1. Tablonun kurgusu şu: solda verilen ögeler, sağda karşılık gelen eşlik koşulu.
2. Dolu satır: üç kenar eşit → K.K.K. Yani koşulun adı, verilen ögelerin türü ve SIRASI ile yazılıyor.
3. İkinci satırda kenar, açı, kenar sırası var: iki kenar ve bunların ARASINDAKİ açı. Bu koşulun adı K.A.K.’tır.
4. Denetleyelim: açının kenarların arasında olması şart ✓ — açı dışarıda kalsaydı eşlik garanti edilemezdi.

11. Yukarıda bir noktanın dönme dönüşümü verilmiştir. Görüntü noktasının koordinatları sorulmaktadır. Buna göre görüntü hangisidir?

A(3, 2) noktası, orijin çevresinde 90° saat yönünün tersine döndürüldü

• A) (−2, 3)
• B) (2, −3)
• C) (3, −2)
• D) (−3, −2)
• E) (2, 3)

Doğru cevap: A — Orijin çevresinde 90° pozitif yönde dönmede (x, y) noktası (−y, x) noktasına gider.

1. Dönmenin yönünü belirleyelim: saat yönünün tersi, yani pozitif yön.
2. Bu dönmenin kuralı (x, y) → (−y, x) biçimindedir.
3. A(3, 2) noktasında x = 3, y = 2. Kuralı uygulayalım: (−2, 3).
4. Denetleyelim: A birinci bölgedeydi, 90° pozitif dönme onu ikinci bölgeye taşımalı ✓ — (−2, 3) ikinci bölgede.

12. Yukarıda benzer iki üçgenin benzerlik oranı ve küçüğünün çevresi verilmiştir. Büyük üçgenin çevresi sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaç birimdir?

Benzerlik oranı 2/5, küçük üçgenin çevresi 18 br

• A) 36
• B) 45
• C) 40
• D) 30
• E) 50

Doğru cevap: B — Çevre bir uzunluk toplamı olduğu için çevreler oranı benzerlik oranına eşittir.

1. Çevrenin ne olduğunu düşünelim: kenar uzunluklarının toplamı. Yani tek boyutlu bir büyüklük.
2. Her kenar benzerlik oranıyla değiştiğine göre toplamları da aynı oranla değişir; çevre oranı = benzerlik oranı.
3. Orantıyı kuralım: 18 / x = 2 / 5. İçler dışlar çarpımı: 2x = 90, buradan x = 45 br.
4. Denetleyelim: 18 / 45 = 2/5 ✓ — bulunan çevre verilen oranı sağlıyor.

13. Yukarıda bir dik üçgende hipotenüs ve bir dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü verilmiştir. Öklid bağıntısına göre o dik kenarın uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre bu uzunluk kaç birimdir?

Hipotenüs = 25 br, bir dik kenarın izdüşümü = 9 br

• A) 20
• B) 12
• C) 15
• D) 16
• E) 18

Doğru cevap: C — Öklid bağıntısına göre bir dik kenarın karesi, izdüşümü ile hipotenüsün çarpımına eşittir.

1. Verilenleri belirleyelim: hipotenüs c = 25 br, bir dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü p = 9 br.
2. Dik kenar bağıntısı şudur: a² = p · c. Yani dik kenarın karesi, kendi izdüşümü ile TÜM hipotenüsün çarpımına eşittir.
3. Yerine koyalım: a² = 9 · 25 = 225, buradan a = 15 br.
4. Denetleyelim: öteki izdüşüm 25 − 9 = 16, öteki dik kenar √(16·25) = 20 ✓ — 15-20-25 bir Pisagor üçlüsü.

14. Tabloda bir üçgende DE kenarı BC kenarına paralel olacak biçimde parçalar verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tales teoremine göre bu boşluğa gelmesi gereken değer hangisidir?

• A) 12 br
• B) 4 br
• C) 8 br
• D) 6 br
• E) 5 br

Doğru cevap: D — Tales teoremine göre paralel kesen, üçgenin iki kenarını orantılı parçalara ayırır.

1. Şekli okuyalım: DE, BC’ye paralel. Öyleyse AD/DB = AE/EC orantısı kurulur.
2. Tablodaki değerleri yerine koyalım: 6 / 4 = 9 / EC.
3. İçler dışlar çarpımı: 6 · EC = 4 · 9 = 36, buradan EC = 6 br.
4. Denetleyelim: 6/4 = 1,5 ve 9/6 = 1,5 ✓ — iki oran eşit, paralellik koşulu sağlanıyor.

15. Tabloda benzer iki cismin benzerlik oranı verilmiş, hacim oranı boş bırakılmıştır. Boyut sayısı dikkate alındığında hacim oranı hangisi olmalıdır?

• A) 1/16
• B) 1/4
• C) 1/2
• D) 1/6
• E) 1/8

Doğru cevap: E — Hacim üç boyutlu olduğu için hacim oranı, benzerlik oranının küpüdür.

1. Tablonun kurgusu şu: solda ölçüt, sağda benzer cisimlerdeki oranı. Benzerlik oranı 1/2 verilmiş.
2. Hacim üç uzunluğun çarpımından gelir (en · boy · yükseklik). Üç uzunluk da 1/2 oranında değişiyor.
3. Öyleyse hacim oranı bu oranın küpü olur: (1/2)³ = 1/8.
4. Denetleyelim: kenarı 1 ve 2 olan iki küpün hacimleri 1 ve 8 ✓ — oran gerçekten 1/8 çıkıyor.

16. Yukarıda özel bir dik üçgenin kısa dik kenarı verilmiştir. Bu üçgende hipotenüsün uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre hipotenüs kaç birimdir?

30°-60°-90° üçgeninde kısa dik kenar = 7 br

• A) 14
• B) 7
• C) 21
• D) 10,5
• E) 28

Doğru cevap: A — 30°-60°-90° üçgeninde 30°’nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır.

1. Üçgenin özel oranını hatırlayalım: kenarlar 1 : √3 : 2 oranındadır ve en küçük kenar 30°’nin karşısındadır.
2. Kısa dik kenar 7 br verilmiş; bu kenar 30°’nin karşısındaki kenardır, yani hipotenüsün yarısına eşittir.
3. Öyleyse hipotenüs 7 · 2 = 14 br olur.
4. Denetleyelim: öteki dik kenar 7√3 ≈ 12,1 br ve 7² + (7√3)² = 49 + 147 = 196 = 14² ✓.

17. Yukarıda 45°-45°-90° üçgeninin dik kenarı verilmiştir. Bu üçgende hipotenüsün uzunluğu aranmaktadır. Buna göre aranan uzunluk hangisidir?

İkizkenar dik üçgende dik kenar = 5 br

• A) 10
• B) 5√2
• C) 5
• D) 25
• E) 2√5

Doğru cevap: B — İkizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenarın √2 katıdır.

1. Üçgeni tanıyalım: 45°-45°-90°, yani iki dik kenar birbirine eşit ve 5 br.
2. Pisagor uygulayalım: 5² + 5² = 25 + 25 = 50. Öyleyse hipotenüsün karesi 50.
3. Karekök alalım: √50 = √(25 · 2) = 5√2 br.
4. Denetleyelim: 5√2 ≈ 7,07 br ✓ — hipotenüs dik kenardan uzun ama iki katından kısa, beklenen aralıkta.

18. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata hangisidir?

• A) Üçgeni çizmemek
• B) Alanı hesaplamamak
• C) Alan oranının benzerlik oranının karesi olduğunu göz ardı etmek
• D) Kenarları ölçmemek
• E) Oranı sadeleştirmemek

Doğru cevap: C — Alan oranı benzerlik oranının karesi olduğu için benzerlik oranı, alan oranının kareköküdür.

1. Öğrencinin akıl yürütmesini ayıralım: alan oranı 4 → benzerlik oranı da 4.
2. Bu, iki oranın aynı olduğunu varsayıyor. Oysa alan iki boyutlu bir büyüklük; alan oranı benzerlik oranının KARESİDİR.
3. Öyleyse ters yönde işlem karekök almaktır: benzerlik oranı √4 = 2. Hata, karenin göz ardı edilmesidir.
4. Denetleyelim: kenarları 2 ve 4 olan benzer üçgenlerde oran 2, alan oranı ise 4 ✓ — öğrencinin gördüğü 4 alan oranıydı.

19. Tabloda dönüşümler ve etkileri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) Etkisi yoktur
• B) Şekli eş bırakır
• C) Şekli bozar
• D) Şekli benzer yapar, eş bırakmaz
• E) Açıları değiştirir

Doğru cevap: D — Ölçekleme açıları korur ama kenarları oranla değiştirir; sonuç eş değil benzer şekildir.

1. Tablonun kurgusu şu: solda dönüşüm, sağda şekle etkisi.
2. Dolu satır: öteleme ve dönme → şekli eş bırakır. Bu dönüşümler şekli kaydırır ya da döndürür ama UZUNLUKLARI değiştirmez.
3. Ölçekleme ise uzunlukları bir oranla büyütür ya da küçültür. Açılar korunduğu için biçim aynı kalır, ama boy değiştiği için şekil eş olmaz. Sonuç benzer şekildir.
4. Denetleyelim: eşlikte kenarlar eşit, benzerlikte orantılıydı ✓ — ölçekleme tam olarak ikincisini üretiyor.

20. Kartlarda bu temada işlenen üç temel düşünce verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Eşlik ile benzerlik aynı şeydir.
• C) Benzerlikte oran kurulmaz.
• D) Bağıntılar hesap sağlamaz.
• E) Eşlik ölçüleri koruyan, benzerlik oran kuran, bağıntılar ise bilinmeyeni hesaplatan araçlardır.

Doğru cevap: E — Kartlar eşliği, benzerliği ve bağıntıların hesaplama işlevini birlikte gösterir.

1. Üç kartı okuyalım: eşlik ölçüleri korur, benzerlik oran kurar, bağıntılar hesap sağlar.
2. Birinci kart eşliğin ne yaptığını söylüyor: ölçüler değişmiyor. İkinci kart benzerliği ekliyor: ölçüler değişiyor ama oran sabit.
3. Üçüncü kart Pisagor, Öklid ve Tales gibi bağıntıların işlevini veriyor: bilinmeyeni hesaplatmak. En kapsayıcı sonuç üçünü birlikte anmalıdır.
4. Denetleyelim: üç kart üç ayrı iş yapıyor ✓ — biri korumayı, biri oranı, biri hesabı sağlıyor, hiçbiri ötekinin yerine geçmiyor.