Veriden Olasılığa

1. Yukarıda bir rastgele deney verilmiştir. Bu deneyin örnek uzayının eleman sayısı sorulmaktadır. Buna göre bu sayı kaçtır?

Bir madenî para bir kez atılıyor

• A) 2
• B) 1
• C) 4
• D) 6
• E) 3

Doğru cevap: A — Örnek uzay 2 elemanlıdır; bir madenî para atışının olası çıktıları yalnız yazı ve turadır.

1. Örnek uzay, bir deneyin bütün olası çıktılarının kümesidir.
2. Bir para bir kez atıldığında üste gelebilecek yüzler: yazı (Y) ve tura (T).
3. Örnek uzay E = {Y, T}; eleman sayısı s(E) = 2.
4. Denetleyelim: her çıktının olasılığı 1/2 ise toplam 1/2 + 1/2 = 1 olur ✓; eksik ya da fazla çıktı yok.

2. Yukarıda bir zar deneyi ve bir olay verilmiştir. Bu olayın olasılığı sorulmaktadır. Buna göre olasılık kaçtır?

Bir zar atılıyor; çift gelme olayı

• A) 1/3
• B) 1/2
• C) 1/6
• D) 2/3
• E) 1/4

Doğru cevap: B — Çift gelme olasılığı 1/2’dir; zarın 6 yüzünden 3’ü (2, 4, 6) çifttir ve 3/6 = 1/2.

1. Örnek uzay: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E) = 6.
2. İstenen olay: A = {2, 4, 6}, s(A) = 3.
3. Olasılık: $P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
4. Denetleyelim: tek gelme olayı {1, 3, 5} de 3 elemanlı; P(çift) + P(tek) = 1/2 + 1/2 = 1 ✓.

3. Tabloda bir torbadaki toplar verilmiştir. Torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı sorulmaktadır. Tabloya göre bu olasılık kaçtır?

• A) 1/3
• B) 3/5
• C) 3/10
• D) 2/10
• E) 5/10

Doğru cevap: C — Mavi top olasılığı 3/10’dur; torbada 5 + 3 + 2 = 10 top, bunların 3’ü mavidir.

1. Toplam top sayısını bulalım: 5 kırmızı + 3 mavi + 2 sarı = 10 top. s(E) = 10.
2. İstenen çıktılar mavi toplardır: s(A) = 3.
3. Olasılık: P(mavi) = $\frac{3}{10}$.
4. Denetleyelim: $\frac{5}{10} + \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = 1$ ✓; üç rengin olasılıkları toplamı 1 ediyor.

4. Yukarıda bir olayın olasılığı verilmiştir. Bu olayın gerçekleşmeme olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

P(A) = 0,35

• A) 0,55
• B) 0,35
• C) 1,35
• D) 0,65
• E) 0,45

Doğru cevap: D — Gerçekleşmeme olasılığı 0,65’tir; bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1’dir: 1 − 0,35 = 0,65.

1. A olayının gerçekleşmemesi, A’nın tümleyeni A′ ile gösterilir.
2. Bir deneyde ya A olur ya da A olmaz; ikisi birlikte örnek uzayın tamamıdır: P(A) + P(A′) = 1.
3. Hesap: P(A′) = 1 − 0,35 = 0,65.
4. Denetleyelim: 0,35 + 0,65 = 1,00 ✓.

5. Tabloda olay çiftleri ve ilişkileri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Ortak çıktı olup olmadığına bakıldığında bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) İmkânsız olay
• B) Ayrık
• C) Bağımsız
• D) Kesin olay
• E) Ayrık değil, çünkü 6 iki olayda da bulunur.

Doğru cevap: E — Çift sayılar {2, 4, 6}, 4'ten büyükler {5, 6}'dır; 6 ortak çıktıdır.

1. Çift gelme olayı {2, 4, 6}'dır.
2. 4'ten büyük gelme olayı {5, 6}'dır.
3. Ortak çıktı 6 olduğu için ayrık değildir.

6. Yukarıda iki ayrık olayın olasılıkları verilmiştir. Bu olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, A ile B ayrık

• A) 0,7
• B) 0,12
• C) 0,1
• D) 1
• E) 0,3

Doğru cevap: A — En az birinin gerçekleşme olasılığı 0,7’dir; ayrık olaylarda P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

1. “En az biri” birleşim demektir: P(A ∪ B) aranıyor.
2. Genel kural: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). A ile B ayrık olduğundan ortak çıktı yoktur, P(A ∩ B) = 0.
3. Hesap: P(A ∪ B) = 0,4 + 0,3 − 0 = 0,7.
4. Denetleyelim: sonuç 1’i aşmıyor ve her iki olasılıktan da büyük ✓; ikisinden hiçbiri olmama olasılığı 1 − 0,7 = 0,3 olur.

7. Tabloda bir para atma deneyinin sonucu verilmiştir. Turanın deneysel olasılığı sorulmaktadır. Tabloya göre bu değer kaçtır?

• A) 0,5
• B) 0,46
• C) 0,54
• D) 46
• E) 0,046

Doğru cevap: B — Turanın deneysel olasılığı 0,46’dır; deneysel olasılık, olayın gözlenme sayısının deneme sayısına oranıdır.

1. Deneysel olasılık = olayın gerçekleştiği deneme sayısı ÷ toplam deneme sayısı.
2. Tabloya göre tura 46 kez gelmiş, toplam deneme 100.
3. Oran: $\frac{46}{100} = 0{,}46$.
4. Denetleyelim: yazı 100 − 46 = 54 kez gelmiş, deneysel olasılığı 0,54; 0,46 + 0,54 = 1 ✓.

8. Tabloda deneme sayısı arttıkça gözlenen tura oranı verilmiştir. Bu tabloya göre yapılabilecek en uygun çıkarım hangisidir?

• A) İki olasılık ilişkisizdir.
• B) Deneysel olasılık teorik olasılıktan uzaklaşır.
• C) Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır.
• D) Teorik olasılık değişmektedir.
• E) Deneme sayısı sonucu etkilemez.

Doğru cevap: C — Uygun çıkarım: deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa (0,5) yaklaşır.

1. Hilesiz bir parada turanın teorik olasılığı 1/2 = 0,50’dir.
2. Tablodaki oranların 0,50’ye uzaklığı: 20 denemede |0,60 − 0,50| = 0,10; 200 denemede 0,02; 2.000 denemede 0.
3. Deneme sayısı büyüdükçe fark küçülüyor; bu, büyük sayılar yasasının günlük karşılığıdır.
4. Denetleyelim: 20 denemede 12 tura (0,60), 2.000 denemede 1.000 tura (0,50) gelmiş ✓; az denemede sapma büyük, çok denemede küçük.

9. Yukarıda iki zarın atıldığı bir deney verilmiştir. Zarların toplamının 7 olma olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bu olasılık kaçtır?

İki zar atılıyor; toplamın 7 olma olayı

• A) 3/36
• B) 5/36
• C) 7/36
• D) 6/36
• E) 4/36

Doğru cevap: D — Toplamın 7 olma olasılığı 6/36’dır; 36 eşit olası çiftten 6’sının toplamı 7’dir.

1. İki zarda örnek uzay sıralı çiftlerden oluşur: 6 · 6 = 36 çıktı.
2. Toplamı 7 olan çiftleri listeleyelim: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 tane.
3. Olasılık: $\frac{6}{36}$ (sadeleşmiş hâli $\frac{1}{6}$).
4. Denetleyelim: birinci zar ne gelirse gelsin (1’den 6’ya), toplamı 7’ye tamamlayan tek bir değer vardır ve o değer her seferinde 1-6 arasındadır ✓; 6 · 1 = 6 çift.

10. Yukarıda bir olay verilmiştir. Bu olayın olasılığı sorulmaktadır. Buna göre olasılık kaçtır?

Bir zar atılıyor; sonucun 7'den küçük olma olayı

• A) 1/2
• B) 0
• C) 1/6
• D) 5/6
• E) 1

Doğru cevap: E — Olasılık 1’dir; zarın bütün yüzleri 7’den küçük olduğu için bu olay kesin olaydır.

1. Örnek uzay: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E) = 6.
2. 7’den küçük olan çıktılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 — yani hepsi; s(A) = 6.
3. Olasılık: $\frac{6}{6} = 1$. Olay örnek uzayın tamamı olduğundan kesin olaydır.
4. Denetleyelim: tümleyeni “7 ya da daha büyük gelmesi”dir ve hiç çıktısı yoktur; 1 − 0 = 1 ✓.

11. Yukarıda bir olay verilmiştir. Bu olayın olasılığı sorulmaktadır. Buna göre olasılık değeri kaçtır?

Bir zar atılıyor; sonucun 9 gelme olayı

• A) 0
• B) 1
• C) 1/6
• D) 1/9
• E) 1/2

Doğru cevap: A — Olasılık 0’dır; zarda 9 yüzü bulunmadığı için bu olay imkânsız olaydır.

1. Örnek uzay: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. 9, örnek uzayın elemanı değildir; istenen olay boş kümedir: s(A) = 0.
3. Olasılık: $\frac{0}{6} = 0$. Hiç gerçekleşemeyen olaya imkânsız olay denir.
4. Denetleyelim: tümleyeni “9 gelmemesi”dir ve her atışta gerçekleşir, olasılığı 1; 0 + 1 = 1 ✓.

12. Tabloda 52 kartlık bir desteden bilgi verilmiştir. Çekilen bir kartın kırmızı olma olasılığı sorulmaktadır. Tabloya göre bu olasılık kaçtır?

• A) 1/4
• B) 1/2
• C) 26
• D) 1/13
• E) 1/26

Doğru cevap: B — Kırmızı kart olasılığı 1/2’dir; 52 kartın 26’sı kırmızıdır ve 26/52 = 1/2.

1. Toplam kart: 26 kırmızı + 26 siyah = 52; s(E) = 52.
2. İstenen çıktılar kırmızı kartlar: s(A) = 26.
3. Olasılık: $\frac{26}{52}$; pay ve paydayı 26’ya bölersek $\frac{1}{2}$.
4. Denetleyelim: P(siyah) de 26/52 = 1/2; 1/2 + 1/2 = 1 ✓.

13. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Olasılığı hesaplamamak
• B) Parayı saymamak
• C) Bağımsız atışların önceki sonuçlardan etkilendiğini sanmak
• D) Deneme sayısını bilmemek
• E) Örnek uzayı yazmamak

Doğru cevap: C — Hata, bağımsız atışların önceki sonuçlardan etkilendiğini sanmaktır; her atışta tura olasılığı yine 1/2’dir.

1. Paranın hafızası yoktur: bir atışın sonucu bir sonrakinin olasılığını değiştirmez. Bu tür olaylara bağımsız olay denir.
2. Beşinci atışta olası çıktılar yine yazı ve turadır; P(yazı) = 1/2, P(tura) = 1/2.
3. “Kesinlikle yazı gelir” demek olasılığı 1 saymaktır; oysa 1/2 kesinlik değildir. Bu yanılgıya kumarbaz yanılgısı denir.
4. Denetleyelim: beş atışta TTTTT ve TTTTY dizilerinin her biri $\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$ olasılıklıdır ✓; ilk dört tura geldikten sonra iki sonuç eşit şanslıdır.

14. Yukarıda bir deney ve bir olay verilmiştir. Bu olayın olasılığı sorulmaktadır. Buna göre hesaplanan olasılık kaçtır?

Bir para iki kez atılıyor; iki atışta da tura gelme olayı

• A) 2/4
• B) 1/2
• C) 1/3
• D) 1/4
• E) 3/4

Doğru cevap: D — İki atışta da tura gelme olasılığı 1/4’tür; örnek uzay {YY, YT, TY, TT} 4 elemanlıdır ve istenen yalnız TT’dir.

1. Para iki kez atıldığında örnek uzay: 2 · 2 = 4 çıktı; E = {YY, YT, TY, TT}.
2. İki tura olayı yalnız TT çıktısıdır: s(A) = 1.
3. Olasılık: $\frac{1}{4}$. Bağımsız atışlarla da aynı sonuç: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
4. Denetleyelim: dört çıktının her biri 1/4; toplam 4 · 1/4 = 1 ✓.

15. Tabloda bir sınıfın öğrenci dağılımı verilmiştir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı aranmaktadır. Tabloya göre aranan değer hangisidir?

• A) 30/14
• B) 16/30
• C) 14/16
• D) 1/2
• E) 14/30

Doğru cevap: E — Kız öğrenci olasılığı 14/30’dur; sınıfta 14 + 16 = 30 öğrenci vardır ve 14’ü kızdır.

1. Toplam öğrenci: 14 kız + 16 erkek = 30; s(E) = 30.
2. İstenen çıktı kız öğrenciler: s(A) = 14.
3. Olasılık: $\frac{14}{30}$ (sadeleşmiş hâli $\frac{7}{15}$).
4. Denetleyelim: P(erkek) = 16/30; 14/30 + 16/30 = 30/30 = 1 ✓.

16. Yukarıdaki durumda olasılık hesabı yapılırken dikkat edilmesi gereken nokta sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Çıktılar eşit olasılıklı olmadığı için her dilime 1/6 denemez.
• B) Her dilimin olasılığı 1/6'dır.
• C) Olasılık hesaplanamaz.
• D) Alanların bir önemi yoktur.
• E) Dilim sayısı yeterlidir.

Doğru cevap: A — Dikkat edilecek nokta: çıktılar eşit olasılıklı olmadığı için her dilime 1/6 denemez; dilimin olasılığı alanına bağlıdır.

1. P(A) = s(A)/s(E) formülü yalnız bütün çıktılar eşit olasılıklı olduğunda kullanılabilir.
2. Çarkta dilim alanları farklı; ibrenin büyük dilimde durma şansı küçük dilimdekinden fazladır.
3. Bu durumda bir dilimin olasılığı, alanının çarkın toplam alanına oranıyla (ya da merkez açısının 360°’ye oranıyla) bulunur.
4. Denetleyelim: dilimlerden biri çarkın yarısıysa olasılığı 1/2 olur; 1/6 demek bu dilimin payını üçte birine indirmek olurdu ✓, yanlış sonuç verir.

17. Yukarıda bir deney ve bir olay verilmiştir. Bu olayın olasılığı sorulmaktadır. Buna göre aranan olasılık kaçtır?

Bir para üç kez atılıyor; en az bir tura gelme olayı

• A) 1/8
• B) 7/8
• C) 3/8
• D) 1/2
• E) 5/8

Doğru cevap: B — En az bir tura olasılığı 7/8’dir; tümleyeni olan “hiç tura gelmemesi” yalnız YYY çıktısıdır ve 1 − 1/8 = 7/8.

1. Üç atışta örnek uzay: 2 · 2 · 2 = 8 çıktı.
2. “En az bir tura” olayının tümleyeni “hiç tura gelmemesi”dir; bu yalnız YYY çıktısıdır, olasılığı 1/8.
3. Tümleyen kuralı: P(en az bir T) = $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
4. Denetleyelim: doğrudan sayalım — 1 tura: 3 çıktı, 2 tura: 3 çıktı, 3 tura: 1 çıktı; 3 + 3 + 1 = 7, yani 7/8 ✓.

18. Tabloda olasılık değerleri ve yorumları eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu tamamlayan seçenek hangisidir?

• A) Kesin olay
• B) İmkânsız olay
• C) Gerçekleşme ile gerçekleşmeme şansı eşittir
• D) Hesaplanamaz
• E) Hatalı değer

Doğru cevap: C — Boşluğa “Gerçekleşme ile gerçekleşmeme şansı eşittir” gelir; P(A) = 0,5 ise P(A′) de 0,5’tir.

1. Olasılık değerleri 0 ile 1 arasındadır: 0 imkânsız olayı, 1 kesin olayı gösterir.
2. P(A) = 0,5 ise tümleyeni P(A′) = 1 − 0,5 = 0,5 olur.
3. Olayın olması ile olmaması aynı olasılığa sahiptir; 0,5 bu iki uç arasında tam ortadır.
4. Denetleyelim: hilesiz bir paranın tura gelmesi böyle bir olaydır; P(T) = P(Y) = 0,5 ✓.

19. Yukarıda birlikte yapılan bir deney verilmiştir. Bu deneyin örnek uzayının eleman sayısı sorulmaktadır. Buna göre bu sayı kaçtır?

Bir para ve bir zar birlikte atılıyor

• A) 36
• B) 8
• C) 6
• D) 12
• E) 2

Doğru cevap: D — Örnek uzay 12 elemanlıdır; para 2, zar 6 çıktı verir ve saymanın çarpma ilkesiyle 2 · 6 = 12.

1. Paranın çıktıları: Y, T (2 tane). Zarın çıktıları: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 tane).
2. Birlikte atıldığında her para çıktısı her zar çıktısıyla eşleşir: (Y,1), (Y,2), …, (T,6).
3. Çarpma ilkesi: s(E) = 2 · 6 = 12.
4. Denetleyelim: Y ile başlayan 6, T ile başlayan 6 çıktı var; 6 + 6 = 12 ✓.

20. Kartlarda olasılık hesabının üç adımı verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Örnek uzay gerekmez.
• C) Çıktılar sayılmaz.
• D) Oran kurulmaz.
• E) Teorik olasılık; örnek uzayı belirleyip istenen çıktıların oranını kurarak hesaplanır.

Doğru cevap: E — En kapsayıcı sonuç: teorik olasılık, örnek uzayı belirleyip istenen çıktıların oranını kurarak hesaplanır.

1. Birinci kart: örnek uzay yazılır — bütün olası çıktılar belirlenir, s(E) bulunur.
2. İkinci kart: istenen çıktılar sayılır — olaya uyan çıktılar seçilir, s(A) bulunur. Üçüncü kart: oran kurulur, P(A) = s(A)/s(E).
3. Üç kart aynı hesabın sırayla izlenen üç adımıdır; birleşince teorik olasılığın hesaplanma yöntemini verir.
4. Denetleyelim: zarda çift gelme için E = {1,…,6}, A = {2, 4, 6}, P = 3/6 = 1/2 ✓; üç adım da kullanıldı.