Nicelikler ve Değişimler

1. Yukarıda bir karesel fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun sıfırları, yani grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleri sorulmaktadır. Buna göre bu değerler hangileridir?

f(x) = x² − 5x + 6

• A) 2 ve 3
• B) −2 ve −3
• C) 1 ve 6
• D) 5 ve 6
• E) −1 ve 6

Doğru cevap: A — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) olduğundan kökler 2 ve 3'tür.

1. İfade çarpanlarına ayrılır: (x − 2)(x − 3).
2. Her çarpan sıfıra eşitlenir.
3. Kökler 2 ve 3 bulunur.

2. Yukarıda bir parabol denklemi verilmiştir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

f(x) = x² − 6x + 5

• A) 6
• B) 3
• C) −3
• D) 5
• E) 1

Doğru cevap: B — Tepe noktasının apsisi −b ÷ 2a formülüyle bulunur: 6 ÷ 2 = 3.

1. a = 1, b = −6'dır.
2. Apsis −b ÷ (2a) = 6 ÷ 2 hesaplanır.
3. Sonuç 3 bulunur.

3. Yukarıda bir parabol ve tepe noktasının apsisi verilmiştir. Tepe noktasının ordinatı sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

f(x) = x² − 6x + 5, tepe apsisi 3

• A) 5
• B) 4
• C) −4
• D) −5
• E) 0

Doğru cevap: C — f(3) = 9 − 18 + 5 = −4'tür.

1. x = 3 değeri fonksiyonda yerine konur.
2. 3² − 6 × 3 + 5 hesaplanır.
3. 9 − 18 + 5 = −4 bulunur.

4. Tabloda bir parabolün kökleri verilmiştir. Bu parabolün simetri doğrusunun denklemi sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yanıt hangisidir?

• A) x = 4
• B) x = 6
• C) x = −3
• D) x = 3
• E) x = 0

Doğru cevap: D — Simetri doğrusu köklerin ortasından geçer: (−1 + 7) ÷ 2 = 3.

1. Kökler −1 ve 7'dir.
2. Ortalama alınır: (−1 + 7) ÷ 2.
3. Simetri doğrusu x = 3 olur.

5. Tabloda parabolün baş katsayısı ile kollarının yönü eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) Belirsiz
• B) Yukarı doğru
• C) Yatay
• D) Dikey
• E) Aşağı doğru

Doğru cevap: E — Baş katsayı negatifse parabolün kolları aşağı doğrudur.

1. a > 0 iken kollar yukarıdadır.
2. a < 0 durumu bunun tersidir.
3. Kollar aşağı doğru olur.

6. Yukarıda baş katsayısı negatif bir karesel fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun alabileceği en büyük değer sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

f(x) = −x² + 4x + 1

• A) 5
• B) 4
• C) 1
• D) 2
• E) 9

Doğru cevap: A — Tepe apsisi 4 ÷ 2 = 2'dir; f(2) = −4 + 8 + 1 = 5.

1. Tepe apsisi −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2'dir.
2. f(2) = −(2²) + 4 × 2 + 1 hesaplanır.
3. −4 + 8 + 1 = 5 bulunur.

7. Yukarıda bir denklem ve diskriminant formülü verilmiştir. Bu denklemin gerçek kök durumu sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

x² − 4x + 7 = 0, Δ = b² − 4ac

• A) İki farklı gerçek kök vardır.
• B) Δ < 0 olduğu için gerçek kök yoktur.
• C) Çakışık iki kök vardır.
• D) Sonsuz çözüm vardır.
• E) Kök sayısı hesaplanamaz.

Doğru cevap: B — Δ = 16 − 28 = −12 < 0 olduğundan denklemin gerçek kökü yoktur.

1. a = 1, b = −4, c = 7'dir.
2. Δ = 16 − 4 × 1 × 7 = 16 − 28.
3. Δ = −12 < 0, gerçek kök yoktur.

8. Yukarıda ikinci dereceden bir denklem verilmiştir. Bu denklemin köklerinin toplamı sorulmaktadır. Buna göre toplam kaçtır?

2x² − 10x + 8 = 0

• A) −5
• B) 4
• C) 5
• D) 10
• E) 8

Doğru cevap: C — Kökler toplamı −b ÷ a = 10 ÷ 2 = 5'tir.

1. a = 2, b = −10'dur.
2. Kökler toplamı −b ÷ a formülüyle bulunur.
3. 10 ÷ 2 = 5 elde edilir.

9. Yukarıda ikinci dereceden bir denklem verilmiştir. Bu denklemin köklerinin çarpımı sorulmaktadır. Buna göre çarpım kaçtır?

3x² + 6x − 9 = 0

• A) 2
• B) 3
• C) −2
• D) −3
• E) −9

Doğru cevap: D — Kökler çarpımı c ÷ a = −9 ÷ 3 = −3'tür.

1. a = 3, c = −9'dur.
2. Kökler çarpımı c ÷ a formülüyle bulunur.
3. −9 ÷ 3 = −3 elde edilir.

10. Yukarıda bir karekök fonksiyonu verilmiştir. Bu fonksiyonun gerçek sayılarda tanımlı olduğu aralık sorulmaktadır. Buna göre doğru aralık hangisidir?

f(x) = √(x − 5)

• A) (−∞, 5)
• B) (5, ∞)
• C) (−∞, 5]
• D) Bütün gerçek sayılar
• E) [5, ∞)

Doğru cevap: E — Kök içi negatif olamaz: x − 5 ≥ 0 → x ≥ 5.

1. Karekökün içi negatif olamaz.
2. x − 5 ≥ 0 eşitsizliği kurulur.
3. x ≥ 5, yani [5, ∞) bulunur.

11. Yukarıda bir rasyonel fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun tanımsız olduğu değer sorulmaktadır. Buna göre istenen değer kaçtır?

f(x) = (x + 1) / (x − 3)

• A) 3
• B) −1
• C) 0
• D) 1
• E) −3

Doğru cevap: A — Payda sıfır olamaz: x − 3 = 0 → x = 3 değerinde fonksiyon tanımsızdır.

1. Payda sıfıra eşitlenir: x − 3 = 0.
2. x = 3 bulunur.
3. Bu değerde fonksiyon tanımsızdır.

12. Tabloda bir karesel fonksiyonun işaret tablosu verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Kökler arasındaki işaret kuralına göre bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) Pozitif
• B) Negatif
• C) Sıfır
• D) Belirsiz
• E) Değişken

Doğru cevap: B — Baş katsayı pozitif olan karesel fonksiyon kökleri arasında negatif değer alır.

1. Kökler 1 ve 4'tür.
2. Baş katsayı pozitiftir.
3. Kökler arasında işaret negatiftir.

13. Grafikte bir karesel fonksiyonun değerleri gösterilmiştir. Bu fonksiyonun tepe noktası sorulmaktadır. Grafiğe göre tepe noktası hangisidir?

• A) (4, 4)
• B) (0, 4)
• C) (2, 0)
• D) (1, 1)
• E) (3, 1)

Doğru cevap: C — Değerler en küçük değerini x = 2 noktasında almaktadır.

1. Değerler 4, 1, 0, 1, 4 biçiminde ilerliyor.
2. En küçük değer 0'dır.
3. Bu değer x = 2 noktasında alınır.

14. Yukarıda yukarı doğru atılan bir cismin yüksekliğini veren model verilmiştir. Cismin en yüksek noktaya ulaştığı zaman sorulmaktadır. Buna göre bu süre kaç saniyedir?

h(t) = −5t² + 20t

• A) 5
• B) 4
• C) 1
• D) 2
• E) 20

Doğru cevap: D — Tepe noktası t = −b ÷ 2a = 20 ÷ 10 = 2 saniyede alınır.

1. a = −5, b = 20'dir.
2. t = −b ÷ (2a) = 20 ÷ 10 hesaplanır.
3. Sonuç 2 saniye bulunur.

15. Yukarıda bir hareket modeli ve zaman değeri verilmiştir. Bu anda cismin ulaştığı yükseklik sorulmaktadır. Buna göre yükseklik kaç metredir?

h(t) = −5t² + 20t, t = 2

• A) 10
• B) 40
• C) 15
• D) 25
• E) 20

Doğru cevap: E — h(2) = −5 × 4 + 20 × 2 = −20 + 40 = 20 metredir.

1. t = 2 değeri modelde yerine konur.
2. −5 × 4 = −20 ve 20 × 2 = 40 hesaplanır.
3. Toplam 20 metre bulunur.

16. Tabloda bir karesel fonksiyonun davranışı verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tepe noktasına göre bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) Artan
• B) Azalan
• C) Sabit
• D) Tanımsız
• E) Belirsiz

Doğru cevap: A — Kolları yukarı olan parabol tepe noktasından sonra artan davranış gösterir.

1. Tepe noktası x = 2'dedir.
2. Baş katsayı pozitiftir.
3. Tepe noktasından sonra fonksiyon artar.

17. Yukarıda bir cebirsel ifade verilmiştir. Bu ifadenin çarpanlara ayrılmış biçimi sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

x² − 9

• A) (x − 3)²
• B) (x − 3)(x + 3)
• C) (x + 3)²
• D) x(x − 9)
• E) (x − 9)(x + 1)

Doğru cevap: B — İki kare farkı a² − b² = (a − b)(a + b) biçiminde ayrılır.

1. İfade iki kare farkıdır.
2. a = x, b = 3 alınır.
3. (x − 3)(x + 3) elde edilir.

18. Yukarıda bir denklem verilmiştir. Bu denklemin çözüm kümesi sorulmaktadır. Buna göre hangi seçenek doğrudur?

x² = 4x

• A) {0}
• B) {4}
• C) {0, 4}
• D) {−4, 4}
• E) {2}

Doğru cevap: C — x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0 → x = 0 ya da x = 4.

1. Bütün terimler bir tarafa toplanır: x² − 4x = 0.
2. Ortak çarpan parantezine alınır: x(x − 4) = 0.
3. Kökler 0 ve 4 bulunur.

19. Yukarıdaki çözümde yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Diskriminantın hesaplanmaması
• B) Denklemin yanlış yazılması
• C) Karekök alınmaması
• D) x = 0 kökünün elenmesi; sıfır olabilen bir ifadeye bölünmesi
• E) Çarpanlara ayrılamaması

Doğru cevap: D — Sıfır olabilen bir ifadeye bölmek kök kaybına yol açar; x = 0 da bir çözümdür.

1. x değişkeni sıfır olabilir.
2. Sıfıra bölme tanımsızdır.
3. Bu işlem x = 0 kökünü yok eder.

20. Kartlarda karesel fonksiyon incelemesinin üç adımı verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Kökler tek başına yeterlidir.
• C) Tepe noktası önemsizdir.
• D) İşaret incelemesi gereksizdir.
• E) Bir parabol; kökleri, tepe noktası ve işaret değişimiyle bütün olarak tanınır.

Doğru cevap: E — Kartlar kökleri, tepe noktasını ve işaret incelemesini birlikte gösterir.

1. Birinci kart kökleri veriyor.
2. İkinci kart tepe noktasını ekliyor.
3. Üçüncü kart işaret incelemesini getiriyor.