Sayma, Algoritma ve Bilişim

1. Tabloda bir kişinin giyim seçenekleri verilmiştir. Kaç farklı üst-alt takımı oluşturabileceği sorulmaktadır. Tabloya göre bu sayı kaçtır?

• A) 12
• B) 7
• C) 4
• D) 3
• E) 9

Doğru cevap: A — Üst ve alt birlikte seçildiği için çarpma kuralı uygulanır: $4 \times 3 = 12$ farklı takım.

1. Bir takım için iki karar veriliyor: önce üst, sonra alt. İki seçim birlikte yapıldığından çarpma kuralı geçerlidir.
2. Üst için 4 seçenek vardır; seçilen her üstün yanına 3 alt gelebilir.
3. Takım sayısı $4 \times 3 = 12$ olur.
4. Denetleyelim: 4 üstün her biri 3 kez sayılır, $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ ✓.

2. Tabloda iki şehir arasındaki sefer sayıları verilmiştir. Bir yolcunun kaç farklı biçimde yolculuk yapabileceği sorulmaktadır. Tabloya göre bu sayı kaçtır?

• A) 15
• B) 8
• C) 5
• D) 3
• E) 2

Doğru cevap: B — Yolcu otobüs ya da trenden yalnızca birini seçer; alternatif seçimlerde toplama kuralıyla $5 + 3 = 8$ yol vardır.

1. Yolculuk tek bir seçimle biter: ya otobüs seferlerinden biri ya da tren seferlerinden biri alınır.
2. Bu iki grubun ortak elemanı yoktur ve aynı anda ikisi kullanılmaz; bu durumda toplama kuralı uygulanır.
3. Seçenek sayısı $5 + 3 = 8$ bulunur.
4. Denetleyelim: seferleri tek tek sayarsak 5 otobüs + 3 tren = 8 ayrı seçim vardır ✓.

3. Yukarıda bir faktöriyel ifadesi verilmiştir. Bu ifadenin değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

5!

• A) 60
• B) 25
• C) 120
• D) 20
• E) 720

Doğru cevap: C — Faktöriyel, sayıdan 1’e kadar bütün doğal sayıların çarpımıdır: $5! = 120$.

1. Tanım: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$.
2. Soldan çarpalım: $5 \times 4 = 20$, $20 \times 3 = 60$.
3. $60 \times 2 = 120$, $120 \times 1 = 120$.
4. Denetleyelim: $4! = 24$ ve $5! = 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120$ ✓.

4. Yukarıda bir sıralama durumu verilmiştir. Kaç farklı sıralama yapılabileceği sorulmaktadır. Buna göre bu sayı kaçtır?

6 kişiden 3'ü sıraya diziliyor

• A) 720
• B) 20
• C) 18
• D) 120
• E) 60

Doğru cevap: D — 6 kişiden 3’ünün sıralanması bir permütasyondur: $P(6,3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$.

1. Sıraya dizilişte "kim önde" önemlidir, bu yüzden sıralama sayısı kullanılır.
2. Birinci yer için 6 kişi aday; biri yerleşince ikinci yer için 5, üçüncü yer için 4 kişi kalır.
3. Çarpma kuralıyla $6 \times 5 \times 4 = 30 \times 4 = 120$.
4. Denetleyelim: formülle $P(6,3) = 6!/3! = 720/6 = 120$ ✓.

5. Yukarıda bir seçim durumu verilmiştir. Sıra önemli olmadığına göre kaç farklı seçim yapılabileceği sorulmaktadır. Buna göre bu sayı kaçtır?

6 kişiden 3'ü seçiliyor

• A) 15
• B) 120
• C) 18
• D) 60
• E) 20

Doğru cevap: E — Sıra önemsiz olduğundan kombinasyon kullanılır: $C(6,3) = 120 \div 3! = 20$.

1. Önce sıra önemliymiş gibi sayalım: $6 \times 5 \times 4 = 120$ sıralı üçlü.
2. Aynı üç kişilik grup bu sayımda $3! = 6$ farklı sırayla tekrar tekrar sayılmıştır.
3. Tekrarı atmak için bölünür: $120 \div 6 = 20$.
4. Denetleyelim: $C(6,3) = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} = \dfrac{720}{36} = 20$ ✓.

6. Tabloda durumlar ve uygun sayma yöntemleri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Sıranın önemli olup olmadığına bakıldığında bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) Seçme (kombinasyon)
• B) Sıralama (permütasyon)
• C) Faktöriyel
• D) Toplama kuralı
• E) Bölme kuralı

Doğru cevap: A — İki temsilcinin görevleri aynı olduğu için sıra önemsizdir; boşluğa seçme (kombinasyon) gelir.

1. Tablodaki ölçüt şudur: sıra önemliyse sıralama, önemsizse seçme kullanılır.
2. Başkan ve yardımcı farklı görevlerdir; A başkan B yardımcı ile B başkan A yardımcı ayrı sonuçlardır, bu yüzden sıralama yazılmıştır.
3. İki temsilcide görev farkı yoktur; A-B ikilisi ile B-A ikilisi aynı temsilci çiftidir. Bu durumda seçme (kombinasyon) kullanılır.
4. Denetleyelim: 4 kişilik bir sınıfta başkan-yardımcı $4 \times 3 = 12$, iki temsilci ise $12 \div 2 = 6$ yolla seçilir ✓; sonuçların farklı olması eşleştirmenin doğru olduğunu gösterir.

7. Yukarıda harfleri birbirinden farklı beş harfli bir kelime verilmiştir. Bu harflerin kaç farklı biçimde sıralanabileceği sorulmaktadır. Buna göre çıkan sayı kaçtır?

KİTAP kelimesinin harfleri

• A) 25
• B) 120
• C) 60
• D) 20
• E) 24

Doğru cevap: B — Beş farklı harf beş yere dizilir; sıralama sayısı $5! = 120$ olur.

1. KİTAP kelimesinde K, İ, T, A, P harflerinin hepsi farklıdır; tekrarlı harf olmadığı için bölme gerekmez.
2. Birinci yer için 5, ikinci için 4, üçüncü için 3, dördüncü için 2, sonuncu için 1 harf kalır.
3. $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ dizilim bulunur.
4. Denetleyelim: 4 harfli bir kelime $4! = 24$ dizilim verir; beşinci harf bunların her birine 5 farklı konumda girer, $24 \times 5 = 120$ ✓.

8. Yukarıda bir sayma durumu verilmiştir. Sıfır kullanılmadığı varsayıldığında kaç farklı sayı yazılabileceği sorulmaktadır. Buna göre sayı değeri kaçtır?

4 rakamla, rakamlar tekrar edebilecek biçimde 3 basamaklı sayılar

• A) 12
• B) 24
• C) 64
• D) 81
• E) 48

Doğru cevap: C — Rakamlar tekrar edebildiği için her basamakta 4 seçenek kalır: $4^3 = 64$ sayı.

1. Üç basamaklı sayı üç ardışık karardır: yüzler, onlar ve birler basamağı.
2. Sıfır kullanılmadığından yüzler basamağında sorun yoktur; tekrar serbest olduğu için her basamakta 4 rakamın hepsi yeniden kullanılabilir.
3. Çarpma kuralıyla $4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$.
4. Denetleyelim: yüzler basamağı sabitken 16 sayı yazılır ($4 \times 4$); yüzler için 4 seçenek olduğundan $16 \times 4 = 64$ ✓.

9. Yukarıda bir durum verilmiştir. Toplam kaç tokalaşma yapılacağı sorulmaktadır. Buna göre elde edilen sayı kaçtır?

8 kişi birbiriyle birer kez tokalaşıyor

• A) 16
• B) 56
• C) 64
• D) 28
• E) 36

Doğru cevap: D — Her tokalaşma iki kişilik bir seçimdir ve sıra önemsizdir: $C(8,2) = 28$.

1. Ali-Can tokalaşması ile Can-Ali tokalaşması aynı olaydır; bu yüzden ikili SEÇME sayılır.
2. Sıralı ikili sayısı $8 \times 7 = 56$’dır.
3. Her tokalaşma bu sayımda iki kez geçtiği için $56 \div 2 = 28$ olur.
4. Denetleyelim: birinci kişi 7, ikinci 6 yeni kişiyle … sonuncu 0 kişiyle tokalaşır; $7+6+5+4+3+2+1 = 28$ ✓.

10. Tabloda bir gruptaki kişi sayıları verilmiştir. Bir kız ve bir erkekten oluşan ikili kaç farklı biçimde seçilebileceği sorulmaktadır. Tabloya göre istenen sayı kaçtır?

• A) 45
• B) 9
• C) 36
• D) 10
• E) 20

Doğru cevap: E — İkili bir kız VE bir erkekten oluştuğu için çarpma kuralı uygulanır: $5 \times 4 = 20$.

1. İkili kurmak iki ayrı karardır: 5 kızdan birini seçmek ve 4 erkekten birini seçmek.
2. Seçilen her kız, 4 erkeğin herhangi biriyle eşleşebilir.
3. İkili sayısı $5 \times 4 = 20$ bulunur.
4. Denetleyelim: her kız için 4 ikili vardır; 5 kız için $4+4+4+4+4 = 20$ ✓.

11. Yukarıda faktöriyellerle bir bölme işlemi verilmiştir. Bu işlemin sonucu sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

7! ÷ 5!

• A) 42
• B) 2
• C) 35
• D) 7
• E) 120

Doğru cevap: A — $7!$ ifadesi $7 \times 6 \times 5!$ biçiminde yazılınca $5!$ sadeleşir ve sonuç $42$ olur.

1. Büyük faktöriyeli küçüğüne kadar açalım: $7! = 7 \times 6 \times 5!$.
2. Bölme: $\dfrac{7 \times 6 \times 5!}{5!}$; pay ve paydadaki $5!$ sadeleşir.
3. Geriye $7 \times 6 = 42$ kalır.
4. Denetleyelim: $7! = 5040$, $5! = 120$ ve $5040 \div 120 = 42$ ✓.

12. Yukarıda bir oturma durumu verilmiştir. Dönmeler aynı sayıldığında kaç farklı oturuş olabileceği sorulmaktadır. Buna göre hesaplanacak sayı kaçtır?

5 kişi yuvarlak masaya oturuyor

• A) 120
• B) 24
• C) 20
• D) 60
• E) 5

Doğru cevap: B — Yuvarlak masada dönmeler aynı sayıldığından dairesel sıralama kullanılır: $(5-1)! = 24$.

1. Düz sırada 5 kişi $5! = 120$ biçimde dizilir.
2. Masada herkes bir sandalye kayarsa oturuş aynı kalır; her oturuş bu 120’lik sayımda 5 kez (5 dönme) geçmiştir.
3. Tekrarı atalım: $120 \div 5 = 24$, yani $(5-1)! = 4! = 24$.
4. Denetleyelim: bir kişiyi sabitleyip kalan 4 kişiyi onun sağından başlayarak dizersek $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ ✓.

13. Şemada bir algoritma verilmiştir. Bu algoritmanın hesapladığı değer sorulmaktadır. Şemaya göre doğru yanıt hangisidir?

• A) 5 sayısının karesi
• B) 5 sayısının kendisi
• C) 5! değeri, yani 120
• D) 5 sayısının iki katı
• E) 1 değeri

Doğru cevap: C — Döngü $s$ değişkenini sırasıyla 5, 4, 3, 2 ile çarpar; algoritma $5! = 120$ değerini yazdırır.

1. Başlangıç: $n = 5$, $s = 1$. Koşul $n > 1$ doğru: $s = 1 \times 5 = 5$, $n = 4$.
2. $n = 4$: $s = 5 \times 4 = 20$, $n = 3$. $n = 3$: $s = 20 \times 3 = 60$, $n = 2$.
3. $n = 2$: $s = 60 \times 2 = 120$, $n = 1$. Koşul $1 > 1$ yanlış; döngü biter ve 120 yazdırılır.
4. Denetleyelim: $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 = 5!$ ✓; çarpımdaki son 1 sonucu değiştirmediği için döngünün 1’de durması bir şey kaybettirmez.

14. Yukarıda bir seçim durumu verilmiştir. Kaç farklı takım kurulabileceği sorulmaktadır. Buna göre istenen sayı kaçtır?

5 kişilik gruptan en az 4 kişilik takım

• A) 1
• B) 5
• C) 10
• D) 6
• E) 15

Doğru cevap: D — "En az 4 kişi" 4 ya da 5 kişilik takım demektir: $C(5,4) + C(5,5) = 5 + 1 = 6$.

1. "En az 4" ifadesi iki ayrı durumu kapsar: takım 4 kişilik ya da 5 kişilik olabilir. İki durum birbirini dışladığı için sonuçlar toplanır.
2. 4 kişilik takım: $C(5,4) = 5$ (dışarıda kalacak 1 kişiyi seçmek gibi).
3. 5 kişilik takım: $C(5,5) = 1$ (herkes takımda).
4. Denetleyelim: toplam $5 + 1 = 6$; kişileri A-E ile adlandırırsak dışarıda kalan kişiye göre 5 takım ve tam takımla birlikte 6 takım sayılır ✓.

15. Tabloda şehirler arası yol sayıları verilmiştir. A'dan C'ye B üzerinden kaç farklı biçimde gidilebileceği sorulmaktadır. Tabloya göre bulunacak sayı kaçtır?

• A) 9
• B) 7
• C) 3
• D) 4
• E) 12

Doğru cevap: E — A’dan C’ye gitmek iki ardışık yol seçimidir; çarpma kuralıyla $3 \times 4 = 12$ farklı güzergâh vardır.

1. Yolculuk iki aşamalıdır: önce A’dan B’ye, sonra B’den C’ye. İkisi de yapılmak zorunda olduğu için seçenekler çarpılır.
2. A-B arasındaki 3 yolun her biri, B-C arasındaki 4 yolla birleşebilir.
3. Güzergâh sayısı $3 \times 4 = 12$ olur.
4. Denetleyelim: birinci yolla 4, ikinci yolla 4, üçüncü yolla 4 güzergâh; $4 + 4 + 4 = 12$ ✓.

16. Yukarıda harfleri birbirinden farklı dört harfli bir kelime verilmiştir. Bu harflerle kaç farklı dizilim yazılabileceği sorulmaktadır. Buna göre aranan sonuç kaçtır?

ELMA kelimesinin harfleri

• A) 24
• B) 12
• C) 16
• D) 8
• E) 4

Doğru cevap: A — Dört farklı harf dört yere dizilir: $4! = 24$ dizilim.

1. ELMA kelimesinde E, L, M, A harflerinin hepsi farklıdır; tekrar olmadığından bölme gerekmez.
2. Birinci yere 4, ikinciye 3, üçüncüye 2, sonuncuya 1 harf seçilebilir.
3. $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
4. Denetleyelim: E ile başlayan dizilimler kalan 3 harfin $3! = 6$ sıralamasıdır; 4 farklı başlangıç harfi için $6 \times 4 = 24$ ✓.

17. Yukarıda bir seçme sayısı eşitliği verilmiştir. Bu eşitliği sağlayan n değeri sorulmaktadır. Buna göre n kaçtır?

C(n, 2) = 15

• A) 5
• B) 6
• C) 7
• D) 15
• E) 10

Doğru cevap: B — $C(n,2) = \dfrac{n(n-1)}{2} = 15$ denkleminden $n(n-1) = 30$ ve $n = 6$ bulunur.

1. İkili seçim formülü: $C(n,2) = \dfrac{n(n-1)}{2}$.
2. Eşitliği kuralım: $\dfrac{n(n-1)}{2} = 15$, iki tarafı 2 ile çarparsak $n(n-1) = 30$.
3. Çarpımı 30 olan ardışık iki doğal sayı aranır: $6 \times 5 = 30$, öyleyse $n = 6$ (negatif çözüm $n = -5$ sayma probleminde anlamsızdır).
4. Denetleyelim: $C(6,2) = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15$ ✓.

18. Yukarıda bir seçim durumu verilmiştir. Kaç farklı seçim yapılabileceği sorulmaktadır. Buna göre bulunacak sayı kaçtır?

4 kişiden en az biri seçilecek

• A) 4
• B) 16
• C) 15
• D) 8
• E) 11

Doğru cevap: C — Bütün alt kümeler 2⁴ = 16'dır; boş küme çıkarılır: 16 − 1 = 15.

1. Her kişi ya seçilir ya seçilmez: 2⁴ = 16.
2. Hiç kimsenin seçilmediği durum elenir.
3. 16 − 1 = 15 bulunur.

19. Yukarıdaki çözümde yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Faktöriyel kullanmamak
• B) Çarpma yapmamak
• C) Kişi sayısını yanlış almak
• D) Sıra önemsizken sıralama sayısı kullanmak; sonuç 2!'e bölünmeliydi
• E) Toplama kuralını uygulamamak

Doğru cevap: D — Üç kişiden iki kişilik grup seçerken sıra önemsizdir; $3 \times 2 = 6$ sıralama sayısı $2! = 2$’ye bölünmeli, doğru sonuç 3’tür.

1. Öğrencinin çarpımı $3 \times 2 = 6$, iki kişinin SIRAYLA seçildiği durumun sayısıdır.
2. Kişilere A, B, C diyelim; sıralı ikililer AB, BA, AC, CA, BC, CB’dir. Burada AB ile BA aynı gruptur.
3. Her grup iki kez sayıldığından $6 \div 2! = 3$ grup kalır: {A,B}, {A,C}, {B,C}.
4. Denetleyelim: $C(3,2) = \dfrac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$ ✓; hata sayma yöntemindedir, çarpma işleminde değil.

20. Kartlarda sayma problemlerinde izlenen üç adım verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Sıra her zaman önemlidir.
• C) Tekrar hiç olmaz.
• D) Kural seçimi gereksizdir.
• E) Sayma probleminde önce sıranın ve tekrarın durumu belirlenir, sonra uygun kural seçilir.

Doğru cevap: E — Kartlar bir karar sırasını anlatır: önce sıranın ve tekrarın durumu belirlenir, sonra ona uygun sayma kuralı seçilir.

1. Birinci kart "Sıra önemli mi?" diye sorar; cevap permütasyon ile kombinasyon arasında seçim yaptırır.
2. İkinci kart "Tekrar var mı?" diye sorar; cevap her adımda seçeneğin azalıp azalmayacağını belirler ($4 \times 3 \times 2$ mi, $4 \times 4 \times 4$ mü).
3. Üçüncü kart iki cevaba göre formülün seçildiğini söyler. Üç kart birlikte bir yöntem akışı oluşturur.
4. Denetleyelim: tokalaşma sorusunda sıra önemsiz, tekrar yok → $C(8,2) = 28$; akış somut bir soruda doğru kuralı veriyor ✓.