Veriden Olasılığa

1. Yukarıda bir olasılık gösterimi verilmiştir. Bu gösterimin anlamı sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

P(A | B)

• A) B olayı gerçekleştiğinde A olayının olasılığı
• B) A ve B'nin birlikte olasılığı
• C) A ya da B'nin olasılığı
• D) A olayının tümleyeni
• E) B olayının tümleyeni

Doğru cevap: A — Dikey çizgi koşulu gösterir; P(A | B), B gerçekleştiğinde A’nın olasılığıdır.

1. Gösterimdeki dikey çizgiyi okuyalım: "verildiğinde" ya da "gerçekleştiğinde" anlamı taşır.
2. Çizginin SAĞINDA duran olay koşuldur; artık bildiğimiz, gerçekleşmiş saydığımız olaydır.
3. Solda duran ise olasılığını sorduğumuz olay. Öyleyse P(A | B), B olayı gerçekleştiğinde A olayının olasılığıdır.
4. Denetleyelim: kesişim P(A ∩ B) ile karışmamalı ✓ — kesişimde ikisi de belirsiz, koşulluda biri gerçekleşmiş sayılıyor.

2. Tabloda bir sınıfın gözlük kullanma durumu verilmiştir. Seçilen kişinin kız olduğu bilindiğinde gözlük kullanma olasılığı sorulmaktadır. Tabloya göre bu olasılık hangisidir?

• A) 12/30
• B) 12/40
• C) 12/80
• D) 28/40
• E) 18/40

Doğru cevap: B — Koşul örnek uzayı kızlarla sınırlar; kız sayısı 40, gözlüklü kız 12’dir.

1. Koşulu belirleyelim: seçilen kişinin KIZ olduğu biliniyor. Öyleyse artık erkekler hesaba girmiyor.
2. Yeni örnek uzayımız yalnız kızlar: toplam 40 kişi. Payda bu sayı olacak.
3. Bu 40 kızdan gözlük kullananlar 12 kişi. Aranan olasılık 12/40’tır.
4. Denetleyelim: koşul olmasaydı payda 80 olurdu ✓ — koşul tam olarak örnek uzayı daraltıyor.

3. Yukarıda iki bağımsız olayın olasılıkları verilmiştir. İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, A ile B bağımsız

• A) 0,10
• B) 0,90
• C) 0,20
• D) 0,45
• E) 0,50

Doğru cevap: C — Bağımsız olaylarda birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıkların çarpımıdır.

1. Verilenleri yazalım: P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 ve iki olay bağımsız.
2. Bağımsızlık, birinin gerçekleşmesinin ötekinin olasılığını değiştirmemesi demek. Bu durumda kesişim kuralı sadeleşir: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
3. Çarpalım: 0,5 × 0,4 = 0,20.
4. Denetleyelim: sonuç iki olasılıktan da küçük ✓ — iki koşulun birlikte sağlanması tek koşuldan zordur.

4. Yukarıda geri koymasız bir çekiliş verilmiştir. İki topun da kırmızı olma olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bu olasılık hangisidir?

Torbada 3 kırmızı, 2 mavi top; iki top geri konmadan çekiliyor

• A) 1/2
• B) 9/25
• C) 2/5
• D) 3/10
• E) 6/25

Doğru cevap: D — Geri koymasız çekilişte ikinci olasılık değişir: (3/5) × (2/4) = 3/10.

1. Torbayı yazalım: 3 kırmızı, 2 mavi, toplam 5 top.
2. Birinci çekiliş: kırmızı gelme olasılığı 3/5.
3. İkinci çekilişte top GERİ KONMUYOR. Bir kırmızı çekildiğine göre torbada 2 kırmızı ve toplam 4 top kaldı; olasılık 2/4. Çarpalım: (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10.
4. Denetleyelim: ikinci paydanın 4 olması belirleyici ✓ — geri koymalı çekilişte 5 kalırdı ve sonuç 9/25 çıkardı.

5. Yukarıda geri koymalı bir çekiliş verilmiştir. İki topun da kırmızı olma olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bu değer hangisidir?

Torbada 3 kırmızı, 2 mavi top; top geri konarak iki çekiliş

• A) 1/5
• B) 3/10
• C) 6/25
• D) 2/5
• E) 9/25

Doğru cevap: E — Geri koymalı çekilişte torbanın içeriği değişmez; her çekilişte olasılık 3/5’tir.

1. Torbayı yazalım: 3 kırmızı, 2 mavi, toplam 5 top. Birinci çekilişte kırmızı olasılığı 3/5.
2. Top geri konduğu için torba ilk hâline dönüyor: yine 3 kırmızı, 5 top.
3. İkinci çekilişte olasılık yine 3/5. Olaylar bağımsız olduğu için çarpıyoruz: (3/5) × (3/5) = 9/25.
4. Denetleyelim: 9/25 = 0,36 ve 3/10 = 0,30 ✓ — geri koymalı çekilişte olasılık daha büyük, çünkü ikinci çekilişte de 3 kırmızı duruyor.

6. Tabloda çekiliş türleri ve olay ilişkileri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tablodaki boşluk nasıl doldurulmalıdır?

• A) Bağımlı
• B) Bağımsız
• C) Ayrık
• D) Kesin
• E) İmkânsız

Doğru cevap: A — Geri koymasız çekilişte ilk sonuç ikinci olasılığı değiştirir; olaylar bağımlıdır.

1. Tablonun kurgusu şu: solda çekiliş türü, sağda olayların ilişkisi.
2. Dolu satır: geri koymalı → bağımsız. Nedeni açık: top geri konduğu için torbanın içeriği değişmiyor, ilk sonuç ikinciyi etkilemiyor.
3. Geri koymasız çekilişte ise çekilen top torbadan çıkıyor; hem toplam hem o renkten kalan sayı azalıyor. İlk sonuç ikinci olasılığı değiştirdiği için olaylar bağımlıdır.
4. Denetleyelim: aynı torbada iki sonuç farklı çıkmıştı ✓ — 9/25 ile 3/10 arasındaki fark bu bağımlılığın ölçüsü.

7. Yukarıda bir olasılık ve bir koşullu olasılık verilmiştir. İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

P(A) = 0,6, P(B | A) = 0,5

• A) 1,10
• B) 0,30
• C) 0,60
• D) 0,50
• E) 0,10

Doğru cevap: B — Çarpma kuralı: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = 0,6 × 0,5 = 0,30.

1. Verilenleri okuyalım: P(A) = 0,6 ve P(B | A) = 0,5. İkincisi koşullu, yani A gerçekleşmişken B’nin olasılığı.
2. Genel çarpma kuralını yazalım: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A). Bu kural bağımsızlık gerektirmez, her durumda geçerlidir.
3. Değerleri koyalım: 0,6 × 0,5 = 0,30.
4. Denetleyelim: sonuç P(A)’dan küçük ✓ — kesişim, kendisini oluşturan olaylardan büyük olamaz.

8. Yukarıda bir kesişim olasılığı ve bir olayın olasılığı verilmiştir. B verildiğinde A'nın olasılığı sorulmaktadır. Buna göre aranan sayı kaçtır?

P(A ∩ B) = 0,12, P(B) = 0,4

• A) 0,52
• B) 0,48
• C) 0,30
• D) 0,12
• E) 0,40

Doğru cevap: C — Koşullu olasılık formülü: P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) = 0,12 ÷ 0,4 = 0,30.

1. Koşulun ne yaptığını hatırlayalım: örnek uzayı B ile sınırlıyor. Öyleyse payda artık P(B) olacak.
2. Pay ise B içinde kalan ve aynı zamanda A olan bölüm, yani kesişim: P(A ∩ B).
3. Formülü kurup değerleri koyalım: 0,12 ÷ 0,4 = 0,30.
4. Denetleyelim: 0,30 × 0,4 = 0,12 ✓ — bulunan koşullu olasılık P(B) ile çarpılınca kesişimi veriyor.

9. Tabloda bir olayın olasılığı ve koşullu olasılığı verilmiştir. İki olayın ilişkisi sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yargı hangisidir?

• A) A kesin olaydır.
• B) Olaylar bağımlıdır.
• C) Olaylar ayrıktır.
• D) Koşul olasılığı değiştirmediği için olaylar bağımsızdır.
• E) Yorum yapılamaz.

Doğru cevap: D — P(A | B) = P(A) eşitliği bağımsızlığın tanımıdır.

1. Tablodaki iki değeri karşılaştıralım: P(A) = 0,5 ve P(A | B) = 0,5.
2. İkinci değer, B gerçekleşmişken A’nın olasılığı. B bilgisini öğrenmek olasılığı 0,5’ten yine 0,5’e taşımış; yani hiç değiştirmemiş.
3. Bir olayın bilgisi ötekinin olasılığını değiştirmiyorsa o iki olay bağımsızdır. Doğru yargı budur.
4. Denetleyelim: bağımlı olsalardı koşul olasılığı ya artırır ya azaltırdı ✓ — eşitlik tam olarak bağımsızlığın ölçütü.

10. Şemada iki makinenin üretim payları ve hata oranları verilmiştir. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olma olasılığı sorulmaktadır. Şemaya göre bu değer kaçtır?

• A) 0,012
• B) 0,07
• C) 0,020
• D) 0,050
• E) 0,032

Doğru cevap: E — Toplam olasılık: her makinenin payı kendi hata oranıyla çarpılıp toplanır.

1. Hatalı ürünün iki ayrı yoldan gelebileceğini görelim: ya birinci makineden ya ikinciden.
2. Birinci yol: ürün birinci makineden gelecek (0,6) VE hatalı olacak (0,02). İkisi birlikte olmalı, çarpıyoruz: 0,6 × 0,02 = 0,012.
3. İkinci yol: 0,4 × 0,05 = 0,020. İki yol birbirini dışlıyor, yani ürün ya birinden ya ötekinden geliyor; bu yüzden topluyoruz: 0,012 + 0,020 = 0,032.
4. Denetleyelim: sonuç iki hata oranının arasında (0,02 ile 0,05) ✓ — ağırlıklı ortalama olduğu için beklenen aralıkta.

11. Yukarıda toplam hata olasılığı ve birinci makinenin payı verilmiştir. Hatalı bir ürünün birinci makineden gelmiş olma olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bu değer yaklaşık kaçtır?

Hatalı ürün olasılığı 0,032; birinci makineden gelen hatalı pay 0,012

• A) 0,375
• B) 0,600
• C) 0,020
• D) 0,625
• E) 0,012

Doğru cevap: A — Koşullu olasılık: hatalı ürünler içinde birinci makineden gelenlerin payı, 0,012 ÷ 0,032 = 0,375.

1. Sorunun yönünü belirleyelim: artık ürünün hatalı OLDUĞUNU biliyoruz. Koşul bu; örnek uzayımız bütün ürünler değil, yalnız hatalı olanlar.
2. Öyleyse payda toplam hata olasılığı olacak: 0,032.
3. Pay ise hem hatalı hem birinci makineden gelen bölüm: 0,012. Bölelim: 0,012 ÷ 0,032 = 0,375.
4. Denetleyelim: ikinci makinenin payı 0,020 ÷ 0,032 = 0,625 ✓ — iki oran toplamı 1 ediyor.

12. Yukarıda bir deney verilmiştir. En az bir yazı gelme olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bu olasılık hangisidir?

Bir para üç kez atılıyor

• A) 1/8
• B) 7/8
• C) 3/8
• D) 1/2
• E) 5/8

Doğru cevap: B — Tümleyen yöntemi: hiç yazı gelmeme olasılığı 1/8, aranan olasılık 1 − 1/8 = 7/8.

1. Üç atışta kaç sonuç olduğunu bulalım: her atışta 2 seçenek var, 2 × 2 × 2 = 8 olası sonuç.
2. "En az bir yazı" ifadesini doğrudan saymak zor: bir, iki ya da üç yazı gelebilir. Tümleyenine bakmak çok daha kolay.
3. Tümleyen "hiç yazı gelmemesi", yani üçünün de tura olması — bu tek bir sonuç, olasılığı 1/8. Aranan olasılık 1 − 1/8 = 7/8.
4. Denetleyelim: 8 sonuçtan 7’sinde en az bir yazı var ✓ — yalnız TTT dışarıda kalıyor.

13. Yukarıda iki olayın olasılıkları ve kesişimleri verilmiştir. En az birinin gerçekleşme olasılığı sorulmaktadır. Buna göre bulunan değer kaçtır?

P(A) = 0,3, P(B) = 0,45, P(A ∩ B) = 0,1

• A) 0,85
• B) 0,75
• C) 0,65
• D) 0,55
• E) 0,35

Doğru cevap: C — Birleşim formülü: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,3 + 0,45 − 0,1 = 0,65.

1. "En az biri" ifadesi birleşimi işaret ediyor: A olsun, B olsun ya da ikisi birden.
2. Önce iki olasılığı toplayalım: 0,3 + 0,45 = 0,75. Ama bu toplamda kesişim İKİ KEZ sayıldı; hem A’nın içinde hem B’nin içinde.
3. Fazladan sayılan bölümü bir kez çıkaralım: 0,75 − 0,1 = 0,65.
4. Denetleyelim: sonuç iki olasılıktan da büyük ama 1’den küçük ✓ — birleşim için beklenen aralık.

14. Yukarıda bir koşul verilmiştir. Bu koşul altında sonucun 4'ten büyük olma olasılığı sorulmaktadır. Buna göre aranan olasılık hangisidir?

Bir zar atıldı ve sonucun çift olduğu biliniyor

• A) 2/3
• B) 1/2
• C) 1/6
• D) 1/3
• E) 1/4

Doğru cevap: D — Koşul örnek uzayı {2, 4, 6} yapar; 4’ten büyük olan tek eleman 6’dır.

1. Koşulu okuyalım: sonucun ÇİFT olduğu biliniyor. Öyleyse artık 1, 3 ve 5 mümkün değil.
2. Yeni örnek uzayımız {2, 4, 6}; üç eleman var, payda 3 olacak.
3. Bu üç sayıdan 4’ten büyük olan yalnız 6. Aranan olasılık 1/3.
4. Denetleyelim: koşul olmasaydı payda 6 olurdu ve yanıt 2/6 çıkardı ✓ — koşul hem paydayı hem payı değiştiriyor.

15. Yukarıda bir koşullu olasılık verilmiştir. Aynı koşul altında A olayının gerçekleşmeme olasılığı sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

P(A | B) = 0,7

• A) Hesaplanamaz
• B) 0,7
• C) 1,7
• D) 0,5
• E) 0,3

Doğru cevap: E — Aynı koşul altında bir olayın olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı 1’dir.

1. Verileni okuyalım: P(A | B) = 0,7. Koşul B; bu koşulu sabit tutacağız.
2. B gerçekleştiğinde A ya olur ya olmaz; başka seçenek yok. Öyleyse bu iki olasılığın toplamı 1 olmalı.
3. Aranan değeri çekelim: 1 − 0,7 = 0,3.
4. Denetleyelim: tümleyen kuralı koşullu olasılıkta da geçerli ✓ — yeter ki koşul aynı kalsın.

16. Tabloda bir denemenin sonuçları verilmiştir. Başarı olasılığının deneysel tahmini sorulmaktadır. Tabloya göre bu değer kaçtır?

• A) 0,6
• B) 0,4
• C) 0,3
• D) 180
• E) 0,5

Doğru cevap: A — Deneysel olasılık, gözlenen sıklığın toplam deneme sayısına bölünmesiyle tahmin edilir.

1. Tablodaki iki değeri toplayarak toplam denemeyi bulalım: 180 + 120 = 300.
2. Deneysel olasılık, bir sonucun kaç kez gerçekleştiğinin toplam denemeye oranıdır.
3. Başarılı sonuç 180 olduğuna göre: 180 ÷ 300 = 0,6.
4. Denetleyelim: başarısızlık olasılığı 120 ÷ 300 = 0,4 ✓ — iki oran toplamı 1 ediyor.

17. Yukarıda bağımsız üç olay verilmiştir. Üçünün de gerçekleşme olasılığı sorulmaktadır. Buna göre istenen değer kaçtır?

Üç bağımsız olayın her birinin olasılığı 0,5

• A) 1,5
• B) 0,125
• C) 0,5
• D) 0,25
• E) 0,375

Doğru cevap: B — Bağımsız olaylarda olasılıklar çarpılır: 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125.

1. Verileni okuyalım: üç olay bağımsız ve her birinin olasılığı 0,5.
2. Bağımsızlıkta birinin gerçekleşmesi ötekilerin olasılığını değiştirmez; bu yüzden üçünün birlikte gerçekleşme olasılığı çarpımdır.
3. Hesaplayalım: 0,5³ = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125.
4. Denetleyelim: bu, üç para atışında üçünün de yazı gelmesiyle aynı ✓ — 8 sonuçtan biri, yani 1/8 = 0,125.

18. Şemada bir düşünme biçiminin adımları verilmiştir. Şemaya göre koşullu olasılığın sağladığı temel katkı sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Kanıtın göz ardı edilmesi
• B) Olasılığın hiç değişmemesi
• C) Yeni bilgi geldiğinde olasılık tahmininin güncellenmesi
• D) Başlangıç bilgisinin gereksizliği
• E) Tahminin imkânsızlaşması

Doğru cevap: C — Koşullu olasılık, yeni kanıt geldiğinde olasılık tahmininin güncellenmesini sağlar.

1. Şemadaki üç basamağı okuyalım: başlangıç bilgisiyle olasılık belirlenir → yeni kanıt gözlenir → olasılık güncellenir.
2. Birinci basamak elimizdeki bilgiyle bir tahmin kuruyor. İkinci basamakta yeni bir bilgi geliyor.
3. Üçüncü basamak kritik: tahmin atılmıyor, GÜNCELLENİYOR. Koşullu olasılığın sağladığı katkı budur — yeni kanıt ışığında tahmini yenilemek.
4. Denetleyelim: hatalı ürün sorusu bunun örneğiydi ✓ — ürünün hatalı olduğunu öğrenince makine payı %60’tan %37,5’e düştü.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Kesişimi bulmamak
• B) Olasılıkları hesaplamamak
• C) Örnek uzayı yazmamak
• D) Ayrıklık ile bağımsızlığın farklı kavramlar olduğunu göz ardı etmek
• E) Tümleyeni almamak

Doğru cevap: D — Ayrık olaylarda biri gerçekleşince öteki gerçekleşemez; bu bağımsızlık değil, bağımlılıktır.

1. İki kavramı tanımlarıyla ayıralım. Ayrıklık: iki olay aynı anda gerçekleşemez, kesişimleri boştur.
2. Bağımsızlık: birinin gerçekleşmesi ötekinin olasılığını değiştirmez.
3. Şimdi ayrık olayları bağımsızlık ölçütüyle sınayalım. A gerçekleşti diyelim; B artık kesinlikle gerçekleşemez, yani olasılığı 0 oldu. Bu, olasılığın en sert biçimde değişmesidir. Ayrık olaylar bağımsız değil, bağımlıdır.
4. Denetleyelim: bir zarda "3 gelmesi" ile "5 gelmesi" ayrık ✓ — 3 geldiyse 5 gelme olasılığı 0.

20. Kartlarda bu temanın üç temel düşüncesi verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Koşul örnek uzayı değiştirmez.
• C) Bağımsızlıkta toplama yapılır.
• D) Kanıt tahmini değiştirmez.
• E) Koşullu olasılık; örnek uzayı daraltarak, bağımsızlıkta çarpma kuralını kullanarak ve kanıtla tahmini güncelleyerek işler.

Doğru cevap: E — Kartlar koşulun daraltıcı etkisini, bağımsızlıktaki çarpma kuralını ve kanıtla güncellemeyi birlikte gösterir.

1. Üç kartı okuyalım: koşul örnek uzayı daraltır, bağımsızlık çarpma verir, kanıt tahmini günceller.
2. Birinci kart koşullu olasılığın NASIL işlediğini söylüyor: payda küçülüyor, çünkü artık her durum mümkün değil.
3. İkinci kart özel bir durumu veriyor: koşul olasılığı değiştirmiyorsa çarpma kuralı sadeleşiyor. Üçüncü kart da niçin işe yaradığını: yeni bilgiyle tahmin yenileniyor. En kapsayıcı sonuç üçünü birlikte anmalıdır.
4. Denetleyelim: üç kart ünitedeki üç soru tipine karşılık geliyor ✓ — tablodan koşullu okuma, çarpma hesabı, güncelleme.