Trigonometri

1. 150° lik açının radyan cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 5π/6
• B) 3π/4
• C) 2π/3
• D) 7π/6
• E) 5π/4

Doğru cevap: A — 150° = 5π/6 radyandır; 180° = π radyan olduğundan dereceyi π/180 ile çarparız.

1. Dönüşümün dayanağı: yarım tur 180° ya da π radyandır, bu yüzden 1° = $\frac{\pi}{180}$ radyan.
2. 150° için çarpalım: $150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180}$.
3. Kesri 30 ile sadeleştirelim: $\frac{150}{180} = \frac{5}{6}$, sonuç $\frac{5\pi}{6}$ radyan.
4. Denetleyelim: $\frac{5\pi}{6}$ radyanı geri çevirirsek $\frac{5}{6} \cdot 180° = 150°$ ✓.

2. Şekildeki dik üçgende α açısının sinüs değeri kaçtır?

• A) 3/5
• B) 4/5
• C) 3/4
• D) 4/3
• E) 5/3

Doğru cevap: A — sin α = 3/5’tir; sinüs, açının karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranıdır.

1. Kenarlar 3, 4 ve 5 br; en uzun kenar olan 5 br dik açının karşısındadır, yani hipotenüstür ($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$).
2. Şekilde α açısının karşısındaki dik kenar 3 br, α’ya komşu dik kenar 4 br’dir.
3. Tanımı uygulayalım: sin α = karşı / hipotenüs, yani $\sin\alpha = \frac{3}{5}$.
4. Denetleyelim: $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ olur ve $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ ✓, temel özdeşlik sağlanıyor.

3. Temel özdeşlik yukarıda verilmiştir. sin x = 3/5 ve x dar açı olduğuna göre cos x kaçtır?

sin²x + cos²x = 1

• A) 3/5
• B) 3/4
• C) 4/5
• D) 5/4
• E) 5/3

Doğru cevap: C — cos x = 4/5’tir; sin²x + cos²x = 1 özdeşliğinde sin x = 3/5 yazılır ve dar açıda kosinüs pozitif alınır.

1. sin x değerini özdeşliğe koyalım: $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1$, yani $\frac{9}{25} + \cos^2 x = 1$.
2. cos²x’i yalnız bırakalım: $\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
3. Karekök alınca $\cos x = \pm\frac{4}{5}$ çıkar; x dar açı (I. bölge) olduğundan kosinüs pozitiftir: $\cos x = \frac{4}{5}$.
4. Denetleyelim: $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$ ✓.

4. Birim çember üzerinde şekildeki gibi yerleştirilen açı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Hem sinüs hem kosinüs pozitiftir.
• B) Sinüs negatif, kosinüs pozitiftir.
• C) Hem sinüs hem kosinüs negatiftir.
• D) Sinüs pozitif, kosinüs negatiftir.
• E) Sinüs ve kosinüs sıfırdır.

Doğru cevap: D — Sinüs pozitif, kosinüs negatiftir; 150° II. bölgededir ve orada noktanın y’si pozitif, x’i negatiftir.

1. Bölgeyi belirleyelim: 90° < 150° < 180° olduğundan açının ucu II. bölgededir (sol üst).
2. Birim çemberde açının ucundaki nokta (cos θ, sin θ) koordinatlarına sahiptir: kosinüs x, sinüs y koordinatıdır.
3. II. bölgede x < 0, y > 0 olduğundan cos 150° < 0 ve sin 150° > 0.
4. Denetleyelim: $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2} > 0$, $\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ ✓.

5. cos 60° değeri aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 0
• B) 1
• C) √3/2
• D) √2/2
• E) 1/2

Doğru cevap: E — cos 60° = 1/2’dir; eşkenar üçgenin yüksekliği onu 30°-60°-90° üçgenlerine böler ve 60°’nin komşu kenarı hipotenüsün yarısıdır.

1. Kenarı 2 br olan bir eşkenar üçgende bir yükseklik çizelim: üçgen, hipotenüsü 2, kısa kenarı 1, uzun kenarı √3 olan iki dik üçgene ayrılır.
2. 60° açısına komşu dik kenar, tabanın yarısı olan 1 br’dir; hipotenüs 2 br’dir.
3. Tanım: cos 60° = komşu / hipotenüs, yani $\cos 60° = \frac{1}{2}$.
4. Denetleyelim: $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ile $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ ✓.

6. Bir merdiven duvara 10 metre uzunluğunda dayanmış ve yerle 30° lik açı yapmaktadır. Buna göre merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?

• A) 5
• B) 5√2
• C) 5√3
• D) 10
• E) 20

Doğru cevap: A — Yükseklik 5 m’dir; merdiven hipotenüs, yükseklik 30°’nin karşısındaki kenar olduğundan h = 10 · sin 30° = 5.

1. Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur: merdiven (10 m) hipotenüs, h ise yerle yapılan 30° açının karşısındaki dik kenardır.
2. Karşı ve hipotenüs arasındaki oran sinüstür: $\sin 30° = \frac{h}{10}$.
3. $\sin 30° = \frac{1}{2}$ yazalım: $\frac{1}{2} = \frac{h}{10}$, buradan $h = 5$ m.
4. Denetleyelim: 30°-60°-90° üçgeninde 30°’nin karşısı hipotenüsün yarısıdır; 10’un yarısı 5 ✓.

7. Yukarıdaki bağıntıya göre sin x = 12/13 ve cos x = 5/13 iken tan x değeri kaçtır?

tan x = sin x / cos x

• A) 5/13
• B) 12/13
• C) 5/12
• D) 13/12
• E) 12/5

Doğru cevap: E — tan x = 12/5’tir; sinüsü kosinüse bölünce paydalar sadeleşir.

1. Bağıntıya değerleri yazalım: $\tan x = \frac{12/13}{5/13}$.
2. Kesir bölmesi, birinciyi ikincinin tersiyle çarpmaktır: $\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5}$.
3. 13’ler sadeleşir: $\tan x = \frac{12}{5}$.
4. Denetleyelim: $\cos x \cdot \tan x = \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{5} = \frac{12}{13} = \sin x$ ✓.

8. Bir ABC üçgeninde tabloda verilen değerlere göre a kenarının uzunluğu kaç birimdir?

• A) 5
• B) 6
• C) 7
• D) 8
• E) 9

Doğru cevap: C — İki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde kosinüs teoremi kullanılır.

1. a² = b² + c² − 2bc × cos A
2. a² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × cos 60°
3. a² = 89 − 80 × (1/2) = 89 − 40 = 49
4. a = 7 br

9. Yukarıdaki fonksiyonun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?

f(x) = sin 2x

• A) π/2
• B) π
• C) 3π/2
• D) 2π
• E) 4π

Doğru cevap: B — Esas periyot π’dir; sin(kx) fonksiyonunun periyodu 2π/|k|, burada k = 2.

1. sin x fonksiyonu her 2π’de bir kendini tekrar eder.
2. sin 2x’te iç ifade x’ten iki kat hızlı büyür; 2x’in 2π kadar artması için x’in yalnız π artması yeter.
3. Formülle: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
4. Denetleyelim: $f(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x = f(x)$ ✓; π’den küçük pozitif bir sayı bu eşitliği her x için sağlamaz.

10. Birim çemberde şekildeki açının ucundaki noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

• A) (1/2, √3/2)
• B) (√3/2, 1/2)
• C) (√2/2, √2/2)
• D) (−1/2, √3/2)
• E) (0, 1)

Doğru cevap: A — Nokta (1/2, √3/2)’dir; birim çemberde açının ucundaki nokta (cos θ, sin θ) olarak yazılır.

1. Birim çemberin yarıçapı 1 olduğundan açının ucundaki noktanın x koordinatı cos θ, y koordinatı sin θ’dır.
2. Özel açı değerleri: $\cos 60° = \frac{1}{2}$, $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Sıraya dikkat ederek yazalım: nokta $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
4. Denetleyelim: nokta çember üzerinde olmalı; $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ ✓. Ayrıca 60° 45°’den büyük olduğu için y > x olmalı, √3/2 > 1/2 ✓.

11. Bir gözlemci, deniz seviyesinden 60 metre yükseklikteki bir kuleden bir gemiyi 30° lik bakış açısıyla görmektedir. Buna göre geminin kule tabanına olan yatay uzaklığı kaç metredir?

• A) 30
• B) 60
• C) 60√2
• D) 60√3
• E) 120

Doğru cevap: D — Yatay uzaklık 60√3 m’dir; bakış açısı 30° iken tan 30° = 60/x kurulur.

1. Kule (60 m) ile yatay uzaklık x dik kenarlardır. Kuleden aşağı bakış açısı 30° ise iç ters açılar eşit olduğundan gemideki açı da 30°’dir; kule bu açının karşısında, x ise komşusundadır.
2. Karşının komşuya oranı tanjanttır: $\tan 30° = \frac{60}{x}$.
3. $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$ yazalım: $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{60}{x}$, buradan $x = \frac{180}{\sqrt{3}} = \frac{180\sqrt{3}}{3} = 60\sqrt{3}$ m.
4. Denetleyelim: $\frac{60}{60\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \tan 30°$ ✓.

12. Bir ABC üçgeninde a = 10 br, A açısı 30° ve B açısı 45° olduğuna göre b kenarının uzunluğu kaç birimdir?

• A) 10
• B) 10√2
• C) 10√3
• D) 20
• E) 20√2

Doğru cevap: B — b = 10√2 br’dir; sinüs teoremi a/sin A = b/sin B oranını verir.

1. Sinüs teoremi: bir üçgende her kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
2. Değerleri yazalım: $\frac{10}{\sin 30°} = \frac{10}{1/2} = 20$.
3. Aynı oran b için: $\frac{b}{\sin 45°} = 20$, yani $b = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ br.
4. Denetleyelim: $\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 20$ ✓. Ayrıca büyük açının karşısında büyük kenar olur: 45° > 30° ve 10√2 ≈ 14,1 > 10 ✓.

13. Şekildeki dik üçgende α açısının kotanjant değeri kaçtır?

• A) 5/13
• B) 12/13
• C) 5/12
• D) 12/5
• E) 13/5

Doğru cevap: D — cot α = 12/5’tir; kotanjant, açıya komşu dik kenarın karşı dik kenara oranıdır.

1. 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² olduğundan 13 br hipotenüstür; 5 ve 12 dik kenarlardır.
2. Şekilde α’nın karşısındaki dik kenar 5 br, α’ya komşu dik kenar 12 br’dir.
3. Tanım: cot α = komşu / karşı, yani $\cot\alpha = \frac{12}{5}$.
4. Denetleyelim: $\tan\alpha = \frac{5}{12}$ ve $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = \frac{5}{12} \cdot \frac{12}{5} = 1$ ✓.

14. 3π/4 radyanlık açının derece cinsinden değeri kaçtır?

• A) 60
• B) 90
• C) 120
• D) 135
• E) 150

Doğru cevap: D — 3π/4 radyan 135°’dir; π radyan 180°’ye eşit olduğundan π yerine 180° yazılır.

1. Dayanak: π radyan = 180°. Radyandan dereceye geçerken π yerine 180° konur.
2. $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180°}{4}$.
3. Önce bölelim: 180 ÷ 4 = 45; sonra çarpalım: 3 · 45 = 135°.
4. Denetleyelim: $135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ ✓.

15. Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = sin x fonksiyonunun alabileceği değerler hangi aralıktadır?

• A) [0, 1]
• B) (−∞, ∞)
• C) [−1, 1]
• D) [0, ∞)
• E) [−π, π]

Doğru cevap: C — sin x’in değer kümesi [−1, 1]’dir; sinüs birim çemberdeki noktanın y koordinatıdır ve çemberin yarıçapı 1’dir.

1. Birim çemberde x açısının ucundaki noktanın y koordinatı sin x’tir.
2. Yarıçap 1 olduğundan nokta en yukarıda (0, 1), en aşağıda (0, −1) olur; y bu iki değer arasında kalır.
3. En büyük değer 1’dir (x = 90°), en küçük değer −1’dir (x = 270°); ikisi de alınır, bu yüzden aralık kapalıdır: [−1, 1].
4. Denetleyelim: $\sin 90° = 1$, $\sin 270° = -1$, $\sin 0° = 0$ ✓; hepsi aralıkta, 1’i aşan bir değer ise çemberin dışına çıkmak olurdu.

16. Bir üçgenin iki kenarı 6 br ve 10 br olup aralarındaki açı 30°’dir. Buna göre bu üçgenin alanı kaç br²’dir?

• A) 15
• B) 20
• C) 25
• D) 30
• E) 60

Doğru cevap: A — Alan 15 br²’dir; iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa Alan = ½ · a · b · sin C.

1. Formül: aradaki açıyı kullanan alan $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$. Burada kenar 6 ve 10 br, aradaki açı 30°’dir.
2. Değerleri yazalım: $A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30°$.
3. Önce $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30$, sonra $30 \cdot \frac{1}{2} = 15$ br².
4. Denetleyelim: 10 br’lik kenarı taban alırsak yükseklik $6 \cdot \sin 30° = 3$ br olur; taban × yükseklik / 2 = 10 · 3 / 2 = 15 ✓.

17. sin x ≠ 0 olmak üzere yukarıdaki ifadenin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

(1 − cos²x) / sin x

• A) cos x
• B) sin x
• C) tan x
• D) cot x
• E) 1

Doğru cevap: B — İfade sin x’e sadeleşir; 1 − cos²x yerine özdeşlikten sin²x yazılır.

1. Temel özdeşlik $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$’den $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ elde edilir.
2. Payı değiştirelim: $\frac{1 - \cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x}{\sin x}$.
3. sin x ≠ 0 verildiği için pay ve paydada bir sin x sadeleşir: sonuç $\sin x$.
4. Denetleyelim: x = 30° için ifade $\frac{1 - 3/4}{1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$, sin 30° = 1/2 ✓.

18. Bir öğrenci, dik olmayan bir üçgende bir açının sinüsünü “karşı kenar bölü en uzun kenar” diyerek hesaplamıştır. Bu çözümdeki hata aşağıdakilerden hangisidir?

• A) Sinüs yalnızca dik üçgende karşı/hipotenüs oranıdır; dik olmayan üçgende sinüs teoremi kullanılmalıdır.
• B) Sinüs değeri hiçbir üçgende hesaplanamaz.
• C) En uzun kenar her zaman hipotenüstür.
• D) Sinüs yerine kosinüs kullanılmalıydı.
• E) İşlemde hata yoktur.

Doğru cevap: A — Hata şudur: karşı/hipotenüs tanımı yalnız dik üçgende geçerlidir; dik olmayan üçgende sinüs teoremi kullanılır.

1. Hipotenüs, dik açının karşısındaki kenardır; dik açısı olmayan üçgende hipotenüs yoktur.
2. “Karşı kenar / hipotenüs” oranı bu yüzden yalnız dik üçgendeki dar açılar için tanımlıdır. En uzun kenar hipotenüsün yerini tutmaz.
3. Dik olmayan üçgende açı ile kenarlar sinüs teoremiyle bağlanır: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
4. Denetleyelim: eşkenar üçgende öğrencinin kuralı sin 60° = kenar/kenar = 1 verir; oysa sin 60° = √3/2 ≈ 0,87 ✓, kural gerçekten yanlış sonuç üretiyor.

19. Güneş ışınlarının yerle 45° lik açı yaptığı bir anda bir direğin gölge boyu 12 metre ölçülmüştür. Buna göre direğin boyu kaç metredir?

• A) 6
• B) 8
• C) 12
• D) 12√2
• E) 24

Doğru cevap: C — Direğin boyu 12 m’dir; 45°’lik açıda tan 45° = 1 olduğundan karşı ve komşu dik kenarlar eşittir.

1. Direk (h) ile gölgesi (12 m) dik kenarlardır; güneş ışını hipotenüstür ve yerle 45° yapar.
2. Direk açının karşısında, gölge komşusundadır: $\tan 45° = \frac{h}{12}$.
3. $\tan 45° = 1$ olduğundan $\frac{h}{12} = 1$, yani $h = 12$ m.
4. Denetleyelim: 45°-45°-90° üçgeni ikizkenardır; iki dik kenar eşit olmalı, 12 = 12 ✓.

20. Tabloda bazı trigonometrik fonksiyonların esas periyotları verilmiştir. Soru işareti yerine aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?

• A) π/2
• B) 2π
• C) 4π
• D) π
• E) 3π

Doğru cevap: D — Tanjantın esas periyodu π’dir; x yerine x + π yazılınca sinüs ve kosinüs birlikte işaret değiştirir, oranları aynı kalır.

1. tan x = sin x / cos x olarak tanımlıdır.
2. Birim çemberde x + π, çemberin tam karşı noktasıdır: $\sin(x+\pi) = -\sin x$ ve $\cos(x+\pi) = -\cos x$.
3. Oran: $\tan(x+\pi) = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$. Değerler her π’de tekrar eder; π’den küçük pozitif bir aralıkta tekrar olmaz (tan, 0 ile π/2 arasında sürekli artar).
4. Denetleyelim: $\tan 45° = 1$ ve $\tan 225° = \tan(45° + 180°) = 1$ ✓.