Trigonometrik Denklemler

1. Kartta bir trigonometrik denklem ve çözüm aralığı verilmiştir. Denklemin bu aralıktaki çözümleri hangileridir?

sin x = 1/2, 0° ≤ x < 360°

• A) 30° ve 150°
• B) 30° ve 330°
• C) 60° ve 120°
• D) 150° ve 210°
• E) Yalnız 30°

Doğru cevap: A — sin 30° = 1/2 ve sinüs II. bölgede de pozitiftir: 180° − 30° = 150°. Çözümler 30° ve 150°.

1. Ne soruluyor: sinüsü 1/2 olan açılar (0° ile 360° arası).
2. Dar açı: sin 30° = 1/2.
3. Sinüs I. ve II. bölgede pozitiftir; II. bölgedeki açı 180° − 30° = 150°.
4. Denetleme: sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2 ✓.
5. Sık yapılan hata: 30° ve 330° demek. 330° IV. bölgededir; orada sinüs negatiftir, sin 330° = −1/2.

2. cos x = 0 denkleminin 0° ≤ x < 360° aralığındaki çözümleri araştırılıyor. Birim çemberde apsisi 0 olan noktalara karşılık gelen bu açılar nelerdir?

• A) 0° ve 180°
• B) 180° ve 360°
• C) 90° ve 270°
• D) Yalnız 90°
• E) 45° ve 135°

Doğru cevap: C — Kosinüs birim çemberdeki noktanın apsisidir; apsis 0 olan noktalar (0, 1) ve (0, −1): 90° ve 270°.

1. Ne soruluyor: kosinüsü sıfır olan açılar.
2. Birim çemberde cos x, noktanın x koordinatıdır.
3. x koordinatı 0 olan noktalar y ekseni üzerindedir: 90° ve 270°.
4. Denetleme: cos 90° = 0 ve cos 270° = 0 ✓.
5. Sık yapılan hata: 0° ve 180° demek. Bu açılarda SİNÜS sıfırdır; kosinüs ise 1 ve −1 olur.

3. Karttaki denklemin 0° ≤ x < 360° aralığında iki kökü vardır. Bu kökler hangi seçenekte birlikte verilmiştir?

tan x = √3

• A) 60° ve 120°
• B) 30° ve 210°
• C) 60° ve 300°
• D) Yalnız 60°
• E) 60° ve 240°

Doğru cevap: E — tan 60° = √3 ve tanjantın periyodu 180° olduğundan diğer kök 60° + 180° = 240°.

1. Ne soruluyor: tanjantı √3 olan açılar.
2. Dar açı: tan 60° = √3.
3. Tanjant I. ve III. bölgede pozitiftir ve periyodu 180°'dir: 60° + 180° = 240°.
4. Denetleme: tan 240° = sin 240°/cos 240° = (−√3/2)/(−1/2) = √3 ✓.
5. Sık yapılan hata: 60° ve 120° demek. 120° II. bölgededir; orada tanjant negatiftir (tan 120° = −√3).

4. cos x = −√2/2 denklemi 0° ≤ x < 360° aralığında çözülecektir. Kosinüsün negatif olduğu bölgeler düşünüldüğünde çözüm kümesi hangisidir?

• A) {45°, 315°}
• B) {135°, 225°}
• C) {135°, 315°}
• D) {45°, 225°}
• E) {225°, 315°}

Doğru cevap: B — cos 45° = √2/2; kosinüs II. ve III. bölgede negatiftir: 180° − 45° = 135° ve 180° + 45° = 225°.

1. Ne soruluyor: kosinüsü −√2/2 olan açılar.
2. Referans açı: cos 45° = √2/2.
3. Kosinüs II. ve III. bölgede negatif: 135° ve 225°.
4. Denetleme: cos 135° = −cos 45° ✓ ve cos 225° = −cos 45° ✓.
5. Sık yapılan hata: {45°, 315°} demek. Bu açılarda kosinüs +√2/2'dir; işaret gözden kaçırılmıştır.

5. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının görüntü kümesi [−1, 1] aralığıdır. Buna göre aşağıdaki denklemlerden hangisinin gerçek sayılarda çözümü yoktur?

• A) sin x = −1
• B) cos x = 1/3
• C) tan x = 5
• D) cos x = 3/2
• E) sin x = 0

Doğru cevap: D — 3/2 = 1,5 > 1 olduğundan kosinüs bu değeri hiçbir açıda alamaz; cos x = 3/2 çözümsüzdür.

1. Ne soruluyor: sağ tarafı görüntü kümesinin dışında kalan denklem.
2. sin x ve cos x yalnız −1 ile 1 arasındaki değerleri alır.
3. 3/2 = 1,5 bu aralığın dışında; cos x = 3/2 çözümsüz.
4. Denetleme: tan x'in görüntü kümesi bütün gerçek sayılardır, tan x = 5 çözümlüdür ✓.
5. Sık yapılan hata: tan x = 5 demek. [−1, 1] sınırı yalnız sinüs ve kosinüs içindir; tanjant her değeri alır.

6. sin x = 0 denkleminin bütün çözümleri tek bir ifadeyle yazılmak isteniyor (k ∈ ℤ). Bu genel çözüm aşağıdakilerden hangisidir?

• A) x = 90° + k × 360°
• B) x = k × 360°
• C) x = 90° + k × 180°
• D) x = k × 180°
• E) x = 180° + k × 360°

Doğru cevap: D — Sinüs 0°, 180°, 360°, … açılarında sıfırdır; bunlar 180°'nin katlarıdır: x = k × 180°.

1. Ne soruluyor: sinüsü sıfır yapan bütün açılar.
2. Birim çemberde y koordinatı 0 olan noktalar (1, 0) ve (−1, 0); açılar 0° ve 180°.
3. Bu iki açı 180° arayla tekrar eder: x = k × 180°, k ∈ ℤ.
4. Denetleme: k = 2 için 360° ✓, k = −1 için −180° ✓; ikisinde de sinüs 0.
5. Sık yapılan hata: x = k × 360° demek. Bu yalnız 0°, 360°, … açılarını verir; 180° gibi çözümleri kaçırır.

7. Karttaki denklem 0° ≤ x < 360° aralığında çözülecektir. İçerideki açının iki kat olduğu dikkate alındığında çözümler nelerdir?

sin 2x = 1

• A) Yalnız 45°
• B) 45° ve 225°
• C) 90° ve 270°
• D) 45° ve 135°
• E) 45°, 135°, 225° ve 315°

Doğru cevap: B — 2x = 90° + k × 360° → x = 45° + k × 180°; aralıkta 45° ve 225°.

1. Ne soruluyor: iki kat açılı sinüs denkleminin çözümleri.
2. sin u = 1 ise u = 90° + k × 360°. Burada u = 2x.
3. 2x = 90° + k × 360° → x = 45° + k × 180°; k = 0 için 45°, k = 1 için 225°.
4. Denetleme: sin 90° = 1 ✓ ve sin 450° = sin 90° = 1 ✓.
5. Sık yapılan hata: "Yalnız 45°" demek. x aralığı 0°–360° iken 2x aralığı 0°–720° olur; ikinci tur unutulmuştur.

8. Şekilde birim çember ile y = 1/2 doğrusunun kesiştiği P ve Q noktaları gösterilmiştir. Bu noktalara karşılık gelen ve 0° ile 360° arasında kalan açıların toplamı kaç derecedir?

• A) 180°
• B) 360°
• C) 60°
• D) 120°
• E) 240°

Doğru cevap: A — y = 1/2 doğrusu sin x = 1/2 demektir; P 30°, Q 150° açısına karşılık gelir, toplam 180°.

1. Ne soruluyor: birim çemberde ordinatı 1/2 olan noktaların açıları.
2. Ordinat sinüstür: sin x = 1/2.
3. P (I. bölge) 30°, Q (II. bölge) 180° − 30° = 150°. Toplam 30° + 150° = 180°.
4. Denetleme: P ve Q y eksenine göre simetrik; simetrik açılar x ve 180° − x olduğundan toplam her zaman 180° ✓.
5. Sık yapılan hata: 360° demek. x eksenine göre simetrik noktaların (x ve 360° − x) toplamı 360°'dir; burada simetri y eksenine göre.

9. Karttaki denklemin 0° ≤ x < 360° aralığındaki kökleri bulunacaktır. Bu köklerin toplamı kaç derecedir?

2cos x − 1 = 0

• A) 120°
• B) 60°
• C) 300°
• D) 420°
• E) 360°

Doğru cevap: E — cos x = 1/2 → x = 60° ya da x = 300°; toplam 360°.

1. Ne soruluyor: kosinüs denkleminin köklerinin toplamı.
2. 2cos x = 1 → cos x = 1/2.
3. cos 60° = 1/2; kosinüs IV. bölgede de pozitif: 360° − 60° = 300°. Toplam 360°.
4. Denetleme: cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 1/2 ✓.
5. Sık yapılan hata: 120° demek. İkinci kök 180° − 60° alınmıştır; bu kural sinüs içindir, kosinüste 360° − 60° kullanılır.

10. Karttaki denklem sin x ortak çarpan parantezine alınarak çözülebilir. Denklemin 0° ≤ x < 360° aralığında kaç çözümü vardır?

2sin²x − sin x = 0

• A) 2
• B) 6
• C) 4
• D) 1
• E) 8

Doğru cevap: C — sin x (2sin x − 1) = 0 → sin x = 0 (0°, 180°) ya da sin x = 1/2 (30°, 150°); toplam 4 çözüm.

1. Ne soruluyor: çarpanlarına ayrılan denklemin çözüm sayısı.
2. sin x ortak çarpan: sin x × (2sin x − 1) = 0.
3. sin x = 0 → 0° ve 180°; 2sin x − 1 = 0 → sin x = 1/2 → 30° ve 150°. Toplam 4 çözüm.
4. Denetleme: x = 30° için 2 × 1/4 − 1/2 = 0 ✓; x = 180° için 0 − 0 = 0 ✓.
5. Sık yapılan hata: 2 demek. İki tarafı sin x'e bölmek sin x = 0 çözümlerini kaybettirir; ortak çarpan parantezine alınmalıdır.

11. Bir dönme dolaptaki kabinin yerden yüksekliği, dönme açısı t olmak üzere h(t) = 20 − 15cos t metredir. Kabinin yüksekliği 20 m olduğunda 0° < t < 360° aralığında t hangi değerleri alır?

• A) 0° ve 180°
• B) Yalnız 180°
• C) 60° ve 300°
• D) 45° ve 315°
• E) 90° ve 270°

Doğru cevap: E — 20 − 15cos t = 20 → cos t = 0 → t = 90° ya da t = 270°.

1. Ne soruluyor: yüksekliği 20 m yapan dönme açıları.
2. 20 − 15cos t = 20 ise −15cos t = 0, yani cos t = 0.
3. 0° < t < 360° aralığında cos t = 0 → t = 90° ve t = 270°.
4. Denetleme: h(90°) = 20 − 15 × 0 = 20 ✓; bu, dolabın merkez yüksekliğidir.
5. Sık yapılan hata: "Yalnız 180°" demek. t = 180° için cos t = −1 ve h = 35 m olur; bu en yüksek konumdur.

12. Tabloda sinüsün bölgelere göre işareti verilmiştir. Bu bilgiye göre sin x = −1/2 denkleminin 0° ile 360° arasındaki çözümleri hangi seçenekte verilmiştir?

• A) 210° ve 330°
• B) 150° ve 210°
• C) 30° ve 330°
• D) 240° ve 300°
• E) 210° ve 240°

Doğru cevap: A — Referans açı 30°; sinüs III. ve IV. bölgede negatif: 180° + 30° = 210° ve 360° − 30° = 330°.

1. Ne soruluyor: sinüsü −1/2 olan açılar.
2. sin 30° = 1/2 olduğundan referans açı 30°.
3. Tabloya göre sinüs III. ve IV. bölgede negatif: 210° ve 330°.
4. Denetleme: sin 210° = −sin 30° = −1/2 ✓ ve sin 330° = −sin 30° = −1/2 ✓.
5. Sık yapılan hata: 240° ve 300° demek. Bu açıların referans açısı 60°'dir; sinüsleri −√3/2 olur.

13. Kutuda bir öğrencinin genel çözüm için yazdığı açıklama verilmiştir. Bu çözümle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Hata yoktur; bütün çözümler bu ifadededir.
• B) Doğrusu x = 60° + k × 180° olmalıdır.
• C) Doğrusu x = 30° + k × 360° olmalıdır.
• D) Çözümlerin bir kısmı eksiktir; x = −60° + k × 360° de eklenmelidir.
• E) Denklemin çözümü yoktur.

Doğru cevap: D — Kosinüs çift fonksiyondur: cos(−60°) = cos 60°. Genel çözüm x = ±60° + k × 360° olmalıdır.

1. Ne soruluyor: genel çözümdeki eksik.
2. cos x = cos α denkleminin genel çözümü x = α + k × 360° ya da x = −α + k × 360°.
3. Öğrenci yalnız ilk aileyi yazmıştır; −60° + 360° = 300° gibi çözümler dışarıda kalmıştır.
4. Denetleme: cos 300° = 1/2 ✓ ama 300° öğrencinin ifadesinde yok (60° + k × 360° hiçbir k için 300° vermez).
5. Sık yapılan hata: 60° + k × 180° demek. Bu ifade 240° açısını da verir; cos 240° = −1/2 olduğundan yanlış çözüm ekler.

14. tan x = −1 denklemi 0° ≤ x < 360° aralığında çözülüyor. Tanjantın negatif olduğu bölgelerdeki bu çözümler hangi açılardır?

• A) 45° ve 225°
• B) 135° ve 225°
• C) 135° ve 315°
• D) Yalnız 135°
• E) 225° ve 315°

Doğru cevap: C — tan 45° = 1; tanjant II. ve IV. bölgede negatif: 180° − 45° = 135° ve 360° − 45° = 315°.

1. Ne soruluyor: tanjantı −1 olan açılar.
2. Referans açı 45° (tan 45° = 1).
3. Tanjant II. ve IV. bölgede negatif: 135° ve 315°. İki kök 180° arayla tekrar eder.
4. Denetleme: tan 135° = sin 135°/cos 135° = (√2/2)/(−√2/2) = −1 ✓.
5. Sık yapılan hata: 45° ve 225° demek. Bu açılar tan x = 1 denkleminin çözümleridir.

15. Kartta çözüm aralığı radyan cinsinden verilmiştir. Denklemin bu aralıktaki çözümleri radyan olarak hangileridir?

sin x = √3/2, 0 ≤ x < 2π

• A) π/6 ve 5π/6
• B) π/3 ve 2π/3
• C) π/3 ve 5π/3
• D) π/6 ve 11π/6
• E) 2π/3 ve 4π/3

Doğru cevap: B — sin 60° = √3/2; 60° = π/3 ve II. bölgedeki açı π − π/3 = 2π/3.

1. Ne soruluyor: sinüsü √3/2 olan açılar, radyan cinsinden.
2. sin 60° = √3/2 ve 60° = π/3 radyan.
3. Sinüs II. bölgede de pozitif: π − π/3 = 2π/3.
4. Denetleme: 2π/3 = 120° ve sin 120° = sin 60° = √3/2 ✓.
5. Sık yapılan hata: π/6 ve 5π/6 demek. Bu açılarda sinüs 1/2'dir; √3/2 değeri 60° açısına aittir.

16. Bir limanda suyun derinliği t saat sonra d(t) = 6 + 2sin(30t)° metre olarak modellenmiştir (0 ≤ t < 12). Derinliğin 7 metre olduğu anlar t'nin hangi değerleridir?

• A) 1 ve 7
• B) 3 ve 9
• C) 1 ve 5
• D) 2 ve 10
• E) Yalnız 1

Doğru cevap: C — 6 + 2sin(30t)° = 7 → sin(30t)° = 1/2 → 30t = 30° ya da 150° → t = 1 ya da t = 5.

1. Ne soruluyor: modelde derinliği 7 m yapan zamanlar.
2. 2sin(30t)° = 1 → sin(30t)° = 1/2.
3. 0 ≤ t < 12 iken 0° ≤ 30t < 360°; sin u = 1/2 → u = 30° ya da 150°. Buradan t = 1 ve t = 5.
4. Denetleme: d(5) = 6 + 2 sin 150° = 6 + 2 × 1/2 = 7 ✓.
5. Sık yapılan hata: 1 ve 7 demek. t = 7 için 30t = 210° ve sin 210° = −1/2 olur; derinlik 5 m çıkar.

17. cos²x = 1 denklemi 0° ≤ x < 360° aralığında çözülecektir. Kosinüsün alabileceği iki değer düşünüldüğünde denklemin çözümleri hangi açılardır?

• A) Yalnız 0°
• B) 90° ve 270°
• C) 0°, 90° ve 180°
• D) 0° ve 180°
• E) Yalnız 180°

Doğru cevap: D — cos²x = 1 → cos x = 1 ya da cos x = −1 → x = 0° ya da x = 180°.

1. Ne soruluyor: karesi 1 olan kosinüs değerlerine karşılık gelen açılar.
2. cos²x = 1 ise cos x = 1 ya da cos x = −1.
3. cos x = 1 → 0°; cos x = −1 → 180°.
4. Denetleme: cos²0° = 1² = 1 ✓ ve cos²180° = (−1)² = 1 ✓.
5. Sık yapılan hata: "Yalnız 0°" demek. Karekök alınırken negatif değer (cos x = −1) unutulmuştur.

18. sin x = a denkleminin 0° ≤ x < 360° aralığında yalnızca bir çözümü vardır. Buna göre a için olası bütün değerler hangi seçenekte verilmiştir?

• A) a = 0
• B) a = 1 ya da a = −1
• C) a = 1/2
• D) a = 2
• E) a = −1/2

Doğru cevap: B — Yatay doğru birim çembere yalnız en üst (0, 1) ve en alt (0, −1) noktada teğettir: a = 1 (x = 90°) ya da a = −1 (x = 270°).

1. Ne soruluyor: y = a doğrusunun birim çemberi tek noktada kestiği durum (ters soru).
2. −1 < a < 1 için doğru çemberi iki noktada keser; iki çözüm olur.
3. Yalnız a = 1 ya da a = −1 iken tek ortak nokta vardır (90° ya da 270°). |a| > 1 ise hiç çözüm yoktur.
4. Denetleme: a = 0 için 0° ve 180° olmak üzere iki çözüm vardır ✓; bu yüzden 0 uygun değildir.
5. Sık yapılan hata: a = 0 demek. sin x = 0 denkleminin aralıkta iki çözümü vardır (0° ve 180°).

19. Tabloda sin x fonksiyonunun bazı açılardaki değerleri verilmiştir. sin x = −1 denkleminin 0° ≤ x < 360° aralığındaki tek çözümü hangisidir?

• A) 270°
• B) 90°
• C) 180°
• D) 360°
• E) −90°

Doğru cevap: A — Tabloda sinüsün −1 olduğu açı 270°'dir; birim çemberin en alt noktası (0, −1).

1. Ne soruluyor: sinüsün en küçük değerini aldığı açı.
2. Tabloda sin x = −1 yalnız x = 270° sütununda görülür.
3. Birim çemberde bu nokta (0, −1)'dir; ordinat −1.
4. Denetleme: −90° da sinüsü −1 yapar ama 0° ≤ x < 360° aralığında değildir; aralıktaki karşılığı −90° + 360° = 270° ✓.
5. Sık yapılan hata: 90° demek. 90°'de sinüs +1 olur; işaret karıştırılmıştır.

20. cos 2x = 0 denklemi 0° ≤ x < 180° aralığında çözülecektir. Bu aralıkta denklemi sağlayan açılar hangi seçenekte eksiksiz verilmiştir?

• A) Yalnız 45°
• B) 90° ve 270°
• C) 45° ve 225°
• D) 45°, 90° ve 135°
• E) 45° ve 135°

Doğru cevap: E — 0° ≤ x < 180° iken 0° ≤ 2x < 360°; cos 2x = 0 → 2x = 90° ya da 270° → x = 45° ya da 135°.

1. Ne soruluyor: iki kat açılı kosinüs denkleminin verilen aralıktaki çözümleri.
2. Aralık 2 ile çarpılır: 0° ≤ 2x < 360°.
3. cos u = 0 → u = 90° ya da 270°; x = u/2 → 45° ve 135°.
4. Denetleme: cos 90° = 0 ✓ ve cos 270° = 0 ✓.
5. Sık yapılan hata: 90° ve 270° demek. Bunlar 2x'in değerleridir; x'i bulmak için 2'ye bölmek gerekir.