Değişimin Matematiği (3)

1. Yukarıda bir fonksiyonun türevi verilmiştir. Fonksiyonun artan olduğu aralık sorulmaktadır. Buna göre doğru aralık hangisidir?

f'(x) = 2x − 8

• A) x > 4
• B) x < 4
• C) x > 8
• D) x < 0
• E) Bütün gerçek sayılar

Doğru cevap: A — Türev pozitifken fonksiyon artandır: 2x − 8 > 0 → x > 4.

1. Türev sıfıra eşitlenir: 2x − 8 = 0 → x = 4.
2. x > 4 için türev pozitiftir.
3. Fonksiyon bu aralıkta artandır.

2. Yukarıda bir fonksiyonun türevi verilmiştir. Fonksiyonun azalan olduğu aralık sorulmaktadır. Buna göre doğru aralık hangisidir?

f'(x) = 6 − 3x

• A) x < 2
• B) x > 2
• C) x > 6
• D) x < 0
• E) Hiçbir aralıkta

Doğru cevap: B — Türev negatifken fonksiyon azalandır: 6 − 3x < 0 → x > 2.

1. Türev sıfıra eşitlenir: 6 − 3x = 0 → x = 2.
2. x > 2 için türev negatiftir.
3. Fonksiyon bu aralıkta azalandır.

3. Yukarıda bir türev verilmiştir. Fonksiyonun kritik noktalarının apsisleri sorulmaktadır. Buna göre bu değerler hangileridir?

f'(x) = x² − 9

• A) 3 ve 9
• B) 0 ve 9
• C) −3 ve 3
• D) −9 ve 9
• E) Yalnızca 3

Doğru cevap: C — Türevin sıfırlandığı apsisler kritik noktadır; $x^2-9=0$ denklemi $x=-3$ ve $x=3$ köklerini verir.

1. Kritik nokta tanımını yazalım: türevin sıfır olduğu ya da tanımsız kaldığı apsisler. $f'(x)=x^2-9$ bir polinomdur, her yerde tanımlıdır; öyleyse yalnız sıfırlarını arayacağız.
2. Denklemi kuralım: $x^2-9=0$, yani $x^2=9$. Karekök alınırken iki işaret de korunur: $x=-3$ ya da $x=3$.
3. Çarpanlara ayırma da aynı sonucu verir: $x^2-9=(x-3)(x+3)=0$ olduğundan kökler $3$ ve $-3$ tür.
4. Denetleyelim: $f'(-3)=9-9=0$ ve $f'(3)=9-9=0$ ✓ — iki apsis de türevi gerçekten sıfırlıyor.

4. Tabloda bir fonksiyonun türev işaretleri verilmiştir. x = 2 noktasındaki durum sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Süreksizlik noktasıdır.
• B) Yerel minimum noktasıdır.
• C) Büküm noktasıdır.
• D) Yerel maksimum noktasıdır.
• E) Hiçbir özelliği yoktur.

Doğru cevap: D — Türev $x=2$ nin solunda pozitif, sağında negatif olduğundan fonksiyon orada tepe yapar: $x=2$ yerel maksimum noktasıdır.

1. Tablonun sol satırını okuyalım: $x<2$ için $f'(x)>0$. Türevin pozitif olması fonksiyonun o aralıkta arttığını söyler.
2. Sağ satır: $x>2$ için $f'(x)<0$. Fonksiyon $x=2$ den sonra azalmaya başlıyor.
3. Artıştan azalışa geçilen yer bir tepedir; birinci türev testine göre türev artıdan eksiye dönüyorsa o nokta yerel maksimumdur.
4. Denetleyelim: $x=2$ nin hem solundaki hem sağındaki değerler $f(2)$ den küçük kalır ✓ — tepe noktası ölçütü sağlanıyor.

5. Tabloda bir fonksiyonun türev işaretleri verilmiştir. x = −1 noktasındaki durum sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yargı hangisidir?

• A) Süreksizdir.
• B) Yerel maksimum noktasıdır.
• C) Asimptottur.
• D) Kök noktasıdır.
• E) Yerel minimum noktasıdır.

Doğru cevap: E — Türev $x=-1$ in solunda negatif, sağında pozitif olduğundan fonksiyon orada çukur yapar: $x=-1$ yerel minimum noktasıdır.

1. Sol satır: $x<-1$ için $f'(x)<0$, yani fonksiyon bu aralıkta azalıyor.
2. Sağ satır: $x>-1$ için $f'(x)>0$, fonksiyon artmaya geçiyor.
3. Azalıştan artışa dönülen yer en alçak noktadır; birinci türev testinde türevin eksiden artıya geçmesi yerel minimumu gösterir.
4. Denetleyelim: $x=-1$ in iki yanındaki değerler $f(-1)$ den büyüktür ✓ — çukur noktası ölçütü sağlanıyor.

6. Tabloda kapalı bir aralıktaki uç ve kritik nokta değerleri verilmiştir. Bu aralıktaki mutlak maksimum değer sorulmaktadır. Tabloya göre bu değer kaçtır?

• A) 9
• B) 5
• C) 1
• D) 4
• E) 2

Doğru cevap: A — Kapalı aralıkta mutlak maksimum, kritik nokta ile uç nokta değerlerinin en büyüğüdür: $9$.

1. Kapalı bir aralıkta mutlak ekstremum yalnız iki yerde olabilir: kritik noktalarda ya da aralığın uçlarında. Tablo üç adayı da vermiş.
2. Adayların değerlerini sıralayalım: uçta $f(0)=5$, kritik noktada $f(2)=9$, öteki uçta $f(4)=1$.
3. En büyüğünü seçelim: $9>5>1$ olduğundan mutlak maksimum değer $9$, bu değerin alındığı yer ise $x=2$ dir.
4. Denetleyelim: aynı listenin en küçüğü $1$ ✓ — o da mutlak minimum değeri verir, yani yöntem tutarlı çalışıyor.

7. Yukarıda bir fonksiyon, türevi ve bir nokta verilmiştir. Bu noktadaki teğetin eğimi sorulmaktadır. Buna göre eğim kaçtır?

f(x) = x² + 1, f'(x) = 2x, x = 1

• A) 1
• B) 2
• C) 3
• D) 0
• E) 4

Doğru cevap: B — Bir noktadaki teğetin eğimi o noktadaki türev değeridir: $f'(1)=2\cdot 1=2$.

1. Türevin geometrik anlamını yazalım: $f'(a)$ sayısı, eğrinin $x=a$ noktasındaki teğetinin eğimidir.
2. Verilen türev fonksiyonu $f'(x)=2x$ ve istenen nokta $x=1$; değeri yerine koyalım.
3. $f'(1)=2\cdot 1=2$ bulunur, yani teğetin eğimi $2$ dir.
4. Denetleyelim: $f(x)=x^2+1$ eğrisi $x=1$ dolayında artmaktadır ✓ — eğimin pozitif çıkması bu davranışla uyuşuyor.

8. Yukarıda bir teğetin değme noktası ve eğimi verilmiştir. Teğet doğrusunun denklemi sorulmaktadır. Buna göre denklem hangisidir?

Değme noktası (1, 2), teğet eğimi 2

• A) y = 2x − 2
• B) y = 2x + 2
• C) y = 2x
• D) y = x + 1
• E) y = 2x + 1

Doğru cevap: C — Nokta-eğim bağıntısı $y-2=2(x-1)$ düzenlenince teğetin denklemi $y=2x$ olur.

1. Teğet bir doğrudur; değme noktası $(1,2)$ ve eğimi $2$ bilindiğine göre nokta-eğim biçimini yazalım: $y-y_0=m(x-x_0)$.
2. Değerleri yerleştirip sağ tarafı dağıtalım: $y-2=2(x-1)$, yani $y-2=2x-2$.
3. İki yana $2$ ekleyelim: $y=2x-2+2=2x$.
4. Denetleyelim: $x=1$ için $y=2\cdot 1=2$ ✓ — doğru gerçekten $(1,2)$ noktasından geçiyor ve eğimi $2$.

9. Yukarıda bir en büyük değer problemi verilmiştir. Alanın en büyük olduğu durumda kenar uzunlukları sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) 12 m ve 8 m
• B) 15 m ve 5 m
• C) 18 m ve 2 m
• D) 10 m ve 10 m
• E) 20 m ve 0 m

Doğru cevap: D — Çevresi $40$ m olan dikdörtgende alan, kenarlar eşitken en büyüktür: $10$ m ve $10$ m.

1. Kenarlara $x$ ve $y$ diyelim. Çevre $2(x+y)=40$ olduğundan $x+y=20$, yani $y=20-x$.
2. Alanı tek değişkenle yazalım: $A(x)=x(20-x)=20x-x^2$.
3. Türevi sıfırlayalım: $A'(x)=20-2x=0$ denkleminden $x=10$ çıkar; buna karşılık $y=20-10=10$ ve $A=100$ m² olur.
4. Denetleyelim: $A''(x)=-2<0$ olduğundan bulunan nokta gerçekten maksimum ✓. Ayrıca $12\cdot 8=96<100$ — eşit kenarlar daha büyük alan veriyor.

10. Tabloda türev ilişkileri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) Kütle
• B) Konum x(t)
• C) Yol
• D) Zaman
• E) İvme a(t)

Doğru cevap: E — Hızın zamana göre türevi ivmedir; tablodaki boşluk $a(t)$ ile tamamlanır.

1. Tablonun kurgusu şu: solda bir büyüklük, sağda onun zamana göre türevi.
2. Dolu satır: konum $x(t)$ → hız $v(t)$. Demek ki türev, bir büyüklüğün zamanla ne kadar hızlı değiştiğini veriyor.
3. İkinci satırda soldaki büyüklük hızdır. Hızın zamanla değişim hızına ivme denir: $a(t)=v'(t)=x''(t)$.
4. Denetleyelim: ivme konumun ikinci türevidir ✓ — zincir tutarlı işliyor, konum → hız → ivme.

11. Yukarıda bir türev verilmiştir. Fonksiyonun monotonluk durumu sorulmaktadır. Buna göre doğru yargı hangisidir?

f'(x) = 3x² + 5

• A) Türev her zaman pozitif olduğu için fonksiyon her yerde artandır.
• B) Fonksiyon her yerde azalandır.
• C) Fonksiyon sabittir.
• D) Fonksiyonun iki kritik noktası vardır.
• E) Fonksiyon süreksizdir.

Doğru cevap: A — $3x^2\ge 0$ olduğundan $f'(x)=3x^2+5\ge 5>0$ olur; türev hiç negatif olmadığı için fonksiyon her yerde artandır.

1. Önce $3x^2$ teriminin işaretine bakalım: bir gerçek sayının karesi negatif olamaz, öyleyse $x^2\ge 0$ ve $3x^2\ge 0$ dır.
2. Üzerine $5$ ekleyelim: $f'(x)=3x^2+5\ge 5$. Türevin alabileceği en küçük değer $5$ tir ve o da pozitiftir.
3. Türev bütün gerçek sayılarda pozitif olduğundan fonksiyon hiçbir aralıkta azalmaz; tanım kümesinin tamamında artandır.
4. Denetleyelim: $3x^2+5=0$ denkleminin gerçek kökü yoktur ✓ — kritik nokta bulunmadığı için yön hiç değişmiyor.

12. Tabloda x = 0 çevresindeki türev işaretleri verilmiştir. Bu noktada ekstremum bulunup bulunmadığı sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yargı hangisidir?

• A) Yerel maksimum vardır.
• B) İşaret değişmediği için ekstremum yoktur.
• C) Yerel minimum vardır.
• D) Mutlak maksimum vardır.
• E) Fonksiyon tanımsızdır.

Doğru cevap: B — Türev $x=0$ ın iki yanında da pozitiftir; işaret değişmediği için orada ekstremum oluşmaz.

1. Birinci türev testinin ölçütünü yazalım: bir noktada yerel ekstremum bulunması için türevin orada İŞARET DEĞİŞTİRMESİ gerekir.
2. Tabloyu okuyalım: $x<0$ için türev pozitif, $x>0$ için de pozitif. İki yanda da aynı işaret var.
3. Fonksiyon $x=0$ ın solunda da sağında da arttığına göre orada ne tepe ne çukur vardır; ekstremum yoktur.
4. Denetleyelim: $f(x)=x^3$ tam bu durumdadır — $f'(x)=3x^2$ sıfırda sıfırlanır ama işaret değiştirmez ✓, nokta yalnızca bir dönüm noktasıdır.

13. Yukarıda bir fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun en küçük değeri sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

f(x) = x² − 6x + 11

• A) 11
• B) 3
• C) 2
• D) 0
• E) 6

Doğru cevap: C — Türev $2x-6=0$ dan $x=3$ bulunur ve $f(3)=2$ olur; fonksiyonun en küçük değeri $2$ dir.

1. Türevi alıp sıfıra eşitleyelim: $f'(x)=2x-6$ ve $2x-6=0$ denkleminden $x=3$ çıkar.
2. Bu apsisteki fonksiyon değerini hesaplayalım: $f(3)=3^2-6\cdot 3+11=9-18+11=2$.
3. Baş katsayı pozitif olduğundan parabol yukarı doğru açılır; öyleyse $x=3$ tepe noktası ve $2$ en küçük değerdir.
4. Denetleyelim: kareye tamamlayalım — $x^2-6x+11=(x-3)^2+2$ ✓. $(x-3)^2\ge 0$ olduğundan ifade $2$ nin altına inemez.

14. Yukarıdaki bulgunun anlamı sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Maliyet hesaplanamaz.
• B) Maliyet sıfırdır.
• C) Üretim durmuştur.
• D) O üretim miktarı maliyet için kritik noktadır; en küçük ya da en büyük olabilir.
• E) Türev yanlıştır.

Doğru cevap: D — Maliyet türevinin sıfırlanması o üretim miktarının kritik nokta olduğunu gösterir; en küçük mü en büyük mü olduğu ayrıca incelenir.

1. Türevin sıfır olması ne demektir? O noktada maliyet eğrisinin teğeti yataydır; üretim çok az değiştiğinde maliyet birinci mertebeden değişmez.
2. Yatay teğet tek başına türü söylemez: nokta yerel minimum da olabilir, yerel maksimum da, yalnızca bir dönüm noktası da.
3. Türü belirlemek için türevin o noktanın iki yanındaki işaretine ya da ikinci türevin işaretine bakmak gerekir. Bu yüzden bulgunun anlamı şu kadardır: burası bir kritik noktadır.
4. Denetleyelim: maliyet problemlerinde aranan genelde en küçük maliyettir ✓ — ama bunu doğrulayan şey türevin sıfır olması değil, işaretin eksiden artıya dönmesidir.

15. Grafikte bir fonksiyonun değerleri gösterilmiştir. Türevin sıfır olduğu nokta sorulmaktadır. Grafiğe göre bu nokta hangisidir?

• A) x = 3
• B) x = 0
• C) x = 4
• D) x = 1
• E) x = 2

Doğru cevap: E — Grafik $x=2$ ye kadar yükselip sonra alçalıyor; tepe noktasında teğet yatay olduğundan türev orada sıfırdır.

1. Grafikten değerleri okuyalım: $x=0$ da $1$, $x=1$ de $4$, $x=2$ de $5$, $x=3$ te $4$, $x=4$ te $1$.
2. Değerler $x=2$ ye kadar artıyor ($1\to 4\to 5$); bu aralıkta türev pozitiftir.
3. $x=2$ den sonra azalıyor ($5\to 4\to 1$); bu aralıkta türev negatiftir. Pozitiften negatife geçiş tam tepe noktasında, yani $x=2$ de olur ve orada teğet yataydır.
4. Denetleyelim: grafiğin en yüksek noktası $x=2$ ve değeri $5$ ✓ — tepe ile türevin sıfırlandığı yer çakışıyor.

16. Tabloda bir fonksiyonun türev işaretleri verilmiştir. Fonksiyonun yerel maksimum noktası sorulmaktadır. Tabloya göre bu nokta hangisidir?

• A) x = −2
• B) x = 1
• C) x = 0
• D) x = 2
• E) Yoktur

Doğru cevap: A — Türev x = −2'de artıdan eksiye geçtiği için orası yerel maksimumdur.

1. x = −2'de işaret + 'dan − 'ye geçiyor.
2. Bu, tepe noktasıdır.
3. x = 1'de ise − 'den + 'ya geçtiği için minimumdur.

17. Tabloda kapalı aralıkta mutlak ekstremum bulma adımları verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğa gelmesi gereken adım hangisidir?

• A) Türev yeniden alınır
• B) Kritik noktalar ve aralık uçlarındaki değerler karşılaştırılır
• C) Fonksiyon çizilir
• D) Aralık genişletilir
• E) İşlem sonlandırılır

Doğru cevap: B — Kapalı aralıkta mutlak ekstremum için ikinci adım, kritik noktalar ile aralık uçlarındaki değerlerin karşılaştırılmasıdır.

1. Yöntemin dayandığı teoremi anımsayalım: kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli bir fonksiyon en büyük ve en küçük değerini mutlaka alır.
2. Bu değerlerin alınabileceği yerler yalnız ikidir: türevin sıfırlandığı ya da tanımsız kaldığı kritik noktalar ve aralığın iki ucu. Birinci adım kritik noktaları zaten bulmuştur.
3. Öyleyse ikinci adım, bütün adaylarda fonksiyon değerini hesaplayıp karşılaştırmaktır; en büyüğü mutlak maksimum, en küçüğü mutlak minimumdur.
4. Denetleyelim: uçlar listeye alınmasaydı en büyük değer kaçırılabilirdi ✓ — uç noktada türevin sıfır olması gerekmez.

18. Tabloda ikinci türev ile eğrilik eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Eksik bırakılan bölüm hangi seçenektedir?

• A) Doğrusal
• B) Yukarı doğru içbükey
• C) Aşağı doğru içbükey
• D) Süreksiz
• E) Tanımsız

Doğru cevap: C — İkinci türev negatifken eğri aşağı doğru içbükeydir; tablodaki boşluk bu ifadeyle dolar.

1. Tablonun kurgusu şu: solda ikinci türevin işareti, sağda eğrinin büküm yönü.
2. Dolu satır: $f''(x)>0$ → yukarı doğru içbükey. İkinci türev pozitifken $f'$ artar, yani teğetin eğimi soldan sağa büyür ve eğri yukarı doğru kıvrılır.
3. İkinci satırda işaret tersine dönüyor: $f''(x)<0$ ise $f'$ azalır, teğetin eğimi küçülür ve eğri aşağı doğru kıvrılır. Karşılığı aşağı doğru içbükeyliktir.
4. Denetleyelim: $f(x)=-x^2$ için $f''(x)=-2<0$ ve parabol gerçekten aşağı doğru bükülüyor ✓.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Türev yanlış hesaplanmıştır.
• B) Türev hiç sıfır olmaz.
• C) Yerel maksimum yoktur.
• D) Türevin sıfır olması ekstremumu garanti etmez; işaret değişimi incelenmelidir.
• E) Fonksiyon süreksizdir.

Doğru cevap: D — Türevin sıfır olması yalnızca kritik nokta demektir; ekstremum için türevin işaret de değiştirmesi gerekir.

1. Öğrencinin kullandığı önerme şu: türev sıfırsa orası kesinlikle yerel maksimumdur. Bu, gerekli bir koşulu yeterli koşul saymaktır.
2. Karşı örnek kuralım: $f(x)=x^3$ için $f'(x)=3x^2$ ve $f'(0)=0$ olduğundan $x=0$ bir kritik noktadır.
3. Ama $3x^2$ hem solda hem sağda pozitiftir; fonksiyon $x=0$ da artmayı sürdürür, ne tepe ne çukur yapar. Öyleyse türevin sıfırlanması ekstremumu garanti etmez, işaret değişimi incelenmelidir.
4. Denetleyelim: $x^3$ fonksiyonunda $f(-1)=-1<f(0)=0<f(1)=1$ ✓ — $x=0$ çevresinde ne en büyük ne en küçük değer var.

20. Kartlarda türev uygulamalarının üç temel kuralı verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Türev işareti yön vermez.
• C) İşaret değişimi önemsizdir.
• D) Uç noktalar hesaba katılmaz.
• E) Bir fonksiyonun davranışı; türevin işareti, işaret değişimi ve aralık uçlarıyla birlikte belirlenir.

Doğru cevap: E — Üç kart birlikte okununca şu çıkar: bir fonksiyonun davranışı türevin işareti, işaret değişimi ve aralık uçlarıyla birlikte belirlenir.

1. Kartları tek tek okuyalım. Birinci kart yönü veriyor: türev pozitifse fonksiyon artar, negatifse azalır.
2. İkinci kart ekstremum ölçütünü ekliyor: yönün döndüğü yerler, yani türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel tepe ve çukurları verir.
3. Üçüncü kart kapalı aralıkta gözden kaçan adayı hatırlatıyor: uç noktalarda türev sıfır olmasa bile fonksiyon orada en büyük ya da en küçük değerini alabilir. Üçü birleşince eksiksiz bir inceleme çıkar.
4. Denetleyelim: yalnız birinci kartla yetinilse tepe noktaları, yalnız ikincisiyle yetinilse uçlardaki değerler gözden kaçardı ✓.