Dönüşümler

1. Yukarıda analitik düzlemde bir nokta verilmiştir. Bu noktanın x eksenine göre simetriği sorulmaktadır. Buna göre görüntü noktası hangisidir?

A(2, 3)

• A) (2, −3)
• B) (−2, 3)
• C) (−2, −3)
• D) (3, 2)
• E) (3, −2)

Doğru cevap: A — x eksenine göre simetride apsis korunur, ordinatın işareti değişir.

1. Simetri ekseninin ne yaptığını düşünelim: x ekseni yatay bir aynadır. Nokta bu aynanın öteki yanına, aynı uzaklığa geçer.
2. Yatay konum değişmez; nokta yalnız yukarı ya da aşağı gider. Öyleyse apsis aynı kalır: 2.
3. Ordinat ise işaret değiştirir: 3 → −3. Görüntü (2, −3) olur.
4. Denetleyelim: iki nokta da x ekseninden 3 birim uzakta ✓ — biri üstte, öteki altta.

2. Analitik düzlemde yukarıdaki nokta verilmiştir. Noktanın y ekseni üzerinden alınan simetriği aranmaktadır. Buna göre yeni noktanın koordinatları nelerdir?

A(2, 3)

• A) (2, −3)
• B) (−2, 3)
• C) (−2, −3)
• D) (3, 2)
• E) (−3, 2)

Doğru cevap: B — y eksenine göre simetride ordinat korunur, apsisin işareti değişir.

1. Bu kez ayna düşey: y ekseni. Nokta sağdan sola ya da soldan sağa geçer, yüksekliği değişmez.
2. Yükseklik değişmediğine göre ordinat aynı kalır: 3.
3. Apsis ise işaret değiştirir: 2 → −2. Görüntü (−2, 3) olur.
4. Denetleyelim: iki nokta da y ekseninden 2 birim uzakta ✓ — biri sağda, öteki solda.

3. Yukarıdaki noktanın orijine göre simetriği alınacaktır. Orijin simetrisinde iki koordinat da işaret değiştirir. Buna göre elde edilen nokta hangisidir?

A(2, 3)

• A) (2, −3)
• B) (−2, 3)
• C) (−2, −3)
• D) (3, 2)
• E) (−3, −2)

Doğru cevap: C — Orijin simetrisinde her iki koordinatın işareti değişir: (−2, −3).

1. Kuralı yazalım: (x, y) → (−x, −y). Orijin bir ayna değil bir merkezdir; nokta merkezin tam karşı tarafına geçer.
2. Değerleri yerleştirelim: x = 2 → −2 ve y = 3 → −3.
3. Görüntü (−2, −3) olur.
4. Denetleyelim: orijin, iki noktanın tam ortasında ✓ — koordinatların ortalaması (0, 0).

4. Yukarıda bir nokta ve bir doğru verilmiştir. Noktanın bu doğruya göre simetriği alınmak istenmektedir. Buna göre simetrik noktanın koordinatları nelerdir?

A(2, 3), d: y = x

• A) (2, −3)
• B) (−2, 3)
• C) (−3, −2)
• D) (3, 2)
• E) (−2, −3)

Doğru cevap: D — y = x doğrusuna göre simetride koordinatlar yer değiştirir: (3, 2).

1. y = x doğrusu, apsis ile ordinatın eşit olduğu noktalardan geçer. Bu doğruya göre yansıma iki koordinatın rollerini takas eder.
2. Kuralı yazalım: (x, y) → (y, x).
3. A(2, 3) için koordinatları takas edelim: görüntü (3, 2) olur.
4. Denetleyelim: (2, 3) ile (3, 2) noktalarının orta noktası (2,5 ; 2,5) ✓ — bu nokta y = x doğrusunun üstünde.

5. Yukarıda bir öteleme dönüşümü verilmiştir. A(1, 4) noktasının bu öteleme altındaki görüntüsü aranmaktadır. Buna göre görüntü noktası hangisidir?

(x, y) → (x + 3, y − 2)

• A) (1, 4)
• B) (−2, 6)
• C) (4, 6)
• D) (3, −2)
• E) (4, 2)

Doğru cevap: E — Öteleme kuralında apsise 3 eklenir, ordinattan 2 çıkarılır: (4, 2).

1. Öteleme, her koordinata sabit bir değer ekler; şeklin biçimi ve yönü değişmez, yalnızca yeri değişir.
2. Apsisi hesaplayalım: 1 + 3 = 4.
3. Ordinatı hesaplayalım: 4 − 2 = 2. Görüntü (4, 2) olur.
4. Denetleyelim: nokta sağa 3, aşağı 2 birim gitmiş ✓ — kuraldaki işaretlerle uyumlu.

6. Yukarıda bir nokta ve dönme açısı verilmiştir. Nokta orijin etrafında saat yönünün tersine 90 derece döndürülmektedir. Buna göre görüntü noktası hangisidir?

A(2, 5), 90° pozitif yönde dönme

• A) (5, 2)
• B) (−5, 2)
• C) (5, −2)
• D) (−2, −5)
• E) (2, −5)

Doğru cevap: B — 90° pozitif dönmede (x, y) → (−y, x) olur; görüntü (−5, 2)’dir.

1. Kuralı türetelim. Pozitif yön saat yönünün tersidir; çeyrek turluk dönmede x ekseni y ekseninin üstüne, y ekseni ise negatif x ekseninin üstüne gelir.
2. Bu yüzden eski ordinat ters işaretiyle yeni apsis, eski apsis ise yeni ordinat olur: (x, y) → (−y, x).
3. A(2, 5) için: yeni apsis −5, yeni ordinat 2. Görüntü (−5, 2).
4. Denetleyelim: iki noktanın orijine uzaklığı eşit ✓ — dönme uzunlukları korur.

7. Bir nokta orijin etrafında 180 derece döndürülmektedir. Bu dönme, orijine göre simetri ile aynı sonucu verir. Buna göre A noktasının görüntüsü hangisidir?

A(2, 5), 180° dönme

• A) (5, 2)
• B) (−5, 2)
• C) (−2, −5)
• D) (5, −2)
• E) (2, −5)

Doğru cevap: C — 180° dönme orijine göre simetriyle aynı sonucu verir: (−2, −5).

1. 180° dönmeyi geometrik olarak düşünelim: nokta orijin etrafında yarım tur atar ve orijinin tam karşı tarafına geçer.
2. Bu, orijine göre simetrinin tanımının kendisidir; nokta, orijin ve görüntü aynı doğru üzerindedir ve orijine uzaklıkları eşittir.
3. Öyleyse kural (x, y) → (−x, −y) olur. A(2, 5) için görüntü (−2, −5)’tir.
4. Denetleyelim: 90°’lik iki dönme üst üste de aynı sonucu veriyor ✓ — (2, 5) → (−5, 2) → (−2, −5).

8. Bir nokta orijin etrafında pozitif yönde 270 derece döndürülmektedir. Bu dönme, negatif yönde 90 derecelik dönmeye denktir. Buna göre görüntü noktası hangisidir?

A(2, 5), 270° pozitif yönde dönme

• A) (−5, 2)
• B) (−2, −5)
• C) (2, −5)
• D) (5, −2)
• E) (5, 2)

Doğru cevap: D — 270° pozitif dönme, negatif yönde 90°’ye denktir; kural (x, y) → (y, −x)’tir.

1. Soruda verilen denkliği kullanalım: pozitif yönde 270°, negatif yönde 90° ile aynı yere getirir; çünkü ikisinin toplamı tam turu, 360°’yi verir.
2. Negatif yönde çeyrek turda eski ordinat yeni apsis, eski apsis ise ters işaretiyle yeni ordinat olur: (x, y) → (y, −x).
3. A(2, 5) için: yeni apsis 5, yeni ordinat −2. Görüntü (5, −2).
4. Denetleyelim: 90° ile 270° dönmelerin sonuçları orijine göre simetrik ✓ — (−5, 2) ile (5, −2).

9. Yukarıda bir fonksiyonun grafiğine uygulanan dönüşüm verilmiştir. Bu dönüşümün grafiği nasıl hareket ettirdiği sorulmaktadır. Buna göre grafik hangi yöne kayar?

y = f(x − 2)

• A) Sola 2 birim
• B) Yukarı 2 birim
• C) Aşağı 2 birim
• D) x eksenine göre simetri
• E) Sağa 2 birim

Doğru cevap: E — Değişkenden çıkarma, grafiği yatayda sağa öteler.

1. Değişikliğin nerede yapıldığına bakalım: x’in kendisine dokunulmuş, fonksiyonun dışına bir şey eklenmemiş. Öyleyse hareket yatay olacak.
2. Yatay ötelemelerde yön sezgiye ters görünür; bunu bir değerle sınayalım. Yeni grafiğin x = 2 noktasındaki değeri f(0)’dır.
3. Yani eski grafiğin x = 0’daki değeri, yeni grafikte x = 2’ye taşınmış. Grafik sağa 2 birim kaymıştır.
4. Denetleyelim: sola kaysaydı f(0) değeri x = −2’de görünürdü ✓ — sınama yönü doğruluyor.

10. Bir fonksiyonun kuralına sabit eklenmiştir. Bu değişikliğin grafiğe etkisi sorulmaktadır. Buna göre grafik nasıl hareket eder?

y = f(x) + 3

• A) Yukarı 3 birim
• B) Aşağı 3 birim
• C) Sağa 3 birim
• D) Sola 3 birim
• E) Değişmez

Doğru cevap: A — Fonksiyona sabit eklemek grafiği yukarı öteler.

1. Değişiklik bu kez fonksiyonun dışında: önce f(x) hesaplanıyor, sonra sonuca 3 ekleniyor.
2. Bu sonuç noktanın ordinatıdır. Her x için ordinat 3 artar; apsisler ise hiç değişmez.
3. Bütün noktalar 3 birim yukarı taşındığına göre grafik yukarı 3 birim kayar.
4. Denetleyelim: dışarıdaki değişiklikler dikey ve beklenen yönde çalışıyor ✓ — içerideki değişikliklerin tersine.

11. Bir fonksiyonun kuralı eksi ile çarpılmıştır. Bu çarpımın grafiğe etkisi araştırılmaktadır. Buna göre yeni grafik hangi dönüşümle elde edilir?

y = −f(x)

• A) Yukarı öteleme
• B) Sağa öteleme
• C) x eksenine göre simetri
• D) y eksenine göre simetri
• E) Dikey germe

Doğru cevap: C — Fonksiyon değerlerinin işareti değişince grafik x eksenine göre yansır.

1. Değişiklik fonksiyonun dışında: önce f(x) hesaplanıyor, sonra sonuç −1 ile çarpılıyor. Öyleyse etkilenen şey ordinatlar.
2. Her noktanın ordinatı ters işaretli oluyor, apsisi ise değişmiyor. Bu, (x, y) → (x, −y) dönüşümüdür.
3. Bu dönüşüm x eksenine göre simetridir; grafik x ekseninin öteki yanına yansır.
4. Denetleyelim: x eksenini kesen noktalar yerinde kalıyor ✓ — orada f(x) = 0 ve sıfırın ters işaretlisi yine sıfır.

12. Bir fonksiyonda değişkenin işareti değiştirilmiştir. Bu değişikliğin grafiğe etkisi incelenmektedir. Buna göre yeni grafik hangi dönüşümle elde edilir?

y = f(−x)

• A) Aşağı öteleme
• B) Sola öteleme
• C) x eksenine göre simetri
• D) y eksenine göre simetri
• E) Yatay germe

Doğru cevap: D — Değişkenin işareti değişince grafik y eksenine göre yansır.

1. Değişiklik bu kez fonksiyonun içinde: x yerine −x yazılmış. Öyleyse etkilenen şey apsisler.
2. Yeni grafiğin x noktasındaki değeri, eski grafiğin −x noktasındaki değeridir; yani sağdaki değerler sola, soldakiler sağa geçer.
3. Bu, (x, y) → (−x, y) dönüşümüdür ve y eksenine göre simetridir.
4. Denetleyelim: y ekseni üzerindeki nokta yerinde kalıyor ✓ — x = 0 için −x de sıfır.

13. Bir fonksiyonun kuralı 2 ile çarpılmıştır. Bu çarpımın grafik üzerindeki etkisi sorulmaktadır. Buna göre grafiğe ne olur?

y = 2f(x)

• A) Sağa 2 birim kayar
• B) Sola 2 birim kayar
• C) Yukarı 2 birim kayar
• D) Yatayda 2 kat daralır
• E) Dikeyde 2 kat gerilir

Doğru cevap: E — Fonksiyon değerleri iki katına çıkar; grafik dikey yönde 2 kat gerilir.

1. Değişiklik fonksiyonun dışında: her f(x) değeri 2 ile çarpılıyor. Öyleyse etki dikey yönde olacak.
2. Her noktanın ordinatı iki katına çıkar, apsisi ise değişmez; yatay ölçek korunur.
3. Ordinatlar kendi büyüklükleriyle orantılı olarak arttığı için grafik dikeyde 2 kat gerilir.
4. Denetleyelim: x ekseni üzerindeki noktalar yerinde kalıyor ✓ — sıfırın iki katı yine sıfır, germe bu eksenden yapılıyor.

14. Apsisi negatif olan bir nokta ile y eşittir x doğrusu verilmiştir. Noktanın bu doğruya göre simetriği aranmaktadır. Buna göre görüntü noktası hangisidir?

A(−1, 2), d: y = x

• A) (2, −1)
• B) (−2, 1)
• C) (1, −2)
• D) (−1, −2)
• E) (1, 2)

Doğru cevap: A — y = x doğrusuna göre simetride koordinatlar işaretleriyle birlikte yer değiştirir.

1. Kuralı anımsayalım: (x, y) → (y, x). Bu dönüşüm işaretlere dokunmaz, yalnız iki koordinatın yerini değiştirir.
2. A(−1, 2) için takası yapalım: eski ordinat 2 yeni apsis, eski apsis −1 ise yeni ordinat olur.
3. Görüntü (2, −1)’dir. Eksi işareti kaybolmaz, kendi koordinatıyla birlikte taşınır.
4. Denetleyelim: iki noktanın orta noktası (0,5 ; 0,5) ✓ — y = x doğrusunun üstünde.

15. Bir nokta ve öteleme sonrası görüntüsü yukarıda verilmiştir. Bu ötelemeyi tanımlayan vektör aranmaktadır. Buna göre öteleme vektörü hangisidir?

A(3, 1) → A′(7, −2)

• A) (3, −1)
• B) (4, −3)
• C) (−4, 3)
• D) (4, 3)
• E) (10, −1)

Doğru cevap: B — Öteleme vektörü, görüntüden başlangıç noktasının çıkarılmasıyla bulunur: (4, −3).

1. Ötelemenin tanımından gidelim: görüntü = nokta + vektör. Aranan vektör olduğuna göre eşitliği çevirelim: vektör = görüntü − nokta.
2. Apsis farkını hesaplayalım: 7 − 3 = 4.
3. Ordinat farkını hesaplayalım: −2 − 1 = −3. Öteleme vektörü (4, −3)’tür.
4. Denetleyelim: (3, 1) + (4, −3) = (7, −2) ✓ — vektör noktayı gerçekten görüntüsüne taşıyor.

16. A(1, 5) noktasına önce x eksenine göre simetri, ardından 2 birim sağa öteleme uygulanmaktadır. İki dönüşümün sırayla yapılması istenmektedir. Buna göre son görüntü hangisidir?

Önce x ekseni simetrisi, sonra 2 birim sağa öteleme

• A) (1, −5)
• B) (3, 5)
• C) (−1, −5)
• D) (3, −5)
• E) (−3, 5)

Doğru cevap: D — Önce x ekseni simetrisi (1, −5), ardından 2 birim sağa öteleme: (3, −5).

1. İki dönüşüm var ve sıra önemli; verilen sırayla uygulayalım.
2. Birinci adım x ekseni simetrisi: apsis korunur, ordinat işaret değiştirir. A(1, 5) → (1, −5).
3. İkinci adım 2 birim sağa öteleme: apsise 2 eklenir, ordinat değişmez. (1, −5) → (3, −5).
4. Denetleyelim: ordinatın işareti ikinci adımda değişmedi ✓ — öteleme yalnız yer değiştirir, yansıtmaz.

17. Bir üçgenin köşelerinden biri y ekseni üzerindedir ve üçgen orijin etrafında pozitif yönde 90 derece döndürülmektedir. Bu köşenin yeni konumu incelenmektedir. Buna göre B noktasının görüntüsü hangisidir?

B(0, 4), 90° pozitif dönme

• A) (4, 0)
• B) (0, −4)
• C) (−4, 0)
• D) (0, 4)
• E) (−4, 4)

Doğru cevap: C — 90° pozitif dönmede B(0, 4) noktasının görüntüsü (−4, 0) olur.

1. Kuralı uygulayalım: yeni apsis eski ordinatın ters işaretlisi, yeni ordinat ise eski apsistir.
2. B(0, 4) için: yeni apsis −4, yeni ordinat 0. Görüntü (−4, 0).
3. Sonucu geometrik olarak da görebiliriz: nokta y ekseni üzerinde, orijinden 4 birim yukarıdadır. Saat yönünün tersine çeyrek tur dönünce negatif x ekseni üzerine, orijinden 4 birim sola gelir.
4. Denetleyelim: orijine uzaklık iki durumda da 4 ✓ — dönme uzunlukları korur.

18. Bir haritada konumlar koordinatlarla gösterilmekte ve doğu yönü apsisi, kuzey yönü ordinatı artırmaktadır. Başlangıçta (2, 1) konumundaki bir araç yukarıdaki kadar ilerlemektedir. Buna göre aracın yeni konumu hangisidir?

Doğuya 5 birim, kuzeye 3 birim

• A) (7, 4)
• B) (3, 6)
• C) (−3, −2)
• D) (5, 3)
• E) (2, 4)

Doğru cevap: A — Doğu apsisi, kuzey ordinatı artırır: (2 + 5, 1 + 3) = (7, 4).

1. Soruda yönlerin koordinat karşılığı verilmiş: doğu apsisi, kuzey ordinatı artırıyor. Öyleyse hareket bir ötelemedir.
2. Apsisi hesaplayalım: 2 + 5 = 7.
3. Ordinatı hesaplayalım: 1 + 3 = 4. Aracın yeni konumu (7, 4)’tür.
4. Denetleyelim: öteleme vektörü (5, 3) ✓ — iki bileşen de artı, çünkü iki yön de artırıcı.

19. Yukarıda orijine göre simetri dönüşümü verilmiştir. Bu dönüşüm altında yeri değişmeyen nokta aranmaktadır. Buna göre bu nokta hangisidir?

(x, y) → (−x, −y)

• A) (1, 1)
• B) (0, 0)
• C) (−1, −1)
• D) (1, −1)
• E) Böyle bir nokta yoktur

Doğru cevap: B — Orijin simetrisinde yeri değişmeyen tek nokta orijindir.

1. "Yeri değişmeyen nokta" demek, görüntüsü kendisine eşit olan nokta demektir; koşulu denklemle yazalım.
2. Dönüşüm (x, y) → (−x, −y) olduğuna göre −x = x ve −y = y olmalıdır.
3. Birinci denklemden 2x = 0, yani x = 0; ikincisinden y = 0. Tek çözüm (0, 0) noktasıdır.
4. Denetleyelim: (1, 1) noktasını sınayalım ✓ — görüntüsü (−1, −1), kendisine eşit değil.

20. Bir nokta orijin etrafında 60 derece döndürülmektedir. Dönme dönüşümü uzunlukları koruyan bir dönüşümdür. Buna göre görüntü noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?

A(3, 4), orijin etrafında 60° dönme

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 6
• E) 7

Doğru cevap: C — Dönme uzunlukları koruduğu için görüntünün orijine uzaklığı 5 birim kalır.

1. Soruda verilen özelliği kullanalım: dönme uzunlukları korur. Öyleyse açının kaç derece olduğunu bilmemize gerek yok.
2. Başlangıçtaki uzaklığı hesaplayalım: A(3, 4) için 3² + 4² = 25 ve bunun karekökü 5 birimdir.
3. Dönme bu uzaklığı değiştirmediğine göre görüntü noktasının orijine uzaklığı da 5 birimdir.
4. Denetleyelim: nokta orijin merkezli 5 yarıçaplı çember üzerinde dolaşıyor ✓ — dönme onu bu çemberin dışına çıkarmıyor.