Değişimin Matematiği (2)

1. Tabloda bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri verilmiştir. Bu aralıktaki ortalama değişim oranı sorulmaktadır. Tabloya göre bu oran kaçtır?

• A) 4
• B) 16
• C) 5
• D) 24
• E) 2

Doğru cevap: A — (20 − 4) ÷ (5 − 1) = 16 ÷ 4 = 4'tür.

1. Değer farkı 20 − 4 = 16'dır.
2. x farkı 5 − 1 = 4'tür.
3. 16 ÷ 4 = 4 bulunur.

2. Tabloda doğrular ve grafikle ilişkileri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) Grafiği iki noktada keser
• B) Grafiğe bir noktada dokunur
• C) Grafikle kesişmez
• D) Grafiği üç noktada keser
• E) Grafiğin altında kalır

Doğru cevap: B — Teğet doğrusu eğriye bir noktada dokunur ve o noktadaki eğimi verir.

1. Kesen iki noktadan geçiyor.
2. İki nokta birbirine yaklaştırılır.
3. Sınır durumda doğru tek noktada dokunur.

3. Şemada bir kavramın oluşum basamakları verilmiştir. Şemaya göre bu sınır değerin adı sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Ortalama
• B) Limit yokluğu
• C) Türev
• D) İntegral
• E) Asimptot

Doğru cevap: C — Ortalama değişim oranının limiti anlık değişim oranıdır ve türev olarak adlandırılır.

1. Ortalama değişim oranı iki noktayı kullanıyor.
2. Noktalar yaklaştırılınca limit alınır.
3. Bu limit türevdir.

4. Yukarıda türevin limitle tanımı verilmiştir. Bu ifadenin geometrik karşılığı sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) − f(a)] / h

• A) Grafiğin altındaki alan
• B) Fonksiyonun a noktasındaki değeri
• C) İki nokta arasındaki uzaklık
• D) a noktasındaki teğetin eğimi
• E) Fonksiyonun kökü

Doğru cevap: D — Bu limit, kesenlerin eğiminin sınır değeri olan teğet eğimini verir.

1. Kesirin payı iki değer farkıdır.
2. Payda x farkıdır; oran kesen eğimidir.
3. h sıfıra giderken teğet eğimi elde edilir.

5. Yukarıda bir fonksiyon ve bir noktadaki türev istenmiştir. Türevin tanımı kullanıldığında bu değer sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

f(x) = x², f'(3) = ?

• A) 12
• B) 9
• C) 3
• D) 2
• E) 6

Doğru cevap: E — [(3+h)² − 9]/h = (6h + h²)/h = 6 + h → h → 0 için 6.

1. (3 + h)² = 9 + 6h + h² açılır.
2. 9 çıkarılınca 6h + h² kalır.
3. h'ye bölünüp limit alınınca 6 bulunur.

6. Yukarıda bir fonksiyon, türev değeri ve değme noktası verilmiştir. Bu noktadaki teğet doğrusunun denklemi sorulmaktadır. Buna göre denklem hangisidir?

f(x) = x², f'(3) = 6, teğet noktası (3, 9)

• A) y = 6x − 9
• B) y = 6x + 9
• C) y = 3x − 9
• D) y = 9x − 6
• E) y = 6x

Doğru cevap: A — y − 9 = 6(x − 3) → y = 6x − 18 + 9 = 6x − 9.

1. Nokta-eğim biçimi yazılır: y − 9 = 6(x − 3).
2. Parantez açılır: y − 9 = 6x − 18.
3. y = 6x − 9 elde edilir.

7. Tabloda bir aracın konum verileri verilmiştir. Bu aralıktaki ortalama hız sorulmaktadır. Tabloya göre bu değer kaç m/s'dir?

• A) 27
• B) 9
• C) 3
• D) 63
• E) 12

Doğru cevap: B — (45 − 18) ÷ (5 − 2) = 27 ÷ 3 = 9 m/s'dir.

1. Konum farkı 45 − 18 = 27 m'dir.
2. Zaman farkı 5 − 2 = 3 s'dir.
3. 27 ÷ 3 = 9 m/s bulunur.

8. Tabloda hız kavramları açıklanmış, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) Zaman aralığının uzunluğu
• B) Toplam yolun toplam zamana oranı
• C) Konum fonksiyonunun o andaki türevi
• D) Konumun kendisi
• E) Yolun karesi

Doğru cevap: C — Anlık hız, konum fonksiyonunun o andaki türevidir.

1. Ortalama hız bir aralığı kullanıyor.
2. Anlık hız tek bir anı ister.
3. Bu, türevle tanımlanır.

9. Grafikte doğrusal bir konum-zaman ilişkisi gösterilmiştir. Her andaki anlık hız sorulmaktadır. Grafiğe göre bu değer kaçtır?

• A) Değişkendir
• B) 0
• C) 9
• D) 3, çünkü eğim sabittir
• E) Belirlenemez

Doğru cevap: D — Doğrusal grafikte eğim sabittir; türev de her noktada aynı değeri alır.

1. Grafik bir doğrudur.
2. Eğim 3 ÷ 1 = 3'tür.
3. Türev her noktada 3'tür.

10. Yukarıda bir fonksiyon ve bir nokta verilmiştir. Bu noktadaki türevin varlığı sorulmaktadır. Buna göre doğru yargı hangisidir?

f(x) = |x|, x = 0

• A) Türev sonsuzdur.
• B) Türev 0'dır.
• C) Türev 1'dir.
• D) Türev −1'dir.
• E) Soldan ve sağdan türevler farklı olduğu için türev yoktur.

Doğru cevap: E — Soldan türev −1, sağdan türev 1'dir; eşit olmadıkları için türev yoktur.

1. x < 0 için eğim −1'dir.
2. x > 0 için eğim 1'dir.
3. Eşit olmadıkları için türev tanımsızdır.

11. Tabloda türev ve süreklilik ilişkisine dair önermeler verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tablodaki boşluk nasıl doldurulmalıdır?

• A) Yanlış; mutlak değer fonksiyonu karşı örnektir.
• B) Doğru
• C) Belirsiz
• D) Her zaman doğru
• E) İkisi eşdeğerdir

Doğru cevap: A — |x| fonksiyonu her yerde sürekli olduğu hâlde x = 0'da türevlenemez.

1. Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir.
2. Tersi her zaman geçerli değildir.
3. |x| bu duruma karşı örnektir.

12. Yukarıda bir doğrusal fonksiyon ve bir aralık verilmiştir. Bu aralıktaki ortalama değişim oranı sorulmaktadır. Buna göre bu oran kaçtır?

f(x) = 3x + 1, [2, 6] aralığı

• A) 4
• B) 3
• C) 12
• D) 19
• E) 1

Doğru cevap: B — f(6) = 19, f(2) = 7; (19 − 7) ÷ 4 = 3.

1. f(6) = 18 + 1 = 19 hesaplanır.
2. f(2) = 6 + 1 = 7 hesaplanır.
3. (19 − 7) ÷ (6 − 2) = 3 bulunur.

13. Yukarıda bir noktadaki türev değeri verilmiştir. Bu noktadaki teğet doğrusunun durumu sorulmaktadır. Buna göre istenen değer hangisidir?

Bir noktada f'(a) = 0

• A) Teğet yoktur.
• B) Teğet dikeydir.
• C) Teğet yataydır, x eksenine paraleldir.
• D) Teğetin eğimi tanımsızdır.
• E) Teğet 45° eğimlidir.

Doğru cevap: C — Türev teğetin eğimidir; sıfır eğim yatay doğruyu gösterir.

1. Türev teğetin eğimini verir.
2. Eğim sıfırdır.
3. Sıfır eğimli doğru yataydır.

14. Tabloda fonksiyonlar ve türevlerinin anlamları eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Eksik bırakılan bölüm hangi seçenektedir?

• A) Zaman
• B) Konum
• C) Yol
• D) İvme
• E) Kütle

Doğru cevap: D — Hızın zamana göre türevi ivmedir.

1. Konumun türevi hızı veriyor.
2. Hızın değişim hızı aranıyor.
3. Bu büyüklük ivmedir.

15. Tabloda türev işareti ile fonksiyon davranışı eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) Tanımsız
• B) Artan
• C) Sabit
• D) Süreksiz
• E) Azalan

Doğru cevap: E — Türev negatifse fonksiyon o aralıkta azalandır.

1. Pozitif türev artışı gösteriyor.
2. Negatif türev bunun tersidir.
3. Fonksiyon azalandır.

16. Yukarıda doğrusal bir fonksiyon verilmiştir. Türevin tanımı uygulandığında sonuç sorulmaktadır. Buna göre türev kaçtır?

f(x) = 2x + 5, f'(x) = ?

• A) 2
• B) 5
• C) 7
• D) 0
• E) 2x

Doğru cevap: A — [2(x + h) + 5 − 2x − 5]/h = 2h/h = 2'dir.

1. f(x + h) = 2x + 2h + 5 yazılır.
2. f(x) çıkarılınca 2h kalır.
3. h'ye bölünürse 2 bulunur.

17. Tabloda bir eğri üzerindeki iki nokta verilmiştir. Bu noktalardan geçen kesen doğrusunun eğimi sorulmaktadır. Tabloya göre bu eğim kaçtır?

• A) 9
• B) 3
• C) 5
• D) 13
• E) 2

Doğru cevap: B — (11 − 2) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3'tür.

1. y farkı 11 − 2 = 9'dur.
2. x farkı 4 − 1 = 3'tür.
3. Eğim 9 ÷ 3 = 3 olur.

18. Yukarıdaki durumda türevin birimi sorulmaktadır. Buna göre hangi seçenek doğrudur?

• A) Yalnızca dakika
• B) Yalnızca litre
• C) Litre / dakika gibi bir değişim hızı birimi
• D) Metre
• E) Birimsizdir

Doğru cevap: C — Türev, bağımlı değişkenin biriminin bağımsız değişken birimine oranıdır.

1. Hacim litreyle ölçülüyor.
2. Zaman dakikayla ölçülüyor.
3. Türevin birimi litre/dakika olur.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) İki kavram aynıdır.
• B) Ortalama hesaplanamaz.
• C) Anlık hız yoktur.
• D) Ortalama değişim oranı aralığın tamamını özetler; her andaki hızı vermez.
• E) Zaman aralığı gereksizdir.

Doğru cevap: D — Anlık hız türevle bulunur; ortalama oran aralık boyunca değişimi özetler.

1. Ortalama oran iki uç noktayı kullanıyor.
2. Ara değerler hakkında bilgi vermez.
3. Anlık hız için türev gerekir.

20. Kartlarda türevin oluşum düşüncesi üç adımda verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Türev ortalama değişimdir.
• C) Kesen ile teğet aynıdır.
• D) Limit gereksizdir.
• E) Türev; kesen eğiminin limiti olarak tanımlanan anlık değişim oranıdır.

Doğru cevap: E — Kartlar keseni, limiti ve anlık değişimi birlikte gösterir.

1. Birinci kart ortalama oranı veriyor.
2. İkinci kart limiti ekliyor.
3. Üçüncü kart anlık değişimi getiriyor.