Belirli İntegral ve Alan Hesabı

1. Yukarıdaki bağıntının anlamı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

• A) Türevin tanımı
• B) Teğetin eğimi
• C) Limitin tanımı
• D) Sürekliliğin koşulu
• E) Belirli integralin, ters türev fonksiyonunun uçlardaki değerlerinin farkına eşit olması

Doğru cevap: E — Bağıntı analizin temel teoremidir: belirli integral, ters türev fonksiyonunun uçlardaki değerlerinin farkına eşittir.

1. Sağ taraftaki $F$, $f$ fonksiyonunun ters türevidir; yani $F$ türevlendiğinde $f$ elde edilir.
2. Sol taraf ise $[a, b]$ aralığında $f$ grafiğinin altında biriken işaretli alandır.
3. Teorem bu ikisini birbirine bağlar: alanı bulmak için sonsuz küçük dilimleri toplamak yerine bir ters türev bulup iki uçtaki değerinin farkını almak yeter. Böylece geometrik bir problem cebirsel bir işleme iner.
4. Denetleyelim: $f(x) = 2x$ ve $[0,3]$ aralığında ters türev $x^2$ olur, fark $9 - 0 = 9$. Aynı bölge dik kenarları 3 ve 6 olan bir üçgen ve alanı $\frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ ✓ iki yol aynı sayıyı veriyor.

2. Tabloda integral türleri karşılaştırılmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan sonuç hangisidir?

• A) Bir sayı
• B) Bir fonksiyon ailesi
• C) Bir doğru
• D) Bir aralık
• E) Bir türev

Doğru cevap: A — Belirli integralin sonucu bir fonksiyon ailesi değil, tek bir sayıdır.

1. Belirsiz integral $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ biçiminde bir sonuç FONKSİYONU verir; $C$ değiştikçe sonsuz çok ters türev doğar.
2. Belirli integralde ise iki sınır bellidir ve $F(b) - F(a)$ hesaplanır.
3. Bu çıkarmada $[F(b)+C] - [F(a)+C]$ olur ve $C$ sadeleşir; geriye $x$ içermeyen tek bir sayı kalır.
4. Denetleyelim: $\int_0^2 3x^2\,dx = 2^3 - 0^3 = 8$ ✓ sonuç 8 sayısıdır, içinde ne $x$ ne de $C$ bulunuyor.

3. Yukarıdaki belirli integralin değeri kaçtır?

\int_0^2 3x^2\,dx

• A) 4
• B) 6
• C) 8
• D) 12
• E) 24

Doğru cevap: C — $3x^2$ ifadesinin ters türevi $x^3$ olduğundan integral $2^3 - 0^3 = 8$ çıkar.

1. Kuvvet kuralının tersini uygulayalım: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Buradan $\int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
2. Bulduğumuz ters türevi sınayalım: $x^3$ türevlenince $3x^2$ çıkıyor ✓ doğru ters türev.
3. Uç değerleri yerine koyalım: $F(2) = 2^3 = 8$ ve $F(0) = 0^3 = 0$. Fark $8 - 0 = 8$.
4. Denetleyelim: $f(x) = 3x^2$ fonksiyonu $[0,2]$ aralığında 0 ile 12 arasında değer alıyor; ortalama değer $\frac{8}{2-0} = 4$ ve bu sayı 0 ile 12 arasında ✓ sonuç makul.

4. Yukarıdaki belirli integralin değeri kaçtır?

\int_1^3 (2x + 1)\,dx

• A) 6
• B) 8
• C) 12
• D) 10
• E) 14

Doğru cevap: D — $2x+1$ ifadesinin ters türevi $x^2 + x$ olduğundan integral $12 - 2 = 10$ çıkar.

1. Terim terim ters türev alalım: $2x$ için $x^2$, $1$ için $x$. Toplam ters türev $F(x) = x^2 + x$.
2. Denetleme amacıyla türevini alalım: $2x + 1$ ✓ aranan fonksiyon.
3. Uçları yerine koyalım: $F(3) = 9 + 3 = 12$ ve $F(1) = 1 + 1 = 2$. Fark $12 - 2 = 10$.
4. Denetleyelim: bölge, genişliği $3-1 = 2$ ve paralel kenarları $f(1) = 3$ ile $f(3) = 7$ olan bir yamuktur; alanı $\frac{3+7}{2} \cdot 2 = 10$ ✓ integral sonucuyla aynı.

5. Belirli integralde sınırların yer değiştirmesinin sonucu sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

\int_a^b f = -\int_b^a f

• A) Değer değişmez
• B) Değerin işareti değişir
• C) Değer iki katına çıkar
• D) Değer sıfır olur
• E) İşlem tanımsız olur

Doğru cevap: B — Sınırlar yer değiştirince $F(b)-F(a)$ ifadesi $F(a)-F(b)$ olur; yani değerin işareti değişir.

1. Temel teoreme göre $\int_a^b f = F(b) - F(a)$.
2. Sınırları değiştirirsek $\int_b^a f = F(a) - F(b)$ yazarız.
3. İki ifade birbirinin ters işaretlisidir; büyüklük aynı kalır, yalnız işaret döner.
4. Denetleyelim: $\int_0^2 3x^2\,dx = 8$ iken $\int_2^0 3x^2\,dx = 0 - 8 = -8$ ✓ mutlak değer aynı, işaret ters.

6. Alt ve üst sınırı eşit olan bir belirli integralin sıfır olmasının nedeni sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

\int_a^a f(x)\,dx = 0

• A) $F(a) - F(a) = 0$ olması; ayrıca genişliği sıfır olan bir bölgenin alanının bulunmaması
• B) Fonksiyonun sıfır olması
• C) Türevin sıfır olması
• D) Sınırların yanlış olması
• E) Nedenin bulunmaması

Doğru cevap: A — Alt ve üst sınır aynıysa $F(a)-F(a) = 0$ olur; ayrıca genişliği sıfır olan bir bölgenin alanı yoktur.

1. Cebirsel bakış: temel teoremi uygulayalım → $\int_a^a f = F(a) - F(a) = 0$. Bir sayının kendisinden farkı sıfırdır.
2. Geometrik bakış: integral $[a, a]$ aralığında hesaplanıyor, ama bu aralığın genişliği $a - a = 0$.
3. Genişliği sıfır olan bir şeridin yüksekliği ne olursa olsun alanı sıfır çıkar; yükseklik ile sıfırın çarpımı sıfırdır.
4. Denetleyelim: fonksiyon ne olursa olsun sonuç değişmiyor — $\int_5^5 3x^2\,dx = 125 - 125 = 0$ ✓ sonuç fonksiyondan bağımsız olarak sıfır.

7. Yukarıdaki özelliğin geometrik anlamı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f

• A) Anlamının bulunmaması
• B) Alanın sıfırlanması
• C) Alanın iki katına çıkması
• D) Bir bölgenin alanının, parçalarının alanları toplamına eşit olması
• E) Sınırların değişmesi

Doğru cevap: D — Özellik, bir bölgenin alanının parçalarının alanları toplamına eşit olduğunu söyler.

1. $[a, c]$ aralığını $b$ noktasından ikiye ayıralım: $[a, b]$ ve $[b, c]$.
2. Grafiğin altındaki bölge de aynı yerden ikiye bölünür; iki parça üst üste binmez ve aralarında boşluk kalmaz.
3. Öyleyse bütünün işaretli alanı, iki parçanın işaretli alanlarının toplamıdır — bağıntının anlattığı tam olarak budur.
4. Denetleyelim: $\int_0^3 2x\,dx = 9$. Parçalayalım → $\int_0^1 2x\,dx = 1$ ve $\int_1^3 2x\,dx = 9 - 1 = 8$; toplamları $1 + 8 = 9$ ✓ bütünle aynı.

8. Belirli integralin alan hesabında kullanılabilmesi için gereken koşul sorulmaktadır. Doğru koşul hangisidir?

A = \int_a^b f(x)\,dx, \quad f(x) \geq 0

• A) Fonksiyonun artan olması
• B) Fonksiyonun aralıkta negatif olmaması; negatif olduğu bölgelerde integralin işaretli değer vermesi
• C) Fonksiyonun polinom olması
• D) Sınırların pozitif olması
• E) Koşul bulunmaması

Doğru cevap: B — İntegralin doğrudan alan vermesi için fonksiyonun aralıkta negatif olmaması gerekir; negatif olduğu bölgelerde integral işaretli değer üretir.

1. Riemann toplamında her dikdörtgenin katkısı $f(x) \cdot \Delta x$ ile hesaplanır. $\Delta x$ pozitiftir, işareti belirleyen $f(x)$’tir.
2. $f(x) \geq 0$ olan bölgede terimler pozitiftir ve toplam gerçek alanı verir.
3. $f(x) < 0$ olan bölgede ise terimler negatif çıkar; integral oradaki alanı eksi işaretiyle sayar.
4. Denetleyelim: gerçek alan isteniyorsa eksenin altında kalan parçalar ayrılıp mutlak değerleri alınmalı. Örneğin $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$ çıkıyor ✓ oysa grafiğin altındaki gerçek alan $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ birim karedir.

9. $f(x) = x$ doğrusu ile $x$ ekseni arasında kalan ve $x=0$ ile $x=4$ doğruları arasındaki bölgenin alanı kaç birim karedir?

• A) 4
• B) 6
• C) 8
• D) 12
• E) 16

Doğru cevap: C — $\int_0^4 x\,dx = \frac{16}{2} - 0 = 8$ olduğundan bölgenin alanı 8 birim karedir.

1. $f(x) = x$ fonksiyonu $[0, 4]$ aralığında negatif değer almıyor; bu yüzden integral doğrudan alanı verir.
2. Ters türevi bulalım: $\int x\,dx = \frac{x^2}{2}$.
3. Uçları koyalım: $\frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{16}{2} - 0 = 8$ birim kare.
4. Denetleyelim: bölge, dik kenarları 4 ve $f(4) = 4$ olan bir dik üçgendir; alanı $\frac{4 \cdot 4}{2} = 8$ ✓ integralle aynı.

10. Tabloda integralin işareti verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan ifade hangisidir?

• A) Pozitif
• B) Belirlenemez
• C) Sıfır
• D) Tanımsız
• E) Negatif

Doğru cevap: E — Eksenin altında fonksiyon değerleri negatif olduğundan oradaki integral negatif çıkar.

1. İntegral, $f(x) \cdot \Delta x$ biçimindeki terimlerin toplamının limitidir.
2. Genişlik $\Delta x$ soldan sağa gidildiği için pozitiftir; işareti belirleyen yükseklik $f(x)$’tir.
3. Eksenin altında $f(x) < 0$ olduğundan her terim negatif olur ve toplamları da negatiftir.
4. Denetleyelim: $\int_{-1}^{0} x\,dx = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ ✓ bölge tümüyle eksenin altında ve sonuç gerçekten negatif çıktı.

11. İki eğri arasında kalan alanın hesabında hangi fonksiyonun çıkarılan olması gerektiği sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx

• A) Rastgele seçilir
• B) Aralıkta altta kalan fonksiyon çıkarılır; üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılır
• C) Büyük katsayılı olan
• D) Küçük dereceli olan
• E) İkisi de çıkarılır

Doğru cevap: B — Alanın pozitif çıkması için fark her zaman "üstteki eksi alttaki" biçiminde kurulur. Eğriler kesişiyorsa aralık kesim noktalarından bölünür.

1. Hangi eğrinin üstte olduğu belirlenir.
2. Üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılır.
3. Kesişme varsa aralık bölünür.

12. Riemann toplamının belirli integralle ilişkisi sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) İlişkinin bulunmaması
• B) İkisinin aynı olması
• C) Riemann toplamının türev vermesi
• D) Toplamın sıfır olması
• E) Bölge dikdörtgenlere ayrılarak yaklaşık alan bulunması; dikdörtgen sayısı sonsuza giderken toplamın belirli integrale yaklaşması

Doğru cevap: E — Riemann toplamı bölgeyi dikdörtgenlere ayırarak yaklaşık alan verir; dikdörtgen sayısı sonsuza giderken bu toplam belirli integrale yaklaşır.

1. $[a, b]$ aralığını $n$ eşit parçaya bölelim; her parçanın genişliği $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ olur.
2. Her parçada fonksiyonun bir değeri yükseklik seçilip dikdörtgen kurulur ve alanları toplanır: $\sum f(x_i)\,\Delta x$.
3. Bu toplam, eğrinin altındaki bölgenin yaklaşık alanıdır; dikdörtgen sayısı arttıkça basamaklı sınır eğriye daha çok benzer, hata küçülür.
4. Denetleyelim: $n \to \infty$ iken $\Delta x \to 0$ olur ve toplamın limiti $\int_a^b f(x)\,dx$ olarak tanımlanır ✓ belirli integralin tanımı zaten bu limittir.

13. Grafikte $f(x) = 2x$ doğrusu verilmiştir. Bu doğru ile $x$ ekseni arasında, $x=0$ ve $x=3$ arasında kalan alan kaç birim karedir?

• A) 9
• B) 6
• C) 3
• D) 12
• E) 18

Doğru cevap: A — $\int_0^3 2x\,dx = 3^2 - 0 = 9$ olduğundan taranan bölgenin alanı 9 birim karedir.

1. Grafikteki doğru $f(x) = 2x$; $[0, 3]$ aralığında değerleri negatif olmadığı için integral doğrudan alanı verir.
2. Ters türevi bulalım: $\int 2x\,dx = x^2$.
3. Uçları koyalım: $3^2 - 0^2 = 9 - 0 = 9$ birim kare.
4. Denetleyelim: bölge, tabanı 3 ve yüksekliği $f(3) = 6$ olan bir dik üçgendir; alanı $\frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ ✓ integralle aynı sayı.

14. Hızı $v(t)$ ile verilen bir cismin belirli bir zaman aralığında aldığı yolun integralle bulunmasının nedeni sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Nedenin bulunmaması
• B) İntegralin türev olması
• C) Hızın sabit olması
• D) Yolun hızın zamana göre birikimli toplamı olması; integralin de birikimi vermesi
• E) Zamanın sabit olması

Doğru cevap: D — Yol, hızın zaman boyunca birikmesiyle oluşur; integral de birikimi verdiği için yol $v(t)$ fonksiyonunun integraliyle bulunur.

1. Sabit hızda yol basitçe hız çarpı zamandır. Hız değişkense aralığı çok kısa dilimlere bölüp her dilimde hızı sabit saymak gerekir.
2. Her kısa dilimde alınan yol yaklaşık $v(t)\,\Delta t$ olur; bütün dilimler toplanınca toplam yola yaklaşılır.
3. Dilimler sonsuz küçüldüğünde bu toplam tam olarak $\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$ integraline dönüşür.
4. Denetleyelim: konumun türevi hızdır ve integral türev almanın tersini yapar ✓ birim olarak da metre bölü saniye ile saniyenin çarpımı metre, yani bir uzunluk veriyor.

15. Yukarıdaki bağıntının anlamı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

f_{ort} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

• A) Alanın iki katı
• B) Fonksiyonun en büyük değeri
• C) Fonksiyonun aralıktaki ortalama değeri
• D) Fonksiyonun türevi
• E) Aralığın uzunluğu

Doğru cevap: C — Bağıntı, fonksiyonun $[a,b]$ aralığındaki ortalama değerini verir.

1. Sonlu sayıda sayının ortalaması “toplam bölü adet” ile bulunur. Sürekli bir fonksiyonda toplamın yerini integral, adedin yerini aralık uzunluğu alır.
2. $\int_a^b f(x)\,dx$ toplam birikimi, $b - a$ ise aralığın uzunluğunu verir; bölüm ortalamayı üretir.
3. Geometrik karşılığı şudur: tabanı $b-a$ olan ve grafiğin altındaki bölgeyle aynı alana sahip dikdörtgenin yüksekliği.
4. Denetleyelim: $f(x) = 2x$ ve $[0,3]$ için ortalama $\frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ çıkıyor; fonksiyon bu aralıkta 0 ile 6 arasında değişiyor ve ortası 3 ✓ tutarlı.

16. Tek fonksiyonların simetrik aralıktaki belirli integralinin sıfır olmasının nedeni sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Fonksiyonun sıfır olması
• B) Sınırların eşit olması
• C) İntegralin tanımsız olması
• D) Eksenin üstünde ve altında kalan bölgelerin alanlarının eşit, işaretlerinin ters olması
• E) Nedenin bulunmaması

Doğru cevap: D — Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan simetrik aralıkta iki yandaki alanlar eşit, işaretleri ters olur ve integral sıfır çıkar.

1. Tek fonksiyonun tanımı: $f(-x) = -f(x)$. Yani bir noktanın solundaki değer, sağındakinin ters işaretlisidir.
2. Bu yüzden $[-a, 0]$ aralığındaki grafik, $[0, a]$ aralığındakinin orijine göre 180 derece döndürülmüş eşidir.
3. İki bölgenin alanları büyüklükçe eşittir, ama biri eksenin üstünde kalıp pozitif, öteki altında kalıp negatif katkı yapar; toplamları sıfırlanır.
4. Denetleyelim: $\int_{-2}^{2} x\,dx = \frac{4}{2} - \frac{4}{2} = 0$ ✓ oysa gerçek alan $2 + 2 = 4$ birim kare; sıfır olan işaretli toplamdır.

17. Yukarıda anlatılan durumda belirli bir sürede depoya dolan su miktarının nasıl bulunacağı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Debinin türevini almak
• B) Debiyi süreyle çarpmak yalnızca
• C) Debi fonksiyonunun o zaman aralığındaki belirli integralini hesaplamak
• D) Debiyi süreye bölmek
• E) Hesaplanamayacağı

Doğru cevap: C — Debi sabit olsaydı çarpma yeterdi; değiştiği için birikimi integral verir. Bu, integralin "değişen büyüklüklerin toplamı" işlevinin tipik örneğidir.

1. Debi zamanla değişiyor.
2. Çarpma yalnız sabit debide geçerlidir.
3. Birikim integralle bulunur.

18. Belirli integral hesabında ters türevdeki $+C$ sabitinin yazılmamasının nedeni sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Sabitin sıfır olması
• B) Çıkarma işleminde $C$ sabitlerinin birbirini götürmesi
• C) Sabitin tanımsız olması
• D) Ters türevin bulunmaması
• E) Nedenin bulunmaması

Doğru cevap: B — Belirli integralde $+C$ yazılmaz, çünkü çıkarma işleminde iki $C$ birbirini götürür.

1. Bir fonksiyonun sonsuz çok ters türevi vardır ve hepsi birbirinden yalnız bir sabitle ayrılır: $F(x) + C$.
2. Herhangi birini seçip temel teoremi uygulayalım: $[F(b) + C] - [F(a) + C]$.
3. Parantezler açılınca $F(b) - F(a) + C - C = F(b) - F(a)$ kalır; $C$ sonucu hiç etkilemez.
4. Denetleyelim: $\int_0^2 3x^2\,dx$ için ters türev olarak $x^3$ seçersek $8 - 0 = 8$; $x^3 + 7$ seçersek $15 - 7 = 8$ ✓ hangi ters türev seçilirse seçilsin sonuç aynı.

19. Bir fonksiyonun $[-2, 2]$ aralığındaki belirli integrali sıfır çıkmıştır. Bu sonuçtan çıkarılabilecek doğru yorum hangisidir?

• A) Fonksiyon her yerde sıfırdır
• B) İntegral yanlış hesaplanmıştır
• C) Alan sıfırdır
• D) Fonksiyon tanımsızdır
• E) Eksenin üstünde ve altında kalan bölgelerin işaretli katkıları birbirini götürmüştür; fonksiyon sıfır olmak zorunda değildir

Doğru cevap: E — İntegral işaretli değer verdiği için sonucun sıfır olması, eksenin altındaki ve üstündeki katkıların birbirini götürdüğü anlamına gelir; fonksiyon sıfır olmak zorunda değildir.

1. Belirli integral gerçek alanı değil işaretli alanı toplar: eksenin üstü artı, altı eksi sayılır.
2. Toplam sıfırsa iki türden katkı büyüklükçe eşitlenmiş demektir; her ikisinin de sıfır olması gerekmez.
3. Fonksiyonun her yerde sıfır olması yalnızca bir olasılıktır, tek olasılık değildir.
4. Denetleyelim: $f(x) = x$ için $\int_{-2}^{2} x\,dx = 2 - 2 = 0$ ✓ fonksiyon sıfır değil, ama işaretli toplam sıfır; gerçek alan ise 4 birim karedir.

20. Belirli integral bir sayıdır ve ters türev fonksiyonunun uçlardaki farkına eşittir; alan hesabında işaret gözetilmelidir. Bu bilgiye dayanarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez?

• A) Belirli integrali sıfır olan bir fonksiyonun grafiği altında hiç alan yoktur.
• B) Aralık bölünebilir, integraller toplanır.
• C) Riemann toplamı integralin tanımını verir.
• D) Belirli integralde $+C$ sadeleşir.
• E) Sınırlar yer değiştirince işaret değişir.

Doğru cevap: A — İntegrali sıfır olan bir fonksiyonun grafiği altında alan bulunabileceği için “hiç alan yoktur” yargısı söylenemez.

1. Metin iki şey söylüyor: belirli integral bir sayıdır ve alan hesabında işaret gözetilmelidir.
2. İşaret gözetildiği için eksenin altındaki bölge integrale negatif katkı yapar ve üstündeki pozitif katkıyı götürebilir.
3. Öyleyse integral sıfır olsa bile grafiğin altında gerçek alan bulunabilir; “hiç alan yoktur” yargısı bu yüzden söylenemez.
4. Denetleyelim: $\int_{-2}^{2} x\,dx = 0$ çıkıyor, ama iki üçgenin alanları toplamı $2 + 2 = 4$ birim kare ✓ tek bir karşı örnek yargıyı çürütüyor.