Diziler

1. Yukarıda bir dizinin genel terimi verilmiştir. Bu dizinin altıncı terimi sorulmaktadır. Buna göre a₆ kaçtır?

aₙ = 2n − 1

• A) 11
• B) 10
• C) 9
• D) 12
• E) 13

Doğru cevap: A — Genel terimde n yerine 6 yazılır: 2 × 6 − 1 = 11.

1. Genel terim, dizinin herhangi bir terimini sıra numarasından üreten kuraldır. Altıncı terim isteniyorsa n yerine 6 yazılır.
2. Yerine koyalım: a₆ = 2 × 6 − 1.
3. İşlem sırasına dikkat edelim; önce çarpma yapılır: 2 × 6 = 12, sonra 12 − 1 = 11.
4. Denetleyelim: dizinin ilk terimleri 1, 3, 5, 7, 9, 11 ✓ — altıncısı gerçekten 11.

2. Yukarıda karesel bir dizinin genel terimi verilmiştir. Dizinin dördüncü terimi sorulmaktadır. Buna göre a₄ kaçtır?

aₙ = n² + 1

• A) 9
• B) 17
• C) 16
• D) 15
• E) 18

Doğru cevap: B — Genel terimde n yerine 4 yazılır: 4² + 1 = 17.

1. Dördüncü terim istendiğine göre genel terimde n yerine 4 yazacağız.
2. İşlem sırası önemli: önce üs alınır, sonra toplama yapılır. 4² = 16.
3. Şimdi ekleyelim: 16 + 1 = 17.
4. Denetleyelim: ilk terimler 2, 5, 10, 17 ✓ — dördüncüsü 17.

3. Yukarıda bir aritmetik dizinin ilk dört terimi sırayla verilmiştir. Bu dizinin ortak farkı sorulmaktadır. Buna göre ortak fark kaçtır?

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 6
• E) 9

Doğru cevap: C — Aritmetik dizide ardışık terimlerin farkı sabittir: 9 − 4 = 5.

1. Ortak farkı bulmak için ardışık iki terimi çıkaralım; sıralama önemli, sonraki terimden önceki çıkarılır.
2. İkinci terimden birinciyi çıkaralım: 9 − 4 = 5.
3. Farkın gerçekten sabit olduğunu bir kez daha sınayalım: 14 − 9 = 5 ve 19 − 14 = 5. Ortak fark 5’tir.
4. Denetleyelim: her adımda 5 eklendiği için dizi 4, 9, 14, 19 diye ilerliyor ✓.

4. Yukarıda bir aritmetik dizinin ilk terimi ve ortak farkı verilmiştir. Dizinin sekizinci terimi sorulmaktadır. Buna göre a₈ kaçtır?

a₁ = 6, d = −2

• A) −6
• B) −4
• C) −10
• D) −8
• E) 8

Doğru cevap: D — aₙ = a₁ + (n − 1)d bağıntısında sekizinci terime 7 adımda ulaşılır: 6 + 7 × (−2) = −8.

1. Aritmetik dizide her adımda ortak fark bir kez eklenir. Birinci terimden sekizinciye gitmek için kaç adım atılır? Sekiz değil, YEDİ.
2. Bağıntıyı yazalım: a₈ = a₁ + 7d = 6 + 7 × (−2).
3. Ortak fark eksi olduğu için ekleme değil azaltma yapılır: 7 × (−2) = −14 ve 6 − 14 = −8.
4. Denetleyelim: terimleri sayalım ✓ — 6, 4, 2, 0, −2, −4, −6, −8; sekizincisi −8.

5. Yukarıda bir aritmetik dizinin ilk terimi ve ortak farkı verilmiştir. Dizinin genel terimi sorulmaktadır. Buna göre aₙ ifadesi hangisidir?

a₁ = 1, d = 4

• A) 4n + 1
• B) 3n − 4
• C) n + 4
• D) 4n − 1
• E) 4n − 3

Doğru cevap: E — aₙ = a₁ + (n − 1)d bağıntısı açılıp sadeleştirilir: 1 + 4(n − 1) = 4n − 3.

1. Genel terimi bulmak için bağıntıya değerleri yerleştirelim: aₙ = 1 + (n − 1) × 4.
2. Parantezi dağıtalım: 1 + 4n − 4.
3. Sabitleri toplayalım: 1 − 4 = −3, yani aₙ = 4n − 3.
4. Denetleyelim: n = 1 için 4 − 3 = 1 ✓ — ilk terim doğru; n = 2 için 5, fark yine 4.

6. Yukarıda bir aritmetik dizinin birinci ve yirminci terimleri verilmiştir. İlk yirmi terimin toplamı sorulmaktadır. Buna göre bu toplam kaçtır?

a₁ = 2, a₂₀ = 59

• A) 590
• B) 610
• C) 600
• D) 620
• E) 630

Doğru cevap: B — Aritmetik toplam Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 bağıntısıyla bulunur: 20 × 61 ÷ 2 = 610.

1. Toplam bağıntısının mantığını görelim: baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı hep aynıdır. Bu yüzden ilk ve son terimin toplamı, terim sayısıyla çarpılıp ikiye bölünür.
2. Değerleri yerleştirelim: a₁ = 2, a₂₀ = 59, n = 20. Önce köşeleri toplayalım: 2 + 59 = 61.
3. Şimdi bağıntıyı tamamlayalım: 20 × 61 ÷ 2 = 1220 ÷ 2 = 610.
4. Denetleyelim: ortalama terim 30,5 ve 20 terim var ✓ — 20 × 30,5 = 610, aynı sonuç.

7. Yukarıda ilk on beş doğal sayının toplamı verilmiştir. Bu toplamın değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

1 + 2 + 3 + … + 15 = ?

• A) 105
• B) 110
• C) 120
• D) 115
• E) 135

Doğru cevap: C — İlk n doğal sayının toplamı n(n + 1) ÷ 2 bağıntısıyla bulunur: 15 × 16 ÷ 2 = 120.

1. Bu da bir aritmetik toplam: ilk terim 1, son terim 15, terim sayısı 15.
2. Genel bağıntıyı bu özel duruma uygularsak n(n + 1) ÷ 2 biçimini alır.
3. Değerleri yerleştirelim: 15 × 16 = 240 ve 240 ÷ 2 = 120.
4. Denetleyelim: baştan sondan eşleştirelim ✓ — 1+15, 2+14, … her çift 16 ediyor; 7 çift ve ortada 8 kalıyor, 7 × 16 + 8 = 120.

8. Yukarıda bir geometrik dizinin ilk dört terimi sırayla verilmiştir. Bu dizinin ortak oranı sorulmaktadır. Buna göre ortak oran kaçtır?

• A) 6
• B) 3
• C) 4
• D) 2
• E) Bir bölü iki

Doğru cevap: D — Geometrik dizide ardışık terimlerin oranı sabittir: 6 ÷ 3 = 2.

1. Önce dizinin türünü belirleyelim. Farklara bakalım: 6 − 3 = 3, 12 − 6 = 6. Fark sabit değil, öyleyse aritmetik değil.
2. Oranlara bakalım: 6 ÷ 3 = 2 ve 12 ÷ 6 = 2. Oran sabit; dizi geometriktir.
3. Ortak oran 2’dir. Son terimle de sınayalım: 24 ÷ 12 = 2.
4. Denetleyelim: her terim bir öncekinin iki katı ✓ — 3, 6, 12, 24.

9. Yukarıda bir geometrik dizinin ilk terimi ve ortak oranı verilmiştir. Dizinin dördüncü terimi sorulmaktadır. Buna göre a₄ kaçtır?

a₁ = 5, r = 3

• A) 45
• B) 75
• C) 105
• D) 405
• E) 135

Doğru cevap: E — Geometrik dizide aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ bağıntısı kullanılır: 5 × 3³ = 135.

1. Dördüncü terime giderken ortak oranla kaç kez çarpılır? Dört değil, ÜÇ kez — çünkü ilk terim başlangıç noktasıdır.
2. Bağıntıyı yazalım: a₄ = a₁ · r³ = 5 × 3³.
3. Üssü hesaplayalım: 3³ = 27. Sonra çarpalım: 5 × 27 = 135.
4. Denetleyelim: terimleri tek tek üretelim ✓ — 5, 15, 45, 135.

10. Yukarıda bir geometrik dizinin ilk terimi ve ortak oranı verilmiştir. Dizinin genel terimi sorulmaktadır. Buna göre aₙ ifadesi hangisidir?

a₁ = 2, r = 4

• A) 2 × 4ⁿ⁻¹
• B) 2 × 4ⁿ
• C) 4 × 2ⁿ⁻¹
• D) 2ⁿ × 4
• E) 8ⁿ⁻¹

Doğru cevap: A — Genel terim bağıntısına değerler yerleştirilir: aₙ = 2 × 4ⁿ⁻¹.

1. Geometrik dizinin genel terim bağıntısını yazalım: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹.
2. Üsteki (n − 1) ifadesi önemli: ilk terime hiç çarpma uygulanmaz, bu yüzden üs sıfırdan başlar.
3. Değerleri yerleştirelim: a₁ = 2 ve r = 4, yani aₙ = 2 × 4ⁿ⁻¹.
4. Denetleyelim: n = 1 için 2 × 4⁰ = 2 ✓ — ilk terim doğru; n = 2 için 2 × 4 = 8, oran 4.

11. Yukarıda bir geometrik dizinin ilk beş teriminin toplamı verilmiştir. Toplamın değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = ?

• A) 15
• B) 32
• C) 31
• D) 63
• E) 30

Doğru cevap: C — Sonlu bir geometrik toplam olduğu için terimler doğrudan toplanır: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

1. Terimlere bakalım: her biri bir öncekinin iki katı, yani ortak oranı 2 olan geometrik bir dizi. Ama terim sayısı az olduğu için formüle gerek yok.
2. Sırayla toplayalım: 1 + 2 = 3, 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15.
3. Son terimi de ekleyelim: 15 + 16 = 31.
4. Denetleyelim: toplam her adımda bir sonraki terimin bir eksiği çıkıyor ✓ — 31, 32’nin bir eksiği.

12. Yukarıda ortak oranı bir bölü iki olan sonsuz bir geometrik dizi verilmiştir. Bu dizinin tüm terimlerinin toplamı sorulmaktadır. Buna göre toplam kaçtır?

a₁ = 8, r = 1/2

• A) 8
• B) 12
• C) 20
• D) 16
• E) 24

Doğru cevap: D — Ortak oranın büyüklüğü 1’den küçük olduğu için sonsuz toplam S = a₁ ÷ (1 − r) ile bulunur: 8 ÷ 0,5 = 16.

1. Sonsuz bir toplamın sonlu çıkabilmesi için terimlerin hızla küçülmesi gerekir. Burada r = 1/2 olduğundan her terim bir öncekinin yarısı; koşul sağlanıyor.
2. Bağıntıyı yazalım: S = a₁ ÷ (1 − r) = 8 ÷ (1 − 0,5).
3. Paydayı hesaplayalım: 1 − 0,5 = 0,5. Bölelim: 8 ÷ 0,5 = 16.
4. Denetleyelim: terimleri toplayalım ✓ — 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + … 16’ya yaklaşıyor ama onu geçmiyor.

13. Yukarıda bir dizinin genel terimi verilmiştir. Bu dizinin monotonluk durumu sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

aₙ = 5 − n

• A) Artan dizidir
• B) Yalnız ilk üç terimi artandır
• C) Sabit dizidir
• D) Monoton değildir
• E) Azalan dizidir

Doğru cevap: E — Her adımda terim 1 azaldığı için dizi azalandır.

1. Monotonluğu anlamak için ilk terimleri yazalım: n = 1, 2, 3, 4 için 4, 3, 2, 1.
2. Her terim bir öncekinden küçük. Bunu genel olarak da görebiliriz: n bir arttığında 5 − n ifadesi 1 azalır.
3. Azalma her adımda sürdüğü için dizi azalandır.
4. Denetleyelim: fark sabit ve eksi ✓ — d = −1, yani dizi aynı zamanda aritmetik.

14. Yukarıda terimleri bir bölü n olan bir dizi verilmiştir. Dizinin en büyük terimi sorulmaktadır. Buna göre en büyük terim kaçtır?

aₙ = 1/n

• A) 1
• B) Bir bölü iki
• C) 0
• D) 2
• E) En büyük terim yoktur

Doğru cevap: A — n büyüdükçe 1/n küçüldüğü için en büyük terim ilk terimdir: a₁ = 1.

1. İlk terimleri yazalım: 1, 1/2, 1/3, 1/4…
2. Paydanın büyümesi kesri küçültür. Öyleyse n arttıkça terimler sürekli azalıyor; dizi azalan.
3. Azalan bir dizide en büyük terim ilk terimdir: a₁ = 1/1 = 1.
4. Denetleyelim: terimler sıfıra yaklaşıyor ama sıfır olmuyor ✓ — en küçük terim yok, ama en büyük var.

15. Yukarıda indirgeme bağıntısıyla tanımlanmış bir dizi verilmiştir. Dizinin dördüncü terimi aranmaktadır. Buna göre bu terimin değeri kaçtır?

a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 3

• A) 8
• B) 11
• C) 10
• D) 9
• E) 14

Doğru cevap: B — İndirgeme bağıntısında her adımda 3 eklendiği için dizi aritmetiktir: 2, 5, 8, 11.

1. Bağıntıyı okuyalım: aₙ₊₁ = aₙ + 3. Her terim bir öncekine 3 EKLENEREK bulunuyor; öyleyse dizi aritmetik ve ortak farkı 3.
2. Terimleri üretelim: a₂ = 2 + 3 = 5, a₃ = 5 + 3 = 8.
3. Bir adım daha: a₄ = 8 + 3 = 11.
4. Denetleyelim: genel terimle de bulunur ✓ — a₄ = 2 + 3 × 3 = 11.

16. Yukarıda her terimin bir öncekinin iki katı olduğu bir dizi verilmiştir. Dizinin beşinci terimi sorulmaktadır. Buna göre a₅ kaçtır?

a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2aₙ

• A) 8
• B) 10
• C) 32
• D) 16
• E) 25

Doğru cevap: D — İndirgeme bağıntısında her adımda 2 ile çarpıldığı için dizi geometriktir: 1, 2, 4, 8, 16.

1. Bağıntıyı okuyalım: aₙ₊₁ = 2aₙ. Bu kez ekleme değil ÇARPMA var; öyleyse dizi geometrik ve ortak oranı 2.
2. Terimleri üretelim: a₂ = 2, a₃ = 4, a₄ = 8.
3. Bir adım daha: a₅ = 2 × 8 = 16.
4. Denetleyelim: genel terimle de bulunur ✓ — a₅ = 1 × 2⁴ = 16.

17. Bir merdivenin her basamağının yüksekliği 18 santimetredir. Zeminden başlayarak basamak yükseklikleri aritmetik bir dizi oluşturur. Buna göre on ikinci basamağın zeminden yüksekliği kaç santimetredir?

Her basamak: 18 cm

• A) 180
• B) 198
• C) 240
• D) 234
• E) 216

Doğru cevap: E — Sayım zeminden başladığı için on ikinci basamağa on iki adımda çıkılır: 12 × 18 = 216 cm.

1. Başlangıç noktasını belirleyelim: yükseklik zeminden ölçülüyor, yani sıfırdan başlıyoruz.
2. Her basamak 18 cm yükseltiyor. Zeminden birinci basamağa çıkmak bile bir adım, yani 18 cm.
3. Öyleyse on ikinci basamağa çıkmak için on iki kez 18 cm yükselinir: 12 × 18 = 216 cm.
4. Denetleyelim: burada (n − 1) kullanılmaz ✓ — çünkü ilk terim basamak değil, zemindeki sıfır yüksekliktir.

18. Bir fidanlıkta 400 fidan bulunmakta ve fidan sayısı her yıl bir önceki yılın 1,5 katına çıkmaktadır. Fidan sayıları geometrik bir dizi oluşturur. Buna göre 3 yıl sonra fidanlıkta kaç fidan olur?

Her yıl 1,5 katı

• A) 1350
• B) 1200
• C) 900
• D) 1800
• E) 600

Doğru cevap: A — Her yıl 1,5 ile çarpıldığı için üç yıl sonra 400 × 1,5³ = 1350 fidan olur.

1. Artışın türünü belirleyelim: sayı her yıl sabit bir miktar değil, bir önceki yılın 1,5 KATI oluyor. Öyleyse geometrik bir dizi.
2. Yıl yıl ilerleyelim: birinci yıl 400 × 1,5 = 600, ikinci yıl 600 × 1,5 = 900.
3. Üçüncü yıl: 900 × 1,5 = 1350 fidan. Toplu olarak 400 × 1,5³ = 400 × 3,375 = 1350.
4. Denetleyelim: üç yıl için üç çarpma yapıldı ✓ — başlangıç değeri sayıma girmiyor.

19. Tabloda bir aritmetik dizinin bazı terimleri verilmiştir. Tablodaki soru işaretiyle gösterilen terim sorulmaktadır. Buna göre a₂ kaçtır?

• A) 11
• B) 13
• C) 12
• D) 14
• E) 15

Doğru cevap: B — Aritmetik dizide ortadaki terim komşularının ortalamasıdır: (7 + 19) ÷ 2 = 13.

1. Aritmetik dizide a₁’den a₂’ye ve a₂’den a₃’e aynı fark eklenir. Öyleyse a₂, a₁ ile a₃’ün tam ortasındadır.
2. Ortalamayı alalım: 7 + 19 = 26 ve 26 ÷ 2 = 13.
3. İkinci terim 13’tür.
4. Denetleyelim: ortak farkı sınayalım ✓ — 13 − 7 = 6 ve 19 − 13 = 6; fark sabit çıkıyor.

20. Bir salonda ilk sırada 20 koltuk bulunmakta ve her sırada bir öncekinden 3 koltuk fazla yer almaktadır. Sıralardaki koltuk sayıları aritmetik bir dizi oluşturur. Buna göre onuncu sırada kaç koltuk vardır?

İlk sıra 20, her sıra 3 fazla

• A) 44
• B) 50
• C) 47
• D) 53
• E) 41

Doğru cevap: C — Onuncu sıraya dokuz adımda ulaşılır: a₁₀ = 20 + 9 × 3 = 47 koltuk.

1. Diziyi kuralım: ilk sırada 20 koltuk var ve her sırada 3 koltuk ekleniyor. Fark sabit olduğuna göre dizi aritmetik.
2. Onuncu sıraya giderken kaç kez 3 eklenir? Birinci sıra başlangıç noktası olduğu için dokuz kez.
3. Hesaplayalım: 9 × 3 = 27 ve 20 + 27 = 47 koltuk.
4. Denetleyelim: merdiven sorusuyla karıştırmayalım ✓ — orada sayım zeminden başlıyordu, burada birinci sıradan.