Değişimin Matematiği (1)

1. Tabloda bir fonksiyonun x = 2 noktasına yaklaşırkenki değerleri verilmiştir. Bu noktadaki limit sorulmaktadır. Tabloya göre bu değer kaçtır?

• A) 5
• B) 2
• C) 4,99
• D) 5,01
• E) Limit yoktur

Doğru cevap: A — Limit 5’tir; $x$ iki yandan 2’ye yaklaşırken fonksiyon değerleri 5’e yaklaşıyor.

1. Soldan yaklaşalım: $x = 1{,}9$ için değer 4,9 ve $x = 1{,}99$ için 4,99; sayılar 5’e doğru tırmanıyor.
2. Sağdan yaklaşalım: $x = 2{,}1$ için 5,1 ve $x = 2{,}01$ için 5,01; bu kez 5’e doğru iniliyor.
3. İki yönlü yaklaşma aynı sayıyı gösterdiğine göre limit vardır ve 5’e eşittir.
4. Denetleyelim: $x$’i 2’ye daha da yaklaştırıp 1,999 alsaydık değer 4,999 olurdu ✓; aradaki fark sıfıra gidiyor.

2. Tabloda bir noktadaki tek yönlü limitler verilmiştir. Bu noktadaki limitin varlığı sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yargı hangisidir?

• A) Limit 5'tir.
• B) Soldan ve sağdan limitler eşit olmadığı için limit yoktur.
• C) Limit 10'dur.
• D) Limit 3'tür.
• E) Limit 7'dir.

Doğru cevap: B — Soldan ve sağdan limitler eşit olmadığı için bu noktada limit yoktur.

1. Bir noktada limitin var olmasının koşulu tektir: soldan limit ile sağdan limit birbirine eşit olmalıdır.
2. Tabloyu okuyalım: soldan limit 3, sağdan limit 7.
3. $3$ ile $7$ eşit olmadığından fonksiyon o noktada tek bir değere yaklaşmıyor; grafikte 4 birimlik bir sıçrama var demektir.
4. Denetleyelim: limit var olsaydı hangi yönden yaklaşırsak yaklaşalım aynı sayıya varmamız gerekirdi ✓; burada varılan sayı yöne göre değiştiği için limit yoktur.

3. Yukarıda bir limit ifadesi verilmiştir. Bu limitin değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

lim(x→3) (2x + 1)

• A) 3
• B) 6
• C) 7
• D) 1
• E) 5

Doğru cevap: C — Limit 7’dir; polinom fonksiyonlar her noktada sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yapılır.

1. $2x + 1$ birinci dereceden bir polinomdur ve polinomlar bütün gerçek sayılarda süreklidir.
2. Süreklilikte limit ile fonksiyon değeri eşit olduğundan $x = 3$ doğrudan yerine konabilir.
3. Hesaplayalım: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
4. Denetleyelim: $x = 2{,}99$ için $6{,}98$, $x = 3{,}01$ için $7{,}02$ çıkıyor ✓; iki yandan da 7’ye yaklaşılıyor.

4. Yukarıda 0/0 belirsizliği doğuran bir limit verilmiştir. Bu limitin değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2)

• A) Tanımsız
• B) 0
• C) 2
• D) 4
• E) 8

Doğru cevap: D — Limit 4’tür; $0/0$ belirsizliği pay çarpanlarına ayrılıp sadeleştirilerek çözülür.

1. Önce doğrudan yerine koyalım: $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$; bu belirsizlik, pay ile paydanın ortak çarpanı olduğunu haber verir.
2. Payı iki kare farkı olarak ayıralım: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
3. Limitte $x$, 2’ye yaklaşır ama 2’ye eşit olmaz; $x - 2 \neq 0$ olduğu için sadeleştirebiliriz ve geriye $x + 2$ kalır, $x = 2$ için bu 4 eder.
4. Denetleyelim: $x = 1{,}99$ için $3{,}99$ ve $x = 2{,}01$ için $4{,}01$ okunur ✓; iki yandan da 4’e yaklaşılıyor.

5. Yukarıda sonsuzda bir limit verilmiştir. Bu limitin değeri sorulmaktadır. Buna göre elde edilen sonuç kaçtır?

lim(x→∞) (3x² + 5) / (x² − 1)

• A) −1
• B) 0
• C) 5
• D) Sonsuz
• E) 3

Doğru cevap: E — Limit 3’tür; pay ile paydanın dereceleri eşit olduğunda sonuç baş katsayıların oranıdır.

1. Derecelere bakalım: pay $3x^2 + 5$ ile ikinci, payda $x^2 - 1$ ile yine ikinci derecedendir.
2. Kuralın nedenini görelim: pay ve paydayı $x^2$’ye bölelim, $\frac{3 + 5/x^2}{1 - 1/x^2}$ elde edilir.
3. $x$ sonsuza giderken $5/x^2$ ve $1/x^2$ terimleri sıfıra iner; geriye $\frac{3}{1} = 3$ kalır.
4. Denetleyelim: $x = 1000$ alalım, pay $3.000.005$ ve payda $999.999$ olur; oranları 3’e çok yakın çıkıyor ✓.

6. Yukarıda sonsuzda bir limit verilmiştir. Payın derecesi paydadan küçük olduğuna göre bu limit sorulmaktadır. Buna göre hesaplanan değer kaçtır?

lim(x→∞) (2x + 1) / (x² + 3)

• A) 0
• B) 2
• C) 1/3
• D) Sonsuz
• E) 1

Doğru cevap: A — Limit 0’dır; payın derecesi paydanınkinden küçük olduğunda sonsuzdaki limit sıfır çıkar.

1. Dereceleri karşılaştıralım: pay $2x + 1$ ile birinci, payda $x^2 + 3$ ile ikinci derecedendir.
2. Pay ve paydayı $x^2$’ye bölelim: $\frac{2/x + 1/x^2}{1 + 3/x^2}$.
3. $x$ sonsuza giderken payda kalan terimlerin ikisi de sıfıra gider, paydada ise 1 kalır; oran $\frac{0}{1} = 0$ olur.
4. Denetleyelim: $x = 1000$ için pay 2001, payda $1.000.003$ ve oran yaklaşık $0{,}002$ ✓; $x$ büyüdükçe bu sayı sıfıra iniyor.

7. Yukarıda bir rasyonel fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun yatay asimptotunun denklemi sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

f(x) = (4x + 1) / (2x − 3)

• A) y = 4
• B) y = 2
• C) x = 2
• D) y = 0
• E) x = 3/2

Doğru cevap: B — Yatay asimptot $y = 2$ doğrusudur; dereceler eşit olduğu için baş katsayılar oranlanır.

1. Yatay asimptot, $x$ sonsuza giderken fonksiyon değerlerinin yaklaştığı $y$ değeridir.
2. Derecelere bakalım: pay $4x + 1$, payda $2x - 3$; ikisi de birinci dereceden, yani dereceler eşit.
3. Baş katsayıları oranlayalım: $\frac{4}{2} = 2$, öyleyse asimptot $y = 2$’dir.
4. Denetleyelim: $x = 1000$ için $\frac{4001}{1997} \approx 2{,}003$ çıkıyor ✓, değer 2’ye yaklaşıyor.

8. Yukarıda bir rasyonel fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun düşey asimptotu sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

f(x) = (x + 2) / (x − 6)

• A) y = 6
• B) x = −2
• C) x = 6
• D) y = 1
• E) x = 0

Doğru cevap: C — Düşey asimptot $x = 6$’dır; bu değerde payda sıfır, pay ise sıfırdan farklıdır.

1. Paydayı sıfıra eşitleyelim: $x - 6 = 0$, buradan $x = 6$.
2. Payı aynı noktada hesaplayalım: $6 + 2 = 8$, sıfırdan farklı. Pay da sıfır olsaydı ortak çarpan sadeleşir ve asimptot yerine bir delik oluşurdu.
3. Payda sıfıra giderken pay 8’de kaldığı için kesir mutlak değerce sınırsız büyür; öyleyse $x = 6$ bir düşey asimptottur.
4. Denetleyelim: $x = 6{,}01$ için $\frac{8{,}01}{0{,}01} = 801$ ✓, değer hızla fırlıyor.

9. Tabloda süreklilik koşulları verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Fonksiyonun a noktasında sürekli olması için bu koşulun durumu sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yanıt hangisidir?

• A) Yalnızca ilk koşul yeterlidir.
• B) Hayır olmalıdır.
• C) Fark etmez.
• D) Evet olmalıdır; üç koşul birlikte sağlanmalıdır.
• E) Yalnızca limit yeterlidir.

Doğru cevap: D — Boşluğa "Evet" gelir; süreklilik için üç koşulun birlikte sağlanması gerekir.

1. Süreklilik tanımının üç koşulunu yazalım: fonksiyon o noktada tanımlı olmalı, limiti var olmalı ve limit ile fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.
2. Tabloda ilk iki koşul "Evet" ile işaretlenmiş; boş bırakılan üçüncü satır ise eşitlik koşuludur.
3. İlk iki koşul sağlansa bile eşitlik kendiliğinden gelmez: bir noktada hem değer hem limit bulunup birbirinden farklı olabilir, o zaman grafikte kopuk bir nokta görünür.
4. Denetleyelim: süreklilik, grafiği o noktada kalem kaldırmadan çizebilmek demektir ve bu ancak limitin gösterdiği yer ile fonksiyonun bulunduğu yer aynıysa olur ✓; öyleyse üçüncü koşul da "Evet" olmalıdır.

10. Yukarıda bir fonksiyon ve bir nokta verilmiştir. Bu noktadaki süreklilik durumu sorulmaktadır. Buna göre doğru yargı hangisidir?

f(x) = (x² − 1)/(x − 1), x = 1

• A) Fonksiyon sabittir.
• B) Fonksiyon süreklidir.
• C) Limit yoktur.
• D) Limit sonsuzdur.
• E) Fonksiyon x = 1'de tanımsız olduğu için süreksizdir.

Doğru cevap: E — Fonksiyon $x = 1$’de tanımsız olduğu için süreksizdir; limitin bulunması bu sonucu değiştirmez.

1. $x = 1$ için paydaya bakalım: $1 - 1 = 0$ olur ve sıfıra bölme tanımsız olduğundan $f(1)$ diye bir değer yoktur.
2. Sürekliliğin ilk koşulu fonksiyonun o noktada TANIMLI olmasıdır; bu koşul daha baştan sağlanmıyor.
3. Limit ise vardır: $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$ sadeleşerek $x + 1$ olur ve $x$ 1’e giderken limit 2 çıkar. Ne var ki karşılaştırılacak bir $f(1)$ değeri bulunmadığı için süreklilik kurulamaz.
4. Denetleyelim: grafikte $(1, 2)$ noktasında boş bir delik vardır ✓ ve delik kesintisizliği bozar.

11. Tabloda parçalı tanımlı bir fonksiyon verilmiştir. x = 1 noktasındaki süreklilik durumu sorulmaktadır. Tabloya göre doğru yargı hangisidir?

• A) Soldan ve sağdan limitler 2'ye eşit olduğu için fonksiyon süreklidir.
• B) Fonksiyon süreksizdir.
• C) Limit yoktur.
• D) Soldan limit 1'dir.
• E) Sağdan limit 3'tür.

Doğru cevap: A — Soldan limit 2 × 1 = 2, sağdan limit 1 + 1 = 2'dir; f(1) = 2'dir.

1. Soldan limit 2 × 1 = 2'dir.
2. Sağdan limit 1 + 1 = 2'dir.
3. Değerler eşit olduğu için fonksiyon süreklidir.

12. Yukarıda 0/0 belirsizliği doğuran bir limit verilmiştir. Bu limitin değeri sorulmaktadır. Buna göre aranan sayı kaçtır?

lim(x→0) (x² + 3x) / x

• A) 0
• B) 3
• C) 1
• D) Tanımsız
• E) −3

Doğru cevap: B — Limit 3’tür; payda ortak çarpan olan $x$ paranteze alınıp sadeleştirilir.

1. Doğrudan yerine koyalım: $\frac{0 + 0}{0} = \frac{0}{0}$ çıkıyor, yani belirsizlik var.
2. Payda ortak çarpanı paranteze alalım: $x^2 + 3x = x(x + 3)$.
3. $x$, sıfıra yaklaşır ama sıfıra eşit olmaz; $x \neq 0$ olduğundan sadeleştirebiliriz ve geriye $x + 3$ kalır, $x = 0$ için bu 3 eder.
4. Denetleyelim: $x = 0{,}01$ için $\frac{0{,}0301}{0{,}01} = 3{,}01$ ve $x = -0{,}01$ için $2{,}99$ okunur ✓; iki yandan da 3’e yaklaşılıyor.

13. Grafikte doğrusal bir fonksiyon gösterilmiştir. x değeri 2'ye yaklaşırken fonksiyonun limiti sorulmaktadır. Grafiğe göre bu değer kaçtır?

• A) 4
• B) 2
• C) 3
• D) 1
• E) Limit yoktur

Doğru cevap: C — Limit 3’tür; grafik $x = 2$ noktasında kesintisizdir ve orada değer 3 okunur.

1. Grafikteki noktaları okuyalım: $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$ ve $(3, 4)$; her birim sağa gidildiğinde değer 1 arttığına göre doğrunun denklemi $f(x) = x + 1$’dir.
2. Çizgi kesintisizdir; kopukluk, delik ya da sıçrama görünmüyor.
3. Sürekli bir fonksiyonda limit, fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir: $f(2) = 2 + 1 = 3$, öyleyse limit de 3’tür.
4. Denetleyelim: soldan $x = 1{,}9$ için $2{,}9$, sağdan $x = 2{,}1$ için $3{,}1$ okunur ✓; iki yandan da 3’e yaklaşılıyor.

14. Yukarıda aynı noktada iki fonksiyonun limitleri verilmiştir. Bu fonksiyonların toplamının limiti sorulmaktadır. Buna göre bulunan değer kaçtır?

lim f(x) = 4, lim g(x) = −1

• A) 4
• B) 5
• C) −4
• D) 3
• E) −1

Doğru cevap: D — Toplamın limiti 3’tür; limitleri olan iki fonksiyonun toplamının limiti, limitlerin toplamıdır.

1. Kuralı yazalım: her iki limit ayrı ayrı varsa $\lim (f+g) = \lim f + \lim g$ olur.
2. Koşul sağlanıyor; verilen limitler 4 ve $-1$, ikisi de belirli birer sayı.
3. Toplayalım: $4 + (-1) = 3$.
4. Denetleyelim: $f$ değerleri 4 dolayına, $g$ değerleri $-1$ dolayına yerleşirken toplamları $4 - 1 = 3$ dolayına yerleşir ✓.

15. Yukarıda aynı noktada iki fonksiyonun limitleri verilmiştir. Bu fonksiyonların çarpımının limiti sorulmaktadır. Buna göre istenen değer kaçtır?

lim f(x) = 6, lim g(x) = 1/2

• A) 2
• B) 6,5
• C) 12
• D) 0,5
• E) 3

Doğru cevap: E — Çarpımın limiti 3’tür; limitleri olan iki fonksiyonun çarpımının limiti, limitlerin çarpımıdır.

1. Kuralı yazalım: her iki limit varsa $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$ olur.
2. Verilen değerleri yerine koyalım: $6$ ve $\frac{1}{2}$.
3. Çarpalım: $6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
4. Denetleyelim: $\frac{1}{2}$ ile çarpmak yarıya indirmek demektir ve 6’nın yarısı 3’tür ✓.

16. Yukarıda bir fonksiyon ve yaklaşılan nokta verilmiştir. Bu noktadaki limitin durumu sorulmaktadır. Buna göre doğru yargı hangisidir?

f(x) = |x| / x, x → 0

• A) Soldan −1, sağdan 1 olduğu için limit yoktur.
• B) Limit 0'dır.
• C) Limit 1'dir.
• D) Limit −1'dir.
• E) Limit sonsuzdur.

Doğru cevap: A — Negatif değerlerde |x| = −x olur ve oran −1'dir; pozitifte 1'dir.

1. x < 0 için |x| = −x, oran −1 olur.
2. x > 0 için |x| = x, oran 1 olur.
3. Tek yönlü limitler farklı, limit yoktur.

17. Yukarıda sabit bir fonksiyonun limiti istenmiştir. Bu limitin değeri sorulmaktadır. Buna göre bu değer kaçtır?

lim(x→5) 7

• A) 5
• B) 7
• C) 0
• D) 12
• E) Tanımsız

Doğru cevap: B — Limit 7’dir; sabit bir fonksiyonun limiti her noktada o sabite eşittir.

1. Buradaki fonksiyon $f(x) = 7$’dir; ifadede $x$ hiç geçmiyor, yani değer girdiye bağlı değil.
2. $x$, 5’e ister soldan ister sağdan yaklaşsın fonksiyonun aldığı değer hep 7 olarak kalır.
3. Değerlerin tamamı zaten 7 olduğuna göre yaklaşılan sayı da 7’dir.
4. Denetleyelim: $x = 4{,}99$ için değer 7, $x = 5{,}01$ için yine 7 ✓; grafik yatay bir doğrudur ve hiçbir yerde kırılmaz.

18. Tabloda asimptot türleri açıklanmış, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) Tanım kümesinin sınırı
• B) Fonksiyonun sıfır olduğu nokta
• C) x sonsuza giderken fonksiyonun yaklaştığı değer
• D) Kökün konumu
• E) Tepe noktası

Doğru cevap: C — Boşluğa "x sonsuza giderken fonksiyonun yaklaştığı değer" gelir; yatay asimptot uçtaki davranışı anlatır.

1. Tablodaki ilk satır ölçütü veriyor: düşey asimptot, belirli bir $x$ değerinde fonksiyonun sınırsız büyümesini anlatıyor, yani o noktanın yakın çevresindeki davranışı.
2. Yatay asimptot bunun tamamlayıcısıdır: $x$ sonsuza ya da eksi sonsuza giderken fonksiyon değerlerinin yaklaştığı sabit $y$ değeridir.
3. Örnekle görelim: $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonunda $x$ büyüdükçe değer sıfıra iner, öyleyse yatay asimptot $y = 0$’dır.
4. Denetleyelim: düşey asimptot bir $x$ değeri, yatay asimptot ise bir $y$ değeri verir ✓; boşluğa gelen açıklama da bir değere yaklaşmayı anlatmalıdır.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Limit sürekliliği garanti eder.
• B) Limit hiç var olamaz.
• C) Süreklilik limitten bağımsızdır.
• D) Limitin varlığı yetmez; fonksiyonun o noktada tanımlı ve değerinin limite eşit olması da gerekir.
• E) Tanımlılık gereksizdir.

Doğru cevap: D — Öğrencinin hatası, limitin varlığını sürekliliğe yeterli saymasıdır; ayrıca tanımlılık ve eşitlik de gerekir.

1. Süreklilik üç koşul ister: $f(3)$ tanımlı olacak, o noktada limit var olacak ve limit ile $f(3)$ birbirine eşit olacak.
2. Öğrenci yalnız ikinci koşulu doğrulamış, kalan ikisini denetlememiştir.
3. Karşı örnek verelim: $f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$ fonksiyonunun $x = 3$’teki limiti 6’dır, ama $f(3)$ tanımsız olduğu için fonksiyon orada süreksizdir.
4. Denetleyelim: limit, fonksiyonun o noktaya NEREDEN yaklaştığını söyler; o noktada NE olduğunu söylemez ✓ ve süreklilik bu ikisinin çakışmasını ister.

20. Kartlarda bu temanın üç temel kavramı verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Limit yaklaşmayı anlatmaz.
• C) Süreklilik kesintisizlikle ilgisizdir.
• D) Asimptot uç davranışı göstermez.
• E) Limit, süreklilik ve asimptot; bir fonksiyonun bir nokta çevresindeki ve uçlardaki davranışını birlikte tanımlar.

Doğru cevap: E — Kartlar birlikte; limit, süreklilik ve asimptotun bir fonksiyonun nokta çevresindeki ve uçlardaki davranışını tanımladığını söyler.

1. Birinci kart limiti veriyor: limit, bir noktaya yaklaşırken değerlerin nereye gittiğini anlatır.
2. İkinci kart sürekliliği ekliyor: süreklilik, yaklaşılan yer ile bulunulan yerin çakışmasıdır, yani kesintisizlik.
3. Üçüncü kart asimptotu getiriyor: asimptot, $x$ çok büyürken ya da payda sıfıra giderken grafiğin yaklaştığı doğruyu gösterir; bu, uçtaki davranıştır.
4. Denetleyelim: ilk iki kart tek bir noktanın çevresini, üçüncüsü uçları anlatıyor ✓; hepsini birleştiren yargı, bu üç kavramın fonksiyonun davranışını birlikte tanımladığıdır.