Geometrik Şekiller

1. Tabloda aynı yayı gören açılar verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Merkez açı ile çevre açı ilişkisine göre bu boşluğa gelmesi gereken değer hangisidir?

• A) 40°
• B) 80°
• C) 160°
• D) 20°
• E) 100°

Doğru cevap: A — Aynı yayı gören çevre açı, merkez açının yarısıdır: $80° \div 2 = 40°$.

1. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir; yay $80°$’dir.
2. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın yarısıdır.
3. Çevre açı $= 80° \div 2 = 40°$.
4. Denetleyelim: çevre açının iki katı $2 \times 40° = 80°$, merkez açıya eşit ✓.

2. Yukarıda çemberde bir açı durumu anılmıştır. Çapı gören çevre açının ölçüsü sorulmaktadır. Buna göre bu açı kaç derecedir?

Çapı gören çevre açı

• A) 180
• B) 90
• C) 60
• D) 45
• E) 120

Doğru cevap: B — Çap çemberi $180°$’lik iki yaya böler; bu yayı gören çevre açı $180° \div 2 = 90°$’dir.

1. Çapın uçları çemberi iki yarım çembere ayırır; her yarım çemberin ölçüsü $180°$’dir.
2. Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır.
3. Çapı gören çevre açı $= 180° \div 2 = 90°$; yani açı diktir.
4. Denetleyelim: çapın uçları ve çember üzerindeki üçüncü nokta dik üçgen oluşturur; bu üçgende diğer iki açının toplamı $180° - 90° = 90°$ olur ✓.

3. Tabloda kiriş özellikleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) Çapa eşittir
• B) Merkezden farklı uzaklıktadır
• C) Merkeze eşit uzaklıktadır
• D) Teğettir
• E) Kesişmez

Doğru cevap: C — Bir çemberde eşit uzunluktaki kirişler merkeze eşit uzaklıktadır.

1. Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar; kirişin yarısı, dikme ve yarıçap bir dik üçgen oluşturur.
2. Pisagor bağıntısıyla: (merkeze uzaklık)$^2$ + (kirişin yarısı)$^2$ = $r^2$.
3. İki kiriş eşitse yarıları da eşittir; $r$ aynı olduğundan merkeze uzaklıkları da eşit çıkar.
4. Denetleyelim: $r = 5$ ve kiriş 8 ise yarısı 4, uzaklık $\sqrt{25 - 16} = 3$; aynı uzunluktaki her kiriş için sonuç yine 3 çıkar ✓.

4. Yukarıda çemberde bir durum anılmıştır. Bu iki doğrunun birbirine göre konumu sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

Teğet ile değme noktasına çizilen yarıçap

• A) Açı 45°'dir
• B) Birbirine paraleldir
• C) Çakışıktır
• D) Birbirine diktir
• E) Konum belirlenemez

Doğru cevap: D — Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir.

1. Teğet çembere yalnızca bir noktada değer; çemberin diğer bütün noktaları teğetin aynı tarafında kalır.
2. Merkezden teğet doğrusuna olan en kısa uzaklık dikme uzunluğudur. Teğetin çembere en yakın noktası değme noktası olduğundan, merkezden değme noktasına giden yarıçap bu dikmedir.
3. Öyleyse yarıçap ile teğet arasındaki açı $90°$’dir.
4. Denetleyelim: açı $90°$’den farklı olsaydı merkezden doğruya yarıçaptan daha kısa bir dikme inerdi; doğru çemberin içine girer ve iki noktada keserdi, teğet olmazdı ✓.

5. Tabloda kirişler dörtgeninin karşılıklı açıları verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Karşı açıların özelliği dikkate alındığında bu boşluğa gelmesi gereken değer hangisidir?

• A) 85°
• B) 75°
• C) 90°
• D) 115°
• E) 105°

Doğru cevap: E — Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir: $180° - 75° = 105°$.

1. Kirişler dörtgeninin dört köşesi de aynı çember üzerindedir.
2. A ve C karşılıklı çevre açılardır; birlikte bütün çemberi (360°) görürler, bu yüzden toplamları $360° \div 2 = 180°$ olur.
3. $C = 180° - 75° = 105°$.
4. Denetleyelim: $75° + 105° = 180°$ ✓.

6. Yukarıda bir dairenin yarıçapı verilmiştir. Bu dairenin alanı π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre alan hangisidir?

Yarıçap 6 br

• A) 36π br²
• B) 12π br²
• C) 6π br²
• D) 18π br²
• E) 72π br²

Doğru cevap: A — Dairenin alanı $\pi r^2$’dir; $r = 6$ için alan $36\pi$ br²’dir.

1. Alan formülü: $A = \pi r^2$.
2. Yarıçapın karesi: $6^2 = 36$.
3. $A = 36\pi$ br².
4. Denetleyelim: $\pi \approx 3$ alınırsa alan yaklaşık 108 br² olur; kenarı 12 olan karenin alanı 144’tür ve dairenin bu karenin içine sığdığı düşünülünce sonuç makul ✓.

7. Yukarıda bir daire diliminin ölçüleri verilmiştir. Bu dilimin alanı π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre alan hangisidir?

Yarıçap 6 br, merkez açı 60°

• A) 36π br²
• B) 6π br²
• C) 12π br²
• D) 3π br²
• E) 18π br²

Doğru cevap: B — Daire dilimi alanı $\dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$’dir: $\dfrac{60}{360} \cdot 36\pi = 6\pi$ br².

1. Tam dairenin alanı: $\pi \cdot 6^2 = 36\pi$.
2. Dilim, tam dairenin $\dfrac{60°}{360°} = \dfrac{1}{6}$’sıdır.
3. Dilim alanı: $36\pi \div 6 = 6\pi$ br².
4. Denetleyelim: 60°’lik 6 dilim tam daireyi oluşturur, $6 \times 6\pi = 36\pi$ ✓.

8. Yukarıda bir yayın ölçüleri verilmiştir. Bu yayın uzunluğu π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre uzunluk hangisidir?

Yarıçap 9 br, merkez açı 120°

• A) 3π br
• B) 18π br
• C) 6π br
• D) 9π br
• E) 12π br

Doğru cevap: C — Çevre 18π'dir; yay (120 ÷ 360) × 18π = 6π br'dir.

1. Çember çevresi 2π × 9 = 18π'dir.
2. Yay oranı 120 ÷ 360 = 1/3'tür.
3. 18π ÷ 3 = 6π br bulunur.

9. Tabloda doğru-çember konumları verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) 3
• B) 2
• C) 0
• D) 1
• E) Sonsuz

Doğru cevap: D — Teğet doğru çembere yalnızca bir noktada değer; ortak nokta sayısı 1’dir.

1. Doğru ile çemberin konumu ortak nokta sayısıyla sınıflanır.
2. Kesen doğru çemberin içinden geçer ve 2 noktada keser; doğru çemberin dışından geçerse 0 ortak nokta olur.
3. Teğet bu iki durum arasındaki sınırdır: doğru çembere dokunur, içine girmez. Ortak nokta sayısı 1’dir.
4. Denetleyelim: merkezin doğruya uzaklığı $d$ ise $d < r$ iken 2, $d = r$ iken 1, $d > r$ iken 0 ortak nokta vardır; teğette $d = r$ ✓.

10. Yukarıda çemberde bir durum verilmiştir. Bu teğet parçalarının uzunlukları sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

Bir dış noktadan çembere çizilen iki teğet

• A) Belirlenemez
• B) Biri ötekinin iki katıdır
• C) Uzunlukları farklıdır
• D) Yarıçapa eşittir
• E) Uzunlukları birbirine eşittir

Doğru cevap: E — Bir dış noktadan çembere çizilen iki teğet parçasının uzunlukları birbirine eşittir.

1. Dış noktaya P, değme noktalarına A ve B, merkeze O diyelim. Teğet yarıçapa dik olduğu için OAP ve OBP açıları $90°$’dir.
2. OAP ve OBP dik üçgenlerinde OA = OB (yarıçap) ve hipotenüs OP ortaktır.
3. Hipotenüsü ve bir dik kenarı eşit olan dik üçgenler eştir; öyleyse PA = PB.
4. Denetleyelim: $r = 3$, $OP = 5$ alırsak Pisagor ile $PA = PB = \sqrt{25 - 9} = 4$ ✓; iki parça aynı çıkar.

11. Yukarıda bir çemberin çapı verilmiştir. Bu çemberin çevresi sorulmaktadır. Buna göre çevre kaç birimdir?

Çap 14 br, π ≈ 22/7

• A) 44
• B) 22
• C) 88
• D) 28
• E) 14

Doğru cevap: A — Çemberin çevresi $\pi d$’dir: $\dfrac{22}{7} \cdot 14 = 44$ br.

1. Çevre formülü: $Ç = 2\pi r = \pi d$. Çap verildiği için $\pi d$ kullanmak kısadır.
2. $\dfrac{22}{7} \cdot 14$ işleminde $14 \div 7 = 2$ sadeleşir.
3. $22 \times 2 = 44$ br.
4. Denetleyelim: yarıçap $r = 7$ ile $2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot 7 = 44$ ✓.

12. Tabloda bir dış noktadan çizilen teğet ve kesen verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Teğet-kesen bağıntısına göre bu bölüme yazılacak değer hangisidir?

• A) 10 br
• B) 9 br
• C) 24 br
• D) 12 br
• E) 8 br

Doğru cevap: B — Teğet-kesen bağıntısı: $t^2 = \text{dış parça} \times \text{kesenin tamamı}$; $36 = 4 \cdot x$ ve $x = 9$ br.

1. Aynı dış noktadan çizilen teğet ve kesen için $t^2 = a \cdot (a + b)$ bağıntısı vardır; burada $a$ dış parça, $a + b$ kesenin tamamıdır.
2. Teğet parçası 6 br: $t^2 = 6^2 = 36$.
3. $36 = 4 \cdot x$ denkleminden $x = 36 \div 4 = 9$ br.
4. Denetleyelim: $4 \times 9 = 36 = 6^2$ ✓; kesenin çember içindeki parçası $9 - 4 = 5$ br çıkar ve pozitif olduğu için geometrik olarak da uygundur.

13. Tabloda çemberde açı ölçüleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tablodaki boşluk nasıl doldurulmalıdır?

• A) Yayların toplamı
• B) Yayların toplamının yarısı
• C) Gördüğü iki yayın farkının yarısı
• D) Yayların farkı
• E) Her zaman 90°

Doğru cevap: C — Çember dışında kesişen iki kesenin oluşturduğu açı, gördüğü iki yayın farkının yarısıdır.

1. İç açıda (kirişler çemberin içinde kesişir) açı, gördüğü iki yayın toplamının yarısıdır.
2. Dış açıda tepe çemberin dışındadır; açının kolları büyük yayı görür ama küçük yay onu "geri çeker". Bu yüzden yaylar çıkarılır: $\alpha = \dfrac{\text{büyük yay} - \text{küçük yay}}{2}$.
3. Tabloya gelmesi gereken ifade: gördüğü iki yayın farkının yarısı.
4. Denetleyelim: yaylar 100° ve 40° ise dış açı $(100 - 40) \div 2 = 30°$; tepe noktası çembere yaklaştıkça küçük yay sıfıra iner ve açı çevre açıya ($100 \div 2$) dönüşür ✓.

14. Tabloda eş merkezli iki dairenin yarıçapları verilmiştir. Aralarında kalan halkanın alanı π cinsinden sorulmaktadır. Tabloya göre bu alan hangisidir?

• A) 4π br²
• B) 25π br²
• C) 9π br²
• D) 16π br²
• E) 34π br²

Doğru cevap: D — Halkanın alanı iki dairenin alanlarının farkıdır: $25\pi - 9\pi = 16\pi$ br².

1. Dış daire: $\pi \cdot 5^2 = 25\pi$.
2. İç daire: $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$.
3. Halka $= 25\pi - 9\pi = 16\pi$ br².
4. Denetleyelim: formül olarak $\pi(R^2 - r^2) = \pi(5 - 3)(5 + 3) = \pi \cdot 2 \cdot 8 = 16\pi$ ✓.

15. Tabloda aynı yayı gören çevre açılar verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Eksik bırakılan bölüm hangi seçenektedir?

• A) 55°
• B) 70°
• C) 17,5°
• D) 145°
• E) 35°

Doğru cevap: E — Aynı yayı gören çevre açılar eşittir; ikinci açı da $35°$’dir.

1. Çevre açının ölçüsü, tepe noktasının çember üzerinde nerede olduğuna değil, gördüğü yaya bağlıdır.
2. Birinci açı $35°$ ise gördüğü yay $2 \times 35° = 70°$’dir.
3. Aynı $70°$’lik yayı gören ikinci çevre açı $70° \div 2 = 35°$ olur.
4. Denetleyelim: iki açı da aynı 70°’lik yayın yarısı ✓.

16. Yukarıda bir çeyrek dairenin ölçüleri verilmiştir. Bu dilimin yay uzunluğu π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre uzunluk hangisidir?

Yarıçap 10 br, merkez açı 90°

• A) 5π br
• B) 20π br
• C) 10π br
• D) 2,5π br
• E) 15π br

Doğru cevap: A — Yay uzunluğu $\dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$’dir: $\dfrac{90}{360} \cdot 20\pi = 5\pi$ br.

1. Tam çevre: $2\pi \cdot 10 = 20\pi$.
2. $90°$ tam açının $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$’üdür.
3. Yay uzunluğu $= 20\pi \div 4 = 5\pi$ br.
4. Denetleyelim: dört çeyrek yay tam çemberi oluşturur, $4 \times 5\pi = 20\pi$ ✓.

17. Yukarıda bir çemberin merkezi ve yarıçapı verilmiştir. Bu çemberin analitik denklemi sorulmaktadır. Buna göre denklem hangisidir?

Merkez (0, 0), yarıçap 5

• A) x² + y² = 5
• B) x² + y² = 25
• C) x + y = 5
• D) x² − y² = 25
• E) (x − 5)² + y² = 0

Doğru cevap: B — Merkezi orijin olan çemberin denklemi $x^2 + y^2 = r^2$’dir; $r = 5$ için $x^2 + y^2 = 25$.

1. Çember, merkeze uzaklığı $r$ olan noktaların kümesidir. $(x, y)$ noktasının orijine uzaklığı $\sqrt{x^2 + y^2}$’dir.
2. Koşul: $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$; iki tarafın karesini alırsak $x^2 + y^2 = 25$.
3. Denklem $x^2 + y^2 = 25$ olur.
4. Denetleyelim: $(3, 4)$ noktası için $9 + 16 = 25$ ✓; bu noktanın orijine uzaklığı gerçekten 5’tir.

18. Yukarıdaki uygulamada gereken tel uzunluğu sorulmaktadır. π ≈ 22/7 alındığında bu uzunluk kaç metredir?

• A) 154
• B) 22
• C) 44
• D) 14
• E) 49

Doğru cevap: C — Tel çevre boyunca çekileceği için çevre hesaplanır: $2\pi r = 2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot 7 = 44$ m.

1. Tel havuzun kenarını dolaşır; istenen uzunluk çemberin çevresidir, alanı değil.
2. $Ç = 2\pi r = 2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot 7$.
3. 7’ler sadeleşir: $2 \times 22 = 44$ m.
4. Denetleyelim: çap 14 m ile $\pi d = \dfrac{22}{7} \cdot 14 = 44$ ✓.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Alan üç katına çıkar.
• B) Alan değişmez.
• C) Alan yarıya iner.
• D) Alan yarıçapın karesiyle orantılıdır; dört katına çıkar.
• E) Yarıçap alanı etkilemez.

Doğru cevap: D — Alan $\pi r^2$ olduğundan yarıçapın karesiyle orantılıdır; yarıçap iki katına çıkınca alan dört katına çıkar.

1. İlk alan: $A_1 = \pi r^2$.
2. Yarıçap $2r$ olursa: $A_2 = \pi (2r)^2 = \pi \cdot 4r^2 = 4\pi r^2$.
3. Oran: $A_2 \div A_1 = 4$; alan dört katına çıkar, öğrencinin "iki katı" dediği değer yanlıştır.
4. Denetleyelim: $r = 1$ için alan $\pi$, $r = 2$ için $4\pi$ ✓.

20. Kartlarda çemberin üç temel kuralı verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Açıların yayla ilgisi yoktur.
• C) Teğet yarıçapa dik değildir.
• D) Alan yarıçapla orantılıdır.
• E) Çemberde açı, uzunluk ve alan; yay ve yarıçap üzerinden birbirine bağlanır.

Doğru cevap: E — Kartlar çemberdeki açı, uzunluk ve alan bağıntılarının yay ve yarıçap üzerinden birbirine bağlandığını gösterir.

1. Birinci kart açıların yayla ölçüldüğünü söyler: merkez açı yaya eşit, çevre açı yayın yarısıdır.
2. İkinci kart teğet ile yarıçapın dik olduğunu ekler; teğet parçaları ve teğet-kesen bağıntıları bu diklikten çıkar.
3. Üçüncü kart alanın yarıçapın karesiyle arttığını gösterir ($\pi r^2$). Üç kartın ortak dayanağı yay ve yarıçaptır.
4. Denetleyelim: daire dilimi alanı $\dfrac{\alpha}{360°} \pi r^2$ hem açı-yay bağını hem de alan bağıntısını birlikte kullanıyor ✓; kartlar birbirinden bağımsız değil.