Trigonometri

1. Yukarıda iki açının toplamının sinüsü verilmiştir. Bu ifadenin değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

sin(30° + 60°) = ?

• A) 1
• B) Bir bölü iki
• C) 0
• D) Kök üç bölü iki
• E) Kök iki bölü iki

Doğru cevap: A — Açılar toplanınca $30°+60°=90°$ olur ve $\sin 90°=1$ dir.

1. Parantezin içini toplayalım: $30°+60°=90°$. İki açı tümler olduğundan toplamları dik açı çıkıyor.
2. Birim çemberde 90° lik açının bitim noktası $(0,1)$ dir. Sinüs bu noktanın ordinatı olduğuna göre $\sin 90°=1$.
3. Öyleyse $\sin(30°+60°)=1$ bulunur.
4. Denetleyelim: toplam formülüyle de hesaplayalım — $\sin 30°\cos 60°+\cos 30°\sin 60°=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$ ✓.

2. Yukarıda kosinüs toplam formülünün açılımı verilmiştir. Bu ifadenin değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

cos 60° × cos 30° − sin 60° × sin 30°

• A) Bir bölü iki
• B) 0
• C) 1
• D) Kök üç bölü iki
• E) −1

Doğru cevap: B — İfade kosinüs toplam formülünün açılımıdır: $\cos(60°+30°)=\cos 90°=0$.

1. Kalıbı tanıyalım: $\cos a\cos b-\sin a\sin b$ ifadesi $\cos(a+b)$ nin açılımıdır. Aradaki eksi işareti kosinüs toplam formülünün imzasıdır.
2. $a=60°$ ve $b=30°$ alalım; ifade $\cos(60°+30°)=\cos 90°$ olur.
3. Birim çemberde 90° lik açının bitim noktası $(0,1)$ dir. Kosinüs apsis olduğundan $\cos 90°=0$ bulunur.
4. Denetleyelim: değerleri tek tek koyalım — $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=0$ ✓.

3. Yukarıda 75 derecenin sinüsü toplam biçiminde yazılmıştır. Bu değerin kök cinsinden karşılığı sorulmaktadır. Buna göre sin 75° kaçtır?

sin 75° = sin(45° + 30°)

• A) (Kök 6 − Kök 2) bölü 4
• B) Kök 2 bölü 2
• C) (Kök 6 + Kök 2) bölü 4
• D) Kök 3 bölü 2
• E) (Kök 3 + 1) bölü 2

Doğru cevap: C — sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b açılımı (Kök 6 + Kök 2) bölü 4 verir.

1. Toplam formülü yazılır: sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30.
2. Bilinen değerler yerine konur.
3. Sadeleştirilince (Kök 6 + Kök 2) bölü 4 bulunur.

4. Yukarıda 15 derecenin kosinüsü fark biçiminde yazılmıştır. Bu değerin kök cinsinden karşılığı sorulmaktadır. Buna göre cos 15° kaçtır?

cos 15° = cos(45° − 30°)

• A) (Kök 6 − Kök 2) bölü 4
• B) Bir bölü iki
• C) Kök 3 bölü 2
• D) (Kök 6 + Kök 2) bölü 4
• E) Kök 2 bölü 2

Doğru cevap: D — cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b açılımı (Kök 6 + Kök 2) bölü 4 verir.

1. Fark formülü yazılır: cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30.
2. Bilinen değerler yerine konur.
3. Sadeleştirilince (Kök 6 + Kök 2) bölü 4 bulunur.

5. Yukarıda bir x açısının sinüs ve kosinüs değerleri verilmiştir. Bu açının iki katının sinüsü sorulmaktadır. Buna göre sin 2x kaçtır?

sin x = 3/5, cos x = 4/5

• A) 7/25
• B) 12/25
• C) 6/5
• D) 4/5
• E) 24/25

Doğru cevap: E — İki kat açı formülünden $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}$ bulunur.

1. İki kat açı formülünü yazalım: $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
2. Verilenleri koyalım ve önce kesirleri çarpalım: $\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{12}{25}$.
3. Formüldeki $2$ katsayısıyla çarpalım: $2\cdot\dfrac{12}{25}=\dfrac{24}{25}$.
4. Denetleyelim: $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{9+16}{25}=1$ ✓ — verilen değerler temel özdeşliği sağlıyor, ayrıca $\dfrac{24}{25}<1$ olması sinüs için gereken koşula uyuyor.

6. Yukarıda bir açının sinüsü ve iki kat açı formülü verilmiştir. Bu açının iki katının kosinüsü sorulmaktadır. Buna göre cos 2x kaçtır?

sin x = 1/2 , cos 2x = 1 − 2sin²x

• A) 0
• B) Bir bölü iki
• C) 1
• D) −Bir bölü iki
• E) Kök 3 bölü 2

Doğru cevap: B — Verilen formülde $\sin x=\dfrac{1}{2}$ yerine konunca $\cos 2x=1-2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$ bulunur.

1. Verilenleri yazalım: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ ve $\sin x=\dfrac{1}{2}$.
2. Önce kareyi alalım: $\sin^2 x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$.
3. Formüle yerleştirelim: $1-2\cdot\dfrac{1}{4}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
4. Denetleyelim: $\sin x=\dfrac{1}{2}$ için $x=30°$ alınabilir ve $\cos 60°=\dfrac{1}{2}$ ✓ — iki yol aynı değeri veriyor.

7. Yukarıda bir açının tanjant değeri verilmiştir. Bu açının iki katının tanjantı sorulmaktadır. Buna göre tan 2x kaçtır?

tan x = 1/3

• A) 1/3
• B) 2/3
• C) 3/4
• D) 4/3
• E) 1

Doğru cevap: C — tan 2x = 2 tan x ÷ (1 − tan²x) = (2/3) ÷ (8/9) = 3/4 bulunur.

1. Formül tan 2x = 2 tan x ÷ (1 − tan²x) yazılır.
2. Pay 2 × 1/3 = 2/3 olur.
3. Payda 1 − 1/9 = 8/9 olur; bölme sonucu 3/4 bulunur.

8. Yukarıda trigonometrinin temel özdeşliği verilmiştir. Bu ifadenin değeri aranmaktadır. Buna göre toplam kaça eşittir?

sin²x + cos²x = ?

• A) 0
• B) x
• C) 2
• D) 1
• E) sin 2x

Doğru cevap: D — Birim çemberde Pisagor bağıntısından her $x$ için $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ olur.

1. Birim çemberi düşünelim: merkezi başlangıç noktası, yarıçapı $1$ birim. $x$ açısının çember üzerindeki bitim noktasının koordinatları $(\cos x,\ \sin x)$ tir.
2. Bu noktadan $x$ eksenine dikme inelim: dik kenarları $|\cos x|$ ile $|\sin x|$, hipotenüsü ise yarıçap yani $1$ olan bir dik üçgen çıkar.
3. Pisagor bağıntısını yazalım: $\cos^2 x+\sin^2 x=1^2=1$. Bağıntı açının büyüklüğünden bağımsızdır, her $x$ için geçerlidir.
4. Denetleyelim: $x=30°$ için $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$ ✓.

9. Yukarıda tümler açının sinüsü verilmiştir. Bu ifadenin eşiti sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisidir?

sin(90° − x) = ?

• A) sin x
• B) 1 − sin x
• C) −sin x
• D) tan x
• E) cos x

Doğru cevap: E — Tümler açılarda sinüs ile kosinüs yer değiştirir: $\sin(90°-x)=\cos x$.

1. Fark formülünü uygulayalım: $\sin(90°-x)=\sin 90°\cos x-\cos 90°\sin x$.
2. $\sin 90°=1$ ve $\cos 90°=0$ değerlerini koyalım: $1\cdot\cos x-0\cdot\sin x=\cos x$.
3. Geometrik karşılığı da aynıdır: dik üçgende dar açılar tümlerdir ve birinin karşı dik kenarı ötekinin komşu dik kenarıdır; bu yüzden birinin sinüsü ötekinin kosinüsüne eşit olur.
4. Denetleyelim: $x=30°$ için $\sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ve $\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.

10. Yukarıda bir açının kosinüsü ve iki kat açı formülü verilmiştir. Bu açının iki katının kosinüsü sorulmaktadır. Buna göre cos 2x kaçtır?

cos x = Kök 3 bölü 2, cos 2x = 2cos²x − 1

• A) Bir bölü iki
• B) 0
• C) 1
• D) Kök 3 bölü 2
• E) −Bir bölü iki

Doğru cevap: A — Verilen formülde $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ yerine konunca $\cos 2x=2\cdot\dfrac{3}{4}-1=\dfrac{1}{2}$ bulunur.

1. Verilenleri yazalım: $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ ve $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Önce kareyi alalım: $\cos^2 x=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}$.
3. Formüle yerleştirelim: $2\cdot\dfrac{3}{4}-1=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$.
4. Denetleyelim: $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ için $x=30°$ alınabilir ve $\cos 60°=\dfrac{1}{2}$ ✓ — iki yol aynı değeri veriyor.

11. Yukarıda bir trigonometrik denklem verilmiştir. Denklemin genel çözümü sorulmaktadır. Buna göre çözüm kümesi hangisidir?

sin x = 0

• A) x = π/2 + kπ
• B) x = 2kπ
• C) x = kπ
• D) x = π/4 + kπ
• E) x = kπ/2

Doğru cevap: C — Sinüs, $\pi$ nin tam katlarında sıfırlandığından genel çözüm $x=k\pi$ dir.

1. Birim çemberde sinüs, bitim noktasının ordinatıdır. Ordinat ancak nokta $x$ ekseni üzerindeyken sıfır olur.
2. Bu noktalar $(1,0)$ ile $(-1,0)$ dır, yani $0$ ve $\pi$ açılarına karşılık gelirler. Aralarındaki fark $\pi$ dir.
3. Tam turlar da eklenince bütün çözümler tek bir ifadede toplanır: $x=k\pi$, burada $k$ bir tam sayıdır.
4. Denetleyelim: $k=1$ için $\sin\pi=0$ ✓ ve $k=2$ için $\sin 2\pi=0$ ✓.

12. Yukarıda kosinüsün 1 olduğu bir denklem verilmiştir. Denklemin genel çözümü sorulmaktadır. Buna göre çözüm kümesi hangisidir?

cos x = 1

• A) x = kπ
• B) x = π/2 + 2kπ
• C) x = π + 2kπ
• D) x = 2kπ
• E) x = kπ/2

Doğru cevap: D — Kosinüs en büyük değeri olan $1$ i yalnız tam turlarda aldığından genel çözüm $x=2k\pi$ dir.

1. Birim çemberde kosinüs, bitim noktasının apsisidir. Apsis en çok $1$ olabilir ve bu yalnız nokta $(1,0)$ konumundayken gerçekleşir.
2. O nokta başlangıç konumudur, yani $x=0$ açısına karşılık gelir.
3. Aynı noktaya her tam turda geri dönülür; bir tur $2\pi$ olduğuna göre genel çözüm $x=2k\pi$ dir, $k$ bir tam sayıdır.
4. Denetleyelim: $k=1$ için $\cos 2\pi=1$ ✓; buna karşılık $\cos\pi=-1$ olduğundan yarım turlar denklemi sağlamıyor ✓.

13. Yukarıda bir aralıkla birlikte trigonometrik denklem verilmiştir. Denklemi sağlayan değerler aranmaktadır. Buna göre bu aralıktaki çözümler hangileridir?

sin x = 1/2, x ∈ [0, 2π)

• A) Yalnız π/6
• B) π/6 ve 7π/6
• C) π/3 ve 2π/3
• D) π/4 ve 3π/4
• E) π/6 ve 5π/6

Doğru cevap: E — $[0,2\pi)$ aralığında $\sin x=\dfrac{1}{2}$ denklemini $\dfrac{\pi}{6}$ ve $\dfrac{5\pi}{6}$ açıları sağlar.

1. Referans açıyı bulalım: sinüsü $\dfrac{1}{2}$ olan dar açı $\dfrac{\pi}{6}$ dır.
2. Sinüs birinci ve ikinci bölgede pozitiftir. Birinci bölge çözümü $\dfrac{\pi}{6}$, ikinci bölge çözümü ise $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ dır.
3. Üçüncü ve dördüncü bölgede sinüs negatif olduğundan orada çözüm aranmaz; verilen aralıkta toplam iki çözüm bulunur.
4. Denetleyelim: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ ✓ ve $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin 150°=\dfrac{1}{2}$ ✓.

14. Yukarıda kosinüsü negatif olan bir denklem ve aralık verilmiştir. Verilen aralık taranmaktadır. Buna göre denklemi sağlayan açılar hangileridir?

cos x = −1/2, x ∈ [0, 2π)

• A) 2π/3 ve 4π/3
• B) π/3 ve 5π/3
• C) π/6 ve 11π/6
• D) 3π/4 ve 5π/4
• E) Yalnız 2π/3

Doğru cevap: A — $[0,2\pi)$ aralığında $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ denklemini $\dfrac{2\pi}{3}$ ve $\dfrac{4\pi}{3}$ açıları sağlar.

1. Referans açıyı bulalım: kosinüsü $\dfrac{1}{2}$ olan dar açı $\dfrac{\pi}{3}$ tür.
2. Kosinüs ikinci ve üçüncü bölgede negatiftir. İkinci bölge çözümü $\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$, üçüncü bölge çözümü ise $\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$ tür.
3. Birinci ve dördüncü bölgede kosinüs pozitif olduğundan orada çözüm bulunmaz.
4. Denetleyelim: $\cos 120°=-\dfrac{1}{2}$ ✓ ve $\cos 240°=-\dfrac{1}{2}$ ✓.

15. Yukarıda tanjantı 1 olan bir denklem verilmiştir. Denklemin genel çözümü aranmaktadır. Buna göre x hangi ifadeyle gösterilir?

tan x = 1

• A) x = π/4 + 2kπ
• B) x = π/4 + kπ
• C) x = π/2 + kπ
• D) x = kπ
• E) x = π/3 + kπ

Doğru cevap: B — Tanjantın esas periyodu $\pi$ olduğundan $\tan x=1$ denkleminin genel çözümü $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ dir.

1. Temel çözümü bulalım: tanjantı $1$ olan dar açı $\dfrac{\pi}{4}$ tür, çünkü orada sinüs ile kosinüs birbirine eşittir.
2. Tanjant $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ olduğuna göre açı $\pi$ kadar döndürüldüğünde sinüs de kosinüs de işaret değiştirir ve oran aynı kalır; öyleyse esas periyot $\pi$ dir.
3. Bütün çözümler tek ifadede toplanır: $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$, burada $k$ bir tam sayıdır.
4. Denetleyelim: $k=1$ için $x=\dfrac{5\pi}{4}$ ve $\tan 225°=1$ ✓ — üçüncü bölgede sinüs ile kosinüs birlikte negatif olduğundan oran yine $1$ çıkıyor.

16. Yukarıda katsayılı bir trigonometrik denklem verilmiştir. Denklemin sıfır ile pi arasındaki en küçük çözümü sorulmaktadır. Buna göre x kaçtır?

2 sin x − 1 = 0

• A) π/2
• B) π/4
• C) π/3
• D) π/6
• E) 5π/6

Doğru cevap: D — Denklem $\sin x=\dfrac{1}{2}$ biçimine gelir ve aralıktaki en küçük çözüm $x=\dfrac{\pi}{6}$ dır.

1. Denklemi yalnızlaştıralım: $2\sin x-1=0$ dan $2\sin x=1$, buradan $\sin x=\dfrac{1}{2}$ çıkar.
2. Sıfır ile $\pi$ arasında sinüsü $\dfrac{1}{2}$ yapan iki açı vardır: $\dfrac{\pi}{6}$ ve $\dfrac{5\pi}{6}$.
3. İkisini karşılaştıralım: $\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{5\pi}{6}$ olduğundan istenen en küçük çözüm $\dfrac{\pi}{6}$ dır.
4. Denetleyelim: $2\sin\dfrac{\pi}{6}-1=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0$ ✓ — bulunan değer denklemi gerçekten sağlıyor.

17. Tabloda bazı özel açıların sinüs ve kosinüs değerleri verilmiştir. Tabloya göre tanjantı 1 olan açı sorulmaktadır. Buna göre bu açı kaç derecedir?

• A) 30
• B) 15
• C) 60
• D) 90
• E) 45

Doğru cevap: E — Tanjant sinüsün kosinüse oranıdır; tabloda bu iki değer yalnız 45° de eşit olduğundan oran orada $1$ çıkar.

1. Tanımı yazalım: $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Oranın $1$ olması için payın paydaya eşit olması gerekir.
2. Tabloyu tarayalım: 30° satırında $\dfrac{1}{2}$ ile $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ farklı; 60° satırında $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ile $\dfrac{1}{2}$ yine farklı.
3. 45° satırında ikisi de $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dir; oran $\dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1$ olur. Aranan açı 45° dir.
4. Denetleyelim: ikizkenar dik üçgende dar açılar 45° dir ve dik kenarlar eşittir; karşı kenarın komşu kenara oranı $1$ ✓.

18. Bir dönme dolaptaki kabinin yerden yüksekliği yukarıdaki modelle verilmektedir. Modeldeki t açı değerini göstermektedir. Buna göre kabinin ulaşabileceği en yüksek konum kaç metredir?

h(t) = 10 + 8 × sin(t)

• A) 18
• B) 10
• C) 16
• D) 8
• E) 20

Doğru cevap: A — $\sin t$ en çok $1$ olabildiğinden kabinin ulaşabileceği en yüksek konum $10+8=18$ metredir.

1. Modeli okuyalım: $h(t)=10+8\sin t$. Zamanla değişen tek çarpan $\sin t$ dir; $10$ sabit bir taban yüksekliğidir.
2. Sinüs fonksiyonunun değer aralığı $[-1,1]$ dir. $8$ katsayısı pozitif olduğundan $h$ en büyük değerini $\sin t=1$ iken alır.
3. Hesaplayalım: $h=10+8\cdot 1=18$ metre.
4. Denetleyelim: en düşük konum $\sin t=-1$ için $10-8=2$ metre olur ✓ — kabin $2$ m ile $18$ m arasında salınıyor, bu da $8$ m yarıçaplı bir dolaba uyuyor.

19. Bir deniz fenerinden 30 derecelik görüş açısıyla bakılan bir gemiye olan doğrusal uzaklık 400 metredir. Geminin fenerin dibinden yatay uzaklığı değil, düşey yüksekliği sorulmaktadır. Buna göre bu düşey uzunluk kaç metredir?

sin 30° = 1/2

• A) 150
• B) 200
• C) 250
• D) 300
• E) 400

Doğru cevap: B — Aranan düşey uzunluk, hipotenüsün $\sin 30°$ ile çarpımıdır: $400\cdot\dfrac{1}{2}=200$ metre.

1. Şekli kuralım: fener ile gemi arasındaki $400$ m lik doğrusal uzaklık dik üçgenin hipotenüsüdür; 30° lik açı bu doğrultu ile yatay arasındadır.
2. Sinüsün tanımı karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır. Aranan düşey uzunluk, 30° lik açının karşısındaki dik kenardır.
3. Bağıntıyı kuralım: $\sin 30°=\dfrac{h}{400}$ olduğundan $h=400\cdot\dfrac{1}{2}=200$ m.
4. Denetleyelim: 30° lik dik üçgende karşı dik kenar hipotenüsün yarısıdır ✓ ve $200$ m gerçekten $400$ m nin yarısıdır.

20. Yukarıda içinde iki katsayısı bulunan bir sinüs fonksiyonu verilmiştir. Bu fonksiyonun esas periyodu sorulmaktadır. Buna göre periyot kaçtır?

f(x) = sin 2x

• A) π/2
• B) 2π
• C) π
• D) 4π
• E) π/4

Doğru cevap: C — $\sin(kx)$ fonksiyonunun esas periyodu $\dfrac{2\pi}{k}$ olduğundan $f(x)=\sin 2x$ in periyodu $\pi$ dir.

1. Sinüsün esas periyodu $2\pi$ dir: $\sin(u+2\pi)=\sin u$ olur.
2. Burada $u=2x$ tir. $u$ nun $2\pi$ kadar artması için $x$ in $\pi$ kadar artması yeterlidir, çünkü $2(x+\pi)=2x+2\pi$ dir.
3. Öyleyse esas periyot $T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ olur; içerideki katsayı büyüdükçe grafik yatay yönde sıkışır.
4. Denetleyelim: $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ ve $f\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right)=\sin\dfrac{5\pi}{2}=1$ ✓ — değer $\pi$ sonra yineleniyor.