Açılar

1. İki doğru şekildeki gibi kesişmiştir. Verilenlere göre x kaç derecedir?

• A) 25
• B) 15
• C) 20
• D) 30

Doğru cevap: A — Ters açılar eşit olduğundan 3x = 75 denklemi kurulur ve x = 25 bulunur.

1. Şekilde iki doğru kesişiyor; $3x$ ile 75°’lik açı köşesi ortak, kolları birbirinin uzantısı olan ters açılardır.
2. Ters açıların ölçüleri eşit olduğu için denklemi yazabiliriz: $3x = 75$.
3. Her iki tarafı 3’e bölelim: $x = 25$.
4. Denetleyelim: $3 \times 25 = 75$ ✓ — bulunan değer açının ölçüsünü gerçekten 75° yapıyor.

2. Şekilde bir doğru üzerinde oluşan iki komşu açının ölçüleri verilmiştir. Buna göre x kaçtır?

• A) 30
• B) 32
• C) 34
• D) 36

Doğru cevap: C — 3x + 2x + 10 = 180 → 5x = 170 → x = 34

1. Doğru üzerindeki açıların toplamı 180°'dir.
2. 3x + (2x + 10) = 180
3. Benzer terimler toplanır: 5x + 10 = 180 → 5x = 170
4. x = 34 (açılar 102° ve 78°, toplam 180 ✓)

3. Tümler iki açının ölçülerinin oranı şemada gösterildiği gibi 2/3'tür. Büyük açının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 36
• B) 45
• C) 54
• D) 60

Doğru cevap: C — Toplam 5 pay 90°'dir; 1 pay 18°, büyük açı 3 × 18 = 54°'dir.

1. Açılar 2 pay ve 3 paydır; toplam 5 pay.
2. Tümler açıların toplamı 90°'dir.
3. Bir pay: 90 ÷ 5 = 18°
4. Büyük açı: 3 × 18 = 54° (küçük açı 36°, toplam 90 ✓)

4. Bütünler iki açıdan birinin ölçüsü diğerinin 5 katıdır. Küçük açının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 20
• B) 30
• C) 25
• D) 36

Doğru cevap: B — x + 5x = 180 → 6x = 180 → x = 30°

1. Küçük açıya x dersek büyük açı 5x olur.
2. Bütünler açıların toplamı 180°'dir: x + 5x = 180
3. 6x = 180 → x = 30
4. Kontrol: 30 + 150 = 180 ✓

5. Bir öğrenci "ölçüsü 130° olan açının tümleyeni kaçtır?" sorusunu yukarıdaki gibi çözmüştür. Bu çözümdeki ilk hata hangi adımdadır?

• A) I
• B) II
• C) III
• D) Hata yok

Doğru cevap: A — Tümler açıların toplamı 90°'dir; ayrıca 130° geniş açı olduğu için tümleyeni yoktur.

1. I. adımda tümler açıların toplamı 180° yazılmış.
2. Doğrusu: tümler açıların toplamı 90°, bütünler açıların toplamı 180°'dir.
3. 130° zaten 90°'den büyük olduğundan tümleyeni bulunamaz.
4. İlk hata I. adımdadır.

6. Duvar saati 4.00'ı göstermektedir. Akrep ile yelkovan arasında kalan küçük açının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 90
• B) 110
• C) 150
• D) 120

Doğru cevap: D — Kadranda bir saat aralığı 30° olduğundan saat 4.00’ta akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı 4 × 30 = 120°’dir.

1. Kadran bir tam çemberdir ve 12 eşit aralığa bölünmüştür; bir aralığın merkez açısı $360 \div 12 = 30$°’dir.
2. Saat 4.00’ta yelkovan 12’yi, akrep 4’ü gösterir. Aralarında 12’den 4’e doğru tam 4 aralık vardır.
3. Aralık sayısını aralık açısıyla çarpalım: $4 \times 30 = 120$. İki kol arasındaki küçük açı 120°’dir.
4. Denetleyelim: öteki yönden sayınca 8 aralık, yani $8 \times 30 = 240$° kalır ve $120 + 240 = 360$ ✓ — tam dönme açısı tamamlanıyor.

7. Ölçüsü 84° olan bir açı, açıortayı çizilerek şekildeki gibi iki eş açıya ayrılmıştır. Bu eş açılardan birinin bütünleyeni kaç derecedir?

• A) 96
• B) 128
• C) 138
• D) 148

Doğru cevap: C — Eş açılar 42°'dir; bütünleyeni 180 − 42 = 138°'dir.

1. Açıortay, açıyı iki eş parçaya ayırır.
2. 84 ÷ 2 = 42° → her parça 42°'dir.
3. Bütünleyen için 180°'den çıkarılır: 180 − 42
4. 180 − 42 = 138°

8. Şekildeki üçgenin iki iç açısının ölçüsü verilmiştir. Üçüncü açının bütünleyeni kaç derecedir?

• A) 100
• B) 120
• C) 110
• D) 130

Doğru cevap: B — Üçüncü açı 60°'dir; bütünleyeni 180 − 60 = 120°'dir.

1. Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.
2. Üçüncü açı: 180 − (55 + 65) = 180 − 120 = 60°
3. Bütünleyen için 180°'den çıkarılır: 180 − 60
4. Sonuç 120°'dir.

9. Bir pizza şekildeki gibi 8 eş dilime bölünmüştür. Bir dilimin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 36
• B) 40
• C) 60
• D) 45

Doğru cevap: D — Tam dönme açısı 360° olduğundan 8 eş dilimin her birinin merkez açısı 360 ÷ 8 = 45°’dir.

1. Pizza dairesel bir bütündür; merkez etrafındaki açıların toplamı bir tam dönme, yani 360°’dir.
2. Dilimler eş olduğuna göre bu 360° sekiz eşit paya ayrılmıştır.
3. Bir payın ölçüsü: $360 \div 8 = 45$. Bir dilimin merkez açısı 45°’dir.
4. Denetleyelim: $8 \times 45 = 360$ ✓ — sekiz dilim merkezin çevresini tam olarak dolduruyor.

10. Bir ayna yüzeyine düşen ışık ışını, ayna ile 35°'lik açı yapmakta ve aynı ölçüde açıyla yansımaktadır. Gelen ışın ile yansıyan ışın arasındaki açı kaç derecedir?

• A) 110
• B) 70
• C) 90
• D) 145

Doğru cevap: A — Ayna yüzeyi bir doğru olduğundan 35 + x + 35 = 180 olur ve ışınlar arasındaki açı 110°’dir.

1. Işınların değdiği ayna yüzeyi düz bir çizgidir; değme noktasında oluşan açılar birlikte bir doğru açı verir.
2. Gelen ışının yüzeyle yaptığı açı 35°, yansıyan ışının yüzeyle yaptığı açı da 35°’dir.
3. Aradaki açı $180 - (35 + 35) = 180 - 70 = 110$°’dir.
4. Denetleyelim: $35 + 110 + 35 = 180$ ✓ — üç açı ayna yüzeyi boyunca düz çizgiyi tamamlıyor.

11. Bir doğru üzerinde oluşan üç açının ölçüleri şekilde verilmiştir. Ortadaki açının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 30
• B) 60
• C) 45
• D) 90

Doğru cevap: B — x + 2x + 3x = 180 → x = 30; ortadaki açı 2x = 60°'dir.

1. Doğru üzerindeki açıların toplamı 180°'dir.
2. x + 2x + 3x = 180 → 6x = 180
3. x = 30°
4. Ortadaki açı 2x = 2 × 30 = 60°

12. Bir açının bütünleyeni ile tümleyeninin ölçüleri arasındaki fark kaç derecedir?

• A) 45
• B) 60
• C) 90
• D) Açının ölçüsüne göre değişir

Doğru cevap: C — (180 − x) − (90 − x) = 90; fark her zaman 90°'dir.

1. Açının ölçüsüne x diyelim.
2. Bütünleyeni 180 − x, tümleyeni 90 − x olur.
3. Fark: (180 − x) − (90 − x)
4. 180 − x − 90 + x = 90 → fark her zaman 90°'dir.

13. Kuzeye doğru ilerleyen bir gemi önce 40° sağa, ardından 75° daha sağa dönüyor. Geminin ilk yönü ile son yönü arasındaki açı kaç derecedir?

• A) 35
• B) 105
• C) 145
• D) 115

Doğru cevap: D — İki dönme de aynı yöne olduğu için açılar toplanır: ilk yön ile son yön arasındaki açı 40 + 75 = 115°’dir.

1. Gemi kuzeye bakarken önce 40° sağa dönüyor; bu dönmeden sonra yönü ilk yönünden 40° sapmış olur.
2. Ardından aynı yöne, yine sağa 75° daha dönüyor. Aynı yöndeki dönmeler sapmayı büyütür, bu yüzden açılar toplanır.
3. Toplam sapma: $40 + 75 = 115$. İlk yön ile son yön arasındaki açı 115°’dir.
4. Denetleyelim: $115 < 180$ olduğundan gemi henüz geldiği yöne dönmüş değil ✓ — kuzeyden başlayıp doğu ile güneydoğu arasında bir yöne geçmiş durumda.

14. Kartlarda dört açının ölçüsü verilmiştir. Bu açılardan hangi ikisi birbirinin bütünleyenidir?

• A) 42° ve 65°
• B) 42° ve 138°
• C) 65° ve 120°
• D) 138° ve 120°

Doğru cevap: B — 42 + 138 = 180 olduğu için bu ikili bütünler açılardır.

1. Bütünler açıların ölçüleri toplamı 180°'dir.
2. 42 + 65 = 107, 180 değil.
3. 42 + 138 = 180 ✓
4. 65 + 120 = 185 ve 138 + 120 = 258; ikisi de 180 değil.

15. Bir açının ölçüsü, tümleyeninin ölçüsünün 2 katıdır. Bu açı kaç derecedir?

• A) 60
• B) 30
• C) 45
• D) 75

Doğru cevap: A — x = 2(90 − x) → 3x = 180 → x = 60°

1. Açıya x dersek tümleyeni 90 − x olur.
2. Verilen koşul: x = 2 × (90 − x)
3. x = 180 − 2x → 3x = 180
4. x = 60° (tümleyeni 30°, toplam 90 ✓)