Çarpanlar ve Katlar

1. Venn şemasında 24 ile 36 sayısının asal çarpanları gösterilmiştir. Buna göre EBOB(24, 36) kaçtır?

• A) 4
• B) 6
• C) 8
• D) 12

Doğru cevap: D — Ortak bölgedeki çarpanların çarpımı: 2 × 2 × 3 = 12.

1. 24 = 2 × 2 × 2 × 3
2. 36 = 2 × 2 × 3 × 3
3. Ortak bölgede 2, 2 ve 3 vardır.
4. EBOB = 2 × 2 × 3 = 12

2. Asal çarpanları verilen 24 ile 36 sayısının EKOK'u kaçtır?

24 = 2³ × 3 36 = 2² × 3²

• A) 36
• B) 48
• C) 72
• D) 144

Doğru cevap: C — EKOK'ta ortak ve ortak olmayan çarpanların en büyük üslüleri alınır: 2³ × 3² = 72.

1. 2'nin en büyük üslüsü 2³'tür.
2. 3'ün en büyük üslüsü 3²'dir.
3. 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

3. Bir okulda 48 kız ve 60 erkek öğrenci, her grupta yalnızca kızlar ya da yalnızca erkekler bulunacak biçimde eşit sayıda gruplara ayrılacaktır. En az kaç grup oluşur?

• A) 6
• B) 9
• C) 12
• D) 15

Doğru cevap: B — EBOB(48, 60) = 12 kişilik gruplar kurulur; 4 + 5 = 9 grup olur.

1. Grup sayısının az olması için grup mevcudu en büyük olmalıdır.
2. EBOB(48, 60) = 12
3. Kızlar: 48 ÷ 12 = 4 grup
4. Erkekler: 60 ÷ 12 = 5 grup, toplam 9 grup

4. Üç arkadaş spor salonuna tablodaki aralıklarla gitmektedir. Bugün üçü de salondaysa en az kaç gün sonra yine aynı gün buluşurlar?

• A) 12
• B) 18
• C) 24
• D) 36

Doğru cevap: A — Üç arkadaşın yeniden aynı gün buluşması için EKOK(3, 4, 6) = 12 gün geçmelidir.

1. Buluşma günü üç aralığın da katı olmalı: hem 3’ün, hem 4’ün, hem 6’nın katı.
2. Katları yazalım: 3 → 3, 6, 9, 12; 4 → 4, 8, 12; 6 → 6, 12, 18.
3. Üç listede birden görünen en küçük sayı 12’dir.
4. Denetleyelim: $12 \div 3 = 4$, $12 \div 4 = 3$ ve $12 \div 6 = 2$ ✓ — üçü de 12. günde salonda olur.

5. İki sayının EBOB'u 6, EKOK'u 36'dır. Sayılardan biri 12 ise diğeri kaçtır?

EBOB × EKOK = a × b

• A) 6
• B) 12
• C) 18
• D) 24

Doğru cevap: C — İki sayının çarpımı EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir: $6 \cdot 36 = 216$ ve $216 \div 12 = 18$.

1. Kuralı yazalım: EBOB × EKOK = iki sayının çarpımı. Burada EBOB 6, EKOK 36 ve sayılardan biri 12.
2. Sol tarafı hesaplayalım: $6 \cdot 36 = 216$. Demek ki iki sayının çarpımı 216’dır.
3. Bilinmeyen sayıyı bulalım: $216 \div 12 = 18$.
4. Denetleyelim: 12 ile 18 için EBOB $= 6$, EKOK $= 36$ ✓ — soruda verilenlerle birebir uyuştu.

6. Sayı doğrusunda bazı sayılar işaretlenmiştir. İşaretli sayıların hepsi en büyük hangi sayının katıdır?

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 6

Doğru cevap: D — Sayı doğrusunda işaretli sayılar 0, 6, 12 ve 18’dir; hepsini bölen en büyük sayı 6’dır.

1. Önce işaretli sayıları okuyalım: 0, 6, 12 ve 18. Aralarındaki uzaklık hep 6 birim.
2. Bu sayılar 2’nin de katıdır, 3’ün de katıdır. Ama soru "en büyük" olanı istiyor.
3. 4’ü deneyelim: $6 \div 4$ tam bölünmüyor, demek ki 4 olamaz. 6’yı deneyelim: $6 \div 6 = 1$, $12 \div 6 = 2$, $18 \div 6 = 3$ — hepsi tam.
4. Denetleyelim: işaretler arasındaki 6 birimlik eşit aralık da katın 6 olduğunu gösteriyor ✓.

7. Bir öğrenci şemadaki adımlarla EBOB(18, 24) sonucunu bulmuştur. Bu çözümdeki hata nedir?

• A) Ortak çarpanların en küçük üslüleri alınmalıydı; EBOB 6'dır.
• B) Sayılar yanlış çarpanlarına ayrılmıştır.
• C) EBOB bulunurken çarpanlar toplanmalıydı.
• D) Hata yoktur, sonuç 72'dir.

Doğru cevap: A — EBOB'ta ortak çarpanların en küçük üslüsü alınır: 2¹ × 3¹ = 6.

1. Öğrenci en büyük üslüleri almış, bu EKOK kuralıdır.
2. EBOB'ta ortak çarpanların küçük üslüsü alınır.
3. 2¹ × 3¹ = 6
4. EBOB(18, 24) = 6

8. Şekildeki dikdörtgen zemin, hiç kesilmeden kare fayanslarla kaplanacaktır. Kullanılabilecek en büyük fayansın bir kenarı kaç santimetredir?

• A) 6
• B) 12
• C) 14
• D) 21

Doğru cevap: B — EBOB(60, 84) = 12 olduğundan kenar en fazla 12 cm olur.

1. Fayans kenarı hem 60'ı hem 84'ü tam bölmelidir.
2. 60 = 2² × 3 × 5 ve 84 = 2² × 3 × 7
3. Ortak çarpanlar: 2² × 3 = 12
4. En büyük kenar 12 cm'dir.

9. İki reklam panosu tablodaki aralıklarla yanıp sönmektedir. Aynı anda yandıktan sonra en az kaç saniye sonra yeniden birlikte yanarlar?

• A) 50
• B) 60
• C) 75
• D) 375

Doğru cevap: C — Panoların yeniden birlikte yanması için EKOK(15, 25) = 75 saniye geçmelidir.

1. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım: $15 = 3 \cdot 5$ ve $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.
2. EKOK bulunurken her asal çarpanın en büyük üssü alınır: 3’ten $3^1$, 5’ten $5^2$.
3. Çarpalım: $3 \cdot 25 = 75$ saniye.
4. Denetleyelim: $75 \div 15 = 5$ ve $75 \div 25 = 3$ ✓ — birinci pano 5. kez, ikinci pano 3. kez yanarken buluşuyorlar.

10. İki sayının EBOB'u, sayılardan küçük olanına eşit çıkmıştır. Bu iki sayı arasında nasıl bir ilişki vardır?

• A) Küçük sayı, büyük sayının çarpanıdır.
• B) İki sayı aralarında asaldır.
• C) İki sayı da asal sayıdır.
• D) İki sayının EKOK'u 1'dir.

Doğru cevap: A — EBOB küçük sayıya eşit çıkmışsa küçük sayı büyüğünü tam bölüyor demektir; yani küçük sayı büyük sayının çarpanıdır.

1. EBOB, iki sayıyı birden bölen en büyük sayıdır. EBOB küçük sayıya eşitse küçük sayı büyük sayıyı da bölüyor demektir.
2. Bir sayıyı tam bölen sayıya o sayının çarpanı denir. Öyleyse küçük sayı, büyük sayının çarpanıdır.
3. Örnekle görelim: 6 ile 18 alalım. EBOB(6, 18) = 6, yani küçük sayının kendisi; gerçekten $18 \div 6 = 3$ ve kalan yok.
4. Denetleyelim: aynı örnekte EKOK büyük sayıya, yani 18’e eşit çıkıyor ✓ — bu da iç içe geçmiş bir çarpan-kat ilişkisini gösteriyor.

11. Bir sayı hem 4 ile hem de 6 ile tam bölünmektedir. Bu sayı 50 ile 70 arasında olduğuna göre kaçtır?

• A) 54
• B) 56
• C) 58
• D) 60

Doğru cevap: D — EKOK(4, 6) = 12 olduğundan sayı 12'nin katıdır; 50-70 arasında 60 vardır.

1. Sayı hem 4'ün hem 6'nın katı olmalı.
2. EKOK(4, 6) = 12
3. 12'nin katları: 48, 60, 72 ...
4. 50 ile 70 arasında olan 60'tır.

12. Şemada 90 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır. 90 ile 60 sayısının EBOB'u kaçtır?

• A) 15
• B) 30
• C) 45
• D) 180

Doğru cevap: B — 90 = 2 × 3² × 5 ve 60 = 2² × 3 × 5; ortakların küçük üslüleri 2 × 3 × 5 = 30.

1. Şemadan 90 = 2 × 3 × 3 × 5
2. 60 = 2 × 2 × 3 × 5
3. Ortak çarpanlar: 2, 3 ve 5
4. EBOB = 2 × 3 × 5 = 30

13. Bir manav 84 elma ile 126 armudu, her sepette aynı sayıda elma ve aynı sayıda armut olacak biçimde sepetlere yerleştirecektir. En fazla kaç sepet hazırlayabilir?

• A) 42
• B) 21
• C) 14
• D) 6

Doğru cevap: A — Her sepete eşit sayıda elma ve armut düşeceği için EBOB(84, 126) = 42 bulunur; en fazla 42 sepet hazırlanır.

1. Sepet sayısı hem 84’ü hem 126’yı tam bölmeli. Asal çarpanlarına ayıralım: $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ ve $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$.
2. EBOB için ortak asal çarpanların KÜÇÜK üsleri alınır: 2’den $2^1$, 3’ten $3^1$, 7’den $7^1$.
3. Çarpalım: $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ sepet.
4. Denetleyelim: $84 \div 42 = 2$ elma ve $126 \div 42 = 3$ armut ✓ — her sepete eşit sayıda düşüyor, artan kalmıyor.

14. Üç otobüs hattı tablodaki aralıklarla kalkmaktadır. Saat 07.00'de üçü birlikte kalktığına göre ilk kez saat kaçta yeniden birlikte kalkarlar?

• A) 07.30
• B) 07.45
• C) 07.50
• D) 08.00

Doğru cevap: D — EKOK(10, 15, 20) = 60 dakika, yani 1 saat sonra saat 08.00'de.

1. 10 = 2 × 5, 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5
2. EKOK = 2² × 3 × 5 = 60 dakika
3. 60 dakika 1 saat eder.
4. 07.00 + 1 saat = 08.00

15. Aralarında asal iki sayının EBOB'u ve EKOK'u ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) EBOB'ları 0'dır.
• B) EKOK'ları 1'dir.
• C) EBOB'ları 1, EKOK'ları çarpımlarıdır.
• D) EBOB'ları çarpımlarına eşittir.

Doğru cevap: C — Aralarında asal sayıların ortak çarpanı yalnızca 1'dir; EKOK ise iki sayının çarpımıdır.

1. Örnek: 4 ve 9 aralarında asaldır.
2. EBOB(4, 9) = 1
3. EKOK(4, 9) = 4 × 9 = 36
4. Yani EBOB 1, EKOK çarpımdır.