Doğrular ve Açılar

1. Şekilde d₁ // d₂ olup aralarında kırık bir doğru çizilmiştir. Kırığın uçlarındaki açılar 40° ve 30° olduğuna göre x kaç derecedir?

• A) 50
• B) 60
• C) 70
• D) 110

Doğru cevap: C — Kırık noktasından paralel bir yardımcı doğru çizilirse x = 40° + 30° = 70° olur.

1. Kırık noktasından d₁'e paralel bir yardımcı doğru çizilir.
2. Üstteki 40°'lik açı iç ters açı olarak aşağı taşınır.
3. Alttaki 30°'lik açı da iç ters açı olarak yukarı taşınır.
4. İki parça toplanır: 40° + 30° = 70°.

2. Şekilde kesişen iki doğrunun ters açıları cebirsel ifadelerle verilmiştir. Buna göre x kaçtır?

• A) 15
• B) 20
• C) 25
• D) 30

Doğru cevap: B — Ters açılar eşittir: 3x + 10 = 5x − 30 → 2x = 40 → x = 20.

1. Ters açıların ölçüleri eşittir.
2. 3x + 10 = 5x − 30 denklemi kurulur.
3. İki taraftan 3x çıkarılır: 10 = 2x − 30.
4. 2x = 40 ve x = 20 bulunur.

3. Şekildeki iki açı bir doğru üzerinde komşu bütünler açılardır. Buna göre bu açılardan büyük olanının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 85
• B) 87
• C) 89
• D) 91

Doğru cevap: D — (2x + 15) + (3x − 20) = 180 → 5x − 5 = 180 → x = 37; açılar 89° ve 91°'dir.

1. Komşu bütünler açıların toplamı 180°'dir.
2. 2x + 15 + 3x − 20 = 180 denklemi kurulur.
3. 5x − 5 = 180 → 5x = 185 → x = 37 bulunur.
4. Açılar 2 × 37 + 15 = 89° ve 3 × 37 − 20 = 91°'dir; büyüğü 91°'dir.

4. Şekilde d₁ // d₂ olup işaretli açılar yöndeştir. Buna göre bu açıların ortak ölçüsü kaç derecedir?

• A) 90
• B) 100
• C) 110
• D) 120

Doğru cevap: A — Yöndeş açılar eşittir: 4x − 10 = 2x + 40 → 2x = 50 → x = 25; açı 4 × 25 − 10 = 90°'dir.

1. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
2. 4x − 10 = 2x + 40 denklemi kurulur.
3. 2x = 50 ve x = 25 bulunur.
4. Açının ölçüsü 4 × 25 − 10 = 90°'dir.

5. Bir açının ölçüsünün 5 katı, o açının tümlerinin ölçüsüne eşittir. Bu açının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 10
• B) 12
• C) 15
• D) 18

Doğru cevap: C — a + 5a = 90 → 6a = 90 → a = 15°.

1. Açıya a denirse tümleri 90 − a olur.
2. Koşul 5a = 90 − a biçiminde yazılır.
3. 6a = 90 denklemi elde edilir.
4. a = 15° bulunur.

6. Bir açının bütünlerinin ölçüsü, aynı açının tümlerinin ölçüsünün 4 katına eşittir. Bu açı kaç derecedir?

• A) 45
• B) 60
• C) 70
• D) 75

Doğru cevap: B — 180 − a = 4 × (90 − a) → 180 − a = 360 − 4a → 3a = 180 → a = 60°.

1. Açıya a denir; bütünleri 180 − a, tümleri 90 − a'dır.
2. 180 − a = 4 × (90 − a) denklemi kurulur.
3. Sağ taraf açılır: 180 − a = 360 − 4a.
4. 3a = 180 ve a = 60° bulunur.

7. Şekilde m(AOB) = 140° olup [OC ışını AOB açısının, [OD ışını ise COB açısının açıortayıdır. Buna göre m(AOD) kaç derecedir?

• A) 70
• B) 85
• C) 95
• D) 105

Doğru cevap: D — m(AOC) = m(COB) = 70°, [OD bunu ikiye böler: m(COD) = 35°; m(AOD) = 70° + 35° = 105°.

1. [OC açıortay olduğundan m(AOC) = m(COB) = 140 ÷ 2 = 70°'dir.
2. [OD, COB açısını ikiye böler.
3. m(COD) = 70 ÷ 2 = 35° bulunur.
4. m(AOD) = m(AOC) + m(COD) = 70 + 35 = 105°'dir.

8. Duvardaki saat 4'ü 20 geçeyi gösterirken akrep ile yelkovan arasındaki dar açı kaç derecedir?

• A) 10
• B) 20
• C) 30
• D) 40

Doğru cevap: A — Akrep 12'den 130°, yelkovan 120° uzaklaşmıştır; aradaki açı 130° − 120° = 10°'dir.

1. Yelkovan bir dakikada 6° döner: 20 × 6 = 120°.
2. Akrep bir saatte 30°, bir dakikada 0,5° döner.
3. Akrep 4 × 30 + 20 × 0,5 = 120 + 10 = 130° konumundadır.
4. 130° − 120° = 10° bulunur.

9. Şekilde d₁ // d₂ olup ∠1 ile ∠2 karşı durumlu açılardır. m(∠1), m(∠2)'nin 3 katı olduğuna göre m(∠1) kaç derecedir?

• A) 45
• B) 90
• C) 135
• D) 150

Doğru cevap: C — Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir: 3k + k = 180 → k = 45; m(∠1) = 135°.

1. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı 180°'dir.
2. m(∠2) = k denirse m(∠1) = 3k olur.
3. 3k + k = 180 → 4k = 180 → k = 45 bulunur.
4. m(∠1) = 3 × 45 = 135°'dir.

10. Bir bilardo topu banda 55°'lik açıyla çarpıp aynı ölçüde bir açıyla geri sekmektedir. Şekilde topun geliş ve gidiş yolları arasında kalan x açısı kaç derecedir?

• A) 70
• B) 55
• C) 110
• D) 125

Doğru cevap: A — Bant bir doğru olduğundan üç açının toplamı 180°'dir: 180° − 55° − 55° = 70°.

1. Bant doğrusu üzerinde toplam 180°'lik açı vardır.
2. Geliş açısı 55°, yansıma açısı da 55°'dir.
3. 55° + 55° = 110° hesaplanır.
4. 180° − 110° = 70° bulunur.

11. Bir doğru üzerindeki noktadan çıkan iki ışın, ölçüleri x, 2x ve 3x olan üç açı oluşturmuştur. Ortadaki açının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 30
• B) 60
• C) 90
• D) 120

Doğru cevap: B — x + 2x + 3x = 180 → 6x = 180 → x = 30; ortadaki açı 2x = 60°'dir.

1. Doğru üzerindeki açıların toplamı 180°'dir.
2. x + 2x + 3x = 180 denklemi kurulur.
3. 6x = 180 ve x = 30 bulunur.
4. Ortadaki açı 2 × 30 = 60°'dir.

12. İki doğru kesiştiğinde oluşan dört açıdan üçünün ölçüleri toplamı 260°'dir. Bu açılardan en küçüğünün ölçüsü kaç derecedir?

• A) 60
• B) 70
• C) 75
• D) 80

Doğru cevap: D — Dört açının toplamı 360°; dördüncüsü 360° − 260° = 100°. Karşısı da 100° olup diğer ikisi 80°'şerdir.

1. Kesişen iki doğrunun oluşturduğu dört açının toplamı 360°'dir.
2. Dışarıda kalan dördüncü açı 360 − 260 = 100°'dir.
3. Ters açı da 100° olduğundan bu ikisi 200° eder.
4. Kalan iki eş açı (360 − 200) ÷ 2 = 80°'dir.

13. Şekilde d₁ // d₂ olup kırık doğrunun orta açısı 70°, üst açısı 25°'dir. Buna göre y ile gösterilen alt açının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 35
• B) 40
• C) 45
• D) 55

Doğru cevap: C — Orta açı, üst ve alt açıların toplamına eşittir: 70° = 25° + y → y = 45°.

1. Kırık noktasından paralel yardımcı doğru çizilir.
2. Orta açı iki parçaya ayrılır.
3. Üstteki parça 25°'lik açıya, alttaki parça y'ye eşittir.
4. 25 + y = 70 olduğundan y = 45°'dir.

14. Bir haritada Kuzey ve Güney yolları paralel olup bir bağlantı yolu ikisini de kesmektedir. Bağlantı yolunun Kuzey yolu ile aynı tarafta oluşturduğu iç açı 68° ise z açısının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 112
• B) 108
• C) 102
• D) 68

Doğru cevap: A — Kesenin aynı tarafındaki iç açılar karşı durumludur ve toplamları 180°'dir: 180° − 68° = 112°.

1. Yollar paralel, bağlantı yolu kesendir.
2. İki açı da paralel yolların arasında kalmaktadır.
3. Her ikisi de kesenin aynı tarafındadır, yani karşı durumludur.
4. 180° − 68° = 112° bulunur.

15. Ali, "Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu iç ters açıların ölçüleri toplamı 180°'dir." dedi. Bu ifadedeki yanlışlık nedir?

• A) İç ters açıların toplamı 90°'dir, 180° değildir.
• B) İç ters açıların ölçüleri eşittir; toplamı 180° olanlar karşı durumlu açılardır.
• C) İç ters açılar yalnızca dik kesen doğrularda oluşur.
• D) İç ters açıların ölçüleri toplamı 360°'dir.

Doğru cevap: B — İç ters açılar eşittir; paralel doğrularda toplamı 180° olan açı çifti karşı durumlu (iç yan) açılardır.

1. İç ters açılar kesenin farklı taraflarında, paralellerin arasındadır.
2. Bu açıların ölçüleri birbirine eşittir.
3. Karşı durumlu açılar ise kesenin aynı tarafında bulunur.
4. Toplamı 180° olan çift karşı durumlu açılardır.