Dönüşüm

1. A(2, 5) noktası önce x eksenine göre yansıtılıyor, elde edilen görüntü daha sonra 3 birim sola öteleniyor. Bu iki işlemin sonunda ortaya çıkan noktanın koordinatları nedir?

• A) (−1, 5)
• B) (−1, −5)
• C) (5, −5)
• D) (2, −8)

Doğru cevap: B — Yansıma (2, −5) verir; 3 birim sola öteleme x'i 3 azaltır: (−1, −5).

1. x eksenine yansımada y'nin işareti değişir: (2, −5).
2. Sola öteleme x koordinatını azaltır.
3. 2 − 3 = −1 hesaplanır.
4. Son görüntü (−1, −5) noktasıdır.

2. Orijin etrafında saat yönünde 90° dönme kuralı (x, y) → (y, −x) biçimindedir. Bu kurala göre P(−2, 4) noktasının görüntüsü hangisidir?

• A) (−4, −2)
• B) (2, 4)
• C) (4, 2)
• D) (−4, 2)

Doğru cevap: C — Kuralda $x$ yerine $-2$, $y$ yerine 4 yazılır: $(x,\ y) \to (y,\ -x)$ olduğundan görüntü $(4,\ 2)$’dir.

1. Kuralı okuyalım: yeni noktanın birinci koordinatı eski $y$, ikinci koordinatı ise eski $x$’in ters işaretlisidir.
2. Yeni $x$ koordinatı eski $y$’dir: $4$.
3. Yeni $y$ koordinatı eski $x$’in ters işaretlisidir: $-(-2) = 2$. Görüntü $(4,\ 2)$ noktasıdır.
4. Denetleyelim: $P(-2,\ 4)$ ikinci bölgedeydi; saat yönünde çeyrek tur atınca birinci bölgeye geçmesi beklenir ve $(4,\ 2)$ gerçekten birinci bölgede ✓. Ayrıca orijine uzaklıklar $\sqrt{4 + 16}$ ve $\sqrt{16 + 4}$ ile eşit — dönme uzaklığı korumuş.

3. Köşeleri K(1, 2), L(5, 2) ve M(1, 5) olan üçgen y eksenine göre yansıtılmıştır. Bu yansımada L köşesinin görüntüsü hangi noktadır?

• A) (−5, 2)
• B) (5, −2)
• C) (−5, −2)
• D) (2, −5)

Doğru cevap: A — y eksenine göre yansımada yalnızca x'in işareti değişir: (5, 2) → (−5, 2).

1. Yansıma ekseni y eksenidir.
2. Bu yansımada x koordinatının işareti değişir.
3. 5 sayısı −5 olur.
4. y koordinatı 2 kaldığı için görüntü (−5, 2)'dir.

4. Bir şeklin görüntüsü, özgün şekle göre 4 birim sağda ve 3 birim aşağıdadır. Bu ötelemenin kuralı hangi seçenekte doğru verilmiştir?

• A) (x, y) → (x − 4, y + 3)
• B) (x, y) → (x + 3, y − 4)
• C) (x, y) → (x − 4, y − 3)
• D) (x, y) → (x + 4, y − 3)

Doğru cevap: D — Sağa gitmek x'i artırır, aşağı inmek y'yi azaltır: (x + 4, y − 3).

1. Sağa hareket x koordinatını artırır: x + 4.
2. Aşağı hareket y koordinatını azaltır: y − 3.
3. İki hareket tek kuralda birleştirilir.
4. Kural (x, y) → (x + 4, y − 3) olur.

5. Orijin etrafında 180° dönme kuralı (x, y) → (−x, −y) biçimindedir. Bu kurala göre A(3, −7) noktasının görüntüsünün koordinatları nedir?

• A) (3, 7)
• B) (−3, 7)
• C) (−3, −7)
• D) (7, −3)

Doğru cevap: B — $180°$ dönmede her iki koordinatın işareti değişir: $A(3,\ -7)$ noktasının görüntüsü $(-3,\ 7)$ olur.

1. Kuralı okuyalım: $(x,\ y) \to (-x,\ -y)$. Yani her iki koordinat da ters işaretlisiyle yer değiştirir.
2. Birinci koordinat: $-3$.
3. İkinci koordinat: $-(-7) = 7$. Görüntü $(-3,\ 7)$ noktasıdır.
4. Denetleyelim: $A$ dördüncü bölgedeydi ($x > 0$, $y < 0$); yarım tur atan bir nokta karşı bölgeye, ikinci bölgeye geçmelidir ve $(-3,\ 7)$ orada ✓. Üstelik $A$, orijin ve görüntü aynı doğru üzerinde ve orijine uzaklıkları eşit.

6. Bir nokta 5 birim sola ve 2 birim yukarı ötelendiğinde görüntüsü A'(−1, 6) olmaktadır. Ötelenmeden önceki noktanın koordinatları nedir?

• A) (−6, 8)
• B) (4, 8)
• C) (4, 4)
• D) (−6, 4)

Doğru cevap: C — İşlem geri alınır: x için −1 + 5 = 4, y için 6 − 2 = 4.

1. Öteleme kuralı (x − 5, y + 2) biçimindedir.
2. Geriye gitmek için ters işlemler yapılır.
3. x koordinatı −1 + 5 = 4 olur.
4. y koordinatı 6 − 2 = 4 olur; nokta (4, 4)'tür.

7. Bir dikdörtgen y eksenine göre yansıtılmıştır. Yansıma sonucunda dikdörtgenin alanı hakkında ne söylenebilir?

• A) Alanı değişmez, çünkü yansıma kenar uzunluklarını korur.
• B) Alanı iki katına çıkar.
• C) Alanı yarıya iner.
• D) Alanı sıfır olur.

Doğru cevap: A — Yansıma bir eşlik dönüşümüdür; kenar uzunlukları korunduğu için dikdörtgenin alanı değişmez.

1. Yansımanın tanımına dönelim: her nokta eksenin öbür yanına aynı uzaklıkta geçer.
2. Bu koşul, iki nokta arasındaki uzaklığın korunmasını gerektirir. Uzaklıklar korunuyorsa dikdörtgenin kenar uzunlukları da aynı kalır.
3. Alan, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır. Çarpanlar değişmediğine göre çarpım da değişmez.
4. Denetleyelim: kenarları 3 ve 5 olan bir dikdörtgeni yansıtalım; görüntüsünün kenarları yine 3 ve 5, alanı yine $3 \times 5 = 15$ br² ✓. Değişen tek şey şeklin yönü.

8. Bir fayans deseni, merkez etrafında art arda 60°'lik dönmelerle tamamlanmaktadır. Desenin başladığı yere geri dönmesi için kaç dönme yapılmalıdır?

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 6

Doğru cevap: D — Tam tur $360°$ olduğuna ve her adımda $60°$ dönüldüğüne göre $360 \div 60 = 6$ dönme gerekir.

1. Desenin başladığı yere geri dönmesi, toplam dönmenin bir tam tur olması demektir: $360°$.
2. Her adımda yapılan dönme $60°$.
3. Kaç adım gerektiğini bulmak için toplam dönmeyi adım büyüklüğüne bölelim: $360 \div 60 = 6$.
4. Denetleyelim: altı adımın toplamı $6 \times 60 = 360°$ ✓ — desen tam olarak başlangıç konumuna dönmüş oluyor.

9. Şekilde bir üçgen ile onun görüntüsü verilmiştir. Görüntünün yönü ters çevrilmiş ve y eksenine olan uzaklıkları eşit olduğuna göre uygulanan dönüşüm hangisidir?

• A) Öteleme
• B) Yansıma
• C) Saat yönünde 90° dönme
• D) Hiçbir dönüşüm uygulanmamıştır

Doğru cevap: B — Şekil ile görüntüsünün yönü ters ve $y$ eksenine uzaklıkları eşit olduğuna göre uygulanan dönüşüm yansımadır.

1. Verilen iki ipucunu ayrı ayrı kullanalım: yön ters çevrilmiş ve iki şeklin $y$ eksenine uzaklıkları eşit.
2. Ötelemede şeklin yönü hiç değişmez, yalnızca konumu kayar. Yön ters çevrildiğine göre dönüşüm öteleme olamaz.
3. Dönmede uzaklıklar bir MERKEZE göre korunur, bir doğruya göre değil. Burada korunan uzaklık $y$ eksenine, yani bir doğruya olan uzaklıktır.
4. Bir doğruya eşit uzaklıkta karşıya geçme ve yön tersliği yansımanın tanımıdır; eksen $y$ eksenidir.
5. Denetleyelim: iki şekil $y$ ekseni boyunca katlansa üst üste gelir ✓ — yansımanın katlama sınaması tutuyor.

10. Bir nokta önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıtılmaktadır. Bu iki işlemin birlikte yaptığı etki hangi tek dönüşüme denktir?

• A) Saat yönünde 90° dönme
• B) 4 birim sağa öteleme
• C) Orijin etrafında 180° dönme
• D) Nokta başlangıçtaki yerine geri döner

Doğru cevap: C — İki yansıma sonunda hem x hem y koordinatının işareti değişir; bu (x, y) → (−x, −y) yani orijin etrafında 180° dönmedir.

1. x eksenine yansımada y'nin işareti değişir.
2. Ardından y eksenine yansımada x'in işareti değişir.
3. Sonuçta (x, y) noktası (−x, −y) olur.
4. Bu kural orijin etrafında 180° dönmenin kuralıdır.

11. Bir saatin yelkovanı 12 rakamının üzerindeyken dönerek 4 rakamının üzerine gelmiştir. Yelkovan kaç derecelik bir dönme yapmıştır?

• A) 120
• B) 90
• C) 60
• D) 240

Doğru cevap: A — Kadran 12 eşit bölmeye ayrılır, her bölme 30°'dir; 4 bölme için 4 × 30 = 120°.

1. Saat kadranındaki tam tur 360°'dir.
2. 360 ÷ 12 = 30° olduğundan iki rakam arası 30°'dir.
3. Yelkovan 12'den 4'e 4 bölme ilerlemiştir.
4. 4 × 30 = 120° bulunur.

12. Bir kare, belirli bir nokta etrafında 90° döndürüldüğünde kendisiyle çakışmaktadır. Bu dönme merkezi karenin neresidir?

• A) Bir köşesi
• B) Bir kenarının orta noktası
• C) Kenarlarından biri üzerindeki herhangi bir nokta
• D) Köşegenlerinin kesim noktası

Doğru cevap: D — Karenin köşegenlerinin kesim noktası merkezidir; 90°'lik dönmelerde kare kendisiyle çakışır.

1. Dönmede her nokta merkeze olan uzaklığını korur.
2. Karenin dört köşesi ancak merkeze eşit uzaklıkta olursa yer değiştirebilir.
3. Bu koşulu sağlayan tek nokta köşegenlerin kesim noktasıdır.
4. Bu nokta karenin merkezidir.

13. Ece, A(3, 4) noktasının y eksenine göre yansımasını (3, −4) olarak buldu. Ece'nin çözümündeki hata nedir?

• A) Her iki koordinatın da işaretini değiştirmeliydi; doğru sonuç (−3, −4)'tür.
• B) y ekseni için x koordinatının işaretini değiştirmeliydi; doğru sonuç (−3, 4)'tür.
• C) Koordinatların yerini değiştirmeliydi; doğru sonuç (4, 3)'tür.
• D) Hiçbir değişiklik yapmamalıydı; doğru sonuç (3, 4)'tür.

Doğru cevap: B — Ece x eksenine göre yansıma kuralını uygulamıştır; y eksenine göre yansımada x'in işareti değişir.

1. x eksenine göre yansımada y'nin işareti değişir.
2. y eksenine göre yansımada ise x'in işareti değişir.
3. Ece iki kuralı karıştırmıştır.
4. Doğru görüntü (−3, 4) noktasıdır.

14. Düzgün bir altıgen merkezi etrafında döndürülerek kendisiyle çakıştırılmak isteniyor. Bunun için gereken en küçük dönme açısı kaç derecedir?

• A) 60
• B) 45
• C) 90
• D) 120

Doğru cevap: A — Düzgün altıgenin 6 eş köşesi olduğundan en küçük çakışma açısı $360 \div 6 = 60°$’dir.

1. Düzgün altıgenin altı köşesi de merkeze eşit uzaklıktadır ve ardışık köşeler arasındaki açılar birbirine eşittir.
2. Şeklin kendisiyle çakışması için her köşenin bir başka köşenin yerine gelmesi yeterlidir. En küçük dönme, bir köşeyi komşusunun yerine taşıyan dönmedir.
3. Bu açı, tam turun köşe sayısına bölümüdür: $360 \div 6 = 60°$.
4. Denetleyelim: altı kez $60°$ dönülünce $6 \times 60 = 360°$ ile tam tur tamamlanır ve şekil başlangıç konumuna döner ✓ — arada geçen her adımda da çakışma sağlanır.

15. T(−3, 2) noktası önce 2 birim sağa ve 1 birim yukarı öteleniyor, ardından x eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntünün koordinatları nedir?

• A) (−1, 3)
• B) (1, −3)
• C) (−1, −3)
• D) (−5, −1)

Doğru cevap: C — Öteleme (−1, 3) verir; x eksenine yansımada y'nin işareti değişir: (−1, −3).

1. 2 birim sağa öteleme: −3 + 2 = −1.
2. 1 birim yukarı öteleme: 2 + 1 = 3; ara görüntü (−1, 3).
3. x eksenine göre yansımada y'nin işareti değişir.
4. 3 sayısı −3 olur; son görüntü (−1, −3)'tür.