Eşitsizlikler

1. Sayı doğrusunda bir eşitsizliğin çözüm kümesi taranmıştır. Bu tarama hangi eşitsizliğe aittir?

• A) x ≤ 3
• B) x < 3
• C) x ≥ 3
• D) x > 3

Doğru cevap: D — Uç nokta içi boş çizilmiştir, yani 3 dâhil değildir ve tarama sağa gider: x > 3.

1. Tarama sağ tarafa doğrudur → büyüktür işareti
2. Uç nokta boş daire → sayı dâhil değil
3. Dâhil olmadığı için eşitlik yoktur.
4. Çözüm: x > 3

2. Eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır?

2x + 5 < 17

• A) 4
• B) 5
• C) 6
• D) 7

Doğru cevap: B — Eşitsizlik x < 6 verir; 6 dâhil olmadığından en büyük tam sayı 5'tir.

1. 5'i karşıya geçir: 2x < 12
2. İki tarafı 2'ye böl: x < 6
3. 6 dâhil değildir.
4. En büyük tam sayı 5'tir.

3. Şekildeki sayı doğrusunda kalın çizgiyle gösterilen bölge hangi eşitsizliğin çözüm kümesidir?

• A) x ≤ 2
• B) x < 2
• C) x ≥ 2
• D) x > 2

Doğru cevap: A — Uç nokta dolu, tarama sola gidiyor: x ≤ 2.

1. Sayı doğrusu gösteriminde iki şey okunur: uç noktanın dolu mu boş mu olduğu ve taramanın yönü.
2. Uç nokta DOLU daire; sınır değer 2 çözüme dâhil, yani eşitlik var.
3. Tarama SOLA gidiyor; x, 2’den küçük değerleri alıyor. İkisini birleştirelim: x ≤ 2.
4. Denetleyelim: x = 2 çözüm ✓ (dolu daire), x = 0 çözüm ✓ (sol taraf), x = 3 değil ✗.

4. Bir asansörün taşıyabileceği yük en fazla 480 kilogramdır. Ortalama kütlesi 60 kilogram olan kişilerden bu asansöre en çok kaç kişi binebilir?

• A) 6
• B) 7
• C) 8
• D) 9

Doğru cevap: C — 60k ≤ 480 eşitsizliğinden k ≤ 8 çıkar; en çok 8 kişi binebilir.

1. Kişi sayısına k diyelim. Toplam kütle 60k ve bu 480’i GEÇEMEZ: 60k ≤ 480.
2. Her iki tarafı 60’a bölelim; bölen pozitif olduğu için yön değişmez.
3. k ≤ 8, yani en çok 8 kişi.
4. Denetleyelim: 8 kişi 8 × 60 = 480 kg ✓ tam sınırda. 9 kişi 540 kg olurdu ve sınırı aşardı ✗.

5. Sayı doğrusunda bir aralık işaretlenmiştir. İşaretlenen bu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

• A) −1 ≤ x < 4
• B) −1 < x ≤ 4
• C) −1 < x < 4
• D) −1 ≤ x ≤ 4

Doğru cevap: A — Sol uç dolu, sağ uç boş: −1 ≤ x < 4.

1. İki uçlu aralıklarda her iki uç ayrı ayrı okunur.
2. Sol uçtaki daire DOLU: −1 çözüme dâhil, o tarafta eşitlik var → −1 ≤ x.
3. Sağ uçtaki daire BOŞ: 4 dâhil değil, eşitlik yok → x < 4. Birleştirelim: −1 ≤ x < 4.
4. Denetleyelim: x = −1 çözüm ✓ (dolu), x = 4 çözüm değil ✗ (boş), x = 0 çözüm ✓ (arada).

6. Eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

3x − 4 ≥ 11

• A) x ≤ 5
• B) x < 5
• C) x > 5
• D) x ≥ 5

Doğru cevap: D — Önce 4 eklenir, sonra 3’e bölünür: 3x ≥ 15 → x ≥ 5.

1. Sabit terimi karşıya geçirelim: her iki tarafa 4 ekleyelim, 3x ≥ 11 + 4 = 15.
2. Her iki tarafı 3’e bölelim.
3. Bölen POZİTİF olduğu için yön değişmez: x ≥ 5.
4. Denetleyelim: x = 5 için 3 × 5 − 4 = 11 ≥ 11 ✓ (eşitlik dâhil). x = 4 için 8 ≥ 11 değil ✗.

7. Kartların üzerinde dört tam sayı yazılıdır. Bu sayılardan hangisi x − 3 < 0 eşitsizliğini sağlamaz?

• A) −3
• B) 0
• C) 5
• D) 2

Doğru cevap: C — Eşitsizlik x < 3 demektir; 5 sayısı 3'ten büyük olduğu için sağlamaz.

1. x − 3 < 0 → x < 3
2. −3 < 3 ✓, 0 < 3 ✓, 2 < 3 ✓
3. 5 < 3 yanlıştır.
4. Sağlamayan sayı 5'tir.

8. Bir kursta sertifika alabilmek için üç sınavın not ortalamasının en az 70 olması gerekmektedir. İlk iki sınavdan 65 ve 68 alan Ece'nin sertifika alabilmesi için üçüncü sınavdan en az kaç alması gerekir?

• A) 75
• B) 77
• C) 78
• D) 80

Doğru cevap: B — Üç notun toplamı en az 210 olmalıdır; 210 − 133 = 77 gerekir.

1. Ortalama en az 70 → toplam en az 3 × 70 = 210
2. İlk iki not toplamı: 65 + 68 = 133
3. Üçüncü not: 210 − 133 = 77
4. En az 77 almalıdır.

9. Terazide sağ kefe aşağıda kaldığına göre sağ kefe daha ağırdır. Buna göre özdeş kutulardan birinin kütlesi için ne söylenebilir?

• A) 7 kilogramdan büyüktür.
• B) Tam olarak 7 kilogramdır.
• C) 14 kilogramdan büyüktür.
• D) 7 kilogramdan küçüktür.

Doğru cevap: D — Sağ kefe ağır olduğuna göre 2x < 14; iki tarafı 2’ye bölünce x < 7 çıkar.

1. Terazi bir eşitsizlik kurar: aşağıda kalan kefe daha ağırdır.
2. Sol kefede iki özdeş kutu var: 2x. Sağ kefede 14 kg. Sağ ağır olduğuna göre 2x < 14.
3. Her iki tarafı 2’ye bölelim; bölen pozitif, yön değişmez: x < 7.
4. Denetleyelim: bir kutu 6 kg olsa sol kefe 12 kg olur ve gerçekten 14’ten hafif ✓. 8 kg olsa sol kefe 16 kg olur ve sağ kefe yukarı kalkardı ✗.

10. Eşitsizliğinde çözüm kümesi hangisidir?

−2x > 8

• A) x > −4
• B) x < −4
• C) x > 4
• D) x < 4

Doğru cevap: B — Negatif sayıya bölünürken yön değişir: x < −4.

1. Her iki tarafı −2’ye bölelim.
2. Negatif sayıyla bölmek sıralamayı tersine çevirir: 4 > 2 doğru ama −4 > −2 yanlış.
3. Bu yüzden ">" işareti "<" olur: 8 ÷ (−2) = −4, sonuç x < −4.
4. Denetleyelim: x = −5 alalım — −2 × (−5) = 10 > 8 ✓. x = 0 alalım — 0 > 8 değil ✗.

11. Cebinde 200 TL bulunan bir öğrenci önce 32 TL'lik bir kalem takımı almıştır. Kalan parasıyla tanesi 24 TL olan defterlerden alacağına göre en çok kaç defter alabilir?

• A) 7
• B) 6
• C) 8
• D) 9

Doğru cevap: A — Önce sabit harcama düşülür: kalan 168 TL ile 24d ≤ 168 → d ≤ 7 defter.

1. Kalem takımı her hâlükârda alınıyor; onun tutarı sabit gider. Kalan para: 200 − 32 = 168 TL.
2. Defter sayısına d diyelim: 24d ≤ 168.
3. Her iki tarafı 24’e bölelim: d ≤ 7. En çok 7 defter.
4. Denetleyelim: 32 + 7 × 24 = 32 + 168 = 200 TL ✓ tam yetiyor. 8 defter 224 TL ederdi ve para yetmezdi ✗.

12. Sayı doğrusunda çözüm kümesi gösterilen eşitsizlik aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• A) x + 3 < 1
• B) 2x < −4
• C) x − 1 ≥ −3
• D) 3x > −6

Doğru cevap: C — Gösterilen küme x ≥ −2'dir; x − 1 ≥ −3 eşitsizliği tam olarak bunu verir.

1. Şekildeki küme: x ≥ −2 (uç dolu, tarama sağa)
2. x + 3 < 1 → x < −2 (değil)
3. 3x > −6 → x > −2 (uç dâhil değil)
4. x − 1 ≥ −3 → x ≥ −2 ✓

13. Tabloda 3x + 2 ifadesinin bazı x değerleri için aldığı sonuçlar verilmiştir. Buna göre 3x + 2 > 4 eşitsizliğini sağlayan x değerleri hangileridir?

• A) Yalnız 4
• B) 1 ve 4
• C) 0, 1 ve 4
• D) −2 ve 0

Doğru cevap: B — Tabloda 4'ten büyük sonuçlar 5 ve 14'tür; bunlar x = 1 ve x = 4 için elde edilmiştir.

1. x = −2 → −4, 4'ten küçük
2. x = 0 → 2, 4'ten küçük
3. x = 1 → 5 ✓
4. x = 4 → 14 ✓

14. Bir kara yolunda hız sınırı saatte en fazla 82 kilometredir. Kurallara uyan bir sürücü 3 saatte en çok kaç kilometre yol alabilir?

• A) 246
• B) 240
• C) 252
• D) 264

Doğru cevap: A — Hız en fazla 82 km/sa olduğuna göre en çok yol 3 × 82 = 246 km’dir.

1. Hız sınırı bir eşitsizlik: h ≤ 82 km/sa.
2. Yol = hız × zaman formülünde zaman sabit (3 saat); yol en büyük değerini hız en büyükken alır.
3. En büyük hız 82 km/sa olduğuna göre en çok yol: 3 × 82 = 246 km.
4. Denetleyelim: 246 ÷ 3 = 82 km/sa ✓ tam sınırda, kural çiğnenmemiş. 252 km olsaydı hız 84 olurdu ve sınır aşılırdı ✗.

15. Şemada bir eşitsizliğin çözümü verilmiştir. Son adımda hangi kurala uyulmadığı için sonuç yanlış bulunmuştur?

• A) Sonuç doğrudur, herhangi bir kural çiğnenmemiştir.
• B) İki taraf 3 yerine 9'a bölünmeliydi.
• C) Negatif sayıya bölünürken eşitsizliğin yönü değiştirilmeliydi.
• D) İlk adımda 2 sayısı iki tarafa da toplanmalıydı.

Doğru cevap: C — −3’e bölerken yön değişmeliydi; doğrusu x > −3’tür.

1. İlk adım doğru: 2 karşıya geçirilince −3x < 9 olur.
2. Son adımda iki taraf −3’e bölünüyor. Bölen NEGATİF olduğu için eşitsizliğin yönü değişmeliydi.
3. Doğrusu: 9 ÷ (−3) = −3 ve "<" işareti ">" olur, yani x > −3.
4. Denetleyelim: x = 0 alalım — −3 × 0 + 2 = 2 < 11 ✓. Şemadaki x < −3 sonucuna göre 0 çözüm olmamalıydı; demek ki şema yanlış.