Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

1. x ile y sayıları için x + y = 8 ve x² + y² = 34 eşitlikleri veriliyor. Buna göre x × y çarpımı kaçtır?

• A) 12
• B) 15
• C) 17
• D) 30

Doğru cevap: B — (x + y)² = x² + 2xy + y² kuralından 64 = 34 + 2xy ve xy = 15 bulunur.

1. (x + y)² = x² + 2xy + y²
2. 8² = 34 + 2xy
3. 64 − 34 = 2xy → 2xy = 30
4. xy = 15

2. Kenarı x + 4 olan kare şekildeki gibi parçalara ayrılmıştır. Karenin toplam alanı, x² ile 16 nın toplamından 40 birimkare fazla olduğuna göre x kaçtır?

• A) 4
• B) 5
• C) 6
• D) 8

Doğru cevap: B — Aradaki fark iki dikdörtgenin alanıdır: 8x = 40 ve x = 5 tir.

1. Toplam alan: x² + 8x + 16
2. x² ile 16 nın toplamı: x² + 16
3. Fark iki dikdörtgen parçadır: 4x + 4x = 8x
4. 8x = 40 → x = 5

3. Örüntüdeki her şekil bir kare oluşturmaktadır. Şekillerdeki birim kare sayıları sırasıyla 1, 4 ve 9 dur. Buna göre n. şekil ile bir sonraki şekildeki birim kare sayılarının farkı hangisidir?

• A) 2n + 1
• B) n + 1
• C) 2n
• D) n²

Doğru cevap: A — (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1 bulunur.

1. n. şekilde n² birim kare vardır.
2. Bir sonraki şekilde (n + 1)² kare olur.
3. (n + 1)² = n² + 2n + 1
4. Fark: 2n + 1

4. İfadesinin en sade biçimi nedir?

(a + b)² − (a − b)²

• A) 2ab
• B) 4ab
• C) 2a²
• D) 4a² + 4b²

Doğru cevap: B — İki açılımın farkı alınır: (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab.

1. Her iki kareyi açalım: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b².
2. Çıkarmada ikinci parantezin HER terimi işaret değiştirir: a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b².
3. a² ile −a², b² ile −b² birbirini götürür; geriye 2ab + 2ab = 4ab kalır.
4. Denetleyelim: a = 5, b = 2 alalım. 49 − 9 = 40 ve 4 × 5 × 2 = 40. Tutuyor.

5. Kare biçimindeki bir bahçenin bir kenarı 6 metre uzatıldığında alanı 156 m² artmaktadır. Buna göre bahçenin ilk alanı kaç m² dir?

• A) 576
• B) 625
• C) 676
• D) 729

Doğru cevap: C — Artış 6a olduğuna göre 6a = 156 → a = 26; ilk alan 26² = 676 m².

1. İlk alan a², yeni kenar a + 6 ve yeni alan a × (a + 6) = a² + 6a.
2. Artış = (a² + 6a) − a² = 6a. Verilene eşitleyelim: 6a = 156 → a = 26 metre.
3. Soru kenarı değil İLK ALANI istiyor: 26² = 676 m².
4. Denetleyelim: yeni alan 26 × 32 = 832 ve 832 − 676 = 156 ✓.

6. Bir öğrenci şemadaki denklemi çözmüştür. Buna göre bu çözümde ne eksik bırakılmıştır?

• A) x = −3 kökü de yazılmalıydı.
• B) x² = 9 adımı yanlıştır.
• C) 9 sayısının karekökü 4,5 tir.
• D) Denklemin hiçbir kökü yoktur.

Doğru cevap: A — x² − 9 = (x − 3)(x + 3) olduğuna göre denklemin iki kökü vardır: 3 ve −3.

1. x² = 9 adımı doğru; ama buradan tek kök çıkarmak eksik.
2. Çarpanlara ayıralım: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0.
3. Bir çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır: x − 3 = 0 → x = 3 ya da x + 3 = 0 → x = −3.
4. Denetleyelim: (−3)² − 9 = 9 − 9 = 0 ✓. Negatif kök de denklemi sağlıyor, atlanamaz.

7. İfadesinin en sade biçimi hangisidir?

(x + 3)(x − 3) + (x − 1)²

• A) 2x² − 2x − 8
• B) 2x² − 2x + 10
• C) x² − 2x − 8
• D) 2x² + 2x − 8

Doğru cevap: A — (x² − 9) + (x² − 2x + 1) = 2x² − 2x − 8 bulunur.

1. (x + 3)(x − 3) = x² − 9
2. (x − 1)² = x² − 2x + 1
3. Toplayalım: x² + x² = 2x²
4. −9 + 1 = −8 → 2x² − 2x − 8

8. Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları şekilde birim cinsinden verilmiştir. x = 5 olduğuna göre bu dikdörtgenin çevresi kaç birimdir?

• A) 26
• B) 30
• C) 34
• D) 52

Doğru cevap: C — Kenarlar 13 ve 4 birimdir; çevre 2 × (13 + 4) = 34 birimdir.

1. 2x + 3 = 2 × 5 + 3 = 13
2. x − 1 = 5 − 1 = 4
3. Çevre = 2 × (13 + 4)
4. 2 × 17 = 34 birim

9. Tabloda a ile b sayılarına ait iki eşitlik verilmiştir. Buna göre a² − b² farkı kaçtır?

• A) 16
• B) 32
• C) 48
• D) 128

Doğru cevap: C — a² − b² = (a + b)(a − b) = 12 × 4 = 48 bulunur.

1. Kural: a² − b² = (a + b)(a − b)
2. Tablodan a + b = 12 ve a − b = 4
3. 12 × 4 = 48
4. a² − b² = 48

10. Tabloda bir kibrit çöpü örüntüsündeki çöp sayıları verilmiştir. Toplam 100 çöp kullanıldığında kaçıncı şekil oluşur?

• A) 32
• B) 33
• C) 34
• D) 99

Doğru cevap: B — Artış 3 olduğuna göre kural 3n + 1’dir: 3n + 1 = 100 → n = 33.

1. Tablodaki artışa bakalım: 4, 7, 10, 13 — her adımda 3 artıyor. Kuralda n’in katsayısı 3.
2. Sabit terimi bulalım: 1. şekil için 3 × 1 = 3 ama gerçekte 4 çöp var; fark +1. Kural: 3n + 1.
3. Toplam 100 çöp için denklemi kuralım: 3n + 1 = 100 → 3n = 99 → n = 33.
4. Denetleyelim: 33. şekil için 3 × 33 + 1 = 100 ✓.

11. İfadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi hangisidir?

3x² − 12

• A) 3(x − 2)(x + 2)
• B) (3x − 4)(x + 3)
• C) 3(x − 4)(x + 4)
• D) (3x − 12)(x + 1)

Doğru cevap: A — Önce ortak çarpan 3 alınır, sonra kalan iki kare farkı ayrılır: 3(x − 2)(x + 2).

1. Çarpanlara ayırmada ilk adım her zaman ORTAK ÇARPANI almaktır: 3x² ve 12 sayılarının ortak çarpanı 3.
2. 3 parantezine alalım: 3(x² − 4).
3. Parantez içi iki kare farkı: x² − 2² = (x − 2)(x + 2). Sonuç 3(x − 2)(x + 2).
4. Denetleyelim: 3(x − 2)(x + 2) = 3(x² − 4) = 3x² − 12. Başlangıçtaki ifadeye döndük.

12. Alan modelinde parçalara ayrılmış bir dikdörtgen verilmiştir. Buna göre bu dikdörtgenin alanını veren ifade hangisidir?

• A) 3x² + 10
• B) 3x² + 15x + 10
• C) 3x² + 17x + 10
• D) 3x² + 17x + 7

Doğru cevap: C — Dört parçanın alanları toplanır: 3x² + 2x + 15x + 10 = 3x² + 17x + 10.

1. Alan modelinde bütünün alanı parçaların toplamıdır.
2. Parçalar: 3x², 2x, 15x ve 10.
3. Benzer terimleri birleştirelim: 2x + 15x = 17x. Sonuç 3x² + 17x + 10.
4. Denetleyelim: model (3x + 2)(x + 5) çarpımını gösteriyor. Açalım: 3x² + 15x + 2x + 10 = 3x² + 17x + 10. Tutuyor.

13. Kartlarda bir cebirsel ifade ile ilgili bilgi verilmiştir. Bu ifade tam kare olduğuna göre k nın alabileceği pozitif değer kaçtır?

• A) 6
• B) 9
• C) 18
• D) 12

Doğru cevap: D — Tam kare için orta terim 2 × x × 6 = 12x olmalıdır, yani k = 12 dir.

1. 36 = 6² olduğundan ifade (x + 6)² olmalıdır.
2. (x + 6)² = x² + 12x + 36
3. Orta terimler eşitlenir: kx = 12x
4. k = 12

14. Bir depoda başlangıçta x kilogram un bulunmaktadır. Her gün depodan 3 kilogram un kullanılmakta, akşamları depoya 5 kilogram un eklenmektedir. Buna göre 6 günün sonunda depodaki un miktarını veren ifade hangisidir?

• A) x − 12
• B) 6x + 12
• C) x + 2
• D) x + 12

Doğru cevap: D — Günlük net artış 5 − 3 = 2 kg dır; 6 günde 12 kg artar: x + 12.

1. Bir günde çıkan 3 kg, giren 5 kg
2. Net değişim: 5 − 3 = 2 kg artış
3. 6 gün için: 6 × 2 = 12 kg
4. Sonuç: x + 12

15. Grafikte bir örüntüdeki birim kare sayıları verilmiştir. Buna göre bu örüntünün n. adımındaki birim kare sayısını veren ifade hangisidir?

• A) n² + 2
• B) 2n + 1
• C) n² + n
• D) n² + 2n

Doğru cevap: D — Sayılar 1 × 3, 2 × 4, 3 × 5 biçimindedir; kural n × (n + 2) = n² + 2n dir.

1. 3 = 1 × 3, 8 = 2 × 4, 15 = 3 × 5
2. Her adımda n ile (n + 2) çarpılıyor.
3. n × (n + 2) = n² + 2n
4. Kural: n² + 2n