Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

1. Alan modelinde bir kenarı x + 7 olan kare parçalara ayrılmıştır. Bu modelde x = 3 alındığında karenin alanı kaç birimkare olur?

• A) 58
• B) 81
• C) 100
• D) 121

Doğru cevap: C — Kenar x + 7 olduğuna göre x = 3 için kenar 10, alan 10² = 100 birimkaredir.

1. Modeldeki karenin bir kenarı x + 7 birim.
2. x = 3 verilmiş: kenar = 3 + 7 = 10 birim.
3. Karenin alanı kenarın karesidir: 10 × 10 = 100 birimkare.
4. Denetleyelim: açılımdan da gidelim — x² + 14x + 49 = 9 + 42 + 49 = 100. İki yol aynı sonucu verdi.

2. İfadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi nedir?

x² − 49

• A) (x − 7)(x + 7)
• B) (x − 7)²
• C) (x + 7)²
• D) x(x − 49)

Doğru cevap: A — İki kare farkıdır: x² − 7² = (x − 7)(x + 7).

1. İki terim ve arada eksi var; 49 = 7² olduğuna göre ifade x² − 7² biçiminde.
2. Özdeşlik: a² − b² = (a − b)(a + b).
3. a = x ve b = 7 → (x − 7)(x + 7).
4. Denetleyelim: (x − 7)(x + 7) = x² + 7x − 7x − 49 = x² − 49. Tutuyor.

3. Bir bahçenin kenar uzunlukları şekilde metre cinsinden verilmiştir. Bahçenin alanı 40 m² olduğuna göre x kaçtır?

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 8

Doğru cevap: B — x(x + 6) = 40 denkleminde x = 4 alınırsa 4 × 10 = 40 sağlanır.

1. Alan = x × (x + 6) = 40
2. x = 3 için 3 × 9 = 27, küçük kalır.
3. x = 4 için 4 × 10 = 40
4. x = 4 tür.

4. Örüntüde her şekildeki nokta sayısı düzenli olarak artmaktadır. Buna göre 20. şekilde kaç nokta bulunur?

• A) 57
• B) 58
• C) 59
• D) 62

Doğru cevap: C — Artış 3 olduğu için kural 3n − 1’dir: 3 × 20 − 1 = 59 nokta.

1. Örüntüde her adımdaki artışa bakılır; nokta sayısı her şekilde 3 artıyor.
2. Artış 3 ise kuralda n’in katsayısı 3 olur: 3n. Şimdi sabit terimi bulalım.
3. 1. şekilde 3 × 1 = 3 çıkıyor ama gerçekte 2 nokta var; aradaki fark −1. Kural: 3n − 1.
4. Denetleyelim: 2. şekil için 3 × 2 − 1 = 5 ✓. 20. şekil: 3 × 20 − 1 = 59.

5. İfadesinin açılımı hangisidir?

(2x + 3)²

• A) 4x² + 9
• B) 2x² + 12x + 9
• C) 4x² + 6x + 9
• D) 4x² + 12x + 9

Doğru cevap: D — (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9 bulunur.

1. Kural: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. a = 2x, b = 3
3. (2x)² = 4x² ve 2 × 2x × 3 = 12x
4. 4x² + 12x + 9

6. Bir sinema biletinin tam fiyatı x TL dir. Öğrencilere bilet başına 15 TL indirim yapılmaktadır. 8 öğrenci bilet aldığına göre ödenen toplam tutarı veren ifade hangisidir?

• A) 8x − 15
• B) 8x − 120
• C) x − 120
• D) 8x + 120

Doğru cevap: B — Bir öğrenci x − 15 ödüyor; 8 öğrenci için 8 × (x − 15) = 8x − 120.

1. Bir öğrencinin ödediği tutar: tam fiyattan indirim düşülür, yani x − 15 TL.
2. 8 öğrenci aynı tutarı ödüyor: 8 × (x − 15).
3. Dağılma özelliği — çarpan parantezdeki HER terime dağılır: 8x − 120.
4. Denetleyelim: x = 50 alalım. Bir öğrenci 35 TL, sekizi 280 TL; ifadede 8 × 50 − 120 = 280. Tutuyor.

7. Bir öğrenci şemadaki açılımı yapmıştır. Buna göre bu çözümde hangi hata yapılmıştır?

• A) Tam kare ifade, iki kare farkı sanılmıştır; doğrusu x² − 8x + 16 dır.
• B) Sonuç doğrudur, x² − 16 bulunur.
• C) x² yerine 2x yazılmalıydı.
• D) 16 yerine −16 yazılmalıydı, doğrusu x² + 16 dır.

Doğru cevap: A — (x − 4)² bir tam kare açılımıdır: x² − 2 × x × 4 + 16 = x² − 8x + 16.

1. x² − 16 ifadesi (x − 4)(x + 4) çarpımına aittir.
2. (x − 4)² ise (x − 4) × (x − 4) demektir.
3. Kural: (a − b)² = a² − 2ab + b²
4. Doğru açılım x² − 8x + 16 dır.

8. İfadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi hangisidir?

x² + 10x + 25

• A) (x + 5)(x − 5)
• B) (x + 25)²
• C) (x + 5)²
• D) (x + 10)(x + 5)

Doğru cevap: C — Tam kare biçimidir: x² + 2·x·5 + 5² = (x + 5)².

1. Tam kare kalıbının üç koşulu var: baş terim kare, son terim kare, orta terim ikisinin çarpımının iki katı.
2. Baş terim x² ✓, son terim 25 = 5² ✓.
3. Orta terim: 2 × x × 5 = 10x ✓. Üçü de uyduğuna göre sonuç (x + 5)².
4. Denetleyelim: (x + 5)² = x² + 10x + 25. Başlangıçtaki ifadeye döndük.

9. Tabloda bir alışverişte alınan ürünler verilmiştir. Buna göre ödenen toplam tutarı veren en sade ifade hangisidir?

• A) 35x + 4
• B) 35x + 40
• C) 25x + 40
• D) 35x

Doğru cevap: B — 25x + 10(x + 4) = 25x + 10x + 40 = 35x + 40 TL bulunur.

1. Defter tutarı: 25 × x = 25x
2. Kalem tutarı: 10 × (x + 4) = 10x + 40
3. Toplam: 25x + 10x + 40
4. 35x + 40

10. a ile b sayıları için a + b = 9 ve a × b = 14 eşitlikleri veriliyor. Buna göre a² + b² toplamı kaçtır?

• A) 53
• B) 67
• C) 95
• D) 39

Doğru cevap: A — (a + b)² = a² + 2ab + b² olduğundan 81 = a² + b² + 28 ve a² + b² = 53 tür.

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. 9² = a² + b² + 2 × 14
3. 81 = a² + b² + 28
4. a² + b² = 53

11. Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları şekilde birim cinsinden verilmiştir. a = 9 olduğuna göre bu dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?

• A) 46
• B) 56
• C) 66
• D) 81

Doğru cevap: B — Kenarların çarpımı iki kare farkıdır: (a+5)(a−5) = a² − 25 = 81 − 25 = 56.

1. Dikdörtgenin alanı kenarların çarpımı: (a + 5)(a − 5).
2. Terimler aynı, işaretler zıt; iki kare farkı özdeşliği uygulanır: a² − 25.
3. a = 9 verilmiş: 9² − 25 = 81 − 25 = 56 birimkare.
4. Denetleyelim: kenarlar 9 + 5 = 14 ve 9 − 5 = 4; 14 × 4 = 56. Tutuyor.

12. Alan modelinde dört parçaya ayrılmış bir dikdörtgen verilmiştir. Buna göre bu dikdörtgenin alanını veren ifade hangisidir?

• A) 2x² + 5
• B) 2x² + 10x + 5
• C) 3x² + 11x
• D) 2x² + 11x + 5

Doğru cevap: D — Dört parçanın alanları toplanır: 2x² + x + 10x + 5 = 2x² + 11x + 5.

1. Alan modelinde bütünün alanı parçaların alanları toplamıdır.
2. Parçalar: 2x², x, 10x ve 5.
3. Benzer terimleri birleştirelim: x + 10x = 11x. Sonuç 2x² + 11x + 5.
4. Denetleyelim: model (2x + 1)(x + 5) çarpımını gösteriyor. Açalım: 2x² + 10x + x + 5 = 2x² + 11x + 5. Tutuyor.

13. İşleminin sonucu kaçtır?

99² − 98²

• A) 1
• B) 97
• C) 9797
• D) 197

Doğru cevap: D — İki kare farkı: (99 − 98)(99 + 98) = 1 × 197 = 197.

1. Kural: a² − b² = (a − b)(a + b)
2. a = 99, b = 98
3. (99 − 98) = 1 ve (99 + 98) = 197
4. 1 × 197 = 197

14. Tabloda x değerlerine karşılık gelen ifade değerleri verilmiştir. Buna göre soru işareti yerine hangi sayı gelmelidir?

• A) 21
• B) 16
• C) 20
• D) 24

Doğru cevap: A — Tablodaki kural x² − 4’tür: x = 5 için 25 − 4 = 21.

1. Önce kuralı doğrulayalım: tablo başlığı x² − 4 diyor. x = 3 için 9 − 4 = 5 ✓, x = 4 için 16 − 4 = 12 ✓.
2. Kural tuttuğuna göre soru işareti satırındaki x değerini yerine koyalım.
3. x = 5 için: 5² − 4 = 25 − 4 = 21.
4. Denetleyelim: değerler 5, 12, 21 diye gidiyor; artışlar 7 ve 9, yani düzenli olarak 2 artıyor. Kare fonksiyonlarda beklenen davranış bu.

15. Kare biçimindeki bir arsanın bir kenarı 4 metre uzatıldığında alanı 96 m² artmaktadır. Buna göre bu arsanın ilk kenar uzunluğu kaç metredir?

• A) 20
• B) 22
• C) 24
• D) 28

Doğru cevap: C — Kenar 4 uzayınca alan artışı 4a olur: 4a = 96 → a = 24 metre.

1. İlk alan a², yeni kenar a + 4 ve yeni alan a × (a + 4) = a² + 4a.
2. Artış = yeni alan − ilk alan = (a² + 4a) − a² = 4a.
3. Verilen artışa eşitleyelim: 4a = 96 → a = 24 metre.
4. Denetleyelim: ilk alan 24² = 576, yeni alan 24 × 28 = 672; fark 672 − 576 = 96 ✓.