Eşitsizlikler

1. Sayı doğrusunda bir aralık kalın çizgiyle taranmıştır. Taranan bu aralıkta kaç tam sayı bulunur?

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 6

Doğru cevap: C — Aralık −3 ≤ x < 2'dir; −3, −2, −1, 0 ve 1 olmak üzere 5 tam sayı içerir.

1. Sol uç dolu → −3 dâhildir.
2. Sağ uç boş → 2 dâhil değildir.
3. Tam sayılar: −3, −2, −1, 0, 1
4. Toplam 5 tam sayı vardır.

2. Eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?

5 − 2x ≤ 1

• A) 2
• B) 3
• C) −2
• D) 1

Doğru cevap: A — 5 karşıya geçince −2x ≤ −4 olur; negatife bölünce yön değişir ve x ≥ 2 çıkar.

1. Her iki taraftan 5 çıkaralım: −2x ≤ 1 − 5 = −4.
2. Her iki tarafı −2’ye bölelim. Bölen negatif olduğu için yön DEĞİŞİR.
3. −4 ÷ (−2) = 2 ve "≤" işareti "≥" olur: x ≥ 2. En küçük tam sayı 2.
4. Denetleyelim: x = 2 için 5 − 4 = 1 ≤ 1 ✓ (eşitlik dâhil). x = 1 için 5 − 2 = 3 ≤ 1 değil ✗.

3. Bir tiyatro gösterisinde bilet fiyatı 85 TL'dir. Gösteriden elde edilecek gelirin en az 5 100 TL olması isteniyorsa en az kaç bilet satılmalıdır?

• A) 55
• B) 60
• C) 62
• D) 65

Doğru cevap: B — 85b ≥ 5100 eşitsizliğinden b ≥ 60 çıkar; en az 60 bilet satılmalıdır.

1. Bilet sayısına b diyelim. Gelir 85b ve bu 5100’ün ALTINA düşmemeli: 85b ≥ 5100.
2. Her iki tarafı 85’e bölelim; bölen pozitif, yön değişmez.
3. b ≥ 60. "En az" sorulduğu için sınır değerin kendisi cevaptır: 60 bilet.
4. Denetleyelim: 60 × 85 = 5100 TL ✓ tam hedefte. 59 bilet 5015 TL ederdi ve hedefin altında kalırdı ✗.

4. Terazide sol kefe aşağıda kalmıştır. Kutuların kütlesi tam sayı olduğuna göre bir kutu en az kaç kilogramdır?

• A) 4
• B) 5
• C) 6
• D) 7

Doğru cevap: D — 3x > 20 eşitsizliği x > 6,67 verir; en küçük tam sayı değeri 7'dir.

1. Sol kefe: 3x, sağ kefe: 4 × 5 = 20
2. Sol ağır olduğu için 3x > 20
3. x > 6,67
4. Tam sayı olduğundan en az 7 kilogramdır.

5. Şekilde çözüm kümesi gösterilen eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

• A) x + 4 < 0
• B) −2x ≤ 8
• C) 3x < −12
• D) x − 4 ≥ 0

Doğru cevap: B — Gösterilen küme x ≥ −4'tür; −2x ≤ 8 eşitsizliği bölmede yön değiştirerek x ≥ −4 verir.

1. Şekildeki küme: x ≥ −4
2. −2x ≤ 8 → iki tarafı −2'ye böl
3. Negatife bölmede yön değişir: x ≥ −4 ✓
4. Diğer seçenekler farklı küme verir.

6. Tabloda bir spor mağazasının fiyatları verilmiştir. 600 TL'si olan bir müşteri bir tişört ve bir şort aldıktan sonra en çok kaç çift çorap alabilir?

• A) 9
• B) 10
• C) 11
• D) 12

Doğru cevap: C — Tişört ve şort 215 TL tutar; kalan 385 TL ile 385 ÷ 35 = 11 çift çorap alınır.

1. 120 + 95 = 215 TL harcanır.
2. Kalan para: 600 − 215 = 385 TL
3. 35ç ≤ 385 → ç ≤ 11
4. En çok 11 çift çorap alabilir.

7. Eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

−1 < 2x + 3 ≤ 9

• A) 5
• B) 4
• C) 6
• D) 3

Doğru cevap: A — Eşitsizlik −2 < x ≤ 3 verir; −1, 0, 1, 2, 3 olmak üzere 5 tam sayı vardır.

1. Her taraftan 3 çıkar: −4 < 2x ≤ 6
2. Her tarafı 2'ye böl: −2 < x ≤ 3
3. Tam sayılar: −1, 0, 1, 2, 3
4. Toplam 5 tane

8. Bir kargo firması ilk 2 kilogram için 45 TL, sonraki her kilogram için 12 TL almaktadır. Ücreti 105 TL'yi geçmeyen bir gönderi en fazla kaç kilogram olabilir?

• A) 5
• B) 6
• C) 8
• D) 7

Doğru cevap: D — İlk 2 kg için 45 TL sabit; kalan 60 TL ile 5 kg daha alınır, toplam 7 kg.

1. Ücret iki parçalı: ilk 2 kilogram için sabit 45 TL, sonrası için kilogram başına 12 TL.
2. Sabit kısmı düşelim: 105 − 45 = 60 TL, bu para ek kilogramlara ayrılıyor.
3. Ek kilogram sayısı: 60 ÷ 12 = 5 kg. Toplam ağırlık: 2 + 5 = 7 kg.
4. Denetleyelim: 7 kg için ücret 45 + 5 × 12 = 105 TL ✓ tam sınırda. 8 kg olsaydı 117 TL olurdu ve 105’i aşardı ✗.

9. Kartların üzerinde dört eşitsizlik yazılıdır. Bu eşitsizliklerden hangisinin çözüm kümesinde 2 sayısı yer almaz?

• A) x > 2
• B) x ≥ 2
• C) x ≤ 2
• D) x < 3

Doğru cevap: A — x > 2 kümesinde 2 sayısı yoktur; diğer üç kümede 2 bulunur.

1. x > 2 → 2 dâhil değil
2. x ≥ 2 → 2 dâhil
3. x ≤ 2 → 2 dâhil
4. x < 3 → 2 dâhil

10. Grafikte beş öğrencinin bir ayda okuduğu kitap sayısı verilmiştir. En az 5 kitap okuyan öğrencilere rozet verildiğine göre kaç öğrenci rozet almıştır?

• A) 1
• B) 2
• C) 3
• D) 4

Doğru cevap: C — Koşul "en az 5" olduğuna göre 5 de dâhildir: Bora 7, Ceren 5 ve Elif 8 — 3 öğrenci.

1. Koşulu yazalım: kitap sayısı ≥ 5. "En az" ifadesi sınır değeri KAPSAR.
2. Grafikteki değerleri tek tek denetleyelim: Ali 4 ✗, Bora 7 ✓, Ceren 5 ✓ (eşitlik dâhil).
3. Deniz 3 ✗, Elif 8 ✓. Rozet alan 3 öğrenci.
4. Denetleyelim: koşul "5’ten fazla" olsaydı Ceren dışarıda kalır ve cevap 2 olurdu; "en az 5" onu içeriyor.

11. Bir atölyede günde en az 240 ürün üretilmesi hedeflenmektedir. Saatte 15 ürün üreten bir makinenin bu hedefi tutturması için günde en az kaç saat çalışması gerekir?

• A) 12
• B) 14
• C) 15
• D) 16

Doğru cevap: D — 15s ≥ 240 eşitsizliğinden s ≥ 16 çıkar; en az 16 saat çalışmalıdır.

1. Çalışma süresine s diyelim. Üretim 15s ve bu 240’ın ALTINA düşmemeli: 15s ≥ 240.
2. Her iki tarafı 15’e bölelim; bölen pozitif, yön değişmez.
3. s ≥ 16. "En az" sorulduğu için sınır değer cevaptır: 16 saat.
4. Denetleyelim: 16 saatte 16 × 15 = 240 ürün ✓ tam hedefte. 15 saatte 225 ürün olurdu ve hedefin altında kalırdı ✗.

12. Bir şehirde bir gün boyunca ölçülen sıcaklık değerlerinin aralığı sayı doğrusunda gösterilmiştir. Sıcaklığı gösteren s değişkeni için hangi ifade yazılabilir?

• A) 4 < s < 9
• B) 4 ≤ s ≤ 9
• C) s ≥ 9
• D) s ≤ 4

Doğru cevap: B — Her iki uç da dolu daire ile gösterildiğine göre 4 ve 9 dâhildir: 4 ≤ s ≤ 9.

1. İki uçlu aralıkta her iki uç ayrı okunur.
2. Sol uç DOLU: 4 dâhil, eşitlik var → 4 ≤ s.
3. Sağ uç da DOLU: 9 dâhil → s ≤ 9. Birleştirelim: 4 ≤ s ≤ 9.
4. Denetleyelim: s = 4 ✓ ve s = 9 ✓ (iki uç da dolu), s = 6 ✓ (arada), s = 10 ✗.

13. Şemada bir eşitsizliğin çözümü gösterilmiştir. Bu çözümle ilgili aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

• A) Son adımda yön ters çevrilmeliydi, doğrusu x ≤ 3'tür.
• B) Çözüm baştan sona doğrudur.
• C) Doğru sonuç x ≥ −3 olmalıydı.
• D) Doğru sonuç x > 3 olmalıydı.

Doğru cevap: A — −x ≥ −3 eşitsizliği −1 ile çarpılırken yön değişir; doğrusu x ≤ 3’tür.

1. İlk adım doğru: 5 karşıya geçirilince −x ≥ −3 olur.
2. Son adımda x’in başındaki eksiden kurtulmak için iki taraf −1 ile çarpılıyor. Negatifle çarpım yönü ÇEVİRİR.
3. Doğrusu: x ≤ 3. Şemadaki x ≥ 3 yanlış.
4. Denetleyelim: x = 5 alalım — 5 − 5 = 0 ≥ 2 değil ✗. Şemaya göre 5 çözüm olmalıydı; olmadığına göre şema yanlış.

14. Bir bilim yarışmasına katılabilmek için yaşın 12'den küçük olmaması ve 16'yı geçmemesi gerekmektedir. Katılımcının yaşını y ile gösterirsek uygun ifade aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 12 < y < 16
• B) 12 < y ≤ 16
• C) 12 ≤ y < 16
• D) 12 ≤ y ≤ 16

Doğru cevap: D — "Küçük olmaması" 12'yi, "geçmemesi" 16'yı kümeye dâhil eder: 12 ≤ y ≤ 16.

1. 12'den küçük olmayacak → y ≥ 12
2. 16'yı geçmeyecek → y ≤ 16
3. İki koşul birleştirilir.
4. 12 ≤ y ≤ 16

15. Eşitsizliğinin en küçük çözümü kaçtır?

(x + 2)/3 ≥ 4

• A) 8
• B) 10
• C) 12
• D) 14

Doğru cevap: B — İki taraf 3 ile çarpılır: x + 2 ≥ 12 → x ≥ 10; en küçük çözüm 10’dur.

1. Paydadan kurtulmak için her iki tarafı 3 ile çarpalım: x + 2 ≥ 12.
2. Çarpan POZİTİF olduğu için yön değişmedi.
3. Her iki taraftan 2 çıkaralım: x ≥ 10. Eşitlik dâhil olduğuna göre en küçük çözüm 10.
4. Denetleyelim: x = 10 için (10 + 2)/3 = 4 ≥ 4 ✓. x = 9 için 11/3 ≈ 3,67 ≥ 4 değil ✗.