Üçgenler

1. Şekilde ABC üçgeninde [AD] doğru parçası çizilmiş, |BD| = |DC| olduğu tik işaretleriyle gösterilmiştir. Buna göre [AD] bu üçgenin hangi yardımcı elemanıdır?

• A) Açıortay
• B) Kenarortay
• C) Yükseklik
• D) Kenar orta dikmesi

Doğru cevap: B — Tik işaretleri |BD| = |DC| olduğunu gösteriyor; D orta nokta olduğu için [AD] kenarortaydır.

1. Şekildeki işaretleri okuyalım: D noktası [BC] kenarının üzerinde ve tik işaretleri |BD| = |DC| diyor.
2. Eşit iki parça demek, D’nin [BC] kenarının ORTA NOKTASI olması demektir.
3. A köşesi bu orta noktaya birleştirilmiş. Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren parçanın adı kenarortaydır.
4. Denetleyelim: şekilde D’de dik açı işareti YOK ✓ — olsaydı aynı zamanda yükseklik de olurdu.

2. Şekildeki ABC üçgeninde A köşesinden [BC] kenarına bir doğru parçası indirilmiş, ayağında dik açı işareti kullanılmıştır. Bu doğru parçasının özel adı nedir?

• A) Yükseklik
• B) Kenarortay
• C) Açıortay
• D) Orta taban

Doğru cevap: A — H noktasındaki dik açı işareti [AH] ⊥ [BC] demektir; bu doğru parçası [BC] kenarına ait yüksekliktir.

1. Şekildeki ayırt edici işaret H noktasındaki küçük karedir; bu, 90°’lik açıyı gösterir.
2. Yani [AH] parçası [BC] kenarına diktir.
3. Bir köşeden karşı kenara indirilen dik doğru parçasına o kenara ait yükseklik denir.
4. Denetleyelim: kenarortay olsaydı H’de dik açı değil, |BH| = |HC| tik işaretleri bulunurdu ✓ — şekildeki işaret bu ayrımı yapıyor.

3. Şekildeki üçgende A köşesindeki açı [AD] ile iki eş parçaya ayrılmıştır; eşit açılar aynı yay işaretiyle gösterilmiştir. [AD] için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

• A) Kenarortaydır.
• B) Yüksekliktir.
• C) Açıortaydır.
• D) Orta dikmedir.

Doğru cevap: C — Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir; şekilde A açısı ikiye eş olarak bölünmüştür.

1. A köşesindeki açı [AD] ile ikiye ayrılmıştır.
2. İki parçadaki yay işaretleri aynıdır, yani açılar eştir.
3. Açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçası açıortaydır.
4. Şekilde ne dik açı işareti ne de kenar eşitliği vardır.

4. Ali'nin elinde 13 cm, 7 cm ve 5 cm uzunluğunda üç çubuk vardır. Bu üç çubuğun uçları birleştirilerek bir üçgen oluşturulabilir mi?

• A) Oluşturulur, çünkü üç çubuk da farklı uzunluktadır.
• B) Oluşturulur, çünkü en uzun çubuk 13 cm'dir.
• C) Oluşturulamaz, çünkü 5 + 7 toplamı 13'ten küçüktür.
• D) Oluşturulamaz, çünkü çubuk sayısı tektir.

Doğru cevap: C — Üçgen eşitsizliğine göre iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır: 5 + 7 = 12 < 13.

1. En uzun çubuk 13 cm'dir.
2. Diğer iki çubuğun toplamı 5 + 7 = 12 cm'dir.
3. 12 < 13 olduğu için kısa çubuklar uzun çubuğa yetişemez.
4. Üçgen eşitsizliği sağlanmadığından üçgen oluşmaz.

5. Şekilde B köşesindeki açısı dik olan ABC üçgeninin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm verilmiştir. Buna göre hipotenüsün uzunluğu kaçtır?

• A) 7 cm
• B) 8 cm
• C) 9 cm
• D) 10 cm

Doğru cevap: D — Pisagor bağıntısına göre 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ve √100 = 10 cm'dir.

1. Dik açı B köşesindedir, hipotenüs [AC] kenarıdır.
2. Pisagor bağıntısı: |AB|² + |BC|² = |AC|².
3. 6² + 8² = 36 + 64 = 100 bulunur.
4. |AC| = √100 = 10 cm olur.

6. Şekildeki üçgende iki iç açının ölçüsü 65° ve 48° olarak verilmiştir. x ile gösterilen üçüncü iç açının ölçüsü kaçtır?

• A) 52°
• B) 57°
• C) 62°
• D) 67°

Doğru cevap: D — Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir: 180° − (65° + 48°) = 67°.

1. Üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°'dir.
2. Bilinen iki açının toplamı 65° + 48° = 113°'dir.
3. 180° − 113° = 67° işlemi yapılır.
4. x = 67° bulunur.

7. Şekilde kenar uzunlukları santimetre cinsinden verilen ABC üçgeni çizilmiştir. Bu üçgenin en büyük açısı hangi köşededir?

• A) A köşesinde
• B) B köşesinde
• C) C köşesinde
• D) Üç açı da eşittir.

Doğru cevap: A — Üçgende en uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür; en uzun kenar 9 cm olan [BC] ve karşısı A köşesidir.

1. Kenarlar 5 cm, 7 cm ve 9 cm'dir.
2. En uzun kenar 9 cm olan [BC] kenarıdır.
3. Bir kenarın karşısındaki açı, o kenarı görmeyen köşededir.
4. [BC] kenarının karşısı A köşesi olduğundan en büyük açı A'dadır.

8. Şekilde ABC üçgeninin [BC] kenarı D noktasına kadar uzatılmış, oluşan dış açının ölçüsü 110° yazılmıştır. m(A) = 45° olduğuna göre x ile gösterilen açı kaç derecedir?

• A) 65°
• B) 60°
• C) 55°
• D) 70°

Doğru cevap: A — Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: 110° = 45° + x → x = 65°.

1. C köşesindeki dış açının ölçüsü 110°'dir.
2. Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
3. 110° = 45° + x eşitliği kurulur.
4. x = 110° − 45° = 65° bulunur.

9. Bir boyacı 13 m uzunluğundaki merdiveni duvara dayamıştır. Merdivenin alt ucu duvarın dibinden 5 m uzaktadır. Merdivenin duvara değdiği nokta yerden kaç metre yüksektedir?

• A) 9 m
• B) 10 m
• C) 11 m
• D) 12 m

Doğru cevap: D — Duvar, yer ve merdiven bir dik üçgen oluşturur: 13² − 5² = 169 − 25 = 144 ve √144 = 12 m'dir.

1. Duvar ile yer arasındaki açı 90°'dir, dik üçgen vardır.
2. Merdiven hipotenüstür, uzunluğu 13 m'dir.
3. Pisagor bağıntısı: yükseklik² = 13² − 5² = 144.
4. Yükseklik = √144 = 12 m bulunur.

10. Şekilde üç kenarının uzunluğu da eşit olan bir üçgen çizilmiştir; eşitlik tik işaretleriyle belirtilmiştir. Bu üçgenin bir iç açısının ölçüsü kaçtır?

• A) 45°
• B) 60°
• C) 75°
• D) 90°

Doğru cevap: B — Tik işaretleri üç kenarın eşit olduğunu gösteriyor; eşkenar üçgende her iç açı 180 ÷ 3 = 60°’dir.

1. Şekildeki üç tik işareti üç kenarın da eşit uzunlukta olduğunu söylüyor; bu üçgen eşkenardır.
2. Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir. Üç kenar eşitse üç açı da eşit olmalı.
3. İç açılar toplamı 180° olduğuna göre her açı 180 ÷ 3 = 60°.
4. Denetleyelim: 60 + 60 + 60 = 180 ✓.

11. Şekildeki ikizkenar üçgende tepe açısının ölçüsü 40°'dir. Eşit kenarlar tik işaretiyle gösterildiğine göre x ile belirtilen taban açısı kaç derecedir?

• A) 65°
• B) 70°
• C) 75°
• D) 80°

Doğru cevap: B — Tepe açısı 40°; taban açıları eşit olduğundan her biri (180 − 40) ÷ 2 = 70°’dir.

1. Şekilde tik işareti iki kenarın eşit olduğunu gösteriyor; üçgen ikizkenardır.
2. Eşit kenarların karşısındaki taban açıları da eşittir. x, bu taban açılarından biri.
3. Tepe açısını toplamdan çıkaralım: 180 − 40 = 140°, bu iki taban açısının toplamı. Her biri: 140 ÷ 2 = 70°.
4. Denetleyelim: 40 + 70 + 70 = 180 ✓.

12. Şekildeki üçgenin iki kenarı 6 cm ve 10 cm olarak verilmiştir. Soru işaretiyle gösterilen üçüncü kenarın uzunluğu bir tam sayı ise en çok kaç santimetre olabilir?

• A) 14 cm
• B) 15 cm
• C) 16 cm
• D) 17 cm

Doğru cevap: B — Üçüncü kenar diğer ikisinin toplamından küçük olmalıdır: x < 6 + 10 = 16, tam sayı olduğu için en çok 15'tir.

1. Üçgen eşitsizliği: bir kenar, diğer ikisinin toplamından küçüktür.
2. 6 + 10 = 16 olduğundan x < 16 olmalıdır.
3. Ayrıca x > 10 − 6 = 4 koşulu da vardır.
4. 4 < x < 16 aralığındaki en büyük tam sayı 15'tir.

13. Şekilde B köşesindeki açısı dik olan bir üçgen verilmiştir. Bu üçgende hipotenüs olarak adlandırılan kenar hangisidir?

• A) [AB] kenarı
• B) [BC] kenarı
• C) [AC] kenarı
• D) Dik üçgende hipotenüs bulunmaz.

Doğru cevap: C — Hipotenüs, dik açının karşısındaki en uzun kenardır; dik açı B'de olduğu için hipotenüs [AC]'dir.

1. Dik açı işareti B köşesindedir.
2. Dik açının karşısındaki kenar, B'yi içermeyen kenardır.
3. Bu kenar [AC] kenarıdır.
4. Hipotenüs aynı zamanda dik üçgenin en uzun kenarıdır.

14. Şekilde tabanı 12 cm olan bir üçgende bu tabana ait yükseklik 5 cm olarak çizilmiştir. Üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?

• A) 15 cm²
• B) 24 cm²
• C) 30 cm²
• D) 60 cm²

Doğru cevap: C — Alan = taban × yükseklik ÷ 2 = 12 × 5 ÷ 2 = 30 cm².

1. Şekilde taban 12 cm, bu tabana ait yükseklik 5 cm olarak verilmiş. Formül için gereken iki değer de elimizde.
2. Önce çarpalım: 12 × 5 = 60.
3. Sonra ikiye bölelim: 60 ÷ 2 = 30 cm².
4. Denetleyelim: yükseklik tabana dik çizilmiş ✓ — formül yalnız tabana AİT yükseklikle çalışır, herhangi bir kenarla değil.

15. Şekildeki ABC üçgeninin iç açıları 50°, 60° ve 70° ölçülmüştür. Buna göre kenar uzunlukları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

• A) |AB| < |BC| < |AC|
• B) |BC| < |AB| < |AC|
• C) |AC| < |AB| < |BC|
• D) |BC| < |AC| < |AB|

Doğru cevap: D — Küçük açının karşısındaki kenar kısadır: 50° karşısı [BC], 60° karşısı [AC], 70° karşısı [AB].

1. A açısı 50°, karşısındaki kenar [BC]'dir.
2. B açısı 60°, karşısındaki kenar [AC]'dir.
3. C açısı 70°, karşısındaki kenar [AB]'dir.
4. Açılar 50° < 60° < 70° olduğundan |BC| < |AC| < |AB| olur.