Üçgenler

1. Şekilde bir dik üçgenin dik kenarları üzerine kurulan karelerin alanları 9 cm² ve 16 cm² olarak verilmiştir. Buna göre bu üçgenin hipotenüsü kaç santimetredir?

• A) 3 cm
• B) 4 cm
• C) 5 cm
• D) 6 cm

Doğru cevap: C — Pisagor bağıntısı karelerin alanlarıyla okunur: 9 + 16 = 25 ve hipotenüs √25 = 5 cm'dir.

1. Dik kenarlara kurulan karelerin alanları 9 cm² ve 16 cm²'dir.
2. Pisagor bağıntısı bu alanların toplamının hipotenüs karesine eşit olduğunu söyler.
3. 9 + 16 = 25 cm² bulunur.
4. Hipotenüs = √25 = 5 cm olur.

2. Üçgen şeklindeki 48 m² alanlı bir tarla, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çekilen çitle ikiye ayrılıyor. Oluşan parçalardan birinin alanı kaç metrekare olur?

• A) 24 m²
• B) 32 m²
• C) 36 m²
• D) 48 m²

Doğru cevap: A — Kenarortay üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır: 48 : 2 = 24 m².

1. Çit, köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirdiği için kenarortaydır.
2. İki parçanın tabanları eşittir çünkü |BD| = |DC|.
3. İki parçanın A köşesinden inen yüksekliği de ortaktır.
4. Tabanlar ve yükseklikler eşit olduğundan alanlar eşittir: 48 : 2 = 24 m².

3. Şekilde m(B) = 50°, m(C) = 60° olan ABC üçgeninde [AD] açıortaydır. Buna göre soru işaretiyle gösterilen ADB açısının ölçüsü kaçtır?

• A) 85°
• B) 90°
• C) 95°
• D) 100°

Doğru cevap: C — Önce m(A) = 180° − (50° + 60°) = 70° bulunur; açıortay bunu 35°'ye böler ve ABD üçgeninde 180° − (50° + 35°) = 95° elde edilir.

1. ABC üçgeninde m(A) = 180° − (50° + 60°) = 70°'dir.
2. [AD] açıortay olduğundan m(BAD) = 70° : 2 = 35°'dir.
3. ABD üçgeninde iki açı 50° ve 35° bilinir.
4. m(ADB) = 180° − (50° + 35°) = 95° bulunur.

4. Şekildeki 15 m yüksekliğindeki direğin tepesinden yere 17 m uzunluğunda bir gergi teli çekilmiştir. Tel yere direğin dibinden kaç metre uzakta bağlanmıştır?

• A) 5 m
• B) 6 m
• C) 7 m
• D) 8 m

Doğru cevap: D — Direk, yer ve tel dik üçgen oluşturur: 17² − 15² = 289 − 225 = 64 ve √64 = 8 m.

1. Direk yere dik olduğundan dik üçgen oluşur.
2. Tel hipotenüstür ve 17 m'dir, direk dik kenardır ve 15 m'dir.
3. 17² − 15² = 289 − 225 = 64 hesaplanır.
4. Aranan uzaklık √64 = 8 m'dir.

5. Şekildeki üçgenin iki kenarı 4 cm ve 9 cm'dir. x ile gösterilen kenar tam sayı olduğuna göre x kaç farklı değer alabilir?

• A) 6
• B) 7
• C) 8
• D) 9

Doğru cevap: B — Üçgen eşitsizliği 9 − 4 < x < 9 + 4, yani 5 < x < 13 verir; aradaki tam sayılar 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 olmak üzere 7 tanedir.

1. Üçüncü kenar, diğer ikisinin farkından büyük olmalıdır: x > 9 − 4 = 5.
2. Üçüncü kenar, diğer ikisinin toplamından küçük olmalıdır: x < 9 + 4 = 13.
3. Buradan 5 < x < 13 aralığı elde edilir.
4. Bu aralıktaki tam sayılar 6'dan 12'ye kadar 7 tanedir.

6. Şekilde dik kenar uzunlukları 12 cm ve 5 cm olan bir dik üçgen çizilmiştir. Bu üçgenin çevresinin uzunluğu kaçtır?

• A) 30 cm
• B) 32 cm
• C) 34 cm
• D) 36 cm

Doğru cevap: A — Hipotenüs √(144 + 25) = √169 = 13 cm'dir; çevre 12 + 5 + 13 = 30 cm olur.

1. Pisagor bağıntısı: 12² + 5² = 144 + 25 = 169.
2. Hipotenüs = √169 = 13 cm bulunur.
3. Çevre üç kenarın toplamıdır.
4. 12 + 5 + 13 = 30 cm elde edilir.

7. Şekildeki ikizkenar üçgende taban açılarından birinin ölçüsü 65°'dir. Buna göre x ile gösterilen tepe açısının ölçüsü kaçtır?

• A) 35°
• B) 40°
• C) 45°
• D) 50°

Doğru cevap: D — İki taban açısı eşit olduğundan toplamları 65 + 65 = 130°; tepe açısı 180 − 130 = 50°’dir.

1. Bu soru öncekilerin tersi: taban açısı veriliyor, tepe açısı isteniyor.
2. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Biri 65° ise öteki de 65°’dir.
3. İkisinin toplamı 130°. Tepe açısı: 180 − 130 = 50°.
4. Denetleyelim: 65 + 65 + 50 = 180 ✓.

8. Şekilde bir üçgenin B ve C köşelerindeki dış açıların ölçüleri 130° ve 120° olarak verilmiştir. A köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?

• A) 100°
• B) 110°
• C) 120°
• D) 130°

Doğru cevap: B — Bir üçgenin dış açıları toplamı 360°'dir: 360° − (130° + 120°) = 110°.

1. Üçgende her köşe için bir dış açı yazılır.
2. Bu dış açıların ölçüleri toplamı her zaman 360°'dir.
3. 130° + 120° = 250° hesaplanır.
4. 360° − 250° = 110° bulunur.

9. Tabloda üç öğrencinin elindeki çubukların uzunlukları verilmiştir. Bu çubukların uçlarını birleştirerek yalnızca hangi öğrenci bir üçgen oluşturabilir?

• A) Yalnız Ayşe
• B) Yalnız Berk
• C) Yalnız Can
• D) Ayşe ile Can

Doğru cevap: B — Ayşe'de 3 + 4 = 7 < 8, Can'da 2 + 9 = 11 = 11 olduğu için üçgen kurulamaz; Berk'te 5 + 6 = 11 > 10 sağlanır.

1. Ayşe: 3 + 4 = 7 ve 7 < 8 olduğundan üçgen oluşmaz.
2. Berk: 5 + 6 = 11 ve 11 > 10 olduğundan koşul sağlanır.
3. Can: 2 + 9 = 11 ve 11 = 11 olduğundan çubuklar üst üste gelir, üçgen kapanmaz.
4. Yalnızca Berk üçgen oluşturabilir.

10. Şekilde kenar uzunlukları 7 br, 8 br ve 12 br olan bir üçgen verilmiştir. Bu üçgenin en küçük açısı hangi kenarın karşısındadır?

• A) 7 br olan kenarın
• B) 8 br olan kenarın
• C) 12 br olan kenarın
• D) Kenar uzunluğundan anlaşılamaz.

Doğru cevap: A — En kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür; en kısa kenar 7 br'dir.

1. Üçgende kenar uzunluğu ile karşı açının ölçüsü aynı yönde değişir.
2. Kenarlar 7 < 8 < 12 biçiminde sıralanır.
3. En kısa kenar 7 br olandır.
4. En küçük açı bu kenarın karşısındadır.

11. Kenarları 12 m ve 9 m olan dikdörtgen biçimindeki parkın bir köşesinden karşı köşesine düz bir yol yapılmıştır. Kenarlardan yürümek yerine bu yolu kullanan biri kaç metre daha az yürür?

• A) 4 m
• B) 5 m
• C) 6 m
• D) 7 m

Doğru cevap: C — Köşegen √(144 + 81) = √225 = 15 m'dir; kenarlardan gitmek 12 + 9 = 21 m sürer, fark 21 − 15 = 6 m'dir.

1. Köşegen, kenarlarla bir dik üçgen oluşturur.
2. 12² + 9² = 144 + 81 = 225 hesaplanır.
3. Köşegen = √225 = 15 m bulunur.
4. Kenarlardan yürüyüş 12 + 9 = 21 m olduğundan fark 21 − 15 = 6 m'dir.

12. Şekilde bir kenarı 6 cm olan eşkenar üçgende h yüksekliği çizilmiştir. Bu yüksekliğin uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2√3 cm
• B) 3√2 cm
• C) 6√3 cm
• D) 3√3 cm

Doğru cevap: D — Yükseklik tabanı ortalar; 6² − 3² = 36 − 9 = 27 ve h = √27 = 3√3 cm'dir.

1. Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır: 6 : 2 = 3 cm.
2. Oluşan dik üçgende hipotenüs 6 cm, bir dik kenar 3 cm'dir.
3. h² = 6² − 3² = 36 − 9 = 27 bulunur.
4. h = √27 = √9 × √3 = 3√3 cm olur.

13. Bir öğrenci dik kenarları 8 cm ve 15 cm olan dik üçgenin hipotenüsünü tabloda görüldüğü gibi hesaplamıştır. Öğrencinin çözümünde hata hangi adımdadır?

• A) 1. adımda
• B) 2. adımda
• C) 3. adımda
• D) 4. adımda

Doğru cevap: D — 3. adıma kadar doğrudur; c² = 289 bulunduktan sonra c = √289 = 17 cm yazılmalıydı, öğrenci karekök almayı unutmuştur.

1. 1. adımda Pisagor bağıntısı doğru yazılmıştır.
2. 2. adımda dik kenarlar yerine doğru konmuştur.
3. 3. adımda 64 + 225 = 289 işlemi doğrudur.
4. 4. adımda c² = 289 iken c = √289 = 17 cm yazılmalıydı.

14. Koordinat düzleminde A(1, 2) ve B(5, 5) noktaları işaretlenmiş, aralarındaki yatay ve dikey uzaklıklar kesikli çizgiyle gösterilmiştir. Buna göre |AB| kaç birimdir?

• A) 5 birim
• B) 6 birim
• C) 7 birim
• D) 8 birim

Doğru cevap: A — Yatay uzaklık 4, dikey uzaklık 3 birimdir; 4² + 3² = 25 ve √25 = 5 birim.

1. Yatay uzaklık 5 − 1 = 4 birimdir.
2. Dikey uzaklık 5 − 2 = 3 birimdir.
3. Kesikli çizgiler dik üçgenin dik kenarlarıdır.
4. |AB| = √(4² + 3²) = √25 = 5 birim bulunur.

15. Bir televizyonun dikdörtgen ekranının genişliği 80 cm, yüksekliği 60 cm'dir. Ekran büyüklüğü köşegen uzunluğuyla belirtildiğine göre bu televizyonun ekran ölçüsü kaçtır?

• A) 80 cm
• B) 90 cm
• C) 100 cm
• D) 120 cm

Doğru cevap: C — Köşegen √(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000 = 100 cm'dir.

1. Köşegen, genişlik ve yükseklikle dik üçgen oluşturur.
2. 80² = 6400 ve 60² = 3600 hesaplanır.
3. 6400 + 3600 = 10000 toplamı bulunur.
4. Köşegen = √10000 = 100 cm olur.