Geometrik Cisimler

1. Yukarıda bir dik prizmanın ölçüleri verilmiştir. Bu prizmanın hacmi sorulmaktadır. Buna göre hacim kaç br³'tür?

Taban alanı 24 br², yükseklik 5 br

• A) 120
• B) 29
• C) 48
• D) 60
• E) 240

Doğru cevap: A — Prizmada hacim taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: 24 × 5 = 120 br³.

1. Prizmanın hacim kuralını yazalım: V = taban alanı × yükseklik. Prizma, tabanının yükseklik boyunca kaydırılmasıyla oluştuğu için hacim bu çarpımdır.
2. Verilenler zaten bu iki büyüklük: taban alanı 24 br², yükseklik 5 br. Ek bir hesap gerekmiyor.
3. Çarpalım: 24 × 5 = 120 br³.
4. Denetleyelim: birimler de tutuyor ✓ — br² × br = br³.

2. Yukarıda bir küpün ayrıt uzunluğu verilmiştir. Bu küpün hacmi sorulmaktadır. Buna göre hacim kaç br³'tür?

Ayrıt uzunluğu 4 br olan küp

• A) 16
• B) 64
• C) 48
• D) 96
• E) 12

Doğru cevap: B — Küpün üç ayrıtı da eşit olduğu için hacim ayrıtın küpüdür: 4³ = 64 br³.

1. Küpün özel yanını görelim: en, boy ve yükseklik birbirine eşittir.
2. Dikdörtgenler prizmasında hacim en × boy × yükseklik olduğuna göre küpte bu çarpım a × a × a, yani a³ olur.
3. Yerine koyalım: 4 × 4 = 16 ve 16 × 4 = 64 br³.
4. Denetleyelim: 4³ üç çarpan demek ✓ — hacim üç boyutlu olduğu için üç uzunluk çarpılıyor.

3. Yukarıda bir küpün ayrıt uzunluğu verilmiştir. Bu küpün yüzey alanı sorulmaktadır. Buna göre alan kaç br²'dir?

Ayrıt uzunluğu 4 br olan küp

• A) 48
• B) 64
• C) 96
• D) 16
• E) 24

Doğru cevap: C — Küpün altı eş yüzü vardır: 6 × 4² = 6 × 16 = 96 br².

1. Yüzey alanının ne olduğunu belirleyelim: cismi dıştan saran bütün yüzlerin alanları toplamı.
2. Küpün yüzleri karedir ve altı tanedir. Bir yüzün alanı 4² = 16 br².
3. Altı yüzü toplayalım: 6 × 16 = 96 br².
4. Denetleyelim: birim br² ✓ — alan iki boyutlu, hacim gibi br³ değil.

4. Yukarıda bir küp verilmiştir. Bu küpün cisim köşegeninin uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre uzunluk hangisidir?

Ayrıt uzunluğu a olan küp

• A) 2a
• B) a√2
• C) 3a
• D) a√3
• E) a

Doğru cevap: D — Cisim köşegeni iki adımda bulunur: önce taban köşegeni a√2, sonra √(2a² + a²) = a√3.

1. Cisim köşegeni bir yüzün üzerinde değil, küpün içinden geçiyor. Bu yüzden doğrudan bir yüzde dik üçgen kuramayız; iki adım gerekiyor.
2. Birinci adım: taban karesinin köşegenini bulalım. Kenarları a olan karede köşegen √(a² + a²) = a√2’dir.
3. İkinci adım: bu taban köşegeni ile küpün yüksekliği a, cisim köşegeniyle birlikte bir dik üçgen oluşturur. √((a√2)² + a²) = √(2a² + a²) = a√3.
4. Denetleyelim: sonuç a√2’den büyük ✓ — cisim köşegeni taban köşegeninden uzun olmalı.

5. Yukarıda bir dik dairesel silindirin ölçüleri verilmiştir. Bu silindirin hacmi π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre hacim hangisidir?

Yarıçap 3 br, yükseklik 7 br

• A) 126π br³
• B) 21π br³
• C) 42π br³
• D) 9π br³
• E) 63π br³

Doğru cevap: E — Silindirde hacim taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: π × 3² × 7 = 63π br³.

1. Silindir de bir prizma gibi çalışır: tabanı yükseklik boyunca kaydırılmıştır. Öyleyse V = taban alanı × yükseklik.
2. Tabanı daire olduğu için taban alanı πr² = π × 9 = 9π br²’dir.
3. Yükseklikle çarpalım: 9π × 7 = 63π br³.
4. Denetleyelim: yarıçapın karesi alınmalı ✓ — 3 yerine 9 kullanıldı, çünkü alan iki boyutlu.

6. Yukarıda bir dik dairesel silindirin ölçüleri verilmiştir. Yanal yüzey alanı π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre alan hangisidir?

Yarıçap 2 br, yükseklik 5 br

• A) 20π br²
• B) 10π br²
• C) 28π br²
• D) 4π br²
• E) 40π br²

Doğru cevap: A — Yanal yüzey açılınca dikdörtgen olur; bir kenarı taban çevresi, öteki yüksekliktir: 2πrh = 20π br².

1. Yanal yüzeyi kâğıt gibi açtığımızı düşünelim: silindirin etrafını saran yüzey düzleştiğinde bir dikdörtgen olur.
2. Bu dikdörtgenin bir kenarı tabanın çevresidir: 2πr = 2π × 2 = 4π. Öteki kenarı ise silindirin yüksekliği, yani 5 br.
3. Alanı çarparak bulalım: 4π × 5 = 20π br².
4. Denetleyelim: yanal alan tabanları içermiyor ✓ — sorulan yalnız yan yüzey.

7. Yukarıda bir dik dairesel koninin ölçüleri verilmiştir. Bu koninin hacmi π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre hacim hangisidir?

Yarıçap 3 br, yükseklik 4 br

• A) 36π br³
• B) 12π br³
• C) 4π br³
• D) 9π br³
• E) 24π br³

Doğru cevap: B — Koni, aynı taban ve yüksekliğe sahip silindirin üçte biri hacmindedir: (1/3) × 9π × 4 = 12π br³.

1. Koninin hacim kuralını anımsayalım: aynı tabana oturan ve aynı yüksekliğe sahip silindirin üçte biri kadardır.
2. Önce o silindirin hacmini bulalım: πr²h = π × 9 × 4 = 36π br³.
3. Üçte birini alalım: 36π ÷ 3 = 12π br³.
4. Denetleyelim: koni silindirin içine sığıyor ✓ — hacminin ondan küçük çıkması gerekiyordu.

8. Yukarıda bir koninin ölçüleri verilmiştir. Bu koninin ana doğrusunun uzunluğu sorulmaktadır. Buna göre uzunluk kaç birimdir?

Yarıçap 3 br, yükseklik 4 br

• A) 12
• B) 7
• C) 5
• D) 25
• E) 6

Doğru cevap: C — Yarıçap, yükseklik ve ana doğru bir dik üçgen oluşturur: √(3² + 4²) = 5 br.

1. Koniyi tepeden tabana kesen bir düzlemle düşünelim: yükseklik dik, yarıçap taban üzerinde, ana doğru ise tepe noktasını taban çemberine bağlıyor.
2. Bu üçü bir dik üçgen oluşturur; dik kenarlar yarıçap ile yükseklik, hipotenüs ise ana doğrudur.
3. Pisagor bağıntısını uygulayalım: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ve √25 = 5 br.
4. Denetleyelim: ana doğru hipotenüs olduğu için ikisinden de uzun ✓ — 5 > 4 > 3.

9. Yukarıda bir dik piramidin ölçüleri verilmiştir. Bu piramidin hacmi aranmaktadır. Buna göre aranan hacim kaç br³'tür?

Taban alanı 27 br², yükseklik 6 br

• A) 81
• B) 162
• C) 33
• D) 54
• E) 108

Doğru cevap: D — Piramit, aynı taban ve yüksekliğe sahip prizmanın üçte biri hacmindedir: (1/3) × 27 × 6 = 54 br³.

1. Piramidin hacim kuralı koniyle aynı mantıkta: aynı tabana oturan ve aynı yüksekliğe sahip prizmanın üçte biri.
2. Önce o prizmanın hacmini bulalım: 27 × 6 = 162 br³.
3. Üçte birini alalım: 162 ÷ 3 = 54 br³.
4. Denetleyelim: sonuç prizmanınkinden küçük ✓ — piramit prizmanın içine sığıyor.

10. Yukarıda bir kürenin yarıçapı verilmiştir. Bu kürenin hacmi π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre bulunan hacim hangisidir?

Yarıçap 3 br

• A) 108π br³
• B) 27π br³
• C) 12π br³
• D) 9π br³
• E) 36π br³

Doğru cevap: E — Kürenin hacmi (4/3)πr³ bağıntısıyla bulunur: (4/3) × 27π = 36π br³.

1. Küre hacminin bağıntısını yazalım: V = (4/3)πr³. Yarıçap burada üçüncü kuvvetten girer, çünkü hacim üç boyutludur.
2. Önce r³ hesaplayalım: 3³ = 27.
3. Bağıntıya yerleştirelim: (4/3) × 27π. 27’nin üçte biri 9, dört katı 36; sonuç 36π br³.
4. Denetleyelim: yarıçap iki katına çıksaydı hacim 2³ = 8 katına çıkardı ✓ — küp bağımlılığı.

11. Yukarıda bir kürenin yarıçapı verilmiştir. Bu kürenin yüzey alanı π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre alan hangisidir?

Yarıçap 5 br

• A) 100π br²
• B) 25π br²
• C) 50π br²
• D) 125π br²
• E) 20π br²

Doğru cevap: A — Kürenin yüzey alanı 4πr² bağıntısıyla bulunur: 4 × 25π = 100π br².

1. Küre yüzey alanının bağıntısını yazalım: A = 4πr². Yarıçap kareli girer, çünkü alan iki boyutludur.
2. Önce r² hesaplayalım: 5² = 25.
3. Bağıntıya yerleştirelim: 4 × 25π = 100π br².
4. Denetleyelim: birim br² ✓ — hacim sorulsaydı r³ ile çalışıp br³ bulacaktık.

12. Tabloda dikdörtgenler prizmasının ölçüleri verilmiştir. Bu prizmanın hacmi sorulmaktadır. Tabloya göre hacim kaç br³'tür?

• A) 17
• B) 120
• C) 70
• D) 40
• E) 240

Doğru cevap: B — Önce taban alanı bulunur, sonra yükseklikle çarpılır: (3 × 4) × 10 = 120 br³.

1. Bu soruda taban alanı hazır verilmemiş; tablodan taban kenarları veriliyor. Öyleyse iki adım gerekiyor.
2. Birinci adım: taban dikdörtgen olduğuna göre alanı 3 × 4 = 12 br².
3. İkinci adım: prizma hacmi taban alanı × yükseklik olduğuna göre 12 × 10 = 120 br³.
4. Denetleyelim: üç uzunluğun çarpımı da aynı ✓ — 3 × 4 × 10 = 120.

13. Tabloda aynı taban ve yüksekliğe sahip cisimlerin hacim formülleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan bilgi hangisidir?

• A) 3πr²h
• B) πr²h
• C) (1/3)πr²h
• D) 2πr²h
• E) (1/2)πr²h

Doğru cevap: C — Aynı taban ve yüksekliğe sahip koni, silindirin üçte biri hacmindedir: (1/3)πr²h.

1. Tablonun kurgusu şu: solda cisim, sağda hacim formülü. İkinci satırda koninin taban ve yüksekliği silindirle AYNI olduğu belirtiliyor.
2. Dolu satır: silindir → πr²h. Bu, tabanın yükseklik boyunca kaydırılmasıyla oluşan tam hacim.
3. Koni aynı tabana oturur ama tepeye doğru daralır; bu yüzden aynı yükseklikte silindirin ancak üçte birini doldurur. Formülü (1/3)πr²h olur.
4. Denetleyelim: koni silindirin içine sığıyor ✓ — katsayısının 1’den küçük olması gerekiyordu.

14. Yukarıda bir küp üzerinde yapılan değişiklik verilmiştir. Hacmin nasıl değişeceği sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

Küpün ayrıtı iki katına çıkarılıyor

• A) Değişmez
• B) İki katına çıkar
• C) Dört katına çıkar
• D) Sekiz katına çıkar
• E) Üç katına çıkar

Doğru cevap: D — Hacim ayrıtın küpüyle orantılıdır; ayrıt iki katına çıkınca hacim 2³ = 8 katına çıkar.

1. Küpün hacim bağıntısını yazalım: V = a³.
2. Ayrıtı iki katına çıkaralım, yani a yerine 2a yazalım: (2a)³ = 2³ × a³ = 8a³.
3. Yeni hacim eskisinin 8 katıdır.
4. Denetleyelim: sayıyla sınayalım ✓ — 2 birimlik küp 8 br³, 4 birimlik küp 64 br³; oran tam 8.

15. Tabloda cisimler ve ayrıt sayıları eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) 5
• B) 12
• C) 6
• D) 10
• E) 8

Doğru cevap: E — Kare piramitte tabanda 4, tepeye çıkan 4 ayrıt vardır; toplam 8’dir.

1. Ayrıtı tanımlayalım: iki yüzün kesiştiği kenar. Öyleyse cismi çizip kenarları saymak yeterli.
2. Kare piramidin tabanı karedir; bu 4 ayrıt eder.
3. Tabanın her köşesinden tepe noktasına birer ayrıt çıkar; bu da 4 ayrıt. Toplam 4 + 4 = 8.
4. Denetleyelim: küpte 12 ayrıt var ✓ — 4 alt, 4 üst, 4 düşey; piramitte üst yüz olmadığı için sayı azalıyor.

16. Tabloda cisimler ve tabana paralel kesitleri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Eksik bırakılan bölüm hangi seçenektedir?

• A) Kare
• B) Daire
• C) Üçgen
• D) Nokta
• E) Elips

Doğru cevap: A — Prizmada tabana paralel kesitler tabanla eş şekildedir; kare prizmada kesit karedir.

1. Tablonun kurgusu şu: solda cisim, sağda tabana paralel kesitin şekli.
2. Dolu satır: silindirin kesiti daire. Silindirin tabanı da daire olduğuna göre kesit tabanın aynısı çıkmış.
3. Prizmalarda da durum aynıdır: cisim boyunca kesit değişmez, tabanla eş kalır. Kare prizmada tabana paralel kesit karedir.
4. Denetleyelim: koni ya da piramitte durum farklı olurdu ✓ — orada kesit yukarı çıktıkça küçülür.

17. Yukarıdaki kaptaki su hacmi π cinsinden sorulmaktadır. Buna göre hacim değeri hangisidir?

• A) 200π cm³
• B) 2.000π cm³
• C) 400π cm³
• D) 1.000π cm³
• E) 100π cm³

Doğru cevap: B — Sudaki hacim silindir hacmi gibi hesaplanır: π × 10² × 20 = 2.000π cm³.

1. Suyun aldığı biçimi belirleyelim: kap silindir olduğu için su da taban yarıçapı 10 cm, yüksekliği 20 cm olan bir silindir oluşturur.
2. Taban alanını bulalım: πr² = π × 100 = 100π cm².
3. Su yüksekliğiyle çarpalım: 100π × 20 = 2.000π cm³.
4. Denetleyelim: kabın yüksekliği değil SU yüksekliği kullanıldı ✓ — sorulan dolan hacim.

18. Yukarıda bir piramidin hacmi ve taban alanı verilmiştir. Bu piramidin yüksekliği sorulmaktadır. Buna göre yükseklik kaç birimdir?

Hacim 96 br³, taban alanı 24 br²

• A) 8
• B) 4
• C) 12
• D) 6
• E) 16

Doğru cevap: C — Piramit hacim bağıntısı yükseklik için çözülür: 96 = (1/3) × 24 × h → h = 12 br.

1. Bu soruda bilinen ve aranan yer değişmiş: hacim veriliyor, yükseklik aranıyor. Bağıntıyı yine aynı yazalım.
2. V = (1/3) × taban alanı × h → 96 = (1/3) × 24 × h.
3. Sağ tarafı sadeleştirelim: (1/3) × 24 = 8, yani 96 = 8h. Buradan h = 96 ÷ 8 = 12 br.
4. Denetleyelim: ileri yönde sınayalım ✓ — (1/3) × 24 × 12 = 96, verilen hacme eşit.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

• A) İki büyüklük aynıdır.
• B) Yüzey alanı hesaplanamaz.
• C) Hacim her zaman yüzeyden büyüktür.
• D) Yüzey alanı ile hacim farklı büyüklüklerdir; ince ve geniş bir cisim büyük yüzeye küçük hacimle sahip olabilir.
• E) Cisimlerin karşılaştırılması imkânsızdır.

Doğru cevap: D — Yüzey alanı iki, hacim üç boyutlu bir büyüklüktür; biri ötekini belirlemez.

1. Öğrencinin çıkarımını ayıralım. Varsayım: yüzey alanı büyükse hacim de büyüktür.
2. İki büyüklüğün neyi ölçtüğüne bakalım. Yüzey alanı cismi saran yüzeyi, hacim ise içine sığan miktarı ölçer. Biri iki, öteki üç boyutludur.
3. Bu yüzden aralarında zorunlu bir sıralama yoktur: ince ve geniş bir levha çok büyük bir yüzeye sahipken çok küçük bir hacim kaplayabilir. Hata, farklı iki büyüklüğü birbirine bağlamaktır.
4. Denetleyelim: aynı küpte bile ikisi farklı sayılar veriyordu ✓ — 4 birimlik küpte alan 96 br², hacim 64 br³.

20. Kartlarda cisimlerin üç temel kuralı verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Hacim tabandan bağımsızdır.
• C) Koni ile prizma aynı hacimdedir.
• D) Ölçek hacmi değiştirmez.
• E) Hacim; tabana, yüksekliğe ve cismin türüne bağlıdır ve ölçek değişiminde küple orantılı değişir.

Doğru cevap: E — Kartlar taban-yükseklik ilişkisini, üçte bir kuralını ve ölçek etkisini tek sonuçta birleştirir.

1. Üç kartı okuyalım: taban ve yükseklik hacmi verir; koni ve piramitte üçte bir; ölçek hacmi küple değiştirir.
2. Birinci kart temel kuralı veriyor: hacim tabana ve yüksekliğe bağlı. İkinci kart bu kuralın cismin türüne göre değiştiğini ekliyor.
3. Üçüncü kart ise boyut değişiminde ne olduğunu söylüyor: uzunluk k kat artarsa hacim k³ kat artar. En kapsayıcı sonuç üçünü birlikte anmalıdır.
4. Denetleyelim: üç kart ünitedeki bütün hesapları kapsıyor ✓ — prizma, koni ve büyütme soruları.