İntegral

1. Yukarıda bir kuvvet fonksiyonunun belirsiz integrali verilmiştir. Bu integralin sonucu sorulmaktadır. Buna göre sonuç hangisidir?

∫ x² dx = ?

• A) x³/3 + c
• B) x³ + c
• C) 2x + c
• D) 3x² + c
• E) x²/2 + c

Doğru cevap: A — Kuvvet kuralında üs bir artırılıp ifade yeni üsse bölünür: x³/3 + c.

1. İntegralin ne olduğunu anımsayalım: türevi verilen fonksiyonu bulmak. Öyleyse türevi x² olan ifadeyi arıyoruz.
2. Türev alırken üs bir azalıyordu; ters işlemde üs bir artar: x². → x³.
3. Ama x³ türevi 3x² verir, fazladan bir 3 çıkar. Bunu gidermek için yeni üsse bölünür: x³/3. Belirsiz integral olduğu için sabit c eklenir.
4. Denetleyelim: (x³/3) ifadesinin türevi 3x²/3 = x² ✓ — başlangıçtaki ifadeye eşit.

2. Bir sabit fonksiyonun belirsiz integrali alınmaktadır. Sabitin integralinin nasıl hesaplandığı sorulmaktadır. Buna göre sonuç hangisidir?

∫ 3 dx = ?

• A) 3 + c
• B) 3x + c
• C) x/3 + c
• D) 3x² + c
• E) 0

Doğru cevap: B — Sabitin integrali, sabit ile değişkenin çarpımıdır: 3x + c.

1. Türevi 3 olan ifadeyi arayalım. Sabitlerin türevi sıfır olduğuna göre aradığımız ifade x içermelidir.
2. Sabiti integral dışına alalım: 3 × ∫1 dx. Geriye 1 sayısının integrali kalıyor.
3. 1 sayısının integrali x’tir, çünkü x’in türevi 1’dir. Sonuç 3x + c olur.
4. Denetleyelim: 3x ifadesinin türevi 3 ✓ — başlangıçtaki sabite eşit.

3. İki terimli bir ifadenin belirsiz integrali alınmaktadır. İntegral, terim terim hesaplanabilir. Buna göre sonuç hangisidir?

∫ (2x + 1) dx = ?

• A) 2x² + x + c
• B) x² + c
• C) x² + x + c
• D) 2x + c
• E) x²/2 + x + c

Doğru cevap: C — İntegral toplama üzerine dağıldığı için terimler ayrı ayrı alınır: x² + x + c.

1. İntegralin toplama özelliğini kullanalım: bir toplamın integrali, integrallerin toplamıdır. Öyleyse iki terimi ayrı ayrı ele alabiliriz.
2. Birinci terim: 2x. Üs bir artar (x²), yeni üs olan 2’ye bölünür ve baştaki 2 ile sadeleşir; sonuç x².
3. İkinci terim: 1. Sabitin integrali x’tir. Toplayalım: x² + x + c.
4. Denetleyelim: (x² + x) ifadesinin türevi 2x + 1 ✓ — başlangıçtaki ifadeye eşit.

4. Beşinci kuvvetten bir terimin belirsiz integrali alınmaktadır. Kuvvet kuralının uygulanması beklenmektedir. Buna göre sonuç hangisidir?

∫ x⁵ dx = ?

• A) 5x⁴ + c
• B) x⁵/5 + c
• C) x⁴/4 + c
• D) x⁶/6 + c
• E) 6x⁶ + c

Doğru cevap: D — Üs bir artırılıp yeni üsse bölünür: x⁶/6 + c.

1. Kuvvet kuralını uygulayalım: üs 5 olduğuna göre bir artırıp 6 yaparız.
2. Şimdi yeni üsse bölelim: x⁶/6.
3. Belirsiz integral olduğu için sabit ekleriz: x⁶/6 + c.
4. Denetleyelim: (x⁶/6) türevi 6x⁵/6 = x⁵ ✓ — bölme tam da bu sadeleşme için yapılıyor.

5. Paydası değişken olan bir ifadenin integrali alınmaktadır. Bu integral kuvvet kuralının dışında kalan özel bir durumdur. Buna göre sonuç hangisidir?

∫ (1/x) dx = ?

• A) x⁻¹ + c
• B) −1/x² + c
• C) x²/2 + c
• D) 1 + c
• E) ln|x| + c

Doğru cevap: E — Üs −1 olduğunda kuvvet kuralı işlemez; 1/x ifadesinin integrali ln|x| + c’dir.

1. Önce kuvvet kuralını denemeye çalışalım: 1/x ifadesi x⁻¹ demek. Üs bir artırılırsa 0 olur ve "yeni üsse bölme" adımı sıfıra bölmeye götürür.
2. Sıfıra bölme tanımsız olduğu için kuvvet kuralı bu tek durumda geçersizdir; ayrı bir kural gerekir.
3. Türevi 1/x olan fonksiyon doğal logaritmadır. x’in eksi değerlerini de kapsamak için mutlak değer yazılır: ln|x| + c.
4. Denetleyelim: ln|x| türevi 1/x ✓ — aradığımız ifadeye eşit.

6. Doğal üstel fonksiyonun integrali alınmaktadır. Bu fonksiyon türev ve integral altında kendini korur. Buna göre sonuç hangisidir?

∫ eˣ dx = ?

• A) x × eˣ + c
• B) eˣ + c
• C) eˣ/x + c
• D) ln x + c
• E) e + c

Doğru cevap: B — Türevi kendisine eşit olan tek fonksiyon olduğu için eˣ’in integrali yine eˣ + c’dir.

1. Doğal üstel fonksiyonun ayırt edici özelliğini anımsayalım: türevi yine kendisidir.
2. İntegral türevin ters işlemi olduğuna göre, türevi eˣ olan fonksiyonu arıyoruz.
3. Bu fonksiyon yine eˣ’tir. Belirsiz integral olduğu için sabit eklenir: eˣ + c.
4. Denetleyelim: eˣ türevi eˣ ✓ — fonksiyon türev ve integral altında kendini koruyor.

7. Kosinüs fonksiyonunun belirsiz integrali alınmaktadır. Trigonometrik integral kuralı istenmektedir. Buna göre sonuç hangisidir?

∫ cos x dx = ?

• A) −sin x + c
• B) cos x + c
• C) sin x + c
• D) −cos x + c
• E) tan x + c

Doğru cevap: C — Sinüsün türevi kosinüs olduğu için kosinüsün integrali sin x + c’dir.

1. Türev tablosunu ters yönde okuyalım: hangi fonksiyonun türevi cos x?
2. Sinüsün türevi kosinüstür. Öyleyse integrali alınan cos x ifadesinin ilkeli sin x’tir.
3. Belirsiz integral olduğu için sabit ekleriz: sin x + c.
4. Denetleyelim: sin x türevi cos x ✓ — işaret düzeltmesi gerekmiyor.

8. Sinüs fonksiyonunun belirsiz integrali alınmaktadır. Sonuçtaki işarete dikkat edilmesi gerekmektedir. Buna göre sonuç hangisidir?

∫ sin x dx = ?

• A) sin x + c
• B) cos x + c
• C) tan x + c
• D) −cos x + c
• E) −sin x + c

Doğru cevap: D — Kosinüsün türevi eksi sinüs olduğu için sinüsün integrali −cos x + c’dir.

1. Yine türev tablosunu ters okuyalım: hangi fonksiyonun türevi sin x?
2. Kosinüsün türevi −sin x’tir; yani doğrudan cos x’i alırsak işaret ters çıkar.
3. İşareti düzeltmek için başına eksi koyarız: (−cos x) ifadesinin türevi +sin x olur. Sonuç −cos x + c.
4. Denetleyelim: bir önceki soruyla karşılaştıralım ✓ — kosinüsün integralinde işaret değişmiyor, sinüsünkinde değişiyor.

9. Sıfır ile bir arasında belirli bir integral verilmiştir. Belirli integral, ilkelin sınır değerleri farkıdır. Buna göre sonuç kaçtır?

∫₀¹ x dx = ?

• A) 1
• B) 2
• C) 1/3
• D) 1/4
• E) 1/2

Doğru cevap: E — Belirli integral ilkelin sınırlardaki farkıdır: (1²/2) − (0²/2) = 1/2.

1. Belirli integralin nasıl hesaplandığını yazalım: önce ilkel bulunur, sonra üst sınırdaki değerden alt sınırdaki değer çıkarılır.
2. x ifadesinin ilkeli x²/2’dir.
3. Sınırları yerleştirelim: üst sınır için 1²/2 = 1/2, alt sınır için 0²/2 = 0. Fark: 1/2 − 0 = 1/2.
4. Denetleyelim: geometrik olarak da doğrulanır ✓ — y = x doğrusu, 0 ile 1 arasında dik kenarları 1 olan bir üçgen sınırlar, alanı 1·1/2 = 1/2.

10. Sıfır ile iki arasında karesel bir fonksiyonun belirli integrali verilmiştir. İlkelin sınırlardaki farkı aranmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

∫₀² x² dx = ?

• A) 8/3
• B) 4/3
• C) 8
• D) 4
• E) 2/3

Doğru cevap: A — İlkel x³/3 olduğuna göre integral (2³/3) − 0 = 8/3’tür.

1. Önce ilkeli bulalım: x² ifadesinin ilkeli, kuvvet kuralına göre x³/3.
2. Üst sınırı yerleştirelim: 2³/3 = 8/3.
3. Alt sınır 0 olduğu için 0³/3 = 0; fark 8/3 − 0 = 8/3.
4. Denetleyelim: sonuç makul mü ✓ — 0 ile 2 arasında eğri en çok 4 yüksekliğe çıkıyor, dikdörtgen alanı en çok 8 olurdu; 8/3 bundan küçük.

11. Bir ile üç arasında sabit bir fonksiyonun belirli integrali verilmiştir. Bu integral bir dikdörtgenin alanına karşılık gelir. Buna göre sonuç kaçtır?

∫₁³ 2 dx = ?

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 6
• E) 8

Doğru cevap: C — Sabit fonksiyonun belirli integrali bir dikdörtgen alanıdır: 2 × 2 = 4.

1. Sabit fonksiyonun grafiği yatay bir doğrudur. Bu doğrunun altında, x ekseni ile arasında kalan bölge bir dikdörtgendir.
2. Dikdörtgenin yüksekliği fonksiyonun değeri, yani 2; tabanı ise aralığın uzunluğu, yani 3 − 1 = 2.
3. Alanı çarparak bulalım: 2 × 2 = 4.
4. Denetleyelim: ilkel yoluyla da aynı sonuç çıkıyor ✓ — ilkel 2x, (2·3) − (2·1) = 6 − 2 = 4.

12. Katsayılı karesel bir fonksiyonun sıfır ile bir arasındaki belirli integrali verilmiştir. Katsayı integral dışına alınabilir. Buna göre sonuç kaçtır?

∫₀¹ 3x² dx = ?

• A) 3
• B) 2
• C) 1/3
• D) 1
• E) 2/3

Doğru cevap: D — Katsayı integral dışına alınır: 3 × (x³/3) = x³ ve 1³ − 0 = 1.

1. Katsayı integralin dışına alınabilir; bu, integralin doğrusallık özelliğidir. Yani 3 × ∫x² dx biçiminde yazabiliriz.
2. x² ifadesinin ilkeli x³/3’tür. Katsayıyla çarpalım: 3 × x³/3 = x³. Katsayı bölenle sadeleşti.
3. Sınırları yerleştirelim: 1³ − 0³ = 1 − 0 = 1.
4. Denetleyelim: x³ türevi 3x² ✓ — başlangıçtaki ifadeye eşit.

13. Sıfır ile pi arasında sinüs fonksiyonunun belirli integrali verilmiştir. İlkel fonksiyonun sınırlardaki değerleri kullanılacaktır. Buna göre sonuç kaçtır?

∫₀^π sin x dx = ?

• A) 0
• B) 1
• C) π
• D) π/2
• E) 2

Doğru cevap: E — İlkel −cos x olduğuna göre (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.

1. Önce ilkeli yazalım: sin x ifadesinin ilkeli −cos x’tir.
2. Üst sınırı yerleştirelim: −cos π. cos π = −1 olduğuna göre −(−1) = 1.
3. Alt sınırı yerleştirelim: −cos 0. cos 0 = 1 olduğuna göre −1. Farkı alalım: 1 − (−1) = 2.
4. Denetleyelim: sonucun artı çıkması gerekiyordu ✓ — 0 ile π arasında sinüs eğrisi x ekseninin üstünde kalıyor.

14. Bir doğru ile x ekseni arasında kalan bölge incelenmektedir. Bu bölgenin alanı belirli integralle bulunur. Buna göre alan kaç birim karedir?

y = x, 0 ≤ x ≤ 4

• A) 8
• B) 4
• C) 16
• D) 12
• E) 2

Doğru cevap: A — Doğru ile x ekseni arasındaki alan integralle bulunur: (4²/2) − 0 = 8 birim kare.

1. Alanı veren integrali kuralım: eğri y = x, sınırlar 0 ile 4.
2. İlkeli yazalım: x²/2.
3. Sınırları yerleştirelim: (4²/2) − (0²/2) = 16/2 = 8 birim kare.
4. Denetleyelim: bölge bir üçgen ✓ — dik kenarları 4 ve 4 olan üçgenin alanı (4 × 4)/2 = 8; integral sonucuyla aynı.

15. Bir parabol ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı hesaplanacaktır. Sınırlar sıfır ile üç olarak verilmiştir. Buna göre alan kaç birim karedir?

y = x², 0 ≤ x ≤ 3

• A) 3
• B) 9
• C) 27
• D) 18
• E) 6

Doğru cevap: B — Parabol ile x ekseni arasındaki alan integralle bulunur: (3³/3) − 0 = 9 birim kare.

1. Alan integralini kuralım: eğri y = x², sınırlar 0 ile 3.
2. İlkeli yazalım: x³/3.
3. Sınırları yerleştirelim: (3³/3) − 0 = 27/3 = 9 birim kare.
4. Denetleyelim: makullük sınırlarına bakalım ✓ — eğri en çok 9 yüksekliğe çıkıyor, çevreleyen dikdörtgenin alanı 3 × 9 = 27; parabol altındaki bölge bunun üçte biri olan 9 çıkıyor.

16. İki eğri arasında kalan bölgenin alanı aranmaktadır. Üstteki eğriden alttaki çıkarılarak integral alınır. Buna göre iki eğri arasındaki alan kaç birim karedir?

y = x ve y = x², 0 ≤ x ≤ 1

• A) 1/2
• B) 1/3
• C) 1/4
• D) 1/6
• E) 1

Doğru cevap: D — İki eğri arasındaki alan için üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılıp integrali alınır: 1/2 − 1/3 = 1/6.

1. Önce hangi eğrinin üstte olduğunu belirleyelim. 0 ile 1 arasında x sayıları için x² < x’tir (örneğin 0,5 için 0,25 < 0,5). Öyleyse y = x üstte.
2. İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttakinin çıkarılıp integralinin alınmasıyla bulunur: ∫(x − x²) dx.
3. İki integrali ayrı hesaplayalım: ∫x dx sınırlar arasında 1/2, ∫x² dx ise 1/3 veriyor. Fark: 1/2 − 1/3 = 1/6 birim kare.
4. Denetleyelim: sonuç iki alandan da küçük ✓ — aradaki ince bölge olduğu için beklenen buydu.

17. Tabloda sabit hızla giden bir aracın hız değerleri verilmiştir. Hız-zaman grafiğinin altında kalan alan alınan yolu verir. Buna göre araç 6 saniyede kaç metre yol alır?

• A) 20
• B) 60
• C) 100
• D) 140
• E) 120

Doğru cevap: E — Hız-zaman grafiğinin altında kalan alan alınan yolu verir: 20 × 6 = 120 metre.

1. Grafiğin fiziksel anlamını kuralım: düşey eksende hız (m/s), yatayda zaman (s). İkisinin çarpımı yol (m) verir; yani altta kalan alan alınan yoldur.
2. Tablodaki değerlere bakalım: hız üç ölçümde de 20 m/s. Hız sabit olduğuna göre grafik yatay bir doğrudur ve altta kalan bölge dikdörtgendir.
3. Alanı hesaplayalım: yükseklik 20, taban 6 saniye; 20 × 6 = 120 metre.
4. Denetleyelim: sabit hızda yol = hız × zaman ✓ — integral burada bu bildik bağıntıya indirgeniyor.

18. Katsayılı üçüncü dereceden bir terimin belirsiz integrali alınmaktadır. Katsayı ile kuvvet kuralı birlikte kullanılacaktır. Buna göre sonuç hangisidir?

∫ 4x³ dx = ?

• A) x⁴ + c
• B) 4x⁴ + c
• C) x⁴/4 + c
• D) 12x² + c
• E) 4x²/2 + c

Doğru cevap: A — Kuvvet kuralı katsayıyla birlikte uygulanır ve katsayı bölenle sadeleşir: 4 × x⁴/4 = x⁴ + c.

1. Katsayıyı dışarı alalım: 4 × ∫x³ dx.
2. Kuvvet kuralını uygulayalım: üs bir artar (x⁴), yeni üs olan 4’e bölünür; sonuç x⁴/4.
3. Katsayıyla çarpalım: 4 × x⁴/4 = x⁴. Katsayı ile bölen birbirini götürdü. Sonuç x⁴ + c.
4. Denetleyelim: x⁴ türevi 4x³ ✓ — başlangıçtaki ifadeye eşit.

19. Belirli bir integralin değeri yukarıda verilmiştir. Aynı integralin sınırları yer değiştirilmektedir. Buna göre yeni integralin değeri kaçtır?

∫ₐᵇ f(x) dx = 7

• A) 7
• B) −7
• C) 0
• D) 14
• E) 1/7

Doğru cevap: B — Belirli integralde sınırlar yer değiştirince sonucun işareti değişir: −7.

1. Belirli integralin tanımını anımsayalım: ilkelin üst sınırdaki değerinden alt sınırdaki değeri çıkarılır, yani F(b) − F(a).
2. Sınırlar yer değiştirdiğinde bu fark ters yönde alınır: F(a) − F(b).
3. Bu ifade, ilkinin tam ters işaretlisidir. İlk integral 7 olduğuna göre yenisi −7 olur.
4. Denetleyelim: iki integral toplanınca sıfır ✓ — 7 + (−7) = 0, aynı aralık ileri ve geri kat edilmiş gibi.

20. Aynı aralıkta iki fonksiyonun belirli integralleri verilmiştir. Bu iki fonksiyonun toplamının integrali istenmektedir. Buna göre sonuç kaçtır?

∫₂⁵ f = 12, ∫₂⁵ g = 5

• A) 7
• B) 60
• C) 17
• D) 12
• E) 5

Doğru cevap: C — İntegral toplamaya göre dağıldığı için iki integral toplanır: 12 + 5 = 17.

1. İntegralin doğrusallık özelliğini kullanalım: aynı aralıkta iki fonksiyonun toplamının integrali, integrallerinin toplamına eşittir.
2. İki değer de aynı aralıkta (2 ile 5 arasında) verilmiş; öyleyse doğrudan toplayabiliriz.
3. 12 + 5 = 17.
4. Denetleyelim: aralıklar farklı olsaydı bu işlem yapılamazdı ✓ — özellik aynı aralık için geçerli.