Limit ve Süreklilik

1. Yukarıdaki gösterimin anlamı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

\lim_{x \to a} f(x) = L

• A) $x$ değeri $a$’ya yaklaşırken $f(x)$ değerlerinin $L$’ye yaklaşması
• B) $f(a) = L$ olması
• C) $f$ fonksiyonunun $a$’da tanımlı olması
• D) $L$’nin en büyük değer olması
• E) $a$’nın sıfır olması

Doğru cevap: A — Limit, fonksiyonun o noktadaki <em>değerini</em> değil, o noktaya yaklaşırken izlediği eğilimi anlatır. Bu yüzden $f(a)$ tanımsız olsa bile limit var olabilir.

1. Limit yaklaşma davranışını inceler.
2. $x \to a$ iken $f(x)$ değerlerine bakılır.
3. Bu değerler $L$’ye yaklaşıyorsa limit $L$’dir.

2. Bir noktada limitin var olması için gereken koşul sorulmaktadır. Doğru koşul hangisidir?

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)

• A) Fonksiyonun o noktada tanımlı olması
• B) Fonksiyonun artan olması
• C) Soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması
• D) Fonksiyonun sürekli olması
• E) Limitin sıfır olması

Doğru cevap: C — Bir noktada limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.

1. Sayı doğrusunda $a$ noktasına yalnız iki yönden yaklaşılabilir: küçük değerlerden (soldan) ve büyük değerlerden (sağdan).
2. Limit, “$x$ değeri $a$’ya yaklaşırken $f(x)$ hangi sayıya yaklaşıyor” sorusunun TEK bir yanıtıdır. İki yön iki ayrı sayı veriyorsa böyle tek bir yanıt yoktur.
3. Öyleyse koşul şudur: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ ile $\lim_{x \to a^+} f(x)$ hem var olacak hem de birbirine eşit olacak.
4. Denetleyelim: $f(x) = \frac{|x|}{x}$ fonksiyonunda soldan limit $-1$, sağdan limit $+1$ ✓ eşit olmadıkları için $x = 0$ noktasında limit yoktur — kural gerçekten böyle çalışıyor.

3. Bir fonksiyonun $x = a$ noktasında tanımlı olmamasına karşın bu noktada limitinin bulunabilmesinin nedeni sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Limitin yanlış hesaplanması
• B) Limitin daima sıfır olması
• C) Fonksiyonun sürekli olması
• D) Tanım kümesinin genişlemesi
• E) Limitin $a$ noktasındaki değerle değil, $a$’ya yaklaşırken izlenen davranışla ilgili olması

Doğru cevap: E — Limit, $a$ noktasının kendi değerine değil, $a$’ya yaklaşırken izlenen davranışa baktığı için tanımsız noktada da bulunabilir.

1. Limitin tanımında $x$ değeri $a$’ya yaklaşır ama $a$’ya EŞİT OLMAZ. Yani $x = a$ noktasının kendisi hesabın dışında bırakılır.
2. Örnek alalım: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Payda $x = 1$ için sıfır olduğundan fonksiyon o noktada tanımsızdır.
3. Ama $x \neq 1$ iken $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ sadeleşmesi geçerlidir; $x$ 1’e yaklaşırken değerler 2’ye yaklaşır, yani limit 2’dir.
4. Denetleyelim: $x = 0{,}999$ için ifade $1{,}999$, $x = 1{,}001$ için $2{,}001$ değerini alıyor ✓ iki yönden de 2’ye yaklaşıyor, üstelik $f(1)$ hiç var olmadan.

4. $\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1)$ limitinin değeri kaçtır?

• A) 9
• B) 11
• C) 13
• D) 15
• E) 7

Doğru cevap: B — Polinomlar her noktada sürekli olduğundan limit doğrudan yerine koyarak bulunur: 11.

1. $3x^2 - x + 1$ bir polinomdur ve polinom fonksiyonlar bütün gerçek sayılarda süreklidir.
2. Süreklilik, limitin fonksiyon değerine eşit olması demektir. Öyleyse $x = 2$ doğrudan yerine konabilir.
3. Hesaplayalım: $3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$, ardından $12 - 2 + 1 = 11$.
4. Denetleyelim: $x = 1{,}99$ için $3 \cdot 3{,}9601 - 1{,}99 + 1 = 10{,}8903$; $x = 2{,}01$ için $3 \cdot 4{,}0401 - 2{,}01 + 1 = 11{,}1103$ ✓ iki yandan da 11’e yaklaşıyor.

5. Yukarıdaki limitin değeri kaçtır?

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}

• A) 0
• B) 1
• C) Tanımsız
• D) 2
• E) Sonsuz

Doğru cevap: D — Doğrudan yerine koymada $\frac{0}{0}$ belirsizliği çıkar; pay çarpanlara ayrılıp sadeleştirilince limit 2 bulunur.

1. $x = 1$ koyalım: pay $1 - 1 = 0$, payda $1 - 1 = 0$. Ortaya $\frac{0}{0}$ belirsizliği çıktı, yani sonuç doğrudan okunamaz.
2. Payı çarpanlara ayıralım: iki kare farkından $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
3. $x \to 1$ derken $x \neq 1$ olduğu için $x - 1$ çarpanı sadeleştirilebilir; ifade $x + 1$ olur.
4. Denetleyelim: $\lim_{x \to 1}(x+1) = 1 + 1 = 2$; sayısal denetim için $x = 0{,}99$ alalım → $\frac{0{,}9801 - 1}{-0{,}01} = 1{,}99$ ✓ gerçekten 2’ye yaklaşıyor.

6. Tabloda bir fonksiyonun $x = 2$ noktasındaki tek yönlü limitleri verilmiştir. Bu noktadaki limit hakkında ne söylenir?

• A) Limit 3’tür
• B) Limit 5’tir
• C) Limit yoktur; tek yönlü limitler farklıdır
• D) Limit 4’tür
• E) Limit sıfırdır

Doğru cevap: C — Soldan limit 3, sağdan limit 5 olduğu ve bunlar eşit olmadığı için $x = 2$ noktasında limit yoktur.

1. Tablodan okuyalım: $x \to 2^-$ için değerler 3’e, $x \to 2^+$ için 5’e yaklaşıyor.
2. Limitin var olması iki tek yönlü limitin eşitliğini gerektirir. Burada ise $3 \neq 5$.
3. Öyleyse $x = 2$ noktasında limit yoktur; grafikte bu, 2 birimlik bir sıçrama, yani sıçrama süreksizliği demektir.
4. Denetleyelim: ortak bir yaklaşma değeri olsaydı soldan ve sağdan gelen değerlerin aynı sayıda toplanması gerekirdi; tabloda değerler 3 ile 5’te ayrı ayrı toplanıyor ✓ böyle bir ortak değer yok.

7. $\lim_{x \to a} f(x) = 4$ ve $\lim_{x \to a} g(x) = 3$ olduğuna göre $\lim_{x \to a} [2f(x) - g(x)]$ değeri kaçtır?

\lim(f+g) = \lim f + \lim g

• A) 5
• B) 1
• C) 7
• D) 11
• E) 2

Doğru cevap: A — Limit; sabitle çarpma ve çıkarma işlemleriyle uyumlu olduğundan sonuç $2 \cdot 4 - 3 = 5$’tir.

1. Fark kuralını yazalım: limitler var olduğu için $\lim [2f(x) - g(x)] = \lim 2f(x) - \lim g(x)$ ayrıştırması geçerlidir.
2. Sabit çarpan limitin dışına çıkar: $\lim 2f(x) = 2 \cdot \lim f(x) = 2 \cdot 4 = 8$.
3. $\lim g(x) = 3$ verildiğine göre sonuç $8 - 3 = 5$ olur.
4. Denetleyelim: $f$ yerine 4’e, $g$ yerine 3’e yaklaşan sayılar koyalım → $2 \cdot 3{,}99 - 3{,}01 = 4{,}97$ ✓ değer 5’e yaklaşıyor.

8. Bölümün limiti kuralının uygulanabilmesi için gereken koşul sorulmaktadır. Doğru koşul hangisidir?

\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}, \quad \lim g \neq 0

• A) Payın limitinin sıfır olmaması
• B) Fonksiyonların sürekli olması
• C) İki limitin eşit olması
• D) Paydanın limitinin sıfırdan farklı olması
• E) Koşul bulunmaması

Doğru cevap: D — Bölümün limiti kuralı ancak paydanın limiti sıfırdan farklıyken uygulanabilir.

1. Kuralı yazalım: $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$. Sağ tarafta bir bölme işlemi duruyor.
2. Bölmede payda sıfır olamaz; $\lim g = 0$ ise sağ taraf tanımsız kalır, yani kural anlamını yitirir.
3. Öyleyse koşul paydanın limitinin sıfırdan farklı olmasıdır. Payın limitinin sıfır olması sakınca yaratmaz: $\frac{0}{5} = 0$ gayet geçerli bir sonuçtur.
4. Denetleyelim: $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ örneğinde payda limiti sıfır ve kural doğrudan uygulanamıyor; önce sadeleştirme gerekiyor ✓ koşulun gerekliliği görülüyor.

9. Yukarıda verilen limit hangi sayıya eşittir?

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x}

• A) 0
• B) 2
• C) $\frac{1}{2}$
• D) 1
• E) $\frac{1}{4}$

Doğru cevap: E — Eşlenikle genişletme $\frac{0}{0}$ belirsizliğini kaldırır ve limit $\frac{1}{4}$ çıkar.

1. $x = 0$ koyalım: pay $\sqrt{4} - 2 = 0$, payda da 0. Ortada $\frac{0}{0}$ belirsizliği var.
2. Pay ve paydayı payın eşleniği olan $\sqrt{x+4} + 2$ ile çarpalım. Pay $(\sqrt{x+4})^2 - 2^2 = (x+4) - 4 = x$ olur.
3. İfade $\frac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ biçimine gelir; $x \neq 0$ olduğu için bu sadeleşme geçerlidir.
4. Denetleyelim: $x \to 0$ için $\frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}$. Sayısal denetim: $x = 0{,}01$ → $\frac{\sqrt{4{,}01}-2}{0{,}01} \approx \frac{0{,}0024984}{0{,}01} \approx 0{,}2498$ ✓ $\frac{1}{4}$ değerine yaklaşıyor.

10. Yukarıdaki ifadenin limit değeri nedir?

\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 - x}

• A) 0
• B) $\frac{3}{2}$
• C) $\frac{2}{3}$
• D) 1
• E) Sonsuz

Doğru cevap: B — Pay ile payda aynı dereceden olduğu için sonsuzdaki limit baş katsayıların oranıdır: $\frac{3}{2}$.

1. Dereceleri karşılaştıralım: pay $3x^2 + 5$ ikinci dereceden, payda $2x^2 - x$ da ikinci derecedendir.
2. Pay ve paydayı $x^2$ ile bölelim: ifade $\frac{3 + \frac{5}{x^2}}{2 - \frac{1}{x}}$ olur.
3. $x \to \infty$ iken $\frac{5}{x^2} \to 0$ ve $\frac{1}{x} \to 0$ olduğundan geriye $\frac{3}{2}$ kalır.
4. Denetleyelim: $x = 1000$ için $\frac{3\,000\,005}{1\,999\,000} \approx 1{,}5008$ ✓ $\frac{3}{2} = 1{,}5$ değerine yaklaşıyor.

11. Tabloda bir fonksiyonun bir noktada sürekli olma koşulları verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan koşul hangisidir?

• A) Fonksiyon artan olmalı
• B) Koşul bulunmamalı
• C) Türev var olmalı
• D) Fonksiyon polinom olmalı
• E) Limit ile fonksiyon değeri eşit olmalı

Doğru cevap: E — Süreklilik, "yaklaşılan değer" ile "ulaşılan değer"in aynı olmasıdır. Üç koşuldan biri bile sağlanmazsa o noktada süreksizlik vardır.

1. Fonksiyon o noktada tanımlı olmalı.
2. Limit var olmalı.
3. Limit ile fonksiyon değeri eşit olmalı.

12. Bir fonksiyonun bir noktada limiti bulunduğu hâlde sürekli olmamasının nedeni sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Limitin yanlış olması
• B) Fonksiyonun azalan olması
• C) Limitin sıfır olması
• D) Fonksiyonun o noktada tanımsız olması ya da fonksiyon değerinin limitten farklı olması
• E) Böyle bir durumun olmaması

Doğru cevap: D — Limit varken süreklilik bozulabilir: nokta tanımsız olabilir ya da fonksiyon değeri limitten farklı olabilir.

1. Süreklilik üç koşul ister: $f(a)$ tanımlı olacak, $\lim_{x\to a} f(x)$ var olacak ve bu ikisi birbirine eşit olacak.
2. Limitin var olması bu üç koşuldan yalnız birini karşılar; kalan ikisi hâlâ bozulabilir.
3. Birinci durum: $f$ o noktada tanımsızdır, grafikte içi boş bir delik vardır. İkinci durum: tanımlıdır ama $f(a) \neq \lim f(x)$, yani tek bir nokta yukarı ya da aşağı kaydırılmıştır.
4. Denetleyelim: soldan ve sağdan limiti 4, ama $f(a) = 6$ olan bir fonksiyonda limit var ✓ süreklilik yok — iki kavramın ayrıldığı yer tam burasıdır.

13. Yukarıdaki fonksiyonun $x = 3$ noktasında sürekli olması için $a$ kaç olmalıdır?

• A) 2
• B) 4
• C) 3
• D) 5
• E) 7

Doğru cevap: B — Birleşme noktasında soldan limit ile fonksiyon değeri eşitlenince $3 + a = 7$ ve $a = 4$ bulunur.

1. $x < 3$ kolundan soldan limiti alalım: $\lim_{x \to 3^-} (2x+1) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.
2. $x \geq 3$ kolundan sağdan limit ve fonksiyon değeri: $\lim_{x \to 3^+}(x + a) = 3 + a$ ve $f(3) = 3 + a$.
3. Süreklilik için üçünün de eşit olması gerekir: $3 + a = 7 \Rightarrow a = 4$.
4. Denetleyelim: $a = 4$ ile sağ kol $x + 4$ olur; $f(3) = 7$ ve soldan gelen değer de 7 ✓ grafikte iki parça $x = 3$ noktasında birleşiyor, sıçrama kalmıyor.

14. Grafikte bir doğrusal fonksiyonun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyonun $x = 2$ noktasındaki limiti kaçtır?

• A) 5
• B) 3
• C) 1
• D) 7
• E) Yoktur

Doğru cevap: A — Grafikteki doğru $f(x) = 2x + 1$ olduğundan $x = 2$ noktasındaki limit 5’tir.

1. Grafikten okunan noktalar şunlar: $x = 0$ iken 1, $x = 1$ iken 3, $x = 2$ iken 5, $x = 3$ iken 7. Her birim artışta değer 2 artıyor.
2. Öyleyse doğrunun eğimi 2, $y$ eksenini kestiği değer 1: $f(x) = 2x + 1$.
3. Doğrusal fonksiyonlar her noktada süreklidir ve süreklilikte limit fonksiyon değerine eşittir: $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$.
4. Denetleyelim: grafikte $x = 2$ hizasından yukarı çıkınca doğru, 4 ile 6 çizgilerinin tam ortasından geçiyor ✓ okunan değer 5, hesapla aynı.

15. Polinom fonksiyonların bütün gerçek sayılarda sürekli olmasının sonucu sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Limitlerinin bulunmaması
• B) Türevlerinin olmaması
• C) Herhangi bir noktadaki limitlerinin doğrudan yerine koyma ile bulunabilmesi
• D) Grafiklerinin kesikli olması
• E) Tanımsız olmaları

Doğru cevap: C — Polinomlar her noktada sürekli olduğu için limitleri doğrudan yerine koyma ile hesaplanır.

1. Süreklilik tanımı şudur: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Yani sürekli bir fonksiyonda limit, o noktadaki değerin ta kendisidir.
2. Polinom fonksiyonlar toplama ve çarpma işlemleriyle kurulur; bu işlemler limitle uyumlu olduğundan polinomlar bütün gerçek sayılarda süreklidir.
3. Öyleyse bir polinomun herhangi bir noktadaki limiti için belirsizlik çözmeye gerek kalmaz; $x$ yerine sayı konur ve işlem yapılır.
4. Denetleyelim: $\lim_{x \to 2}(3x^2 - x + 1)$ için yerine koyma 11 veriyor ve fonksiyonun $x = 2$ değeri de 11 ✓ limit ile değer örtüşüyor.

16. Rasyonel bir fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Payın sıfır olduğu noktalar
• B) Paydanın sıfır olduğu noktalar
• C) Fonksiyonun sıfır olduğu noktalar
• D) Bütün noktalar
• E) Süreksizlik bulunmaması

Doğru cevap: B — Rasyonel fonksiyon, paydasını sıfırlayan noktalarda tanımsız olduğu için oralarda süreksizdir.

1. Rasyonel fonksiyon iki polinomun bölümüdür: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$.
2. Süreklilik ilk olarak tanımlılık ister. $Q(x) = 0$ olan noktalarda bölme tanımsızdır, dolayısıyla fonksiyon orada tanımlı değildir.
3. Payı sıfırlayan noktalarda ise sorun yoktur; orada fonksiyon değeri yalnızca sıfır olur ve süreklilik bozulmaz.
4. Denetleyelim: $f(x) = \frac{x+2}{x-3}$ fonksiyonu $x = 3$’te tanımsız ✓ tek süreksizlik noktası paydanın kökü; $x = -2$ noktasında ise değer 0 ve fonksiyon süreklidir.

17. Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun grafiğinin kalem kaldırılmadan çizilebilmesinin anlamı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Fonksiyonun doğrusal olması
• B) Anlamının bulunmaması
• C) Fonksiyonun artan olması
• D) Türevin sabit olması
• E) Grafikte kopukluk, sıçrama ya da delik bulunmaması

Doğru cevap: E — Süreklilik sezgisel olarak "kesintisizlik" demektir. Bu özellik, uç değerlerin alınması ve ara değerlere ulaşılması gibi güçlü sonuçların dayanağıdır.

1. Süreklilik kesintisizliği anlatır.
2. Grafikte kopukluk olmaz.
3. Sıçrama ve delik bulunmaz.

18. Bir su deposunun doluluk oranını zamana bağlı veren bir fonksiyonun sürekli olması hangi anlama gelir?

• A) Doluluğun sabit olması
• B) Deponun boş olması
• C) Doluluk oranının ani sıçramalar yapmadan, kesintisiz biçimde değişmesi
• D) Zamanın durması
• E) Anlamının bulunmaması

Doğru cevap: C — Süreklilik, doluluk oranının ani sıçramalar yapmadan kesintisiz biçimde değişmesi anlamına gelir.

1. Matematikte süreklilik, grafiğin kalem kaldırılmadan çizilebilmesi, yani değerlerin bir anda atlamaması demektir.
2. Bu modelde bağımsız değişken zaman, bağımlı değişken doluluk oranıdır. Süreklilik, zaman biraz değiştiğinde doluluğun da yalnız biraz değişmesi anlamına gelir.
3. Fiziksel karşılığı açıktır: depoya su akarken miktar sıfırdan bir anda yarıya fırlayamaz, aradaki her değerden geçer.
4. Denetleyelim: süreksiz olsaydı bir $t$ anında doluluk örneğin yüzde 20’den yüzde 70’e sıçrardı; bu, ara değerlerin hiç yaşanmaması demektir ✓ suyun akışıyla bağdaşmıyor, demek ki model sürekli.

19. Bir fonksiyonun $x=a$ noktasında soldan limiti 4, sağdan limiti 4 ve $f(a) = 6$ olarak verilmiştir. Bu fonksiyon için ne söylenir?

• A) Limit yoktur
• B) Limit 6’dır
• C) Fonksiyon süreklidir
• D) Limit vardır ve 4’tür; ancak $f(a) \neq \lim f(x)$ olduğu için fonksiyon bu noktada sürekli değildir
• E) Fonksiyon tanımsızdır

Doğru cevap: D — Tek yönlü limitler eşit olduğu için limit vardır ve 4’tür; ancak $f(a) = 6 \neq 4$ olduğundan fonksiyon bu noktada sürekli değildir.

1. Önce limite bakalım: soldan 4, sağdan 4. İkisi eşit olduğundan $\lim_{x \to a} f(x) = 4$ vardır.
2. Şimdi sürekliliğin üçüncü koşulunu sınayalım: $f(a) = \lim_{x\to a} f(x)$ olmalıdır.
3. Verilene göre $f(a) = 6$, limit ise 4. $6 \neq 4$ olduğundan koşul sağlanmıyor; fonksiyon $x = a$ noktasında süreksizdir.
4. Denetleyelim: grafikte eğri $a$ çevresinde 4 hizasına yaklaşıyor, ama tam $a$ noktasında tek bir nokta 6 yüksekliğine kaydırılmış ✓ limit var, süreklilik yok — buna kaldırılabilir süreksizlik denir.

20. Yukarıda verilen limit kaça eşittir?

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}

• A) 6
• B) 3
• C) 0
• D) $\frac{1}{2}$
• E) Tanımsız

Doğru cevap: A — Pay ile paydanın ortak çarpanı $x-3$ sadeleştirilince limit $\frac{6}{1} = 6$ bulunur.

1. $x = 3$ koyalım: pay $9 - 9 = 0$, payda $9 - 15 + 6 = 0$. Ortaya $\frac{0}{0}$ belirsizliği çıktı.
2. Payı çarpanlara ayıralım: iki kare farkından $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
3. Paydayı çarpanlara ayıralım: kökleri 2 ile 3 olduğundan $x^2 - 5x + 6 = (x-3)(x-2)$.
4. Ortak çarpan $x - 3$ sadeleşir ($x \neq 3$ olduğu için geçerli): ifade $\frac{x+3}{x-2}$ olur.
5. Denetleyelim: $x \to 3$ için $\frac{3+3}{3-2} = \frac{6}{1} = 6$; sayısal denetim $x = 3{,}01$ → $\frac{6{,}01}{1{,}01} \approx 5{,}95$ ✓ 6’ya yaklaşıyor.

21. Limit bir noktaya yaklaşırken izlenen davranışı inceler; süreklilik ise limit ile fonksiyon değerinin eşit olmasını gerektirir. Bu bilgiye dayanarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez?

• A) Polinomlar her noktada süreklidir.
• B) Tek yönlü limitler farklıysa limit yoktur.
• C) Bir noktada limiti bulunan her fonksiyon o noktada süreklidir.
• D) $0/0$ belirsizliği sadeleştirmeyle giderilebilir.
• E) Rasyonel fonksiyon paydanın kökünde süreksizdir.

Doğru cevap: C — Limitin varlığı sürekliliği garanti etmediği için “bir noktada limiti bulunan her fonksiyon o noktada süreklidir” yargısı söylenemez.

1. Metin iki kavramı ayırıyor: limit yaklaşmayı, süreklilik ise limit ile fonksiyon değerinin EŞİT olmasını anlatıyor.
2. Süreklilik limitin varlığını içerir, ama tersi doğru değildir: limit varken $f(a)$ tanımsız ya da limitten farklı olabilir.
3. Öteki yargıları sınayalım — polinomların sürekliliği, tek yönlü limitler farklıysa limitin olmayışı, $\frac{0}{0}$ belirsizliğinin sadeleşmeyle giderilmesi ve rasyonel fonksiyonun paydanın kökünde süreksizliği: dördü de metinle uyumlu.
4. Denetleyelim: $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ fonksiyonunda $x = 1$ için limit 2 var ama fonksiyon tanımsız ✓ tek bir karşı örnek o yargıyı çürütmeye yetiyor.