Nicelikler ve Değişimler (2)

1. Yukarıda bir polinom verilmiştir. Bu polinomun derecesi sorulmaktadır. Buna göre derece kaçtır?

P(x) = 4x⁵ − 2x³ + 7

• A) 5
• B) 4
• C) 3
• D) 7
• E) 2

Doğru cevap: A — Polinomun derecesi 5’tir; derece, değişkenin aldığı en büyük üstür.

1. Terimleri tek tek ayıralım: $4x^5$, $-2x^3$ ve sabit terim $7$.
2. Her terimin $x$ üssünü okuyalım: sırasıyla 5, 3 ve 0; sabit terim $7 = 7x^0$ sayıldığı için üssü sıfırdır.
3. Derece bu üslerin en büyüğüdür: 5, 3 ve 0 arasından 5 seçilir.
4. Denetleyelim: derece 4 olsaydı polinomda $x^5$ terimi bulunamazdı; oysa $4x^5$ yazılı ve katsayısı sıfırdan farklı ✓.

2. Yukarıda bir polinom verilmiştir. Bu polinomun baş katsayısı sorulmaktadır. Buna göre baş katsayı kaçtır?

P(x) = −3x⁴ + x² − 8

• A) 3
• B) −3
• C) 1
• D) −8
• E) 4

Doğru cevap: B — Baş katsayı $-3$’tür; baş katsayı, en yüksek dereceli terimin önündeki sayıdır.

1. Terimlerin derecelerine bakalım: $-3x^4$ dördüncü dereceden, $x^2$ ikinci dereceden, $-8$ ise sabittir.
2. En yüksek dereceli terim $-3x^4$’tür.
3. Bu terimin katsayısını işaretiyle birlikte alalım: $-3$.
4. Denetleyelim: polinomu azalan dereceyle yazdığımızda en başa gelen terim $-3x^4$ oluyor ✓; "baş" katsayı adını da buradan alır.

3. Yukarıda bir polinom verilmiştir. Bu polinomun sabit terimi sorulmaktadır. Buna göre sabit terim kaçtır?

P(x) = 2x³ − 5x + 9

• A) −5
• B) 2
• C) 9
• D) 3
• E) 0

Doğru cevap: C — Sabit terim 9’dur; sabit terim, değişken içermeyen terimdir.

1. Terimleri ayıralım: $2x^3$, $-5x$ ve $9$.
2. $x$ bulundurmayan tek terim $9$’dur; öbür ikisinin değeri $x$ ile birlikte değişir.
3. Sabit terim aynı zamanda polinomun sıfırdaki değeridir: $P(0) = 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 9 = 9$.
4. Denetleyelim: $x$ hangi değeri alırsa alsın bu terim 9 olarak kalır ✓, değişmediği için "sabit" adını taşır.

4. Yukarıda bir polinom ve bir değer istenmiştir. Polinomun bu noktadaki değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

P(x) = x² − 3x + 4, P(2) = ?

• A) 8
• B) 4
• C) 6
• D) 2
• E) 0

Doğru cevap: D — $P(2) = 2$’dir; polinomun bir noktadaki değeri için $x$ yerine o sayı yazılır.

1. Yerine koyalım: $P(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 4$.
2. Kuvveti ve çarpımı ayrı ayrı hesaplayalım: $2^2 = 4$ ve $3 \cdot 2 = 6$.
3. İşlemi bitirelim: $4 - 6 = -2$ ve $-2 + 4 = 2$.
4. Denetleyelim: polinomu $(x-1)(x-2) + 2$ biçiminde yazabiliriz, çünkü $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$’dir; $x = 2$ için çarpım sıfır olur ve geriye 2 kalır ✓.

5. Tabloda iki polinomun dereceleri ve çarpımları verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Çarpımın derecesi kuralına göre bu boşluğa gelmesi gereken değer hangisidir?

• A) 2
• B) 15
• C) 5
• D) 3
• E) 8

Doğru cevap: E — Çarpımın derecesi 8’dir; iki polinom çarpılırken dereceleri toplanır.

1. Kuralın nedenini görelim: $P$’nin baş terimi üçüncü, $Q$’nunki beşinci dereceden ise çarpımlarının baş terimi $x^3 \cdot x^5 = x^{3+5}$ olur; aynı tabanda kuvvetler çarpılırken üsler toplanır.
2. Verilen dereceleri yazalım: 3 ve 5.
3. Toplayalım: $3 + 5 = 8$, yani $P(x) \cdot Q(x)$ sekizinci dereceden bir polinomdur.
4. Denetleyelim: baş katsayıların ikisi de sıfırdan farklı olduğu için $x^8$ terimi sadeleşemez ✓, derece 8 olarak kalır.

6. Yukarıda bir polinom verilmiştir. Bu polinomun kökleri sorulmaktadır. Buna göre kökler hangileridir?

P(x) = x² − 7x + 12

• A) 3 ve 4
• B) −3 ve −4
• C) 1 ve 12
• D) 2 ve 6
• E) 7 ve 12

Doğru cevap: A — Kökler 3 ve 4’tür; $x^2 - 7x + 12$ ifadesi $(x-3)(x-4)$ biçiminde çarpanlarına ayrılır.

1. Kök, polinomu sıfır yapan değerdir; öyleyse $x^2 - 7x + 12 = 0$ denklemini çözeceğiz.
2. Çarpımı sabit terim olan 12, toplamı ise $x$’in katsayısının ters işaretlisi olan 7 olan iki sayı arayalım: 3 ve 4, çünkü $3 \cdot 4 = 12$ ve $3 + 4 = 7$.
3. Çarpanlara ayıralım: $(x-3)(x-4) = 0$; bir çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır, buradan $x = 3$ ya da $x = 4$.
4. Denetleyelim: $P(3) = 9 - 21 + 12 = 0$ ✓ ve $P(4) = 16 - 28 + 12 = 0$ ✓.

7. Yukarıda bir polinom ve bir bölen verilmiştir. Kalan teoremine göre bölme işleminin kalanı sorulmaktadır. Buna göre kalan kaçtır?

P(x) = x³ − 2x + 5, P(x) polinomu (x − 1) ile bölünüyor

• A) 5
• B) 4
• C) 3
• D) 2
• E) 1

Doğru cevap: B — Kalan 4’tür; kalan teoremine göre $(x-a)$ ile bölmede kalan $P(a)$ değerine eşittir.

1. Bölen $x - 1$ olduğuna göre teoremde $a = 1$ alınır.
2. $P(1)$ hesaplayalım: $1^3 - 2 \cdot 1 + 5 = 1 - 2 + 5$.
3. İşlemi bitirelim: $1 - 2 = -1$ ve $-1 + 5 = 4$; kalan 4’tür.
4. Denetleyelim: bölüm $x^2 + x - 1$ çıkar ve $(x-1)(x^2+x-1) = x^3 - 2x + 1$ olur; buna kalanı ekleyince $x^3 - 2x + 1 + 4 = x^3 - 2x + 5$ ✓, verilen polinoma dönüyoruz.

8. Yukarıda bir polinom verilmiştir. Bu polinomun çarpanlara ayrılmış biçimi sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

x³ − x

• A) (x − 1)(x + 1)
• B) x(x² + 1)
• C) x(x − 1)(x + 1)
• D) x²(x − 1)
• E) x(x − 1)²

Doğru cevap: C — $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$’dir; önce ortak çarpan, sonra iki kare farkı ayrılır.

1. İki terimde de $x$ bulunuyor; ortak çarpanı paranteze alalım: $x^3 - x = x(x^2 - 1)$.
2. Parantez içi iki kare farkıdır: $x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x-1)(x+1)$.
3. Birleştirelim: $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$; üç çarpanın kökleri sırasıyla $0$, $1$ ve $-1$’dir.
4. Denetleyelim: $x = 2$ için ilk biçim $8 - 2 = 6$, ayrılmış biçim ise $2 \cdot 1 \cdot 3 = 6$ veriyor ✓.

9. Tabloda fonksiyonlar ve özellikleri eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. f(−x) değeri incelendiğinde bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) Ne tek ne çift
• B) Çift fonksiyon
• C) Sabit fonksiyon
• D) Tek fonksiyon
• E) Birim fonksiyon

Doğru cevap: D — $f(x) = x^3$ tek fonksiyondur; çünkü $f(-x) = -f(x)$ eşitliği sağlanır.

1. Ölçütü yazalım: $f(-x) = f(x)$ ise fonksiyon çift, $f(-x) = -f(x)$ ise tektir.
2. $x$ yerine $-x$ koyalım: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$; üs tek olduğu için işaret korunmaz.
3. Bulduğumuz $-x^3$ ifadesi $-f(x)$’in ta kendisidir, öyleyse fonksiyon tektir.
4. Denetleyelim: $f(2) = 8$ ve $f(-2) = -8$ ✓; değerler eşit değil, birbirinin ters işaretlisi — grafiği de orijine göre simetriktir.

10. Yukarıda bir rasyonel fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun tanımsız olduğu değerler sorulmaktadır. Buna göre doğru yanıt hangisidir?

f(x) = (2x + 1) / (x² − 4)

• A) x = 1 ve x = 4
• B) x = 4
• C) x = 0
• D) x = −1/2
• E) x = 2 ve x = −2

Doğru cevap: E — Fonksiyon $x = 2$ ve $x = -2$ değerlerinde tanımsızdır; bu noktalarda payda sıfır olur.

1. Rasyonel bir fonksiyon, paydası sıfır olan noktalar dışında tanımlıdır; paydayı sıfıra eşitleyelim: $x^2 - 4 = 0$.
2. Çözelim: $x^2 = 4$, buradan $x = 2$ ya da $x = -2$; iki kare farkı olarak $(x-2)(x+2) = 0$ yazmak da aynı sonucu verir.
3. Payın bu noktalarda sıfır olup olmadığına bakalım: $2 \cdot 2 + 1 = 5$ ve $2 \cdot (-2) + 1 = -3$; ikisi de sıfırdan farklı, yani sadeleşme yok, tanımsızlık kalıcıdır.
4. Denetleyelim: $x = 2$ konursa payda $4 - 4 = 0$ olur ve sıfıra bölme tanımsızdır ✓.

11. Yukarıda bir rasyonel ifade verilmiştir. x ≠ 3 koşuluyla bu ifadenin sadeleşmiş biçimi sorulmaktadır. Buna göre sonuç hangisidir?

(x² − 9) / (x − 3)

• A) x + 3
• B) x − 3
• C) x² + 3
• D) 3
• E) x

Doğru cevap: A — x² − 9 = (x − 3)(x + 3)'tür; (x − 3) sadeleşir.

1. Pay iki kare farkıdır.
2. (x − 3)(x + 3) biçiminde yazılır.
3. Payda ile sadeleşince x + 3 kalır.

12. Tabloda bir polinomun işaret tablosu verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Kökler arasındaki işaret kuralına göre bu boşluğa gelmesi gereken ifade hangisidir?

• A) Pozitif
• B) Negatif
• C) Sıfır
• D) Belirsiz
• E) Değişken

Doğru cevap: B — Kökler arasındaki $-1 < x < 2$ aralığında polinomun işareti negatiftir.

1. Çarpanların kökleri $x = 2$ ve $x = -1$’dir; bir çarpım ancak çarpanlarından biri işaret değiştirdiğinde, yani kökte işaret değiştirebilir.
2. Aralıktan bir sayı seçip deneyelim; $x = 0$ alalım: $(0-2)(0+1) = (-2) \cdot 1 = -2$.
3. Sonuç negatif çıktı; kökler arasında başka kök olmadığı için bu işaret $-1 < x < 2$ aralığının tamamında geçerlidir.
4. Denetleyelim: tabloda $x < -1$ için pozitif yazıyor ve kökten geçerken işaret değişmeli ✓; nitekim $x = 3$ için $(1) \cdot (4) = 4$ ile yeniden pozitife dönülüyor.

13. Yukarıda bir polinom verilmiştir. Katsayılar toplamı sorulmaktadır. Buna göre bu toplam kaçtır?

P(x) = 3x⁴ − 2x² + x − 5

• A) −5
• B) 3
• C) −3
• D) 1
• E) 5

Doğru cevap: C — Katsayılar toplamı P(1) = 3 − 2 + 1 − 5 = −3'tür.

1. Katsayılar toplamı P(1) değeridir.
2. 3 − 2 = 1 ve 1 + 1 = 2.
3. 2 − 5 = −3 bulunur.

14. Yukarıda bir polinom ve bir değer istenmiştir. Polinomun bu noktadaki değeri sorulmaktadır. Buna göre sonuç kaçtır?

P(x) = x³ + 2x² − x + 6, P(−1) = ?

• A) 10
• B) 6
• C) 4
• D) 8
• E) 2

Doğru cevap: D — $P(-1) = 8$’dir; $x$ yerine $-1$ yazılırken kuvvetlerin işareti ayrı ayrı hesaplanır.

1. Yerine koyalım: $P(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + 6$.
2. Kuvvetleri alalım: $(-1)^3 = -1$ çünkü üs tek; $(-1)^2 = 1$ çünkü üs çift, öyleyse ikinci terim $2 \cdot 1 = 2$ olur.
3. Üçüncü terim $-x$ biçiminde olduğundan $-(-1) = +1$ değerini alır; toplayalım: $-1 + 2 + 1 + 6 = 8$.
4. Denetleyelim: adım adım toplayalım, $-1 + 2 = 1$, $1 + 1 = 2$ ve $2 + 6 = 8$ ✓.

15. Yukarıda iki polinom verilmiştir. Bu polinomların çarpımının sabit terimi sorulmaktadır. Buna göre sabit terim kaçtır?

P(x) = x + 2, Q(x) = x − 3

• A) 5
• B) 6
• C) −1
• D) 1
• E) −6

Doğru cevap: E — Çarpımın sabit terimi $-6$’dır; sabit terimler birbiriyle çarpılır.

1. Sabit terim, polinomun sıfırdaki değeridir; öyleyse çarpımın sabit terimi için iki polinomun da sıfırdaki değerini almak yeter.
2. Hesaplayalım: $P(0) = 0 + 2 = 2$ ve $Q(0) = 0 - 3 = -3$.
3. Çarpalım: $2 \cdot (-3) = -6$.
4. Denetleyelim: çarpımı açalım, $(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$; sabit terim gerçekten $-6$ ✓.

16. Tabloda polinom işlemleri ve derece kuralları eşleştirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Bu boşluğu hangi seçenek tamamlar?

• A) En büyük derece (baş katsayılar sadeleşmezse)
• B) Derecelerin toplamı
• C) Derecelerin çarpımı
• D) Derecelerin farkı
• E) Her zaman sıfır

Doğru cevap: A — Toplamanın sonucu, terimlerin en büyük derecesini taşır; yalnız baş terimler birbirini götürürse derece düşer.

1. Çarpmada üsler toplanıyordu, çünkü baş terimler birbiriyle çarpılıyordu. Toplamada ise terimler yan yana yazılır, üsler işleme girmez ve derece kendiliğinden büyümez.
2. Örnekle görelim: $x^3 + 5x$ ile $x^2 - 1$ toplanırsa $x^3 + x^2 + 5x - 1$ çıkar; derece, ikisinin büyüğü olan 3’tür.
3. Tek istisna baş terimlerin sadeleşmesidir: $x^3 + 2x$ ile $-x^3 + 1$ toplandığında $x^3$ terimleri yok olur ve derece 1’e iner.
4. Denetleyelim: boşluğa "en büyük derece (baş katsayılar sadeleşmezse)" yazıldığında hem genel durum hem de bu istisna karşılanmış oluyor ✓.

17. Yukarıda bir polinom ve bir değer verilmiştir. Bilinmeyen katsayı sorulmaktadır. Buna göre a kaçtır?

P(x) = ax + 3, P(2) = 11

• A) 5
• B) 4
• C) 3
• D) 8
• E) 2

Doğru cevap: B — $a = 4$’tür; $P(2) = 11$ koşulu $2a + 3 = 11$ denklemini verir.

1. Polinomda $x$ yerine 2 yazalım: $P(2) = a \cdot 2 + 3 = 2a + 3$.
2. Bu değerin 11’e eşit olduğu veriliyor: $2a + 3 = 11$.
3. Her iki yandan 3 çıkaralım: $2a = 8$; sonra iki yanı 2’ye bölelim: $a = 4$.
4. Denetleyelim: $a = 4$ için polinom $P(x) = 4x + 3$ olur ve $P(2) = 8 + 3 = 11$ ✓, verilen koşul sağlanıyor.

18. Yukarıda bir rasyonel fonksiyon verilmiştir. Bu fonksiyonun düşey asimptotunun denklemi sorulmaktadır. Buna göre hangi seçenek doğrudur?

f(x) = 1 / (x − 5)

• A) x = 0
• B) y = 5
• C) x = 5
• D) y = 0
• E) x = 1

Doğru cevap: C — Düşey asimptot $x = 5$ doğrusudur; payda bu değerde sıfır olur.

1. Düşey asimptot, fonksiyonun değerinin sınırsız büyüdüğü $x$ değerinde bulunur; bunun için payda sıfır, pay ise sıfırdan farklı olmalıdır.
2. Paydayı sıfıra eşitleyelim: $x - 5 = 0$, buradan $x = 5$.
3. Pay sabit olarak 1’dir ve hiçbir yerde sıfır olmaz; öyleyse sadeleşme yok, asimptot gerçektir.
4. Denetleyelim: $x = 5{,}001$ için payda $0{,}001$ olur ve $f(x) = 1000$ değerine fırlar ✓; $x$ 5’e yaklaştıkça değer sınırsız büyüyor.

19. Yukarıdaki çıkarımda yapılan hata sorulmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Payda hiç sıfır olmaz.
• B) Sadeleştirme yanlış yapılmıştır.
• C) İfade çarpanlarına ayrılamaz.
• D) Sadeleştirme x = 2 noktasındaki tanımsızlığı ortadan kaldırmaz.
• E) Fonksiyon tanımsızdır.

Doğru cevap: D — Öğrencinin hatası, sadeleştirmenin $x = 2$’deki tanımsızlığı ortadan kaldırdığını sanmasıdır; tanım kümesi ilk ifadeye bakılarak belirlenir.

1. Önce verilen ifadenin tanım kümesine bakalım: paydası $x - 2$ olduğu için $x = 2$ daha baştan dışlanır.
2. Çarpanlarına ayıralım: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$; sadeleştirme ancak $x - 2 \neq 0$ iken, yani $x \neq 2$ koşuluyla yapılabilir.
3. Sadeleşmeden sonra kalan $x + 2$ ifadesi $x = 2$ için 4 verse de bu, asıl fonksiyonun oradaki değeri değildir; grafikte $(2, 4)$ noktası boş bir delik olarak kalır.
4. Denetleyelim: $x = 2$ doğrudan konsaydı $\frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}$ çıkardı ✓, bu tanımsızdır.

20. Kartlarda bu temanın üç temel düşüncesi verilmiştir. Kartlar birlikte değerlendirildiğinde ulaşılabilecek en kapsayıcı sonuç hangisidir?

• A) Kartlar birbirinden bağımsızdır.
• B) Derecenin bir etkisi yoktur.
• C) Kökler işaret ayırmaz.
• D) Payda tanım kümesini etkilemez.
• E) Polinom ve rasyonel fonksiyonlar; derecesi, kökleri ve paydasıyla birlikte tanınır.

Doğru cevap: E — Kartlar birlikte, polinom ve rasyonel fonksiyonların derecesi, kökleri ve paydasıyla birlikte tanındığını söyler.

1. Birinci kart dereceyi veriyor: derece, fonksiyonun uçlarda nasıl davrandığını ve en çok kaç kökü olabileceğini belirler.
2. İkinci kart kökleri ekliyor: kökler sayı doğrusunu aralıklara böler ve her aralıkta fonksiyonun işaretinin ne olduğunu belirler.
3. Üçüncü kart paydayı getiriyor: rasyonel bir fonksiyonda paydanın sıfır olduğu değerler tanım kümesinden çıkarılır.
4. Denetleyelim: üç kart da tek bir fonksiyonun ayrı bir yönünü anlatıyor ✓; hepsini kapsayan yargı, bu fonksiyonların derecesi, kökleri ve paydasıyla birlikte tanındığıdır.