Türev

1. Yukarıdaki sabit fonksiyonun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

f(x) = 7

• A) 0
• B) 7
• C) 1
• D) 7x
• E) x

Doğru cevap: A — Sabit fonksiyonun değeri hiç değişmediği için türevi her noktada sıfırdır.

1. Türev, fonksiyonun anlık değişim hızıdır; “bu fonksiyon ne kadar hızlı değişiyor” sorusunun yanıtıdır.
2. $f(x) = 7$ fonksiyonu her girdide aynı değeri veriyor: $f(1) = 7$, $f(100) = 7$. Ortada hiçbir değişim yok.
3. Değişim sıfırsa değişim hızı da sıfırdır: $f'(x) = 0$.
4. Denetleyelim: tanımdan gidelim — $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{7 - 7}{h} = 0$ ✓, limiti de 0 çıkar.

2. Yukarıdaki fonksiyonun birinci türevi hangisidir?

f(x) = x⁵

• A) x⁴
• B) 5x⁴
• C) 5x⁶
• D) 4x⁵
• E) x⁵/5

Doğru cevap: B — Kuvvet kuralına göre $(x^5)' = 5x^4$’tür.

1. Kuvvet kuralını yazalım: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Üs katsayı olarak öne iner, kalan üs bir azalır.
2. Burada $n = 5$; öne inen katsayı 5, yeni üs ise $5 - 1 = 4$.
3. Öyleyse $f'(x) = 5x^{4}$.
4. Denetleyelim: $x = 1$ noktasında $f'(1) = 5$ ✓ — $y = x^5$ eğrisi bu noktada gerçekten 5 eğimiyle, yani çok dik yükseliyor.

3. Yukarıdaki polinom fonksiyonun türevi hangisidir?

f(x) = 3x² − 4x + 9

• A) 6x − 4x
• B) 3x − 4
• C) 6x − 4
• D) 6x + 4
• E) 6x² − 4

Doğru cevap: C — Terimlerin türevi ayrı ayrı alınır ve sabitin türevi sıfır olduğundan $f'(x) = 6x - 4$’tür.

1. Toplamın ve farkın türevi, terimlerin türevlerinin toplamı ve farkıdır; üç terimi tek tek ele alalım.
2. $3x^2$ teriminin türevi $3 \cdot 2x = 6x$’tir; katsayı türev işleminin dışında kalır.
3. $-4x$ teriminin türevi $-4$’tür, çünkü birinci dereceden bir terimin türevi katsayısına eşittir; sabit olan 9’un türevi ise 0’dır.
4. Denetleyelim: parçaları birleştirelim — $6x - 4 + 0 = 6x - 4$ ✓; ayrıca $f'(0) = -4 < 0$ ve parabol $x = 0$ civarında gerçekten azalıyor.

4. Şekilde y = x² eğrisi ve A noktasındaki teğeti çizilmiştir. A noktasında hesaplanan türev bu şekilde neye karşılık gelir?

• A) Eğrinin altında kalan alana
• B) A noktasının apsisine
• C) Eğrinin y eksenini kestiği noktaya
• D) Teğet doğrusunun eğimine
• E) Teğetin y eksenini kestiği noktaya

Doğru cevap: D — Bir noktadaki türev, grafikte o noktaya çizilen teğet doğrusunun eğimidir.

1. Türevin tanımı bir noktadaki anlık değişim hızıdır: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
2. Limit alınmadan önceki oran, A ile ona komşu bir noktayı birleştiren kesen doğrunun eğimidir. $h$ sıfıra giderken bu kesen dönerek teğete yaklaşır.
3. Öyleyse limitin değeri, kesenin vardığı son konum olan teğet doğrusunun eğimidir. Şekilde A noktasında hesaplanan türev, oraya çizilmiş teğetin eğimine karşılık gelir.
4. Denetleyelim: $y = x^2$ için $f'(x) = 2x$; A noktası $x = 1$’de olsaydı eğim 2 çıkardı ve teğetin dikliği bunu doğrulardı ✓.

5. Bir cismin metre cinsinden konumu yukarıdaki bağıntıyla veriliyor. Cismin 2. saniyedeki hızı kaç m/s olur?

x(t) = t³ − 6t² + 5t

• A) 5
• B) −11
• C) 17
• D) −12
• E) −7

Doğru cevap: E — Hız konumun türevidir: $v(t) = 3t^2 - 12t + 5$ ve $v(2) = -7$ m/s.

1. Konum fonksiyonunun zamana göre türevi hızı verir; önce türevi alalım.
2. Terim terim türevleyelim: $(t^3)' = 3t^2$, $(-6t^2)' = -12t$, $(5t)' = 5$. Öyleyse $v(t) = 3t^2 - 12t + 5$.
3. $t = 2$ yazalım: $v(2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 5 = 12 - 24 + 5 = -7$ m/s.
4. Denetleyelim: sonuç negatif çıktı, yani cisim 2. saniyede seçilen yönün TERSİNE hareket ediyor ✓ — parabolün kökleri arasında kaldığı için $v(2)$ değerinin negatif olması beklenen bir sonuç.

6. Yukarıdaki fonksiyonun türevi hangisidir?

f(x) = x² × (x + 3)

• A) 3x² + 6x
• B) 2x × (x + 3)
• C) x² + 2x
• D) 3x² + 3
• E) 2x + 3

Doğru cevap: A — Çarpımın türevi: birincinin türevi × ikinci + birinci × ikincinin türevi.

1. u = x² → u' = 2x ; v = x + 3 → v' = 1
2. f' = u'v + uv' = 2x(x + 3) + x² × 1
3. = 2x² + 6x + x²
4. = 3x² + 6x

7. Yukarıdaki rasyonel fonksiyonun türevi hangisidir?

f(x) = (2x + 1)/(x − 1)

• A) 2/(x − 1)
• B) −3/(x − 1)²
• C) 3/(x − 1)²
• D) (2x + 1)/(x − 1)²
• E) −1/(x − 1)²

Doğru cevap: B — Bölümün türevi: (u'v − uv') / v²

1. u = 2x + 1 → u' = 2 ; v = x − 1 → v' = 1
2. Pay: u'v − uv' = 2(x − 1) − (2x + 1) × 1
3. = 2x − 2 − 2x − 1 = −3
4. f'(x) = −3/(x − 1)²

8. Grafikte bir fonksiyonun değişimi verilmiştir. Fonksiyonun türevinin işareti için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Tüm aralıkta pozitiftir.
• B) Tüm aralıkta negatiftir.
• C) Önce pozitif, tepe noktasından sonra negatiftir.
• D) Önce negatif, sonra pozitiftir.
• E) Her yerde sıfırdır.

Doğru cevap: C — Grafik önce yükselip sonra alçaldığı için türev tepe noktasına kadar pozitif, sonrasında negatiftir.

1. Türevin işareti ile fonksiyonun gidişi arasındaki bağı kuralım: fonksiyon artarken türev pozitif, azalırken negatiftir.
2. Grafiği soldan sağa okuyalım: başta değerler yükseliyor, $x = 0$ civarında 1 olan değer $x = 3$ civarında yaklaşık 4,5’e çıkıyor. Bu artan bölgede türev pozitiftir.
3. Tepe noktasından sonra eğri alçalıyor ve $x = 5$ dolayında yeniden 1’e iniyor. Azalan bu bölgede türev negatiftir.
4. Denetleyelim: tepe noktasında teğet yatay olur, yani türev tam orada sıfırdır ✓ — artı işaretten eksi işarete geçiş bu sıfırdan geçerek oluyor.

9. Bileşke biçimindeki bu fonksiyonun türevi hangisidir?

f(x) = (3x − 2)⁴

• A) 4(3x − 2)³
• B) 3(3x − 2)³
• C) 12(3x − 2)⁴
• D) 12(3x − 2)³
• E) (3x − 2)³

Doğru cevap: D — Zincir kuralıyla türev $4(3x - 2)^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$’tür.

1. Fonksiyon iki katmanlı: dışta dördüncü kuvvet, içte $u = 3x - 2$. Zincir kuralı, dış türevin iç türevle çarpılmasını söyler.
2. Dış fonksiyonun türevi: $(u^4)' = 4u^3$, yani $4(3x - 2)^3$.
3. İç fonksiyonun türevi: $(3x - 2)' = 3$. Çarpalım: $4(3x - 2)^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$.
4. Denetleyelim: $x = 1$ için iç değer $3 - 2 = 1$ olur ve türev $12 \cdot 1 = 12$ çıkar ✓ — katsayı ile üs birbiriyle tutarlı.

10. Bir atölyede x adet ürünün toplam maliyeti yukarıdaki bağıntıyla veriliyor. Üretim 30 adetteyken bir adet daha üretmenin yaklaşık maliyeti kaç liradır?

C(x) = 0,5x² + 20x + 400

• A) 20
• B) 30
• C) 45
• D) 400
• E) 50

Doğru cevap: E — Marjinal maliyet türevle bulunur: $C'(x) = x + 20$ ve $C'(30) = 50$ TL.

1. Bir adet daha üretmenin yaklaşık maliyeti, maliyet fonksiyonunun o üretim düzeyindeki türevidir; buna marjinal maliyet denir.
2. Türevi alalım: $(0{,}5x^2)' = x$, $(20x)' = 20$, sabit olan 400’ün türevi 0’dır. Öyleyse $C'(x) = x + 20$.
3. $x = 30$ yazalım: $C'(30) = 30 + 20 = 50$ TL.
4. Denetleyelim: gerçek farkı hesaplayalım — $C(30) = 450 + 600 + 400 = 1450$ ve $C(31) = 480{,}5 + 620 + 400 = 1500{,}5$; aradaki fark 50,5 TL ✓, türevin verdiği 50 TL bunu çok iyi yaklaşıklıyor.

11. Şekilde y = x² eğrisinin B noktasındaki teğeti gösterilmiştir. Bu teğetin denklemi hangisidir?

• A) y = 4x − 4
• B) y = 2x
• C) y = 4x + 4
• D) y = 2x − 4
• E) y = x + 2

Doğru cevap: A — Eğim $f'(2) = 4$ ve değme noktası B(2, 4) olduğundan teğet denklemi $y = 4x - 4$’tür.

1. Teğet bir doğrudur; onu yazmak için eğimini ve üzerinden geçtiği bir noktayı bilmek yeterlidir.
2. Eğimi türev verir: $f(x) = x^2$ için $f'(x) = 2x$, buradan $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
3. Nokta-eğim biçimini kullanalım: $y - 4 = 4(x - 2)$, düzenleyince $y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4$.
4. Denetleyelim: $x = 2$ için $y = 8 - 4 = 4$ ✓ — doğru gerçekten B(2, 4) noktasından geçiyor ve eğimi 4.

12. Yukarıdaki fonksiyonun türevi hangisidir?

f(x) = sin x + cos x

• A) sin x − cos x
• B) cos x − sin x
• C) cos x + sin x
• D) −cos x − sin x
• E) −sin x + tan x

Doğru cevap: B — Sinüsün türevi kosinüs, kosinüsün türevi eksi sinüs olduğundan $f'(x) = \cos x - \sin x$’tir.

1. Toplamın türevi türevlerin toplamıdır; iki terimi ayrı ayrı türevleyelim.
2. $(\sin x)' = \cos x$ olur; bu, sinüs eğrisinin eğiminin kosinüs eğrisini çizmesi demektir.
3. $(\cos x)' = -\sin x$ olur; kosinüsün türevinde eksi işareti vardır. İkisini toplayınca $f'(x) = \cos x - \sin x$ çıkar.
4. Denetleyelim: $x = 0$ için $f'(0) = 1 - 0 = 1$ ✓ — $f(x) = \sin x + \cos x$ fonksiyonu sıfır civarında gerçekten 1 eğimiyle artıyor.

13. Tabloda bir fonksiyonun türevinin işareti verilmiştir. Bu bilgilere göre fonksiyonun x = 0 noktasındaki durumu nedir?

• A) Yerel minimumdur.
• B) Büküm noktasıdır, ekstremum değildir.
• C) Yerel maksimumdur.
• D) Tanımsızdır.
• E) Sabit fonksiyondur.

Doğru cevap: C — Türev x = 0 noktasında sıfırlanıp artıdan eksiye döndüğü için bu nokta yerel maksimumdur.

1. İşaret tablosunu okuyalım: $x = 0$’ın solunda $f'(x) > 0$, tam $x = 0$’da $f'(x) = 0$, sağında $f'(x) < 0$.
2. Türev pozitifken fonksiyon artar; öyleyse $x = 0$’a kadar fonksiyon yükseliyor.
3. Türev negatife döndükten sonra fonksiyon azalır. Yükselişten inişe geçilen bu durağan nokta bir yerel maksimumdur.
4. Denetleyelim: tabloda türev $x = 2$’de eksiden artıya dönüyor ✓ — aynı ölçütle orası yerel minimumdur, iki dönüş noktasının türü birbirini doğruluyor.

14. Bir aracın hızı yukarıdaki bağıntıyla veriliyor. Aracın 3. saniyedeki ivmesi kaç m/s² olur?

v(t) = 4t² − 3t

• A) 9
• B) 15
• C) 24
• D) 21
• E) 27

Doğru cevap: D — İvme hızın türevidir: $a(t) = 8t - 3$ ve $a(3) = 21$ m/s².

1. İvme, hızın zamana göre değişim hızıdır; yani hız fonksiyonunun türevidir.
2. Türevi alalım: $(4t^2)' = 8t$ ve $(-3t)' = -3$. Öyleyse $a(t) = 8t - 3$.
3. $t = 3$ yazalım: $a(3) = 8 \cdot 3 - 3 = 24 - 3 = 21$ m/s².
4. Denetleyelim: $v(3) = 36 - 9 = 27$ ve $v(3{,}1) = 38{,}44 - 9{,}3 = 29{,}14$; hızdaki 2,14’lük artışı 0,1 saniyeye bölünce 21,4 çıkıyor ✓ — türevle bulunan 21 değerine çok yakın.

15. Yukarıdaki üstel fonksiyonun türevi hangisidir?

f(x) = e^(2x)

• A) e^(2x)
• B) 2x × e^(2x)
• C) e^(2x)/2
• D) x × e^(2x)
• E) 2e^(2x)

Doğru cevap: E — Zincir kuralıyla $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$’tir.

1. Üstel fonksiyonun temel kuralı $(e^u)' = e^u \cdot u'$’dür; iç fonksiyonun türevi çarpan olarak öne çıkar.
2. Burada $u = 2x$, dolayısıyla $u' = 2$.
3. Kuralı uygulayalım: $f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.
4. Denetleyelim: $x = 0$ için $f'(0) = 2 \cdot 1 = 2$ ✓ — $e^{2x}$ eğrisi sıfır noktasında $e^{x}$’e göre tam iki kat dik yükseliyor.

16. Grafikteki fonksiyon için türevin sıfır olduğu nokta ve bu noktanın türü hangisinde doğru verilmiştir?

• A) x ≈ 2 — yerel minimum
• B) x ≈ 2 — yerel maksimum
• C) x ≈ 0 — yerel minimum
• D) x ≈ 5 — yerel maksimum
• E) Türev hiçbir yerde sıfır değildir.

Doğru cevap: A — Grafik x = 2 civarında alçalmayı bırakıp yükselmeye başladığı için orada türev sıfırdır ve nokta yerel minimumdur.

1. Türevin sıfır olduğu yer, teğetin yatay olduğu yerdir; grafikte eğrinin yön değiştirdiği noktayı arıyoruz.
2. Eğri soldan gelirken alçalıyor: $x = 0$ dolayında yaklaşık 4,6 olan değer $x = 2$ dolayında yaklaşık 1,2’ye iniyor. Bu bölgede türev negatiftir.
3. $x = 2$’den sonra eğri yükselmeye başlıyor, yani türev pozitife dönüyor. Eksiden artıya geçilen durağan nokta yerel minimumdur.
4. Denetleyelim: $x = 2$ grafiğin en düşük değerini aldığı yer ✓ — komşuluğundaki bütün noktalar ondan yukarıda kalıyor.

17. Yukarıdaki fonksiyonun ikinci türevi hangisidir?

f(x) = x⁴ − 2x³

• A) 4x³ − 6x²
• B) 12x² − 12x
• C) 12x³ − 6x
• D) 4x² − 6x
• E) 24x − 12

Doğru cevap: B — Birinci türev $4x^3 - 6x^2$ olduğundan ikinci türev $12x^2 - 12x$’tir.

1. İkinci türev, birinci türevin bir kez daha türevidir; önce birinci türevi alalım.
2. Kuvvet kuralıyla: $(x^4)' = 4x^3$ ve $(-2x^3)' = -6x^2$. Öyleyse $f'(x) = 4x^3 - 6x^2$.
3. Bir kez daha türevleyelim: $(4x^3)' = 12x^2$ ve $(-6x^2)' = -12x$. Sonuç: $f''(x) = 12x^2 - 12x$.
4. Denetleyelim: $x = 1$ için $f''(1) = 12 - 12 = 0$ ✓ — bu, eğrinin $x = 1$’de bir büküm noktası adayı bulunduğunu gösteriyor ve katsayılar tutarlı.

18. Bir çiftçi 40 metre tel ile dikdörtgen bir alanı çevirecektir. Alanın en büyük olması için kenar uzunlukları kaç metre seçilmelidir?

• A) 5 ve 15
• B) 8 ve 12
• C) 10 ve 10
• D) 4 ve 16
• E) 2 ve 18

Doğru cevap: C — Alan fonksiyonunun türevi sıfırlanarak en büyük değer bulunur.

1. Çevre: 2(x + y) = 40 → y = 20 − x
2. Alan: A(x) = x(20 − x) = 20x − x²
3. A'(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10
4. y = 20 − 10 = 10 → kareye eşit dikdörtgen en büyük alanı verir.

19. Yukarıdaki tanımda pay ile paydanın oranı h sıfıra yaklaşmadan önce neyi ifade eder?

f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) − f(a)] / h

• A) a noktasındaki teğetin eğimini
• B) Fonksiyonun a noktasındaki değerini
• C) Eğrinin altındaki alanı
• D) a ile a+h noktalarını birleştiren kirişin eğimini
• E) Fonksiyonun ikinci türevini

Doğru cevap: D — Limit alınmadan önceki oran, a ile a+h noktalarını birleştiren kesen doğrunun eğimidir.

1. Oranı parça parça okuyalım. Pay $f(a+h) - f(a)$, iki noktadaki fonksiyon değerlerinin farkıdır; grafikte dikey değişimi, yani $\Delta y$’yi verir.
2. Payda $h$ ise apsisler arasındaki farktır, yani yatay değişim $\Delta x$; noktaların apsisleri $a$ ve $a + h$’dir.
3. $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ oranı iki noktadan geçen doğrunun eğimidir. Eğri üzerindeki iki noktayı birleştiren bu doğruya kesen (kiriş) denir ve oran ortalama değişim hızını verir.
4. Denetleyelim: $h \to 0$ alındığında ikinci nokta birinciye yaklaşır, kesen dönerek teğete dönüşür ✓ — limitin teğet eğimi vermesinin nedeni budur.

20. Küresel bir balonun yarıçapı saniyede 2 cm artmaktadır. Yarıçap 5 cm iken balonun hacminin artış hızı kaç cm³/s olur?

• A) 100π
• B) 50π
• C) 25π
• D) 150π
• E) 200π

Doğru cevap: E — Zincir kuralıyla $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}$ olur; r = 5 ve dr/dt = 2 için sonuç $200\pi$ cm³/s’dir.

1. Kürenin hacim bağıntısı $V = \frac{4}{3}\pi r^3$’tür. Hem hacim hem yarıçap zamana bağlı olduğu için iki tarafın $t$’ye göre türevini alacağız.
2. Zincir kuralını uygulayalım: $\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
3. Verilenleri yerine koyalım: $r = 5$ ve $\frac{dr}{dt} = 2$. Buradan $\frac{dV}{dt} = 4\pi \cdot 25 \cdot 2 = 200\pi$ cm³/s.
4. Denetleyelim: $4\pi r^2$ ifadesi kürenin yüzey alanıdır ✓ — hacim, yüzeyin üzerine binen ince kabuk kadar artar, bu yüzden yüzey alanı ile yarıçapın artış hızının çarpımı doğru sonucu veriyor.