Türevin Geometrik Yorumu ve Türev Uygulamaları

1. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

f'(a) = \text{teğetin eğimi}

• A) Fonksiyonun o noktadaki değeri
• B) Fonksiyonun kökü
• C) Grafiğin altında kalan alan
• D) Grafiğe o noktada çizilen teğetin eğimi
• E) Grafiğin uzunluğu

Doğru cevap: D — Türev, değişim oranının limitidir; grafik üzerinde bu, kesenin teğete dönüşmesine karşılık gelir. Bu yüzden $f'(a)$ teğetin eğimini verir.

1. Türev değişim oranının limitidir.
2. Kesen limitte teğete dönüşür.
3. Türev teğetin eğimidir.

2. Tabloda türevin işareti ile fonksiyonun davranışı ilişkilendirilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan ifade hangisidir?

• A) Artan
• B) Azalan
• C) Sabit
• D) Süreksiz
• E) Tanımsız

Doğru cevap: B — Türevin negatif olduğu aralıkta teğetin eğimi negatiftir, bu yüzden fonksiyon azalandır.

1. Tablonun kuralını okuyalım: türevin işareti, grafiğe o noktada çizilen teğetin eğiminin işaretidir.
2. İlk satır: $f'(x) > 0$ → eğim pozitif → soldan sağa giderken grafik yükselir → artan.
3. Boş satır: $f'(x) < 0$ → eğim negatif → soldan sağa giderken grafik alçalır → fonksiyon azalandır.
4. Denetleyelim: $f(x) = -2x$ için $f'(x) = -2 < 0$; $f(0) = 0$, $f(1) = -2$ — $x$ büyüdükçe değer küçülüyor ✓ azalan.

3. Yukarıdaki fonksiyonun artan olduğu aralık hangisidir?

f(x) = x^2 - 4x + 3

• A) $(2, \infty)$
• B) $(-\infty, 2)$
• C) $(-\infty, \infty)$
• D) $(0, 4)$
• E) $(-2, 2)$

Doğru cevap: A — $f'(x) = 2x - 4 > 0$ eşitsizliği $x > 2$ verdiği için fonksiyon $(2, \infty)$ aralığında artandır.

1. Artan aralık, türevin pozitif olduğu aralıktır. Önce türevi alalım: $f'(x) = 2x - 4$.
2. Türevin kökü: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.
3. $x > 2$ için $2x - 4 > 0$, $x < 2$ için $2x - 4 < 0$. Demek ki fonksiyon $2$’nin solunda azalan, sağında artandır.
4. Denetleyelim: $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$, $f(4) = 16 - 16 + 3 = 3$ — $x$ arttıkça değer artıyor ✓ $(2, \infty)$.

4. Kritik noktaların belirlenmesinde izlenen yol sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Fonksiyonun sıfır olduğu noktalar
• B) Tanım kümesinin uçları
• C) Fonksiyonun en büyük olduğu noktalar
• D) Grafiğin kesiştiği noktalar
• E) Türevin sıfır olduğu ya da tanımsız olduğu noktalar

Doğru cevap: E — Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu ya da tanımsız olduğu noktalardır; yerel uç değerler ancak bu noktalarda aranır.

1. Soru, uç değer adaylarının nasıl bulunduğunu soruyor; bunun ölçütü fonksiyonun değeri değil, türevidir.
2. Teğetin yatay olduğu yerde eğim sıfırdır: $f'(x) = 0$. Tepe ve çukurların çoğu böyle noktalardır.
3. Grafikte sivri uç varsa teğet çizilemez, türev tanımsızdır: $f(x) = |x|$ fonksiyonunun $x = 0$’daki en küçük değeri buna örnektir.
4. Denetleyelim: $f(x) = x^2$ için $f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0$; gerçekten de parabolün en küçük değeri $x = 0$’dadır ✓.

5. Tabloda türevin işaret değişimine göre nokta türleri verilmiş, biri boş bırakılmıştır. Tabloda eksik kalan ifade hangisidir?

• A) Yerel maksimum
• B) Büküm noktası
• C) Yerel minimum
• D) Süreksizlik
• E) Kök

Doğru cevap: C — Türev negatiften pozitife geçiyorsa fonksiyon önce azalıp sonra artar; bu nokta yerel minimumdur.

1. Tablonun ilk satırı kuralı veriyor: + → − geçişinde fonksiyon önce artıp sonra azalır, tepe oluşur (yerel maksimum).
2. Boş satırda geçiş tersine: − → +. Türev negatifken fonksiyon azalıyor, pozitife dönünce artmaya başlıyor.
3. Önce inen sonra çıkan bir grafikte o noktada çukur oluşur: yerel minimum.
4. Denetleyelim: $f(x) = x^2$ için $x < 0$’da $f'(x) = 2x < 0$, $x > 0$’da $f'(x) > 0$; $x = 0$’daki $f(0) = 0$ en küçük değerdir ✓.

6. Yukarıdaki fonksiyonun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?

f(x) = x^3 - 3x

• A) 0
• B) $-1$
• C) 1
• D) 2
• E) 3

Doğru cevap: B — $f'(x) = 3x^2 - 3$ türevi $x = -1$’de pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimumun apsisi $-1$’dir.

1. Türevi alalım: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$.
2. Kritik noktalar: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1$ ya da $x = 1$.
3. İşaret tablosu: $x < -1$’de $f'(-2) = 9 > 0$, $-1 < x < 1$’de $f'(0) = -3 < 0$, $x > 1$’de $f'(2) = 9 > 0$. Yani $x = -1$’de + → −, $x = 1$’de − → +.
4. + → − geçişi yerel maksimumdur: $x = -1$, değeri $f(-1) = -1 + 3 = 2$.
5. Denetleyelim: $f(-2) = -8 + 6 = -2$, $f(-1) = 2$, $f(0) = 0$ — $-1$ komşularından büyük ✓.

7. Yerel maksimum ile mutlak maksimum arasındaki fark sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Fark bulunmaması
• B) İkisinin de türevle bulunamaması
• C) Yerel maksimumun daha büyük olması
• D) Mutlak maksimumun her zaman bulunması
• E) Yerel maksimumun yalnız yakın çevresinde, mutlak maksimumun ise tanım kümesinin tamamında en büyük değer olması

Doğru cevap: E — Yerel maksimum yalnız yakın çevresindeki değerlerin en büyüğüdür; mutlak maksimum ise tanım kümesinin tamamındaki en büyük değerdir.

1. İki kavramın farkı, karşılaştırmanın hangi kümede yapıldığındadır.
2. Yerel maksimum: noktanın küçük bir komşuluğundaki bütün değerlerden büyük ya da eşit olan değer. Bir fonksiyonun birden çok yerel maksimumu olabilir.
3. Mutlak maksimum: tanım kümesindeki bütün değerlerden büyük ya da eşit olan değer; varsa tektir.
4. Örnek: $f(x) = x^3 - 3x$, $[-2, 3]$ aralığında $x = -1$’de yerel maksimum $2$’dir; ama $f(3) = 27 - 9 = 18$ daha büyüktür, mutlak maksimum $18$ olur.
5. Denetleyelim: yerel maksimum $2$ < mutlak maksimum $18$ ✓ — yerel olan her zaman mutlak değildir.

8. Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun mutlak uç değerleri nasıl bulunur?

• A) Yalnız türevin köklerine bakmak
• B) Yalnız uçlara bakmak
• C) Kritik noktalardaki ve aralığın iki ucundaki değerleri hesaplayıp en büyük ile en küçüğünü seçmek
• D) Yalnız grafiğe bakmak
• E) Yolun bulunmaması

Doğru cevap: C — Kapalı aralıkta sürekli fonksiyonun mutlak uç değerleri, kritik noktalardaki ve iki uçtaki değerler karşılaştırılarak bulunur.

1. Kapalı aralıkta sürekli bir fonksiyon en büyük ve en küçük değerini mutlaka alır; aday noktalar kritik noktalar ve aralığın iki ucudur.
2. Örnek: $f(x) = x^2 - 2x$, $[0, 3]$. $f'(x) = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
3. Değerler: $f(0) = 0$, $f(1) = -1$, $f(3) = 9 - 6 = 3$.
4. En küçük $-1$ ($x = 1$’de), en büyük $3$ ($x = 3$ ucunda).
5. Denetleyelim: en büyük değer bir uçta çıktı; yalnız kritik noktaya bakılsaydı $3$ kaçırılırdı ✓.

9. Grafikte bir fonksiyonun grafiği verilmiştir. Grafiğe göre türevin işareti hakkında ne söylenir?

• A) Başlangıçta pozitif, tepe bölgesinden sonra negatiftir
• B) Her yerde pozitiftir
• C) Her yerde negatiftir
• D) Her yerde sıfırdır
• E) Belirlenemez

Doğru cevap: A — Grafik önce yükselip tepe bölgesinden sonra alçaldığı için türev başta pozitif, tepeden sonra negatiftir.

1. Türevin işareti grafiğin yönünden okunur: yükselen parçada teğetin eğimi pozitif, alçalan parçada negatiftir.
2. Grafiğin ilk bölümü soldan sağa yükseliyor → bu aralıkta $f'(x) > 0$.
3. Tepe bölgesinde teğet yataylaşıyor → orada $f'(x) = 0$.
4. Tepeden sonra grafik alçalıyor → $f'(x) < 0$.
5. Denetleyelim: + → − geçişi tepe (yerel maksimum) demektir; grafikteki tepe noktasıyla uyuşuyor ✓.

10. $f(x) = x^2$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

y - f(a) = f'(a)(x - a)

• A) 2
• B) 3
• C) 6
• D) 4
• E) 8

Doğru cevap: D — $f(x) = x^2$ için $f'(x) = 2x$ olduğundan $x = 2$’deki teğetin eğimi $f'(2) = 4$’tür.

1. Verilen teğet denklemi $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ bize eğimin $f'(a)$ olduğunu söylüyor.
2. Türev: $f'(x) = 2x$.
3. $a = 2$: $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
4. Teğet denklemi: $f(2) = 4$ olduğundan $y - 4 = 4(x - 2) \Rightarrow y = 4x - 4$.
5. Denetleyelim: $x = 2$’de $y = 8 - 4 = 4 = f(2)$ ✓ — doğru $(2, 4)$ noktasından geçiyor ve eğimi $4$.

11. Konumu $x(t) = t^2 - 4t + 5$ ile verilen bir cismin $t = 3$ anındaki hızı kaçtır?

v(t) = x'(t)

• A) 2
• B) 0
• C) $-2$
• D) 4
• E) 6

Doğru cevap: A — Hız konumun türevidir: $v(t) = 2t - 4$ olduğundan $v(3) = 2$’dir.

1. Hız, konumun zamana göre anlık değişim oranıdır: $v(t) = x'(t)$.
2. Türev: $x(t) = t^2 - 4t + 5 \Rightarrow v(t) = 2t - 4$.
3. $t = 3$: $v(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$.
4. Denetleyelim: $x(3) = 9 - 12 + 5 = 2$, $x(3{,}1) = 9{,}61 - 12{,}4 + 5 = 2{,}21$; ortalama hız $0{,}21 / 0{,}1 = 2{,}1 \approx 2$ ✓.

12. Yukarıda anlatılan durumda en büyük alan kaç m² olur?

• A) 64
• B) 80
• C) 100
• D) 96
• E) 120

Doğru cevap: C — Çevresi 40 m olan dikdörtgenin alanı $A = x(20 - x)$ olup $x = 10$’da en büyük değeri $100$ m² alır.

1. Kısıt: $2(x + y) = 40 \Rightarrow x + y = 20 \Rightarrow y = 20 - x$.
2. Alanı tek değişkene indirelim: $A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$.
3. Türev: $A'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$; $A''(x) = -2 < 0$ olduğu için bu nokta maksimumdur.
4. Kenarlar $10$ ve $20 - 10 = 10$; alan $10 \cdot 10 = 100$ m².
5. Denetleyelim: çevre $2(10 + 10) = 40$ ✓; komşu bir seçim $x = 9$ için alan $9 \cdot 11 = 99 < 100$ ✓.

13. Maksimum-minimum problemlerinin çözümünde izlenen adımlar sorulmaktadır. Doğru sıra hangisidir?

• A) Doğrudan türev almak
• B) Yalnız grafik çizmek
• C) Yalnız denklem yazmak
• D) Değişkenleri tanımlamak, kısıtı kullanarak tek değişkenli bir bağıntı kurmak, türev alıp kritik noktaları bulmak ve sonucu yorumlamak
• E) Tahminde bulunmak

Doğru cevap: D — Maksimum-minimum probleminde değişkenler tanımlanır, kısıtla tek değişkenli bağıntı kurulur, türevle kritik nokta bulunur ve sonuç yorumlanır.

1. Önce neyin en büyük ya da en küçük olacağı ve hangi büyüklüklerin değiştiği belirlenir: değişkenler tanımlanır.
2. Kısıt (çevre, hacim, maliyet) kullanılarak değişkenlerden biri ötekiyle yazılır; amaç fonksiyonu tek değişkene iner. Örnek: $x + y = 20 \Rightarrow A = x(20 - x)$.
3. Türev alınıp sıfıra eşitlenir, kritik nokta bulunur: $A' = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$.
4. Sonuç yorumlanır: kritik noktanın maksimum mu minimum mu olduğu ve problemin koşullarına uyup uymadığı (uzunluk negatif olamaz) kontrol edilir.
5. Denetleyelim: bu sıra 40 m çevreli dikdörtgende $100$ m² sonucunu veriyor ve $x = 10$ geçerli bir kenar ✓.

14. Bir üretim maliyetini $C(x)$ ile veren fonksiyonun türevinin ekonomik anlamı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Toplam maliyet
• B) Üretim bir birim artırıldığında maliyetteki yaklaşık değişim (marjinal maliyet)
• C) Ortalama maliyet
• D) Kâr
• E) Satış fiyatı

Doğru cevap: B — Maliyet fonksiyonunun türevi $C'(x)$, üretim bir birim artınca maliyetteki yaklaşık değişimi, yani marjinal maliyeti verir.

1. Türev bir büyüklüğün anlık değişim oranıdır; burada değişken üretim miktarı $x$, değişen büyüklük maliyet $C$’dir.
2. Bir birimlik artışta maliyet farkı $C(x + 1) - C(x) \approx C'(x) \cdot 1$ olur.
3. Örnek: $C(x) = x^2 + 10x$ ise $C'(x) = 2x + 10$; $x = 20$’de $C'(20) = 50$.
4. Gerçek fark: $C(21) - C(20) = (441 + 210) - (400 + 200) = 651 - 600 = 51$.
5. Denetleyelim: $51 \approx 50$ ✓ — türev, bir birimlik ek üretimin maliyetini yaklaşık olarak veriyor.

15. İkinci türevin grafik çizimindeki işlevi sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

f''(x) > 0 \Rightarrow \text{grafik yukarı içbükey}

• A) Kökleri vermesi
• B) İşlevinin bulunmaması
• C) Eğimi vermesi
• D) Alanı vermesi
• E) Grafiğin içbükeylik yönünü ve büküm noktalarını belirlemesi

Doğru cevap: E — İkinci türev grafiğin içbükeylik yönünü verir; işaret değiştirdiği noktalar büküm noktalarıdır.

1. Birinci türev grafiğin yönünü (artan-azalan), ikinci türev ise eğimin nasıl değiştiğini, yani kıvrımı verir.
2. $f''(x) > 0$ ise eğim artıyor, grafik yukarı içbükeydir (kâse gibi); $f''(x) < 0$ ise aşağı içbükeydir.
3. $f''$ işaret değiştirdiği noktada kıvrım yön değiştirir; bu nokta büküm noktasıdır.
4. Örnek: $f(x) = x^3$ için $f''(x) = 6x$; $x < 0$’da negatif, $x > 0$’da pozitif, büküm noktası $x = 0$.
5. Denetleyelim: $x^3$ grafiği $0$’ın solunda aşağı, sağında yukarı kıvrılır ✓.

16. Türev yardımıyla bir polinom fonksiyonun grafiği nasıl çizilir?

• A) Yalnız birkaç nokta işaretlemek
• B) Yalnız türev almak
• C) Kökleri ve eksen kesişimlerini bulmak, türevin işaretiyle artan-azalan aralıkları ve uç noktaları belirlemek, sonra grafiği çizmek
• D) Yalnız tablo yapmak
• E) Tahminde bulunmak

Doğru cevap: C — Polinom grafiği; kökler ve eksen kesişimleri bulunup türevin işaretiyle artan-azalan aralıklar ve uç noktalar belirlendikten sonra çizilir.

1. Eksen kesişimleri: $x = 0$ için $y$ kesişimi, $f(x) = 0$ için kökler bulunur.
2. Türevin işaret tablosu yapılır; artan-azalan aralıklar ve yerel uç noktalar belirlenir.
3. Örnek: $f(x) = x^3 - 3x$. Kökler $x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow 0, \pm\sqrt{3}$; $f'(x) = 3x^2 - 3$, yerel maksimum $(-1, 2)$, yerel minimum $(1, -2)$.
4. Bu noktalar işaretlenip türev tablosundaki yönlere uyularak eğri çizilir.
5. Denetleyelim: $f(2) = 8 - 6 = 2 > 0$; tablo $x > 1$’de artan diyor ve grafik $\sqrt{3}$’te sıfırdan geçip yükseliyor ✓.

17. Tabloda bir fonksiyonun türevinin işareti verilmiştir. Bu fonksiyonun uç noktaları hakkında ne söylenir?

• A) Uç nokta yoktur
• B) İkisi de minimumdur
• C) $x=1$’de yerel maksimum vardır
• D) $x=1$’de yerel minimum, $x=4$’te yerel maksimum vardır
• E) İkisi de maksimumdur

Doğru cevap: D — Türev $x = 1$’de − → +, $x = 4$’te + → − geçtiği için $x = 1$’de yerel minimum, $x = 4$’te yerel maksimum vardır.

1. Kural: − → + geçişi çukur (yerel minimum), + → − geçişi tepe (yerel maksimum) verir.
2. $x = 1$: solda negatif, sağda pozitif → fonksiyon önce azalıp sonra artıyor → yerel minimum.
3. $x = 4$: solda pozitif, sağda negatif → fonksiyon önce artıp sonra azalıyor → yerel maksimum.
4. Denetleyelim: bu tabloya uyan bir örnek $f'(x) = -(x - 1)(x - 4)$; $f'(0) = -4 < 0$, $f'(2) = 2 > 0$, $f'(5) = -4 < 0$ ✓.

18. Sabit hacimli bir kutunun yüzey alanının en küçük olduğu boyutların aranmasının uygulamadaki karşılığı sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Karşılığının bulunmaması
• B) Maliyeti artırmak
• C) Hacmi büyütmek
• D) Kutuyu ağırlaştırmak
• E) Aynı hacmi en az malzemeyle üretmek; ambalaj maliyetini düşürmek

Doğru cevap: E — Sabit hacimde yüzey alanını en küçük yapmak, aynı hacmi en az malzemeyle üretmek ve ambalaj maliyetini düşürmek demektir.

1. Kutunun yüzey alanı, onu yapmak için gereken malzeme (karton, sac) miktarıdır.
2. Hacim sabit tutulduğu için kutunun alacağı ürün miktarı değişmez.
3. Örnek: 8 birim küp hacimli kare tabanlı kapalı kutuda $2 \times 2 \times 2$ boyutları yüzey alanını $6 \cdot 4 = 24$ yapar; $1 \times 1 \times 8$ ise $2 \cdot 1 + 4 \cdot 8 = 34$ gerektirir.
4. Denetleyelim: iki kutunun hacmi de $8$ ✓, küp biçimli olan $10$ birim kare daha az malzeme kullanıyor ✓.

19. Kapalı aralıkta mutlak maksimum aranırken yalnız kritik noktalara bakmanın yol açtığı hata sorulmaktadır. Doğru açıklama hangisidir?

• A) Aralığın uçlarındaki değerlerin gözden kaçması; en büyük değerin bir uçta bulunabilmesi
• B) Hata oluşmaması
• C) Türevin yanlış olması
• D) Kritik noktaların artması
• E) Fonksiyonun süreksizleşmesi

Doğru cevap: A — Yalnız kritik noktalara bakılırsa aralığın uçları gözden kaçar; oysa en büyük değer bir uçta bulunabilir.

1. Kapalı aralıkta mutlak maksimumun adayları iki gruptur: kritik noktalar ve aralığın uçları.
2. Örnek: $f(x) = x^2$, $[-1, 3]$. Kritik nokta $f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0$, $f(0) = 0$.
3. Uçlar: $f(-1) = 1$, $f(3) = 9$. Mutlak maksimum $9$, $x = 3$ ucundadır.
4. Yalnız kritik noktaya bakılsaydı en büyük değer $0$ sanılırdı; oysa $0$ bu aralıkta en KÜÇÜK değerdir.
5. Denetleyelim: $9 > 1 > 0$ ✓ — doğru cevap uçların hesaba katılmasıyla bulundu.

20. Türev teğetin eğimini verir; işareti artan-azalan aralıkları, işaret değişimi ise uç noktaları belirler. Bu bilgiye dayanarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez?

• A) Türevin pozitif olduğu aralıkta fonksiyon artandır.
• B) Türevin sıfır olduğu her noktada mutlaka yerel uç değer bulunur.
• C) İkinci türev içbükeylik yönünü verir.
• D) Kapalı aralıkta uçlar da incelenmelidir.
• E) Kritik noktalar türevin sıfır ya da tanımsız olduğu noktalardır.

Doğru cevap: B — Türevin sıfır olması uç değer için yeterli değildir; $f(x) = x^3$ fonksiyonunda $f'(0) = 0$ olduğu hâlde uç değer yoktur.

1. Söylenemeyecek yargıyı arıyoruz; her yargıyı verilen bilgiyle karşılaştıralım.
2. Pozitif türev → artan; ikinci türev → içbükeylik; kapalı aralıkta uçlar; kritik nokta tanımı: bunların hepsi doğrudur.
3. "Türevin sıfır olduğu her noktada mutlaka yerel uç değer vardır" yargısını sınayalım: $f(x) = x^3$ için $f'(x) = 3x^2$, $f'(0) = 0$.
4. Ama $x < 0$’da da $x > 0$’da da $3x^2 > 0$; türev işaret değiştirmiyor, fonksiyon hep artıyor; $x = 0$ uç nokta değildir.
5. Denetleyelim: $f(-1) = -1 < f(0) = 0 < f(1) = 1$ ✓ — $0$ ne tepe ne çukur; yargı söylenemez.