Dönüşüm Geometrisi

1. Koordinat düzlemindeki ABC üçgeni 3 birim sola ve 2 birim yukarı ötelenmektedir. A(1, 1) köşesinin öteleme sonundaki görüntüsü hangisidir?

• A) (4, 3)
• B) (−2, −1)
• C) (−2, 3)
• D) (1, 3)

Doğru cevap: C — Sola öteleme apsisi azaltır, yukarı öteleme ordinatı artırır: (1 − 3, 1 + 2) = (−2, 3).

1. Sola 3 birim öteleme apsisten 3 çıkarmaktır: 1 − 3 = −2.
2. Yukarı 2 birim öteleme ordinata 2 eklemektir: 1 + 2 = 3.
3. Yeni koordinatlar (−2, 3) olur.
4. Aynı işlem B ve C köşelerine de uygulanır.

2. P(2, 3) noktası önce x eksenine göre yansıtılıyor, sonra elde edilen nokta 4 birim sola ötelenmektedir. Bu iki işlemin sonunda hangi nokta elde edilir?

• A) (−2, −3)
• B) (−2, 3)
• C) (2, −3)
• D) (6, −3)

Doğru cevap: A — Önce (2, 3) → (2, −3) olur, sonra 4 birim sola ötelenince (−2, −3) elde edilir.

1. x eksenine göre yansımada ordinatın işareti değişir: (2, 3) → (2, −3).
2. 4 birim sola öteleme apsisten 4 çıkarır.
3. 2 − 4 = −2 hesaplanır.
4. Sonuç (−2, −3) noktasıdır.

3. Koordinat düzlemindeki A(3, 2) noktası orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürülüyor. Bu dönme sonunda oluşan görüntü hangisidir?

• A) (2, −3)
• B) (3, −2)
• C) (−3, −2)
• D) (−2, 3)

Doğru cevap: D — Saat yönünün tersine 90° dönmede (x, y) → (−y, x) olur: (3, 2) → (−2, 3).

1. Saat yönünün tersine 90° dönme kuralı (x, y) → (−y, x) biçimindedir.
2. Yeni apsis, eski ordinatın ters işaretlisidir: −2.
3. Yeni ordinat, eski apsistir: 3.
4. Görüntü (−2, 3) noktasıdır.

4. Şekilde A(−3, 2) noktası bir öteleme ile A'(1, −1) noktasına taşınmıştır. Bu şekle uygulanan öteleme aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 3 birim sağa, 4 birim aşağı
• B) 4 birim sağa, 3 birim aşağı
• C) 4 birim sola, 3 birim yukarı
• D) 3 birim sola, 4 birim yukarı

Doğru cevap: B — Apsis −3'ten 1'e 4 birim artmış (sağa), ordinat 2'den −1'e 3 birim azalmıştır (aşağı).

1. Apsisteki değişim 1 − (−3) = 4 birimdir.
2. Değişim pozitif olduğundan hareket sağa doğrudur.
3. Ordinattaki değişim −1 − 2 = −3 birimdir.
4. Değişim negatif olduğundan hareket aşağı doğrudur.

5. P(4, 1) noktası önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıtılıyor. Elde edilen nokta ve bu iki işlemin birlikte karşılığı hangi seçenekte doğru verilmiştir?

• A) (−4, −1); orijin etrafında 180° dönme
• B) (−4, 1); yalnızca y eksenine göre yansıma
• C) (4, −1); yalnızca x eksenine göre yansıma
• D) (1, −4); orijin etrafında 90° dönme

Doğru cevap: A — İki yansıma sonunda (4, 1) → (4, −1) → (−4, −1) olur; bu, orijin etrafında 180° dönmeyle aynı sonucu verir.

1. x eksenine göre yansıma: (4, 1) → (4, −1).
2. y eksenine göre yansıma: (4, −1) → (−4, −1).
3. Sonuçta her iki koordinatın da işareti değişmiştir.
4. İşaretlerin ikisinin de değişmesi orijin etrafında 180° dönme demektir.

6. Şekilde bir düzgün altıgen ve üzerindeki bazı kesikli doğrular çizilmiştir. Düzgün altıgenin toplam kaç simetri ekseni vardır?

• A) 2
• B) 4
• C) 6
• D) 8

Doğru cevap: C — Düzgün çokgenin kenar sayısı kadar simetri ekseni vardır; altıgende 3'ü köşegen, 3'ü karşılıklı kenar ortalarından geçen 6 eksen bulunur.

1. Karşılıklı köşeleri birleştiren 3 doğru simetri eksenidir.
2. Karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren 3 doğru daha vardır.
3. 3 + 3 = 6 eksen elde edilir.
4. Genel kural: düzgün n kenarlı çokgenin n simetri ekseni vardır.

7. Bir duvar, şekildeki motifin yan yana ve alt alta tekrarıyla kaplanmıştır. Motif her sırada bir sağa kayarken bir de sağ-sol ters çevrilmiştir. Bu desende hangi dönüşümler birlikte kullanılmıştır?

• A) Yalnız öteleme
• B) Öteleme ve yansıma
• C) Yalnız dönme
• D) Yalnız yansıma

Doğru cevap: B — Motifin yana kayması öteleme, sağ-sol ters çevrilmesi yansımadır; desende ikisi birlikte kullanılmıştır.

1. Desendeki iki ayrı hareketi ayıralım.
2. Birincisi: motif her sırada bir sağa kayıyor, aralıklar eşit. Aynı doğrultuda eşit kayma ÖTELEMEDİR.
3. İkincisi: motif sağ-sol ters çevriliyor. Yönelimi tersine çeviren tek dönüşüm YANSIMADIR.
4. Denetleyelim: yalnız öteleme olsaydı bütün motifler aynı yöne bakardı ✓ — yön değişimi ikinci bir dönüşüm gerektiriyor.

8. Şekilde A(0, 3) noktası orijin etrafında döndürülerek A'(0, −3) noktasına taşınmıştır. Uygulanan dönme aşağıdakilerden hangisidir?

• A) Saat yönünde 90° dönme
• B) Saat yönünün tersine 90° dönme
• C) Saat yönünün tersine 270° dönme
• D) 180° dönme

Doğru cevap: D — Nokta y ekseninin pozitif tarafından negatif tarafına, orijinin tam karşısına geçmiştir; bu 180° dönmedir.

1. A noktası orijine 3 birim uzaklıktadır ve görüntüsü de 3 birim uzaklıktadır.
2. Görüntü, orijine göre A'nın tam karşısındadır.
3. 90° dönmede nokta x ekseni üzerine gelirdi.
4. Tam karşıya geçiş 180° dönmedir.

9. Koordinat düzleminde köşeleri (1, 1), (5, 1), (5, 4) ve (1, 4) olan dikdörtgen x eksenine göre yansıtılıyor. Oluşan görüntünün alanı kaç birimkaredir?

• A) 12 birimkare
• B) 24 birimkare
• C) 6 birimkare
• D) Alan hesaplanamaz.

Doğru cevap: A — Yansıma eşlik dönüşümüdür; alan değişmez: 4 × 3 = 12 birimkare.

1. Dikdörtgenin yatay kenarı 5 − 1 = 4 birimdir.
2. Düşey kenarı 4 − 1 = 3 birimdir.
3. Alanı 4 × 3 = 12 birimkaredir.
4. Yansımada şekil ile görüntüsü eş olduğundan alan aynı kalır.

10. Koordinat düzleminde 2. bölgede bulunan K(−3, 4) noktası x eksenine göre yansıtılıyor. Oluşan görüntü hangi bölgede yer alır?

• A) 1. bölge
• B) 2. bölge
• C) 3. bölge
• D) 4. bölge

Doğru cevap: C — K(−3, 4) noktasının x eksenine göre görüntüsü (−3, −4)’tür; iki koordinat da negatif olduğu için 3. bölgededir.

1. Önce görüntüyü bulalım. x eksenine göre yansımada apsis korunur, ordinat işaret değiştirir: (−3, 4) → (−3, −4).
2. Şimdi bölgeyi belirleyelim. Bölgeler koordinatların işaretine göre adlandırılır.
3. 1. bölge (+, +), 2. bölge (−, +), 3. bölge (−, −), 4. bölge (+, −). Görüntümüz (−, −), yani 3. bölge.
4. Denetleyelim: nokta 2. bölgedeydi ✓ — x ekseni yansıması onu yatay eksenin altına, 3. bölgeye taşıdı.

11. Şekilde merkezi işaretlenmiş bir düzgün beşgen ve dönme yönü verilmiştir. Bu beşgenin kendisiyle çakışması için merkezi etrafında en az kaç derecelik dönme uygulanmalıdır?

• A) 36°
• B) 45°
• C) 60°
• D) 72°

Doğru cevap: D — Düzgün beşgen 5 eş parçadan oluşur; kendisiyle çakışması için 360° ÷ 5 = 72° dönmelidir.

1. Merkez etrafındaki tam dönme 360°’dir.
2. Düzgün beşgenin 5 kenarı ve 5 köşesi birbirinin tıpatıp aynısıdır; şekil merkez etrafında 5 eş dilime bölünmüş gibidir.
3. Bir kenarın yerine bir sonrakinin gelmesi için 360° ÷ 5 = 72° dönmek gerekir.
4. Denetleyelim: 72°’nin katlarında da çakışır (144°, 216°…) ✓ ama soru EN AZ dönmeyi istediği için yanıt 72°.

12. Kumsalda yürüyen bir kişinin ayak izleri şekildeki gibidir: izler hem ileri doğru eşit aralıklarla kaymış hem de sağ-sol biçiminde değişmiştir. Bu izlerin oluşumunda hangi dönüşümler birlikte görülür?

• A) Yalnız dönme
• B) Öteleme ile yansıma
• C) Yalnız öteleme
• D) Dönme ile büyütme

Doğru cevap: B — Eşit aralıklı ilerleme öteleme, sağ ayak-sol ayak değişimi yansımadır; ikisi birlikte görülür.

1. İzlerdeki iki özelliği ayıralım.
2. Birincisi: izler ileri doğru eşit aralıklarla kaymış. Aynı yönde eşit kayma ÖTELEMEDİR.
3. İkincisi: izler sağ-sol biçiminde değişiyor. Sağ ayak izi ile sol ayak izi birbirinin ayna görüntüsüdür — bu YANSIMADIR.
4. Denetleyelim: yalnız öteleme olsaydı bütün izler aynı ayağa ait görünürdü ✓.

13. Koordinat düzlemindeki B(−2, −5) noktası orijin etrafında 180° döndürülüyor. Döndürme sonucunda hangi nokta elde edilir?

• A) (2, 5)
• B) (−5, −2)
• C) (5, 2)
• D) (−2, 5)

Doğru cevap: A — 180° dönmede her iki koordinatın işareti değişir: (−2, −5) → (2, 5).

1. 180° dönme yarım turdur; nokta orijinin tam karşı tarafına geçer.
2. Kuralı uygulayalım: (x, y) → (−x, −y).
3. Apsis: −2 → 2. Ordinat: −5 → 5. Görüntü (2, 5).
4. Denetleyelim: B noktası 3. bölgedeydi ✓ — 180° dönünce karşısı olan 1. bölgeye geçti ve orijin ikisinin tam ortasında kaldı.

14. Şekilde PQR üçgeni ile görüntüsü verilmiştir; görüntüde köşelerin sırası ters yönde okunmaktadır. Şeklin yönelimini ters çeviren dönüşüm hangisidir?

• A) Öteleme
• B) 180° dönme
• C) 90° dönme
• D) Yansıma

Doğru cevap: D — Öteleme ve dönme şeklin yönelimini korur; köşelerin okunma yönünü tersine çeviren tek dönüşüm yansımadır.

1. Soruda ayırt edici ipucu şu: görüntüde köşelerin sırası TERS yönde okunuyor.
2. Ötelemede şekil kayar ama yönelimi aynı kalır; köşeler yine aynı yönde okunur.
3. Dönmede şekil bir merkez etrafında çevrilir; duruş açısı değişir ama okuma yönü yine korunur.
4. Denetleyelim: yansımada şekil aynadaki gibi ters çevrilir ✓ — köşe sırasını tersine çeviren tek dönüşüm budur.

15. Bir oyun robotu R(2, 1) noktasından başlayarak önce 3 birim sağa ve 4 birim yukarı hareket ediyor, sonra bulunduğu nokta x eksenine göre yansıtılıyor. Robotun son konumu hangisidir?

• A) (5, 5)
• B) (−5, 5)
• C) (5, −5)
• D) (−5, −5)

Doğru cevap: C — Önce (2 + 3, 1 + 4) = (5, 5) bulunur; x eksenine göre yansıma ile (5, −5) elde edilir.

1. 3 birim sağa hareket apsise 3 ekler: 2 + 3 = 5.
2. 4 birim yukarı hareket ordinata 4 ekler: 1 + 4 = 5.
3. Ara konum (5, 5) noktasıdır.
4. x eksenine göre yansımada ordinatın işareti değişir: (5, −5).