Dönüşüm Geometrisi

1. Bir noktanın x eksenine göre yansıması A'(−4, 6) noktasıdır. Yansıtılan asıl nokta hangisidir?

• A) (4, 6)
• B) (−4, −6)
• C) (4, −6)
• D) (6, −4)

Doğru cevap: B — x eksenine göre yansımada ordinatın işareti değişir; işlemi geri almak için yine ordinatın işareti değiştirilir: (−4, −6).

1. x eksenine göre yansımada apsis değişmez.
2. Görüntünün apsisi −4 olduğundan asıl noktanın apsisi de −4'tür.
3. Ordinatın işareti değiştiği için 6 yerine −6 olmalıdır.
4. Asıl nokta (−4, −6) noktasıdır.

2. P(1, −3) noktası önce orijin etrafında saat yönünde 90° döndürülüyor, sonra 2 birim yukarı ötelenmektedir. İki işlem sonunda elde edilen nokta hangisidir?

• A) (3, 1)
• B) (−1, 1)
• C) (3, −1)
• D) (−3, 1)

Doğru cevap: D — Saat yönünde 90° dönme (x, y) → (y, −x) verir: (1, −3) → (−3, −1); 2 birim yukarı ötelenince (−3, 1) olur.

1. Saat yönünde 90° dönme kuralı (x, y) → (y, −x) biçimindedir.
2. (1, −3) noktası (−3, −1) noktasına gider.
3. 2 birim yukarı öteleme ordinata 2 ekler: −1 + 2 = 1.
4. Son konum (−3, 1) olur.

3. Bir öğrenci A(5, −2) noktasının y eksenine göre yansımasını tabloda görüldüğü gibi bulmuştur. Bu çözüm için ne söylenmelidir?

• A) 3. adım yanlıştır; y eksenine göre yansımada kural (x, y) → (−x, y) olmalıydı.
• B) 1. adım yanlıştır; noktanın koordinatları ters yazılmıştır.
• C) 2. adım yanlıştır; y ekseni yansıma ekseni olamaz.
• D) Çözümün tamamı doğrudur, hata yoktur.

Doğru cevap: A — y eksenine göre yansımada apsisin işareti değişir; doğru görüntü (−5, −2) noktasıdır.

1. y ekseni düşey eksendir ve noktayı sağ-sol yönde çevirir.
2. Bu nedenle değişmesi gereken koordinat apsistir.
3. Doğru kural (x, y) → (−x, y) biçimindedir.
4. Buna göre görüntü (−5, −2) olur, öğrenci (5, 2) yazarak hata yapmıştır.

4. Şekilde bir üçgene sırasıyla öteleme, yansıma ve dönme uygulanarak son görüntü elde edilmiştir. Bu üç dönüşümün sonunda kesinlikle doğru olan ifade hangisidir?

• A) Son görüntünün alanı asıl şeklin alanından büyüktür.
• B) Son görüntüde açı ölçüleri değişmiştir.
• C) Asıl şekil ile son görüntü birbirine eştir.
• D) Son görüntünün çevresi asıl şeklin yarısıdır.

Doğru cevap: C — Öteleme, yansıma ve dönme uzunlukları ve açıları korur; art arda uygulansalar da şekil ile son görüntü eş kalır.

1. Öteleme şekli kaydırır, ölçüleri değiştirmez.
2. Yansıma şekli ters çevirir, ölçüleri değiştirmez.
3. Dönme şekli döndürür, ölçüleri yine değiştirmez.
4. Üçü de eşlik dönüşümü olduğundan son görüntü asıl şekle eştir.

5. Bir kare, köşesindeki işaretle birlikte her adımda merkezi etrafında saat yönünde 90° döndürülerek bir örüntü oluşturuluyor. 2026. adımda karenin işareti başlangıca göre kaç derece dönmüş olur?

• A) 0°
• B) 90°
• C) 270°
• D) 180°

Doğru cevap: D — Dört adımda bir başlangıç konumuna dönülür; 2026 sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olduğu için 2 × 90° = 180° dönmüştür.

1. Her 4 adımda kare 360° dönerek başlangıç konumuna gelir.
2. 2026 sayısı 4'e bölündüğünde bölüm 506, kalan 2'dir.
3. Tam turlar konumu değiştirmez, kalan 2 adım etkilidir.
4. 2 × 90° = 180° dönme olur.

6. Şekilde bir düzgün çokgen ve simetri eksenleri kesikli çizgilerle gösterilmiştir. Bu çokgenin 9 simetri ekseni olduğuna göre kenar sayısı kaçtır?

• A) 9
• B) 12
• C) 18
• D) 6

Doğru cevap: A — Düzgün çokgenlerde simetri ekseni sayısı kenar sayısına eşittir; 9 eksen 9 kenar demektir.

1. Düzgün çokgende her köşeden bir simetri ekseni geçer.
2. Tek kenarlı düzgün çokgenlerde eksenler köşe ile karşı kenar ortasını birleştirir.
3. Eksen sayısı her zaman kenar sayısına eşittir.
4. 9 simetri ekseni olduğuna göre kenar sayısı da 9'dur.

7. Bir öteleme A(2, −1) noktasını A'(−1, 3) noktasına taşımaktadır. Aynı öteleme uygulandığında B(5, 0) noktası hangi noktaya gider?

• A) (2, −4)
• B) (8, 4)
• C) (2, 4)
• D) (−2, 4)

Doğru cevap: C — Öteleme 3 birim sola ve 4 birim yukarıdır: B(5, 0) → (5 − 3, 0 + 4) = (2, 4).

1. Apsisteki değişim −1 − 2 = −3, yani 3 birim soladır.
2. Ordinattaki değişim 3 − (−1) = 4, yani 4 birim yukarıdır.
3. Aynı öteleme B noktasına uygulanır: 5 − 3 = 2 ve 0 + 4 = 4.
4. B noktasının görüntüsü (2, 4) olur.

8. Bir yansıma A(3, 2) noktasını A'(3, −4) noktasına taşımaktadır. Bu yansımanın simetri ekseni aşağıdakilerden hangisidir?

• A) x = 3 doğrusu
• B) y = −1 doğrusu
• C) y = 3 doğrusu
• D) x = −1 doğrusu

Doğru cevap: B — Simetri ekseni, nokta ile görüntüsünün tam ortasından geçer: (2 + (−4)) : 2 = −1, yani y = −1 doğrusu.

1. Nokta ile görüntüsünün apsisleri aynı olduğundan eksen yataydır.
2. Yatay eksenler y = sayı biçiminde yazılır.
3. Eksen iki noktanın tam ortasından geçer.
4. Ordinatların ortalaması (2 + (−4)) : 2 = −1 olduğundan eksen y = −1'dir.

9. Şekilde merkezi işaretlenmiş bir düzgün sekizgen verilmiştir. Bu sekizgenin dönme ve simetri özellikleri için hangi ifade doğrudur?

• A) 4 simetri ekseni vardır ve 90°'nin katlarında çakışır.
• B) 8 simetri ekseni vardır fakat dönme simetrisi yoktur.
• C) 2 simetri ekseni vardır ve 180°'de çakışır.
• D) 8 simetri ekseni vardır ve 45°'nin katlarında kendisiyle çakışır.

Doğru cevap: D — Düzgün sekizgende kenar sayısı kadar, yani 8 simetri ekseni bulunur; 360° : 8 = 45° olduğundan 45°'nin katlarında çakışır.

1. Düzgün çokgende simetri ekseni sayısı kenar sayısına eşittir: 8.
2. Merkez etrafındaki tam tur 360°'dir.
3. 360° : 8 = 45° hesaplanır.
4. Sekizgen 45°, 90°, 135° gibi katlarda kendisiyle çakışır.

10. Alanı 4 birimkare olan bir motif, öteleme ile yan yana 6 kez tekrarlanarak bir bordür oluşturulmuştur. Bu bordürün kapladığı toplam alan kaç birimkaredir?

• A) 12 birimkare
• B) 18 birimkare
• C) 24 birimkare
• D) 30 birimkare

Doğru cevap: C — Öteleme alanı değiştirmez; her motif 4 birimkare kaldığı için toplam 6 × 4 = 24 birimkaredir.

1. Ötelemede şekil ile görüntüsü eştir; eş şekillerin alanları da eşittir.
2. Öyleyse bordürdeki her motifin alanı 4 birimkare olarak kalır — kaydırmak alanı büyütmez ya da küçültmez.
3. Motif 6 kez tekrarlandığına göre toplam alan: 6 × 4 = 24 birimkare.
4. Denetleyelim: motifler yan yana duruyor, üst üste binmiyor ✓ — bu yüzden alanlar doğrudan toplanabiliyor.

11. Bir çokgen 5 birim sola ve 2 birim aşağı ötelendiğinde bir köşesinin görüntüsü K'(−1, 4) olmuştur. Bu köşenin öteleme öncesindeki koordinatları nedir?

• A) (4, 6)
• B) (−6, 2)
• C) (4, 2)
• D) (6, 4)

Doğru cevap: A — Ötelemeyi geri almak için 5 birim sağa ve 2 birim yukarı gidilir: (−1 + 5, 4 + 2) = (4, 6).

1. Öteleme sola olduğu için apsisten 5 çıkarılmıştı.
2. Geri almak için apsise 5 eklenir: −1 + 5 = 4.
3. Öteleme aşağı olduğu için ordinattan 2 çıkarılmıştı.
4. Geri almak için ordinata 2 eklenir: 4 + 2 = 6; asıl köşe (4, 6)'dır.

12. Şekilde bir üçgen önce y eksenine, sonra x eksenine göre yansıtılmıştır. Bu iki yansımanın birlikte yaptığı iş, aşağıdaki dönüşümlerden hangisiyle aynı sonucu verir?

• A) Orijin etrafında 90° dönme
• B) Orijin etrafında 180° dönme
• C) Bir öteleme
• D) Orijin etrafında 270° dönme

Doğru cevap: B — y eksenine göre yansımada apsis, x eksenine göre yansımada ordinat işaret değiştirir; ikisi birlikte (x, y) → (−x, −y) verir ki bu 180° dönmedir.

1. y eksenine göre yansıma: (x, y) → (−x, y).
2. x eksenine göre yansıma: (−x, y) → (−x, −y).
3. Sonuçta her iki koordinatın işareti de değişmiştir.
4. Bu kural orijin etrafında 180° dönmenin kuralıdır.

13. Köşeleri (1, 1), (3, 1), (3, 3) ve (1, 3) olan kare orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürülüyor. Oluşan görüntü hangi bölgede yer alır?

• A) 1. bölge
• B) 3. bölge
• C) 4. bölge
• D) 2. bölge

Doğru cevap: D — Kural (x, y) → (−y, x) uygulanınca köşeler (−1, 1), (−1, 3), (−3, 3), (−3, 1) olur; apsis negatif, ordinat pozitif olduğundan 2. bölgededir.

1. Saat yönünün tersine 90° dönme kuralı (x, y) → (−y, x)'tir.
2. (1, 1) → (−1, 1) ve (3, 1) → (−1, 3) bulunur.
3. Diğer köşeler de (−3, 3) ve (−3, 1) olur.
4. Tüm köşelerde apsis negatif, ordinat pozitiftir; bu 2. bölgedir.

14. Şekilde H, E, A ve T büyük harfleri yazılmış, üzerlerinden yatay bir kesikli doğru geçirilmiştir. Bu harflerden hangisinin hem yatay hem de düşey simetri ekseni vardır?

• A) H
• B) E
• C) A
• D) T

Doğru cevap: A — H harfi ortadan yatay katlandığında da düşey katlandığında da üst üste gelir; E yalnız yatay, A ve T yalnız düşey simetriye sahiptir.

1. E harfi ortadan yatay katlanınca çakışır ama düşey katlanınca çakışmaz.
2. A ve T harfleri yalnızca düşey eksende çakışır.
3. H harfi yatay ortadan katlanınca üst ve alt yarısı çakışır.
4. H harfi düşey ortadan katlanınca sağ ve sol yarısı da çakışır.

15. Bir drone D(−4, 2) noktasından kalkıp önce 6 birim sağa ve 5 birim aşağı hareket ediyor, ardından bulunduğu nokta orijin etrafında 180° döndürülüyor. Dronun son koordinatları nedir?

• A) (2, 3)
• B) (−2, −3)
• C) (−2, 3)
• D) (2, −3)

Doğru cevap: C — Önce (−4 + 6, 2 − 5) = (2, −3) bulunur; 180° dönmede işaretler değişince (−2, 3) elde edilir.

1. 6 birim sağa hareket: −4 + 6 = 2.
2. 5 birim aşağı hareket: 2 − 5 = −3.
3. Ara konum (2, −3) noktasıdır.
4. 180° dönmede her iki işaret değişir: (−2, 3).